Aula-01-Matemática Básica

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Matemática e suas Tecnologias
Matemática Básica
Aula Extra - Matemática Básica | Equipe de Matemática
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Formulário de Dúvidas e Redação
1
https://bit.ly/ResistENEM-Aulas
https://forms.gle/VPHg45EdLhD268gy7
Tópicos abordados
01
Operações
Básicas
02
Interpretação
de Problemas
Matemáticos
envolvendo
Matemática
Básica
03
Divisibilidade
04
Números
Primos
05
Fatoração
06
MMC e MDC
07
Frações
08
Números
Decimais e
Operações
09
Sistema
Métrico
Decimal
10
Produtos
Notáveis
11
Expressões
Algébricas
12
Triângulos
13
Plano
Cartesiano
14
Sistemas de
Equações
15
Sistemas
Lineares
16
Figuras Planas
2
01 Operações Básicas
A matemática é uma linguagem com números e símbolos capaz de construir argumentos lógicos
que nos permite representar fenômenos da natureza e situações cotidianas. Por exemplo, ao
cozinhar seguindo uma receita precisamos sempre quantificar as porções de cada ingrediente.
Ou então quando queremos comprar algo precisamos prestar atenção aos valores dos produtos
para fazer um bom negócio.
Nesta seção vamos discutir as operações básicas com números e expressões numéricas.
Soma
A primeira operação com números que vamos rever é a soma, representada pelo símbolo de
mais (+). O sistema numérico que utilizamos é decimal, ou seja, temos dez algarismos que
podem ocupar cada casinha dos números : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O que é bastante fácil pois
podemos usar os dedos das nossas mãos para contar!
Preste atenção, cada algarismo soma
com o algarismo da mesma casa decimal.
Por exemplo, para somar 21 + 42 ,
primeiro vamos somar a primeira casa 1 +
2 = 3 e depois a segunda casa 2 + 4 = 6,
para obter o resultado final 21 + 42 = 63.
É fácil enxergar como fazer a conta
quando colocamos os algarismos um
embaixo do outro, alinhando cada casa
decimal, como no exemplo ao lado.
Existe um caso especial se a soma dos
primeiros algarismos ultrapassar o
valor 9. Por exemplo, 25 + 47, primeiro
vamos fazer a soma 5 + 7= 12, agora
esse algarismo 1 pertence à segunda
casa da soma, logo deve fazer parte
dela: 2+ 4 + 1 = 7. Finalmente 25 + 47
= 72.
Subtração
A subtração é a operação contrária da soma denotada pelo símbolo de menos (-). Imagine a
seguinte situação: eu tenho uma banana e ganhei outra, 1+1=2. Logo, fiquei com duas. Mas meu
irmão guloso comeu uma delas e eu voltei a ter uma só banana, 2 -1 = 1. A soma representa a
adição, a junção de dois conjuntos. Ao contrário da subtração que mostra a perda ou débito.
3
Por exemplo: 46 - 31 = 15. Podemos
fazer a subtração para a primeira
casa: 6 - 1 = 5 e depois para a
segunda: 4 - 3 = 1. Chegando a
conclusão: 46 - 31 = 15.
No exemplo ao lado, temos a subtração com
reserva. Ou seja, podemos “pegar emprestado”
quando não conseguimos subtrair
determinados valores.
Multiplicação
A multiplicação consiste em simplificar somas de um mesmo número. Ou seja, se queremos
somar 2 + 2 + 2 + 2 +2 = 10 podemos simplesmente falar que são 5 vezes o 2, ou seja, 5 x 2 = 10.
Na multiplicação os sinais de cada termo alternam o sinal do produto.
● O resultado de dois números positivos é positivo: 5 x 1 = +5
● O resultado de números de sinais opostos é negativo: 5 x (-1) = -5 ou (-5) x 1 = -5
● O resultado de dois números positivos é positivo: (-5) x (-1) = +5
Na representação em pé, podemos fazer 53 x 24 onde 3
x 4 = 12 e 5 x 4 = 20, logo 53 x 4 = 212. Em baixo
escrevemos a segunda multiplicação 53 x 20 = 1060, sem
se esquecer do 0 que indica a segunda casa decimal.
Finalmente 53 x 24 = 212 + 1072.
Outro exemplo seria fazer 287 x 106 na
representação em pé. Teremos 3
multiplicações para fazer. Primeiro, 287 x
6 = 1722, depois 287 x 0 0 = 0, por último
287 x 100 = 28700 sem se esquecer dos 0
4
que indicam a casa decimal. Finalmente 287 x 106 = 1722 + 0 + 28700 = 30422.
Todo número multiplicado por 0 dá 0
Todo número multiplicado 1 dá ele mesmo.
Divisão
A divisão é o contrário da multiplicação.
Se 2+2+2+2+2 = 2 x 5 = 10 , então 10
tem cinco números 2 dentro dele. Logo,
vemos que 10 dividido por 2 é 5. A
divisão pode ser representada pelo
símbolo (÷) ou por uma barra (/), ou seja,
10 ÷ 2 = 5; 10/2 = 5.
Na figura ao lado vemos uma divisão
exata 42 ÷ 7 = 6 e 44 ÷ 7 , como sabemos que 6 x 7 = 42, podemos calcular o resto 44 - 42 = 2.
Logo, 44 ÷ 7 tem resultado 6 e resto 2.
Abaixo faremos a divisão
173 ÷ 12. Primeiro,
fazemos apenas 17÷ 12 =
1 com resto 5. Depois
usamos o resto 5 e
juntamos com o algarismo
seguinte 3 e ficamos com
53 ÷ 12 = 4, com resto 53
- (4 x 12) = 53 - 48 = 5.
Potência
A potenciação é uma operação matemática, assim como a
soma, subtração, multiplicação e divisão. Ela se refere ao
número de vezes que um número é multiplicado por ele
mesmo. Por exemplo: 5 elevado a 2 = 52 = 5*5 = 25. A sua
representação consiste em uma base, o número que será
multiplicado, e em um expoente, que representa o
número de vezes que a base será multiplicada por ela
mesma:
Figura 1 - Elementos da potenciação
5
Propriedades da potência
As propriedades dessa operação são:
○ Multiplicação de potências de mesma base:
■ Conserva a base e SOMA os expoentes
■ Exemplo: 52*53 = 52+3 = 55 = 5*5*5*5*5 = 3125
○ Multiplicação de potências de bases diferentes e expoentes iguais:
■ Conserva o expoente e multiplicam as bases
■ Exemplo: 23*43 = (2*4)3 = 83 = 8*8*8 = 512
■ A recíproca é verdadeira : (2*4)3 = 23*43
○ Divisão de potências de mesma base:
■ Conserva a base e SUBTRAI os expoente
■ Exemplo: 53/52 = 53-2 = 51 = 5
○ Potência de fração:
■ Distribui o expoente para o numerador e denominador
■ Exemplo: (3/7)2 = (32/72) = 9/49
○ Expoente negativo:
■ Ocorre a inversão do sinal do expoente seguido da inversão da base
OBS: O inverso de um número representa a divisão de 1 por ele mesmo ou
a inversão do numerador e denominador
■ Exemplo: O inverso de 5 = ⅕ = 0,2
Exemplo: 5-2 = (⅕)2 = (1/25) = 0,04
Exemplo: (⅔)-3 = (3/2) 3 = (33/23) = 27/8
○ Expoente nulo:
■ Qualquer número elevado a 0 , exceto o próprio 0, no qual não há consenso
para o resultado de 00, é igual a 1
■ Exemplo: 50 = 1, 80 = 1, 10 = 1
○ Potência de potência:
■ Conserva a base e multiplica os expoentes
■ Exemplo: (52)3 = 52*3 = 56 = 5*5*5*5*5*5 = 15625
○ Potência com expoente racional na forma m/n:
■ Transforma em uma raíz quadrada do tipo:
6
○ Potência com expoente racional na forma m/n:
■ Transforma em uma raíz de índice n radicando (base)m
■ Exemplo: 53/2 = √(53)
○ Potência com expoente unitário:
■ Repete a base
■ Exemplo: 51 = 5, 91 = 9, 01 = 0
Radiciação
A radiciação é a operação matemática contrária
à potenciação, assim como a subtração é o
contrário da soma e a divisão é o contrário da
multiplicação. É representado por um índice,
radical e radicando. Consiste em determinar o
número que elevado ao índice é igual ao
radicando.
Figura 2 - Elementos da radiciação
Ao omitirmos o índice do radical, consideramos que se trata de 2 (raiz
quadrada).
Propriedades da radiciação
○ Multiplicação de raízes de mesmo índice:
■ Conserva o índice e multiplica os radicandos
■ Exemplo: √4 * √5 = √(4*5) = √20
○ Divisão de raízes de mesmo índice:
■ Conserva o índice e divide os radicandos
■ Exemplo: √9/√3 = √(9/3) = √3
○ Raíz de Raíz:
■ Conserva o radicando e multiplica os índices:
■ Exemplo:
7
Algumas observações:
○ Não se aplicam as propriedades de radiciação e potenciação às somas e
subtrações:
■ √a + √b NÃO é o mesmo que √a+b
■ ac + bc NÃO é o mesmo que (a+b)c
○ Não existem nos número reais raízes de índice par (2n, n=1,2,3,...) com radicando
negativo
■ Não existe √-4 , √-9, …
○ Caso o radicando possua um expoente múltiplo do índice, podemos simplificar-los
pelo valor do mdc(índice,expoente):
■ Exemplo: √99565482 = 9956548. Divide-se o índice (2) pelo expoente (2) e
divide o expoente (2) por ele mesmo, obtendo raíz de índice 1 de 9956548,
que é o próprio radicando
Cálculo de raízes
Primeiro devemos decompor o radicando em fatores primos:
Segundo devemos transformar os fatores primos em potências:
Exemplo: 400 = 2*2*2*2*5*5 = 24 * 52. Assim temos que:√400 = √(24*52) = √24 * √52 = √22*√22*√52 = 2*2*5 = 20
Racionalização: quando temos uma fração com uma raiz no
denominador multiplicamos por ela mesma para racionalizar o denominador. Por exemplo:
8
1
2
= 1
2
× 2
2
= 22
Expressões Numéricas
Expressões numéricas envolvem todas as operações e podem ter resoluções bastante longas.
Para evitar ambiguidade impomos duas convenções de ordem das operações e dos elementos
parênteses, colchetes e chaves:
Ordem das operações
1. Potenciação e radiciação
2. Multiplicação e divisão
3. Soma e subtração
No exemplo abaixo temos uma expressão que envolve potenciação, multiplicação e soma:
22 + 5 × 3
Resolvemos primeiro a potenciação .22 = 4
4 + 5 × 3
Depois a multiplicação .5 × 3 = 15
4 + 15
Por último a soma.
4 + 15 = 19
Ordem dos elementos
1. Parênteses ()
2. Chaves {}
3. Colchetes []
Agora faremos um exemplo com uma expressão que envolve também parênteses, colchetes e
chaves:
{[(4 − 1) × 2]2 + 7 } − 1
Primeiro de tudo resolveremos o parênteses (4 − 1) = 3
9
{[3 × 2]2 + 7} − 1
Depois o colchete . Note que o próprio colchete está ao quadrado, resultando em[3 × 2] = 6
.62
{62 + 7} − 1
Por fim resolvemos a expressão dentro do colchetes: .62 + 7 = 36 + 7 = 43
Resultando em: .43 − 1 = 42
02 Exercícios de Fixação - Operações Básicas I
Questão 1
(ResistEnem 2020) Resolva as somas:
a) 1 + 3
b) 10 + 30
c) 15 + 27
d) 132 + 178
Questão 2
(ResistEnem 2020) Resolva as subtrações:
a) 3 - 1
b) 30 - 10
c) 27 - 15
d) 170 - 132
Questão 3
(ResistEnem 2020) Resolva as multiplicações:
a) 3 x 7
b) 30 x 70
c) 27 x 15
d) 40 x -12
10
e) 178 x 132
Questão 4
(ResistEnem 2020) Resolva as divisões, caso precise deixe indicado o resultado e o resto:
a) 35 ÷ -7
b) 30 ÷ 7
c) 235 ÷ 5
d) 186÷14
02 Exercícios de Fixação - Operações Básicas II
Questão 1
(ResistEnem 2020) Resolva:
a) -1 - 3
b) 10 - 30
c) 15 - 27
d) -132 + 178
Questão 3
(ResistEnem 2020) Resolva as multiplicações:
a) 3 x 7
b) 3 x (-7)
c) (-3)x(-7)
d) 30 x (-70)
e) (-27) x 15
f) (-40) x (- 12)
g) (-2) x (-3) x (-4)
Questão 4
(ResistEnem 2020) Resolva as divisões, caso precise deixe indicado o resultado e o resto:
a) 35 ÷(- 7)
b) (-28) ÷ 7
c) (-35) ÷(- 5)
11
Questão 5
(ResistEnem 2020) Resolva as potências:
a) 32
b) 33
c) 32 × 33
d) 3
8
35
Questão 6
(ResistEnem 2020) Resolva as raízes:
e) 36
f) 12
g) 1
5
Questão 7
(ResistEnem 2020) Resolva as expressões numéricas:
a) 2 × 3 + [5 − {(4 ÷ 2)2 − 1}]
b) [{(3 + 2)2 − (3 − 2)2} + 5] × 2
Questão 8
(OBMEP 2019 2) Qual das expressões abaixo têm o menor valor?
A) 2× 0 −1+ 9 = 0 - 1+9 = 8
B) 2 − 0 ×1+ 9 = 2 - 0 + 9 = 11
C) -2 − 0 +1× 9 = -2 -0 + 9 = 7
D) 2 + 0 ×1− 9 = 2 + 0 - 9 = -7
E) 2× 0 +1− 9 = 0 + 1 - 9 = -8
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02 Interpretação de Problemas Matemáticos
Envolvendo as Operações Básicas
Para resolver questões matemáticas depende diretamente de uma boa interpretação de texto,
e, acima de tudo, entender a ligação de algumas palavras do português com a matemática.
Primeiramente, vamos mostrar como se identificam palavras que têm relação com as operações
básicas nos problemas de Matemática. Mas lembre-se que ter apenas o conhecimento dessas
palavras não é suficiente para interpretar e resolver tais problemas.
Adição
Quando observar no enunciado o termo soma, entre dois valores, pode se tratar de uma
operação de adição.
Exemplo: Ao fazer compras em um supermercado, Paula verificou que o valor final corresponde
à soma dos valores dos produtos adquiridos. Sabendo que ela comprou açúcar, café e pão e tudo
deu um total de R$ 15,50. Faça uma representação da equação.
Observe que ele não deu os valores dos produtos, apenas o valor final, logo podemos
representar cada produto por uma incógnita:
A + C + P = 15,50.
Subtração
Quando observar no enunciado o termo diferença, redução, entre dois valores, pode se tratar
de uma operação de subtração.
Exemplo: A idade de Pedro equivale à diferença entre seus dois irmãos mais velhos. Sabendo
que os irmãos de Pedro têm 21 e 34 anos, qual a idade de Pedro?
Observe que o enunciado traz a palavra equivale que significa igualdade, logo a idade de Pedro
pode ser calculada da seguinte maneira:
I= 34 – 21 = 13
Logo, Pedro tem 13 anos.
13
Multiplicação
Quando observar no enunciado a preposição como "de", suas contrações "da", "do", desse e
dessa, entre dois valores, apresentando ou não incógnitas, pode se tratar de uma operação de
multiplicação.
Exemplo: João tem 15 anos e seu irmão mais velho tem o dobro de sua idade, qual a idade do
irmão de João?
Observe que o enunciado também trás a palavra dobro que significa duas vezes a mais, logo
para saber a idade do irmão de João devemos multiplicar sua idade por 2:
I= 15 x 2 = 30 anos
Logo, o irmão de João tem 30 anos.
Divisão
Quando se observa no enunciado a preposição como "por", entre dois valores, ou os termos
razão e proporção, pode se tratar de uma operação de divisão.
Exemplo: A razão entre dois números naturais é igual a 3/4, representa essa expressão:
Observe que o enunciado traz uma medida fracionária, podemos representar essa expressão da
seguinte maneira:
x/y = 3/4
04 Exercícios de Fixação - Interpretação de
Problemas Matemáticos Envolvendo as Operações
Básicas
14
Questão 1
(OBMEP 2019 A) Carla viajou na terça-feira e voltou 3 dias depois, na sexta-feira. Joana viajou
no sábado e voltou 9 dias depois. Em que dia da semana Joana voltou?
A) Domingo.
B) Segunda-feira.
C) Terça-feira.
D) Quarta-feira.
E) Quinta-feira.
Questão 2
(OBMEP 2019 A) A mãe de Vera está preparando sanduíches para um passeio, iguais ao da
figura. Um pacote de pão de forma tem 24 fatias. Quantos sanduíches ela pode preparar com
dois pacotes e meio de pão?
A) 24
B) 26
C) 30
D) 34
E) 48
Questão 3
(OBMEP 2019 1 - modificada). Dois livros estão em uma prateleira. O Volume I
está na posição correta, mas o Volume II está de cabeça para baixo. Cada capa
tem espessura de 1 centímetros, e cada livro, sem as capas, tem espessura de 5
centímetros. Nessa disposição, qual é a distância entre a última página do
Volume I e a última página do Volume II?
A) 2 cm
B) 5 cm
C) 8 cm
D) 12 cm
E) 14 cm
Questão 4
(Enem 2009) Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem
por até oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária
15
custaria R$ 150,00 preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria aplicada
uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$ 20,00. Nos
dois dias restantes, seria mantido o preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para a
promoção idealizada é apresentado no gráfico a seguir, no qual o valor da diária é função do
tempo medido em número de dias.
De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preço que um casal pagaria pela
hospedagem por sete dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote promocional por
oito dias fará uma economia de:
A) R$ 90,00.
B) R$ 110,00.
C) R$ 130,00.
D) R$ 150,00.
E) R$ 170,00.
Questão 5 (Desafio)
(OBMEP 2019 2) A cidade de Quixajuba tem 3 000 habitantes. O número de habitantes que não
possuem celulares é o mesmo dos que possuem dois celulares cada um, e todos os outros
possuem um celular cada um. Quantos celulares os habitantes de Quixajuba possuem no total?
A) 1 500
B) 2 250
C) 3 000
D) 4 500
E) 6 000
16
03 Divisibilidade
Para entender a divisibilidade, é essencial conhecer a operação de divisão. Os critérios de
divisibilidade nos ajudam a saber de forma rápida e direta (isto é, sem necessariamente realizar
a conta de divisão) quando um número natural é divisível por um outro. Ser divisível significa
que quando dividimos esses números, o resultado é um número natural e o resto é zero.
Vejamos na Tabela 3.1 os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10.
Tabela 3.1 - Critérios de divisibilidade e exemplos de aplicação dos mesmos
Um número é divisível...
Por Se Exemplo
2 For par Qualquer número terminado em 0, 2, 4, 6 e 83 A soma de seus algarismos for divisível por 3
123456789 é divisível por 3?
1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 .: 4+5 = 9 → Logo, é divisível por 3
Prova real: 123456789/3=41152263 e resto zero
4
Os dois últimos algarismos da direita forem
divisíveis por 4
432 é divisível por 4?
32 é divisível por 4 (32/4 = 8) → Logo, 432 é divisível por 4
Prova real: 432/4=108 e resto zero
5 Terminar em 0 ou 5 100 e 105 são números terminados em 0 ou 5, portanto, divisíveis por 5
6 For divisível por 2 e por 3
123456798 é divisível por 6?
1+2+3+4+5+6+7+9+8 = 45 → Divisível por 3
123456798 é par → Divisível por 2
Logo, 123456798 é divisível 6
Prova Real: 123456798/6=20576122 e resto zero
7
a. Separe o algarismo da unidade do número
b. Multiplique esse algarismo por 2
c. Subtraia o valor encontrado do restante do
número
d. Verifique se o resultado é divisível por 7. Se
não souber se o número encontrado é
divisível por 7, repita todo o procedimento
com o último número encontrado.
7644 é divisível por 7?
Algarismo da unidade: 4 .: 4x2 = 8
O número sem a unidade: 764 .: 764 - 8 = 756
756 é divisível por 7? Não sei, então repito o procedimento
75-(6x2)=75-12=63 → 63 é divisível por 7, logo, 7644 é divisível por 7
Prova real: 7644/7= 1092 e resto zero
17
8 Os 3 últimos algarismos forem divisíveis por 8
1010293800 é divisível por 8?
800 é divisível por 8 → Logo, 1010293800 é divisível por 8
Prova real: 1010293800/8=126286725 e resto zero
9 A soma dos seus algarismos for divisível por 9
123456789 é divisível por 3?
1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 .: 4+5 = 9 → Logo, é divisível por 9
Prova real: 123456789/3=13717421 e resto zero
10 Terminar em zero 10, 100 e 1000 terminam em zero e, portanto, são divisíveis por 10
04 Números Primos
O que são números primos?
São números naturais e que apresentam apenas dois divisores: um e o próprio número. Em
contrapartida, quando um número apresenta mais de dois divisores, ele é chamado de número
composto e pode ser escrito como um produto de números primos. A seguir, alguns exemplos de
números primos e compostos.
● O número 2 tem apenas dois divisores: o número um e ele mesmo. Portanto, ele é um
número primo;
● O número 5 tem apenas dois divisores: o número um e ele mesmo. Portanto, ele é um
número primo;
● O número 6 tem quatro divisores: os números 1, 2, 3 e ele mesmo. Portanto, ele é um
número composto;
● O número 47 tem apenas dois divisores: o número um e ele mesmo. Portanto, ele é um
número primo;
● O número 80 tem oito divisores: os números um, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 e ele mesmo.
Portanto, ele é um número composto.
Entendido o conceito de números primos, apresentaremos a seguir algumas considerações
importantes sobre os mesmos que te ajudarão a identificar-los com maior facilidade:
● O número 1 não é um número primo, pois só é divisível por ele mesmo;
● O número 2 é o menor número primo e também o único que é par;
● O número 5 é o único número primo terminado em 5;
● Os demais números primos são ímpares e terminados em 1, 3, 7 ou 9.
18
Como identificar um número primo?
Uma maneira de identificar um número primo é utilizando o Crivo de Eratóstenes, um método
simples que será ilustrado a seguir. Sugerimos que você também realize o procedimento em
uma folha de seu caderno para ajudar a fixar o conceito.
Faremos neste exercício a determinação dos números primos de 1 a 100, portanto, o primeiro
passo será escrever todos os números de 1 a 100 em forma de tabela (Tabela 4.1). Iremos
apagar os números que não são primos e, para isso, é fundamental que tenha em mente que os
quatro primeiros números primos são os números 2, 3, 5 e 7 e que os números compostos são
produtos desses.
Para começar, sabemos que o 1 não é primo e vamos eliminá-lo. Em seguida, elimine todos os
números pares maiores que 2 (no exemplo eles estão marcados de rosa). O próximo número
primo é o três, o que significa que devemos excluir todos os seus múltiplos, com exceção
daqueles que também são múltiplos de 2, pois já foram eliminados na etapa anterior (no
exemplo os números eliminados nesta etapa estão marcados de roxo). Agora, vamos repetir o
procedimento para os múltiplos de 5 (em azul) e de 7 (verde) que restaram na tabela. Desse
modo, os números restantes são os números primos (Tabela 4.2).
Tabela 4.1 - Crivo de Eratóstenes para a determinação dos números primos de 1 a 100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Tabela 4.2 - Números restantes após a realização do procedimento
2 3 5 7
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47
53 59
19
61 67
71 73 79
83 89
97
Pela Tabela 4.2, podemos perceber que existem 25 números primos entre 1 e 100, sendo eles:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97. Outro
método para identificar números primos é por meio da aplicação dos critérios de divisibilidade,
verificando se o número é divisível por algum número primo menor que ele.
Números primos de 1 a 1000
Confira os 168 números primos existentes entre 1 e 1000.
● Números primos de 1 até 10: 2, 3, 5 e 7;
● Números primos de 10 até 100: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89 e 97;
● Números primos de 100 até 200: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 e 199;
● Números primos de 200 até 300: 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269,
271, 277, 281, 283 e 293;
● Números primos de 300 até 400: 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367,
373, 379, 383, 389 e 397;
● Números primos de 400 até 500: 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461,
463, 467, 479, 487, 491 e 499;
● Números primos de 500 até 600: 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577,
587, 593 e 599;
● Números primos de 600 até 700: 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659,
661, 673, 677, 683 e 691;
● Números primos de 700 até 800: 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769,
773, 787 e 797;
● Números primos de 800 até 900: 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863,
877, 881, 883 e 887;
● Números primos de 900 até 1000: 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971,
977, 983, 991 e 997.
20
05 Fatoração
Fatorar significa transformar a soma e a subtração de expressões algébricas e equações em um
produto com fatores. Em outras palavras, a fatoração é a simplificação das sentenças
matemáticas.
O primeiro passo para se compreender a fatoração é através da forma mais simples, fazendo a
divisão de um número com o menor número primo possível, até se tornar impossível seguir com
a operação.
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
A fatoração de 360 = 2 * 2 * 2 *3 * 3 *5 ou
360 = 2³ *3² * 5
Fator comum em evidência
● Esse tipo de fatoração quando existe um fator que se repete em todos os termos do
polinômio.
● Esse fator, que pode conter número e letras, será colocado na frente dos parênteses.
21
● Dentro dos parênteses ficará o resultado da divisão de cada termo do polinômio pelo
fator comum.
Na prática, vamos fazer os seguintes passos:
1. Identificar se existe algum número que divide todos os coeficientes do polinômio e letras
que se repetem em todos os termos.
2. Colocar os fatores comuns (número e letras) na frente dos parênteses (em evidência).
3. Colocar dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada fator do polinômio pelo
fator que está em evidência. No caso das letras, usamos a regra da divisão de potências
de mesma base.
Podemos determiná-la pela seguinte fórmula:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 𝑥(𝑎 + 𝑏)
No caso acima, o x aparece em ambas os monômios, então basta colocá-lo em evidência.
Exemplo 1: Fatoração do polinômio 5𝑎 + 5𝑏 
Primeiro identificamos que o 5 se repete em ambos monômios, então:
5𝑎 +5𝑏 = 5 (𝑎 + 𝑏)
Exemplo 2: Fatoração do polinômio 18𝑎 + 12𝑏 − 9𝑐
● Primeiro, identificamos que o número 3 divide todos os coeficientes e que não existe
nenhuma letra que se repete.
● Colocamos o número 3 na frente dos parênteses, dividimos todos os termos por três e o
resultado iremos colocar dentro dos parênteses:
18𝑎 + 12𝑏 − 9𝑐 = 3 (6𝑎 + 4𝑏 − 3𝑐)
Exemplo 3: Fatore 3𝑥² + 5𝑥
Como não existe número que divide ao mesmo tempo 3 e 5, não iremos colocar nenhum número
na frente dos parênteses.
A letra a se repete em todos os termos. O fator comum será o x.
Dividimos cada termo do polinômio por x:
22
3𝑥² + 5𝑥 = 𝑥 (3𝑥 + 5)
Agrupamento
No polinômio que não exista um fator que se repita em todos os termos, podemos usar a
fatoração por agrupamento. Para isso, devemos identificar os termos que podem ser agrupados
por fatores comuns.
Nesse tipo de fatoração, colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência.
Exemplo: Fatore o polinômio 𝑎𝑥 + 3𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 3𝑏𝑦
Os termos ax e 3bx tem como fator comum o x. Já os termos ay e 3by possuem como fator
comum o y.
Colocando esses fatores em evidência:
𝑎𝑥 + 3𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 3𝑏𝑦 = 𝑥 (𝑎 + 3𝑏) + 𝑦 (𝑎 + 3𝑏𝑦)
Note que o agora também se repete nos dois termos.(𝑎 + 3𝑏)
Colocando novamente em evidência, encontramos a forma fatorada do polinômio:
=𝑎𝑥 + 3𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 3𝑏𝑦 (𝑎 + 3𝑏) + (𝑥 + 𝑦)
Diferença de dois quadrados
Para fatorar polinômios do tipo usamos o produto notável da soma pela diferença.𝑎2 − 𝑏2
Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será:
𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏) . (𝑎 − 𝑏)
Para fatorar, devemos calcular a raiz quadrada dos dois termos.
23
Depois, escrever o produto da soma dos valores encontrados pela diferença desses valores.
Exemplo: Fatorar o binômio 9𝑥2 − 16
Primeiro, encontrar a raiz quadrada dos termos:
=9𝑥2 3𝑥
=16 4
Escrever esses valores como produto da soma pela diferença:
9𝑥2 − 16 = (3𝑥 + 4) . (3𝑥 − 4) 
Trinômio quadrado perfeito
Trinômios são polinômios com 3 termos.
Os trinômios quadrados perfeitos e resultam do produto(𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2) (𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2)
notável do tipo e . Assim, a fatoração do trinômio quadrado perfeito será:(𝑎 + 𝑏)2 (𝑎 − 𝑏)2
(quadrado da soma de dois termos)(𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2) = (𝑎 + 𝑏)2
(quadrado da diferença de dois termos)(𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2) = (𝑎 − 𝑏)2
Para saber se realmente um trinômio é quadrado perfeito, fazemos o seguinte:
1. Calcular a raiz quadrada dos termos que aparecem ao quadrado.
2. Multiplicar os valores encontrados por 2.
3. Comparar o valor encontrado com o termo que não apresenta quadrados. Se forem
iguais, é um quadrado perfeito.
Exemplo: Fatorar o polinômio (𝑥2 + 6𝑥 + 9)
Primeiro, temos que testar se o polinômio é quadrado perfeito.
24
=𝑥2 𝑥
9 = 3
Multiplicando por 2, encontramos: 2 . 3 . 𝑥 = 6𝑥
Como o valor encontrado é igual ao termo que não está ao quadrado, o polinômio é quadrado
perfeito.
Assim, a fatoração será: (𝑥2 + 6𝑥 + 9 = (𝑥 + 3)2
25
06 MMC e MDC
Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Corresponde ao menor número inteiro positivo, diferente de zero, que é múltiplo ao mesmo
tempo de dois ou mais números. É importante lembrar que para encontrar os múltiplos de um
número, basta multiplicar esse número pela sequência dos números naturais.
Note que o zero (0) é múltiplo de todos os números naturais e que os múltiplos de um número
são infinitos.
Para saber se um número é múltiplo de um outro, devemos descobrir se um é divisível pelo
outro.
Exemplo 1: 25 é múltiplo de 5, pois ele é divisível por 5.
O cálculo do MMC, pode ser feito, através da comparação da tabuada desses números. Por
exemplo, vamos descobrir o MMC de 2 e 3.
2 * 3 = 6
3 * 2 = 6
Então, o MMC de 2 e 3 é 6.
Exemplo 2: Qual o MMC de 12 e 45?
26
Vamos usar o método da fatoração, ou seja, decompor os números em fatores.
Figura 3 - Método da fatoração para encontrar o MMC de 12 e 45.
Exemplo 3: Qual o MMC de
2
5 +
2
6
O primeiro passo é encontrar o MMC entre 5 e 6. Fatorando, temos:
5 , 6 2
5 , 3 3
5 , 1 5
1 , 1
2 * 3 * 5 = 30
Então o MMC de 5 e 6 é 30
Então:
27
Figura 4 - Resolução do MMC com frações.
Mínimo Divisor Comum (MDC)
É o maior número divisível entre dois ou mais números inteiros.
Lembre-se que os números divisíveis são aqueles que ocorrem quando o resto da divisão é igual
a zero. Por exemplo, o número 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Se dividirmos esses números
pelo 12 obteremos um resultado exato, sem que haja um resto na divisão.
Quando um número tem apenas dois divisores, ou seja, ele é divisível somente por 1 e por ele
mesmo, eles são chamados de números primos.
Vale notar que todo número natural possui divisores. O menor divisor de um número será
sempre o número 1. Por sua vez, o maior divisor de um número é o próprio número.
Exemplo 1: Qual o MDC de 20 e 24?
20 ; 24 2
10 ; 12 2
5 ; 6 2
5 ; 3 3
5 ; 1 5
1 ; 1
28
Para saber o MDC dos números, devemos olhar à direita da fatoração e ver quais números
dividiram simultaneamente os dois e multiplicá-los. Assim, pela fatoração podemos concluir que
o 4 (2x2) é o maior número que divide ambos e, portanto, é o máximo divisor comum de 20 e 24.
29
07 Frações
Frações são representações dos números racionais , ou seja, estão em formato de razão entreℚ
dois outros números, normalmente naturais. Abaixo está o formato clássico de uma fração.
Caso do parâmetro ser estritamente menor que , ela denomina-se estritamente própria. Em𝑎 𝑏
caso de apenas menor, denomina-se própria. Por fim, em caso de maior, a fração chama-se
imprópria.
,𝑐 = 𝑎𝑏 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ
Como visto na seção 5, números naturais decompõem-se no produto de números primos entre si.
Assim, a forma irredutível corresponde àquela a qual e não possuem fatores comuns entre𝑎
~
𝑏
~ 𝑎
~
 𝑏
~
si, ou seja, são primas entre si. Duas frações são equivalentes se elas possuem a mesma forma
irredutível. Abaixo seguem dois exemplos sobre forma irredutível e equivalentes.
100
8 = 
50
4 =
25
2
27
45 = 
9
15 =
3
5
Em ambos os casos acima, a fração à direita do segundo símbolo de igualdade representa a
forma irredutível das frações à esquerda do mesmo. As duas frações ao lado da primeira
igualdade são equivalentes por definição.
Operações com frações
É possível realizar as quatro operações básicas entre frações. O procedimento necessário para
cada uma delas requer atenção pois solicitam conceitos de MMC, MDC e fatoração.
a) Adição:
𝑎
𝑏 + 
𝑐
𝑑 =
𝑚𝑑𝑐(𝑏, 𝑑)
𝑏 𝑎 + 
𝑚𝑑𝑐(𝑏, 𝑑)
𝑑 𝑐
𝑚𝑑𝑐(𝑏, 𝑑) =
𝑒
𝑓
i) Obtenha o máximo divisor comum (m. d. c.) entre e a fim de obter um𝑏 𝑑
denominador comum;
ii) Notar o numerador de cada fração consiste no produto entre o numerador prévio
e a razão entre m. d. c. e denominador.;
iii) Realizar a soma do numerador resultante;
iv) Simplificar a fração à sua forma irredutível.
30
Exemplo:
1
2 + 
3
4 =
2.1 + 3
4 =
5
4
b) Subtração:
𝑎
𝑏 − 
𝑐
𝑑 =
𝑚𝑑𝑐(𝑏, 𝑑)
𝑏 𝑎 − 
𝑚𝑑𝑐(𝑏, 𝑑)
𝑑 𝑐
𝑚𝑑𝑐(𝑏, 𝑑) =
𝑔
ℎ
i) Idem à adição exceto pelo sinal de menos.
c) Multiplicação:
𝑎
𝑏 . 
𝑐
𝑑 =
𝑎.𝑐
𝑏.𝑑 =
𝑚
𝑛
i) Multiplicar numeradores e denominadores;
ii) Simplificar a fração a seu formato irredutível.
d) Divisão:
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
= 𝑎.𝑑𝑏.𝑐 =
𝑝
𝑞
i) Inverter numerador e denominador da fração presente no denominador da fração
de frações;
ii) Seguir o procedimento da multiplicação.
Enunciados e exemplos com frações
Frações surgem naturalmente no enunciado de problemas em diferentes situações. O caso mais
simples possível consiste na divisão de determinada quantidade em partes iguais ou
dependente de determinado peso, nomeadamente média aritmética simples e ponderada.
Média aritmética:
1 + 2 + 3 + 4
5 = 2
Média aritmética:
1.1 +2.2 + 3.3 + 4.4
1 + 2 + 3 + 4 = 
1 + 4 + 9 + 16
10 = 3
Outro exemplo consiste na divisão direta ou inversamente proporcional a uma variável a
escolha.
● Diretamente:
𝑎 + 𝑏 +𝑐 = 20
𝑎
5 = 
𝑏
2 = 
𝑐
3 
𝑎+𝑏+𝑐
5 + 2 + 3 = 
20
10 = 
𝑎
5 ⇒𝑎 = 10
𝑎+𝑏+𝑐
5 + 2 + 3 = 
20
10 = 
𝑏
2 ⇒𝑏 = 4
𝑎+𝑏+𝑐
5 + 2 + 3 = 
20
10 = 
𝑐
3 ⇒𝑐 = 6
31
● Inversamente
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 20
𝑎
1
5
 = 𝑏1
2
 = 𝑐1
3
 
𝑎+𝑏+𝑐
1
5 + 
1
2 + 
1
3
 = 206 + 15 + 10
30
 = 20 . 3031 = 
𝑎
1
5
⇒𝑎 = 20 . 3031 . 5 =
120
31
𝑎+𝑏+𝑐
1
5 + 
1
2 + 
1
3
 = 20 . 3031 = 
𝑏
1
2
⇒𝑎 = 20 . 3031 . 2 =
300
31
𝑎+𝑏+𝑐
1
5 + 
1
2 + 
1
3
 = 20 . 3031 = 
𝑐
1
3
⇒𝑎 = 20 . 3031 . 3 =
200
31
A divisão de tarefas também requer o uso de frações. Como forma ilustrativa, imagine uma
situação na qual duas pessoas devem preencher formulários. Cada uma individualmente
preenche 10 e 20 formulários por hora respectivamente. Deseja-se saber qual a quantidade
produzida juntas. A resolução do problema inicia-se com a suposição de uma quantidade
arbitrária M em mesma quantidade de tempo.
e
𝑀
1
𝑡 = 10 ⇒ 𝑡 = 
𝑀
1
10
𝑀
2
𝑡 = 20 ⇒ 𝑡 = 
𝑀
2
20
𝑡 = 
𝑀
1
10 = 
𝑀
2
20 ⇒ 
𝑀
1
+𝑀
2
10 + 20 =
𝑀
30 = 𝑡
formulários𝑁 = 𝑀𝑀
30
= 30
32
08 Números Decimais e Operações
Números decimais denominam informalmente o conjunto de números que possuem vírgula em
sua representação, ou seja, desde os naturais aos reaisℝ. Para fins práticos é comum utilizar aℕ
representação fracionária caso os números do numerador e denominador sejam menores que
um determinado valor considerado grande, por exemplo, 1.000.000. Isso acontece porque a
identificação de números primos é uma atividade computacionalmente custosa. Caso contrário,
a representação decimal é mais conveniente.
土 a,b
土Sinal
a Porção inteira
b Porção decimal
Frações e números decimais
Por questão de informação, a porção b descreve, em formato fracionário, uma fração
estritamente própria. A obtenção de um número decimal através de uma fração ocorre por meio
do processo de divisão. Este segue abaixo:
a) A fração , caso imprópria, representa a soma . Caso estritamente ou𝑎𝑏 𝑐 +
𝑑
𝑒
apenas própria, siga para o próximo passo;
b) A fração própria resultante corresponde a um número no denominador maior que
no numerador. A fim de possibilitar esta divisão, ocorre a multiplicação do
numerador por 10 até que o número obtido seja maior que o denominador.
c) A divisão ocorre até que o resto seja zero ou alcance a quantidade de casas
decimais desejada.
Exemplo:
4
5 =
1
10 
40
5 = 
8
10 = 0. 8
Operações com números decimais
A operação entre números decimais ocorre semelhantemente a de números inteiros.
Entretanto, devido à presença de porção fracionária, deve-se alinhar respectivas casas. Abaixo
segue um exemplo simbólico e numérico.
33
𝑎
1
𝑏
1
, 𝑐
1
12, 3
+ +𝑎
2
𝑏
2
, 𝑐
2
24, 5
𝑎
3
𝑏
3
, 𝑐
3
36, 8
A fim de operar a multiplicação, inicialmente desconsidera-se as casas decimais, opera-se como
no caso inteiro e adiciona-se a soma de casas decimais resultante de ambas os decimais
envolvidos na operação.
09 Sistema Métrico Decimal
Sistema métrico decimal é o nome dado ao sistema de medição, também conhecido como
Sistema Internacional de Medição (S.I). É utilizado no Brasil e tem como unidade de medida
principal o metro.
Quadro de Múltiplos e Submúltiplos do Metro
Múltiplos
Unidade
Principal Submúltiplos
Quilômetro
(km)
Hectômetro
(hm)
Decâmetro
(dam) Metro (m)
Decímetro
(dm)
Centímetro
(cm)
Milímetro
(mm)
1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
2000 m 200 m 20 m 2 m 0,2 m 0,02 m 0,002 m
3000 m 300 m 30 m 3 m 0,3 m 0,03 m 0,003 m
Os múltiplos do metro são utilizados na realização de medições em
grandes áreas/distâncias, enquanto os submúltiplos para realizar
medição em pequenas distâncias.
Quadro com Nomes e Funções de Medidas Mais Comuns
Nome Função Unidade
Metro Unidade de comprimento m
Metro Quadrado Unidade de superfície m²
34
Metro Cúbico Unidade de volume m³
Litro Unidade de capacidade L
Grama Unidade de peso g
Tempo Medir tempo s
Quilograma Medir massa kg
Quilograma por
metro cúbico
Medir massa específica kg/m³
Watt
Potência e Fluxo de
energia w
Hertz Frequência Hz
Conversão de Unidades
Figura 5 - Conversão das unidades de medida
Exemplos:
a. 18 km = 18*10*10*10 = 18*103 m (expoente 3, pois andamos 3 casas - hm, dam, m - e
positivo pois foi para a direita).
b. 27 mm = 27*10-4 dam (expoente -4, pois andamos 4 casas - cm,dm,m,dam - e negativo
pois foi para a esquerda).
c. 20 km2 = 20*(103m)2 = 20*106 m2
d. 63 dam3 = 63*(102 dm)3 = 63*106 dm3
35
01 Números Decimais e Operações
Questão 1
Qual é o resultado da expressão numérica abaixo?
41,32 + 56,4 – 81,932 + 5
a) 102,72
b) 20,8
c) 20,7
d) 20
e) 20,788
Questão 2
Qual é a área de um retângulo cuja largura mede 23,32 m e o comprimento mede 52,25 m?
a) 1217,99 m2
b) 1218,47 m2
c) 1219,01 m2
d) 1567,5 m2
e) 1045,0 m2
Questão 3
Uma empresa utiliza um índice de massa corporal inventado por ela própria, no qual divide por
dois a soma entre altura e peso dos funcionários. Qual é o índice de massa corporal de Rhuan,
sabendo que sua altura é 1,78 m e seu peso é 72,3 kg?
a) 74,08
b) 31,15
c) 37,04
d) 37,4
e) 37
Questão 4
Em um feirão, Juarez aproveitou as promoções e comprou sete agendas, que custaram R$ 1,32;
4 canetas, que custaram R$ 0,26; e 45 lapiseiras a R$ 1,22. Qual é o troco de Juarez, sabendo
que ele levou apenas uma nota de R$ 100,00?
a) R$ 34,82
b) R$ 65,18
c) R$ 83,62
d) R$ 49,80
36
e) R$ 51,50
02 Sistema Métrico Decimal
Questão 5
São consideradas unidades presentes no Sistema Internacional de unidades (S.I):
a) mm, mg, h
b) m, g , s
c) km, h, g
d) m, kg, s
e) cm, kg, h
Questão 6
Ao estudar a planta de uma construção, um engenheiro deparou-se com unidades de área dadas
em cm². Certo cômodo dessa construção apresentava área de 120 000 cm². Essa área, expressa
em m², equivale a:
a) 12 m²
b) 1200 m²
c) 346 m²
d) 0,12 m²
37
10 Produtos Notáveis
Os produtos notáveis são “formulinhas” que envolvem produtos algébricos e sempre aparecem
em exercícios envolvendo matemática. Sabê-los de cor ajuda muito em questão de agilidade na
hora de resolver algum exercício, algo que recomendo fortemente.
Caso esqueça de algum, não tem problema, é possível deduzi-los na hora de resolução, visto que
eles derivam somente de propriedades básicas de operações algébricas.
Quadrado da Soma
“O quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo”.
(𝑎 + 𝑏)² = (𝑎 + 𝑏) · (𝑎 + 𝑏) = 𝑎² + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏²
(𝑎 + 𝑏)² = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²
Quadrado da Diferença
“O quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do
segundo”.
(𝑎 − 𝑏)² = (𝑎 − 𝑏) · (𝑎 − 𝑏) = 𝑎² − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑏²
(𝑎 − 𝑏)² = 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏²
Cubo da Soma
“O cubo do primeiro mais três vezes o quadrado do primeiro pelo segundo mais três vezes o primeiro
pelo quadrado do segundo mais o cubo do segundo”.
(𝑎 + 𝑏)³ = (𝑎 + 𝑏) · (𝑎 + 𝑏)² = (𝑎 + 𝑏) · (𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²) = 𝑎³ + 2𝑎²𝑏 + 𝑎𝑏² + 𝑎²𝑏 + 2𝑎𝑏² + 𝑏³
(𝑎 + 𝑏)³ = 𝑎³ + 3𝑎²𝑏 + 3𝑎𝑏² + 𝑏³
Cubo da Diferença
“O cubo do primeiro menos três vezes o quadrado do primeiro pelo segundo mais 3 vezes o primeiro
pelo quadrado do segundo menos o cubo do segundo”.
(𝑎 − 𝑏)³ = (𝑎 − 𝑏) · (𝑎 − 𝑏)² = (𝑎 − 𝑏) · (𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏²) = 𝑎³ − 2𝑎²𝑏 + 𝑎𝑏² − 𝑎²𝑏 + 2𝑎𝑏² − 𝑏³
(𝑎 − 𝑏)³ = 𝑎³ − 3𝑎²𝑏 + 3𝑎𝑏² − 𝑏³
38
Os próximos produtos notáveis são mais difíceis de serem deduzidos na hora da resolução,
porque exigem a manipulação dos números de um modo “arbitrário”, então os priorizem no
momento de memorizar.
Diferença de Quadrados
A dedução desse é feita de modo contrário: partindo do resultado chegamos na propriedade.
(𝑎 + 𝑏) · (𝑎 − 𝑏) = 𝑎² − 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑏² = 𝑎² − 𝑏²
𝑎² − 𝑏² = (𝑎 + 𝑏) · (𝑎 − 𝑏)
Soma e Diferença de Cubos
Nesses exemplos, a própria fórmula é a dedução, visto que, assim como no exemplo anterior,
basta distribuir os termos algébricos que chegamos na fórmula final.
𝑎³ + 𝑏³ = (𝑎 + 𝑏) · (𝑎² −𝑎𝑏 + 𝑏²)
𝑎³ − 𝑏³ = (𝑎 − 𝑏) · (𝑎² + 𝑎𝑏 + 𝑏²)
Cuidado, não existe uma fórmula para a soma de quadrados como existe para a soma de cubos,
ou seja, a²+b² é igual a ele mesmo!
Procure anotar essas fórmulas em uma folha à parte e deixar à
vista sempre que for resolver algum exercício de matemática
ou física, isso ajuda na hora de decorar!
39
11 Expressões Algébricas
Expressões algébricas são expressões matemáticas que envolvem letras (variáveis) e números.
Geralmente é formada por um termo (ou coeficiente numérico) e por uma variável (ou parte
literal).
Por exemplo: 9x²y, onde 9 é o termo (ou coeficiente numérico) e x²y são as variáveis.
As expressões algébricas são classificadas como monômios e polinômios.
Os monômios são expressões que apresentam somente o produto entre seu termo pela
variável. Por exemplo:
a. 2xy: monômio onde o número 2 (termo) multiplica as variáveis xy;
b. 4x²yz: monômio onde o número 4 (termo) multiplica as variáveis x²yz;
c. x: monômio cujo coeficiente é 1 e x é a variável.
Embora o número 1 não apareça, pode-se pressupor que em
toda variável haverá a existência de um produto por 1,
levando em consideração sua neutralidade na multiplicação.
Os polinômios são expressões algébricas onde há soma e/ou subtração de dois ou mais
monômios. Por exemplo:
a. 5x + 2y + z
b. 5x² - 2y - z
c. 5x³y²z + 2x²y - 3xyz² + xyz
Operações com monômios
Soma e subtração
3xy + 3xy² + 9xy – 3x²y + 2xy²
(3 + 9)xy + (3 + 2)xy² – 3x²y
12xy + 5xy² – 3x²y
40
Multiplicação
3xy² * 4xy
(3*4)*(x*x)*(y²*y)
12*x1 + 1 * y2 + 1
12x2y3
Na multiplicação, as potências de bases iguais são
conservadas e somam-se os expoentes.
Divisão
a. 10x4 ÷ 2x = (10 ÷ 2) e (x4 ÷ x) = 5x³
b. 16x ÷ 4x = (16 ÷ 4) e (x ÷ x) = 4
Na divisão de dois monômios deve-se dividir os
coeficientes e a parte literal entre si. Atente-se ao fazer a
divisão de potências. Aplique as propriedades de
potenciação: bases iguais, conserva a base e subtrai os
expoentes.
Operações com polinômios
Soma e subtração
a. 2x² + 3y² – 5x + 3x + 2y² – 3xy
2x² + (3 + 2)y² + (-5 + 3)x -3xy
2x² + 5y² + 2x – 3xy
b. 3x³ – 2x² + 3x² – 5x³
(3 – 5)x³ + (-2 + 3)x²
-2x³ + x²
Multiplicação
(3x + 2y) . (x + 2y)
(3x . x) + (3x . 2y) + (2y . x) + (2y . 2y)
41
https://matematicabasica.net/potenciacao/
3x² + 6xy + 2xy + 2y²
Divisão com monômio
Divisão com polinômio por polinômio
Simplificação de expressões algébricas
A simplificação ocorre mantendo as variáveis (parte literal) e somando e/ou subtraindo os
termos (coeficiente).
a. 2xy + 4x²y – xy + 3x²y
Simplificando:
(2xy – xy) + (3x²y + 4x²y) = xy + 7x²y
Mantemos as variáveis e somamos e/ou subtraímos os números, assim:
(2 – 1)xy + (3 + 4)x²y
1xy + 7x²y
xy + 7x²y
b. 4ab + 5ab² + 8ab – 3ab² + 2ab – ab
Simplificando: devemos separar os termos positivos e semelhantes, assim:
(4ab + 8ab + 2ab – ab) + (- 3ab² + 5ab²)
(4 + 8 + 2 – 1)ab + (- 3 + 5)ab²
13ab + 2ab²
Agrupamos os termos com grau 2 (ab²) e com grau 1 (ab), depois separamos os coeficientes
(números) da parte literal (variáveis) para facilitar o cálculo.
42
12 Triângulos
Os triângulos são figuras
planas com três lados. Seus
ângulos internos somam
sempre 180 graus, como pode
ser visto na figura abaixo. Além
disso outras relações entre
seus ângulos também podem
ser obtidas:
Os triângulos também possuem alguns segmentos de interesse, e que são muito importantes no
estudo destas figuras, a saber:
→ Os pontos de interesse em um
triângulo são os seguintes:
● Baricentro: ponto de
encontro das três
medianas de um triângulo.
● Incentro: ponto em que as
bissetrizes do triângulo se
encontram.
● Ortocentro: ponto em que
as alturas dos lados do
triângulo se encontram.
● Circuncentro: ponto em
que as mediatrizes do triângulo se encontram.
→ Os triângulos podem ser classificados quanto às medidas de seus lados:
● Triângulo equilátero: todos os lados têm medidas iguais
● Triângulo isósceles: dois lados iguais e um diferente
● Triângulo escaleno: todos os lados diferentes
→ A área de um triângulo pode ser calculada multiplicando-se uma das alturas pela base
correspondente e dividindo-se o valor por dois:
43
→ Existe, ainda, outra maneira de se calcular a área, a partir dos ângulos e lados do triângulo.
Basta que saibamos o valor de dois lados e do ângulo entre eles:
Sempre que o exercício envolver um triângulo retângulo, é muito útil nos lembrarmos da
fórmula de Pitágoras:
Além dela, algumas outras relações métricas são muito importantes no triângulo retângulo, a
saber:
44
13 Plano Cartesiano
Abscissas e Ordenadas
O eixo x é chamado de eixo das abscissas, enquanto o eixo
y é o eixo das ordenadas. O par ordenado, como o próprio
nome diz, é formado por um par e uma ordem: um valor de
x seguido de um valor de y. Ele fica escrito entre parentes e
separado por uma vírgula: ( x , y ).
Figura 6 - Representação do plano cartesiano
Quadrantes
A principal diferença entre os quadrantes é o sinal do par
ordenado. Fique atento:
● 1º Quadrante ( + , + )
● 2º Quadrante ( - , + )
● 3º Quadrante ( - , - )
● 4º Quadrante ( + , -)
Figura 7 - Representação dos quadrantes
no plano cartesiano
Figura 8 - Quadrantes e Pontos
45
14 Sistemas de Equações
Um sistema de Equações é um conjunto de equações que possuem duas incógnitas . No ensino
médio , esses sistemas são formados apenas por equações de primeiro grau , ou seja , o maior
expoente será sempre 1.
Métodos para resolver um sistema
Adição: No método da adição busca-se juntar as equações em uma única equação, eliminando
uma das incógnitas. Para isso, é necessário que os coeficientes de uma das incógnitas sejam
opostos, como no exemplo:
Ao somá-las , o resultado é:
-6 x = -30
x = 5
Depois disto é só substituir o valor de X que se acha o Y .
Substituição: Neste método busca-se isolar uma incógnita em função da outra e depois
substituí-la na outra equação , resultando em uma equação de apenas uma variável , como no
exemplo:
Depois disto é só substituir o valor de y que se acha o X .
46
15 Sistemas Lineares
Um sistema linear é a generalização do sistema de equações para mais de duas equações com
duas incógnitas , e tem a forma:
A solução para um sistema linear é o conjunto de números reais que satisfazem todas as
equações envolvidas.
Matriz associada a um sistema linear
Todo sistema linear pode ser descrito com uma matriz onde cada elemento é um coeficiente do
sistema, como no exemplo:
O sistema pode ser descrito como a matriz:
47
Classificação dos sistemas lineares
A classificação dos sistemas lineares segue o seguinte fluxograma:
Figura 9 - Fluxograma da classificação dos sistemas lineares
Para saber como classificar o sistema , basta calcular o determinante da matriz associada ao
sistema linear, de tal sorte que:
● SPD (Sistema Possível e Determinado): se o determinante for diferente de zero;
● SPI (Sistema Possível e Indeterminado): se o determinante for zero;
● SI (Sistema Impossível): se o determinante principal for igual a zero e o determinante
secundário for diferente de zero , (calma que mais pra frente está explicado o que é
determinante secundário )
Como resolver um sistema linear
Existem duas técnicas para resolver um sistema linear , a regra de Cramer e o escalonamento,
amos serão abordados a seguir.
Escalonamento
O escalonamento é uma técnica que envolve a troca do sistema linear por outro sistema linear
de mais fácil resolução. Para isso pode-se:
1. Somar ou subtrair uma equação pela outra;
2. Multiplicar ou dividir uma equação por um número diferente de zero;
48
3. Trocar as equações de ordem no sistema.
Um sistema escalonado possui uma configuração particular em forma de escada, onde em cada
equação existem menos incógnitas do que na anterior, no exemplo dado na página 36, o seu
escalonamento ficaria assim:
Em primeiro lugar tiramos o X das segunda e da terceira equação:
49
Regra de Cramer
A regra de Cramer resolve sistema SPD partindo dos determinantes principais e secundários.
Para calcular o determinante principal,monta -se uma matriz com os coeficientes do sistema
linear:
Para calcular o determinante secundário, substitui-se o valor de uma das colunas pela coluna
formada pelos termos independentes do outro lado da igualdade, como nos exemplos:
Obtém - se o valor através da fórmula:
50
16 Figuras Planas
Triângulos
Os triângulos são os polígonos mais simples. Formados de 3 arestas, podem ser discriminados
em seis grupos (três pela forma das arestas e três pelos ângulos internos). Por arestas:
Triângulos escalenos, isósceles e equiláteros (todos as arestas de comprimentos diferentes,
duas iguais e três iguais, respectivamente). Por ângulos: Triângulos acutângulos, obtusângulos e
retângulos (todos os ângulos menores de 90º, um ângulo maior que 90º e um ângulo igual a 90º,
respectivamente) .
Por serem os mais simples, têm variadas aplicações na física e nas engenharias.
01
Área = Base x Altura/2
02
Área = Base x Altura/2
51
Quadriláteros
Os quadriláteros são polígonos com quatro arestas. Um fato relevante é que todo quadrilátero
pode ser decomposto por dois triângulos. Isso faz com que o estudo dos quadriláteros recaia no
estudo de triângulos. Dentre eles, os casos mais relevantes são aqueles que têm alguma
simetria:
01
Paralelogramo
Área = Base x Altura
02
Retângulo
Área = Base x Altura
03
Losango
Área = Diagonal maior x
diagonal menor/2
05
Quadrado
Área = Lado x Lado
06
Trapézio
Área = (Base maior + Base
menor)*Altura/2
52
Círculos
Os círculos são alvo de estudo desde os gregos, pois é um objeto por definição simétrico (ou
seja, pode-se girar para todas as direções e a forma permanece a mesma, diferente de outros
polígonos). Um círculo pode ser considerado um polígono de infinitos lados e é por isso que o
número pi é tão especial (é por isso que não se sabe precisamente o valor do número pi ).
A ideia para calcular o comprimento de uma circunferência de raio um é bem simples. Se calcula
o perímetro de um polígono regular dentro e fora da circunferência. Por exemplo, o perímetro
de um quadrado de lado 2 é 8(fora do círculo) e de um quadrado de diagonal dois é (4*2
1/2
aproximadamente 5.66). Ou seja, o perímetro de um círculo é entre 8 e 5.66. Veja que é uma boa
aproximação, pois o perímetro de um círculo de raio um é 2*pi, aproximadamente 6.28. Para
aumentar a precisão, se deve fazer o mesmo cálculo para polígonos com número de lados cada
vez maior. Se o raio é diferente de 1, o cálculo é o mesmo, de tal forma que:
Comprimento de uma circunferência é = 2π𝑅
Já para o cálculo da área é bem mais trivial. Utilizamos apenas o cálculo da área de um triângulo.
Sabendo o comprimento de uma circunferência, temos que dividir um círculo em vários anéis.
Agora, vamos cortar esses anéis e empilhá-los. Assim, se forma um triângulo retângulo de base
2*pi*R (o comprimento maior dessas cordas) e de altura R (o raio da circunferência). Assim,
como sabemos que a área de um triângulo retângulo é base*altura/2, logo, a área de um círculo
53
é:
Área = π𝑅 2
(ENEM - 2015)
Para uma alimentação saudável, recomenda-se ingerir, em relação ao total de calorias diárias,
60% de carboidratos, 10% de proteínas e 30% de gorduras. Uma nutricionista, para melhorar a
visualização dessas porcentagens, quer dispor esses dados em um polígono. Ela pode fazer isso
em um triângulo equilátero, um losango, um pentágono regular, um hexágono regular ou um
octógono regular, desde que o polígono seja dividido em regiões cujas áreas sejam
proporcionais às porcentagens mencionadas. Ela desenhou as seguintes figuras:
Entre esses polígonos, o único que satisfaz as condições necessárias para representar a ingestão
correta de diferentes tipos de alimentos é o
54
A triângulo.
B losango.
C pentágono.
D hexágono.
E octógono.
Resposta
Área1 = Base x altura
Área = 2Base x 2Altura = 4 x Área1
Área = 3Base x 3Altura = 9 x Área1
Carboidratos = 50%, logo não poderá ser este
Dividindo em 5 triângulos iguais, temos as divisões em azul.
Carboidratos = 3 triângulos => 3 / 5 = 0,6 = 60%
55
Proteínas = 0,5 triangulos = 0,5/5 = 0,1 = 10%
Gorduras = 1,5 triângulos = 1,5/5 = 0,3 = 30%
Pentágono é a RESPOSTA. Letra C
Mesma técnica de triângulos. Dividimos em 6 triângulos.
Carboidratos = 3,5 triângulos = 3,5/ 6 = 0,58
Proteínas = 0,5 triangulos = 0,5/ 6 = 0,08
Gorduras = 2 triângulos = 2/6 = 0,33
Mesma técnica de triângulos. Dividimos em 8 triângulos.
Carboidratos = 6/ 8 = 0,75
Proteinas = 0,5 / 8 = 0,0625
Gorduras = 1,5 / 8 = 0,1875
Figuras
56
Figura 1, elementos da potenciação, disponível em:
<https://professorvalentim.wordpress.com/2017/03/17/introducao-a-potenciacao/>. Acesso
em 25 de outubro de 2020.
Figura 2, elementos da radiciação, disponível em:
<https://www.bemsimplesexatas.com.br/radiciacao-com-numeros-naturais/>. Acesso em 25 de
outubro de 2020.
Figura 3, método da fatoração para encontrar o MMC de 12 e 45, disponível em:
<https://www.todamateria.com.br/mmc-minimo-multiplo-comum/>. Acesso em 25 de Outubro
de 2020.
Figura 4, resolução do MMC com frações, disponível em:
<https://www.todamateria.com.br/mmc-minimo-multiplo-comum/>. Acesso em 25 de Outubro
de 2020.
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Figura 7, representação dos quadrantes no plano cartesiano, disponível em:
<https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/plano-cartesiano.htm#:~:text=O%20plano%2
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Figura 8, quadrantes e pontos, disponível em:
<https://www.infoescola.com/matematica/plano-cartesiano/>. Acesso em 20 de outubro de
2020.
Figura 9, fluxograma da classificação dos sistemas lineares, disponível em:
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de outubro de 2020.
57
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60
Matemática e suas Tecnologias
Gabarito
Matemática Básica
Aula 01 - Operações Matemáticas I
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Formulário de Dúvidas e Redação
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01 Operações Básicas I
Questão 1
(ResistEnem 2020) Resolva as somas:
a) 1 + 3 = 4
b) 10 + 30 = 40
c) 15 + 27 = 42
d) 132 + 178 = 310
Questão 2
(ResistEnem 2020) Resolva as subtrações:
a) 3 - 1 = 2
b) 30 - 10 = 20
c) 27 -15 = 12
7 - 5 = 2
2-1 = 1
d) 170 - 132 = 38
0 - 2 -> 10 - 2 = 8 (-1 na próxima casa)
7 - 3 -1 = 3
1 - 1 = 0
2
Questão 3
(ResistEnem 2020) Resolva as multiplicações:
a) 3 x 7= 21
b) 30 x 70 = 2 100
c) 27 x 15 = 405
5 x 7 =35 (+3 na próxima casa)
5 x 2 + 3 = 10 +3 = 13
5x 27 = 135
27 x 10 = 270 (sem se esquecer do 0 no final)
27x15 = 270+135 = 405
d) 40 x -12= -480
40 x 2 = 80
40 x 10 = 400
40 x 12 = 80 + 400 = 480
40 x (-12) = - 480
e) 178 x 132 = 23496
8 x 2 = 16 (+1 na próxima casa)
7 x 2 +1 = 14 +1 = 15 (+1 na próxima casa)
1 x 2 +1 = 3
178 x 2 = 356
8x3 = 24 (+2 na próxima casa)
7 x 3 +2 = 21 +2 = 23 (+2 na próxima casa)
1 x 3 +2 = 3+2 =5
178 x 30 = 5340 (zero indicando 2a casa)
178 x 1 =178
178 x 100 =17800 (dois zero indicando 3a casa)
3
178 x 132 = 356 + 5340 + 17800 = 23496
Questão 4
(ResistEnem 2020) Resolva as divisões, caso precise deixe indicado o resultado e o resto:
a) 35 ÷ -7 = -5
b) 30 ÷ 7 = 4 com resto 2
7x4 = 28
30 - 28 = 2
c) 235 ÷ 5 = 47s
23 ÷ 5 = 4 com resto 3
Juntamos o resto 3 com o 5 de 235 → 35
35 ÷ 5= 7
d) 186÷14= 13 com resto 4
18 ÷14 = 1 com resto 4
Juntamos o resto 4 com o 6 de 186 → 46
46 ÷14
3 x 14 = 42
46 - 42 = 4
46÷14 = 3 com resto 4
186÷14 =13 com resto 4
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02 Interpretação de Problemas Matemáticos
Envolvendo as Operações Básicas
Questão 1
(OBMEP 2019 A) Carla viajou na terça-feira e voltou 3 dias depois, na sexta-feira. Joana viajou
no sábado e voltou 9 dias depois. Em que dia da semana Joana voltou?
A) Domingo.
B) Segunda-feira.
C) Terça-feira.
D) Quarta-feira.
E) Quinta-feira.
Resolução: Resposta B
Carla viajou e voltou três dias depois
❖ Terça feira: Carla viajou
➢ +1 dia, quarta feira
➢ +2 dias, quinta feira
➢ +3 dias, sexta feira: Carla voltou.
Joana saiu no sábado e voltou 9 dias depois:
❖ Sábado: Joana viajou
➢ +1 dia, domingo
➢ +2 dias, segunda
➢ +3 dias, terça feira
➢ +4 dias, quarta feira
➢ +5 dias, quinta feira
➢ +6 dias, sexta feira
➢ +7 dias, sábado
➢ +8 dias, domingo
➢ +9 dias, segunda: Joana voltou de viagem
Você também pode pensar que a semana tem 7 dias. Logo, se Joana viajou no sábado, em 7 dias
será sábado novamente. Como 9-7 = 2, temos que contar apenas dois dias para saber o dia da
semana em que ela irá voltar: sábado, domingo e segunda. Finalmente, Joana voltou em uma
segunda-feira.
5
Questão 2
(OBMEP 2019 A) A mãe de Vera está preparando sanduíches para um passeio, iguais ao da
figura. Um pacote de pão de forma tem 24 fatias. Quantos sanduíches ela pode preparar com
dois pacotes e meio de pão?
A) 24
B) 26
C) 30
D) 34
E) 48
Resolução: Resposta C
Primeiro, vamos calcular quantas fatias temos em dois pacotes e meio de pão:
● Um pacote de pão tem 24 fatias● Dois pacotes de pão tem 2 x 24 = 48 fatias
● Meio pacote tem 24/2 = 12 fatias
● Dois pacotes e meio tem 48 + 12 = 60 fatias
Cada sanduíche usa dois pães, logo o número de sanduíches é equivalente a metade do número
de fatias.
2 fatias --- 1 sanduíche
4 fatias --- 2 sanduíches
6 fatias --- 3 sanduíches
60 fatias --- 60/2 = 30 sanduíches
Questão 3
(OBMEP 2019 1 - modificada). Dois livros estão em uma prateleira. O Volume I
está na posição correta, mas o Volume II está de cabeça para baixo. Cada capa
tem espessura de 1 centímetro, e cada livro, sem as capas, tem espessura de 5
centímetros. Nessa disposição, qual é a distância entre a última página do
Volume I e a última página do Volume II?
A) 2 cm
B) 5 cm
C) 8 cm
D) 12 cm
E) 14 cm
Resolução: Resposta A
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A distância entre a última página dos dois volumes é apenas a soma de cada espessura das
capas. Como o segundo livro está virado de ponta cabeça, a última página dele estará junto à
última do primeiro volume, como mostra na figura.
Distância = capa + capa = 1+ 1 = 2 cm.
Questão 4
(Enem 2009) Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem
por até oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária
custaria R$ 150,00 preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria aplicada
uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$ 20,00. Nos
dois dias restantes, seria mantido o preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para a
promoção idealizada é apresentado no gráfico a seguir, no qual o valor da diária é função do
tempo medido em número de dias.
De acordo com os dados e com o modelo,
comparando o preço que um casal pagaria pela
hospedagem por sete dias fora da promoção, um
casal que adquirir o pacote promocional por oito
dias fará uma economia de:
A) R$ 90,00.
B) R$ 110,00.
C) R$ 130,00.
7
D) R$ 150,00.
E) R$ 170,00.
Resolução: Resposta A
Observe que para sabermos o valor da hospedagem por sete dias fora de promoção devemos
multiplicar o valor da diária por sete:
R$ 150,00 x 7 = R$ 1050, 00
O preço da promoção é a redução de R$ 20,00 a partir de três dias, logo, utilizamos a subtração:
Dia 1, 2 e 3: R$ 150,00
Dia 4: R$ 150,00 – R$ 20,00 = R$ 130,00
Dia 5: R$ 130,00 – R$ 20,00 = R$ 110,00
Dia 6: R$ 110,00 – R$ 20,00 = R$ 90,00
Dia 7 e 8: R$ 90,00
Para saber o valor que iriam gastar na promoção precisamos somar os valores, logo, utilizamos a
adição, e como alguns valores se repetem, podemos multiplicá-los:
Valor= (3 x R$ 150,00) + R$ 130,00 + R$ 110,00 + (3 x R$ 90,00)
Valor= R$ 450,00 + R$ 240,00 + R$ 270,00
Valor= R$ 960,00
Para saber quanto eles irão economizar na promoção precisamos subtrair os valores
encontrados:
Economia = R$ 1050,00 – R$ 960,00 = R$ 90,00.
Questão 5 - Desafio
(OBMEP 2019 2) A cidade de Quixajuba tem 3 000 habitantes. O número de habitantes que
não possuem celulares é o mesmo dos que possuem dois celulares cada um, e todos os outros
possuem um celular cada um. Quantos celulares os habitantes de Quixajuba possuem no total?
A) 1 500
B) 2 250
C) 3 000
D) 4 500
E) 6 000
Resolução: Resposta C
Seja
A - número dos que possuem 0
B - número dos que possuem 1
8
C - número dos que possuem 2
O número de celulares é duas vezes o número de habitantes que tem 2 celulares adicionados ao
número de habitantes que tem 1 celular: 2 B + C
Sabemos que:
● A soma dos habitantes que possuem 0, 1 ou 2 celulares tem que dar os 3000 habitantes.
○ A = B
● O número dos que possuem 0 é o mesmo dos que possuem 2.
○ A + B + C = 3000
Substituindo A = B em A + B + C = 3000
B+ B + C = 3000
2 B + C = 3000 que é o número de celulares!!
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Matemática e suas Tecnologias
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Aula 02 - Operações Matemáticas II
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01 Operações Básicas
Questão 1
(ResistEnem 2020) Resolva:
a) -1 - 3 = -4
b) 10 - 30 = -20
c) 15 - 27 = -12
obs. sabemos que 27 - 15 = 12, então 15 - 27 é o mesmo número 12 com sinal negativo.
d) -132 + 178 = 178 - 132 = 46
Questão 2
(ResistEnem 2020) Resolva as multiplicações:
a) 3 x 7= 21
b) 3 x (-7) = -21
c) (-3)x(-7) = 21
d) 30 x (-70) = -2 100
e) (-27) x 15 = - 405 , como temos um número negativo e outro positivo, o resultado é
negativo
5 x 7 =35 (+3 na próxima casa)
5 x 2 + 3 = 10 +3 = 13
5x 27 = 135
27 x 10 = 270 (sem se esquecer do 0 no final)
27x15 = 270+135 = 405
f) (-40) x (- 12) = 480
como temos dois números negativos o resultado é positivo
40 x 2 = 80
40 x 10 = 400
40 x 12 = 80 + 400 = 480
40 x (-12) = - 480
g) (-2) x (-3) x (-4)
Vamos fazer primeiro (-2) x (-3) = 6
Depois substituímos esse resultado na expressão e temos (-2) x (-3) x (-4) = 6 x (-4) = -24
2
Questão 4
(ResistEnem 2020) Resolva as divisões, caso precise deixe indicado o resultado e o resto:
a) 35 ÷(- 7) = - 5
b) (-28) ÷ 7 = - 4
c) (-35)÷ (-5) = 7
Questão 5
(ResistEnem 2020) Resolva as potências:
a) 32 = 3 × 3 = 9
b) 33 = 3 × 3 × 3 = 27
c) 32 × 33 = 32+3 = 35 = 243
d) 3
8
35
= 38−5 = 33 = 27
Questão 6
(ResistEnem 2020) Resolva as raízes:
e) = 22 x 32 = 636
Fatoração de 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 32
f) 12 = 2 3
Fatoração de 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3
g) 1
5
 = 1
5
× 5
5
= 55 
Questão 7
(ResistEnem 2020) Resolva as expressões numéricas:
a) 2 × 3 + [5 − {(4 ÷ 2)2 − 1}]
1o resolvemos o parênteses (4 ÷ 2)2 = 22 = 4
2 × 3 + [5 − {4 − 1}]
2o resolvemos as chaves {4 − 1} = 3
2 × 3 + [5 − 3]
3o resolvemos os colchetes[5 − 3] = 2
2 × 3 + 2 = 6 + 2 = 8
3
a) Resolvemos o parênteses[{(3 + 2)2 − (3 − 2)2} + 5] × 2
Resolvemos as potências[{52 − 12} + 5] × 2
Resolvemos as chaves[{25 − 1} + 5] × 2
Resolvemos os colchetes[24 + 5] × 2
29 × 2 = 58
Questão 8
(OBMEP 2019 2) Qual das expressões abaixo tem o menor valor?
A) 2× 0 −1+ 9 = 0 - 1+9 = 8
B) 2 − 0 ×1+ 9 = 2 - 0 + 9 = 11
C) 2 − 0 +1× 9 = 2 -0 + 9 = 11
D) 2 + 0 ×1− 9 = 2 + 0 - 9 = -7
E) 2× 0 +1− 9 = 0 + 1 - 9 = -8
Resolução: Resposta a
Note que resolvemos primeiro a multiplicação, depois a soma e subtração. O resultado menor é
o mais negativo -8.
4
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Aula 4 - Matemática Básica | Equipe de Matemática
Números Decimais e Operações
Sistema Métrico Decimal
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01 Números Decimais e Operações
Questão 1
Qual é o resultado da expressão numérica abaixo?
41,32 + 56,4 – 81,932 + 5
a) 102,72
b) 20,8
c) 20,7
d) 20
e) 20, 788
Resolução
Começaremos pelas somas. Colocando vírgula debaixo de vírgula e completando os espaços
vazios possíveis com zero, teremos:
41,320
56,400
+ 5,000
102,720
Agora basta subtrair 81,932 desse resultado, seguindo o mesmo princípio de vírgula debaixo de
vírgula:
102,720
– 81,932
20,788
Alternativa e.
Questão 2
Qual é a área de um retângulo cuja largura mede 23,32 m e o comprimento mede 52,25 m?
a) 1217,99 m2
b) 1218,47 m2
c) 1219,01 m2
d) 1567,5 m2
e) 1045,0 m2
2
Resolução
A área do retângulo é o produto de sua base pela sua altura, o que também pode ser
interpretado como produto da largura pelo comprimento. Observe:
52,25
x 23,32
10450
15675
15675
+ 10450
1218,4700
Alternativa b.
Questão 3
Uma empresa utiliza um índice de massa corporal inventado por ela própria, no qual divide por
dois a soma entre altura e peso dos funcionários. Qual é o índice de massa corporal de Rhuan,
sabendo que sua altura é 1,78 m e seu peso é 72,3 kg?
a) 74,08
b) 31,15
c) 37,04
d) 37,4
e) 37
Resolução
Basta somar altura e peso e dividir o resultado por 2. Observe:
a) 1,78 + 72,30 = 74,08, pois:
72,30
+ 1,78
74,08
b) 74,08/2 = 37,04, pois:
3
74,08 |2.00
- 60,0 37,04
14,08
-14,00
800
-800
0
Logo, o índice de massa corporal de Rhuan, conforme os métodos da empresa, é de 37,04.
Alternativa c.
Questão 4
Em um feirão, Juarez aproveitou as promoções e comprou sete agendas, quecustaram R$ 1,32;
4 canetas, que custaram R$ 0,26; e 45 lapiseiras a R$ 1,22. Qual é o troco de Juarez, sabendo
que ele levou apenas uma nota de R$ 100,00?
a) R$ 34,82
b) R$ 65,18
c) R$ 83,62
d) R$ 49,80
e) R$ 51,50
Resolução
Em primeiro lugar, montaremos a expressão numérica que indicará o troco (T) de Juarez:
T = 100,00 – (7 · 1,32 + 4 · 0,26 + 45 · 1,22)
Resolvemos cada multiplicação separadamente e, depois, substituímos na expressão acima:
1) 7 · 1,32:
1,32
x 7
9,24
2) 4 · 0,26:
0,26
x 4
1,04
4
3) 45 · 1,22:
1,22
x 45
610
+ 488
54,90
A expressão definida por T, que representa o troco, pode ser reescrita da seguinte maneira:
T = 100,00 – (9,24 + 1,04 + 54,90)
Para terminar o exercício, somamos os valores positivos e subtraímos de R$ 100,00. Observe:
54,90
9,24
+ 1,04
65,18
100,00
– 65,18
34,82
Alternativa a.
5
02 Sistema Métrico Decimal
Questão 5
São consideradas unidades presentes no Sistema Internacional de unidades (S.I):
a) mm, mg, h
b) m, g , s
c) km, h, g
d) m, kg, s
e) cm, kg, h
Resolução
O sistema internacional de unidades (SI) emprega algumas unidades como referência para
diversas grandezas físicas essenciais. Para tanto, o SI estabelece que a unidade fundamental de
comprimento é o metro (m), a unidade fundamental de massa é quilograma (kg) e a unidade
fundamental de tempo é o segundo (s). Alternativa d.
Questão 6
Ao estudar a planta de uma construção, um engenheiro se deparou com unidades de área dadas
em cm². Certo cômodo dessa construção apresentava área de 120 000 cm². Essa área, expressa
em m², equivale a:
a) 12 m²
b) 1200 m²
c) 346 m²
d) 0,12 m²
Resolução
Nesta questão queremos converter cm² em m², logo o expoente é 2.
1 cm = 0,01 m
(1 cm)² = (0,01 m)²
Fazendo a distributiva do expoente nas unidades e nos números
1² cm² = 0,01² m²
6
Calculando os quadrados → 1 cm² = 0,0001 m²
Agora, vamos calcular a área usando regra de três:
1 cm² --------------------- 0,0001 m²
120 000 cm² ------------ x
1x = 120 000 * 0,0001
1x = 12
x = 12/1
x = 12
Alternativa a.
7
8