POISSON

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O Processo de Poisson
Siméon Denis Poisson nasceu em Pithiviers, França, a 21 de Junho de 1781. Entrou na École 
Polytechnique em Paris em 1798, como primeiro colocado de sua turma, atraindo 
imediatamente a atenção dos professores da escola, deixando-o livre para escolher o que 
estudar. Teve como professores Laplace (1749 – 1827), Lagrange (1736 – 1813) e Fourier 
(1768 – 1830), tornando-se muito amigo destes.
Em 1800, menos de dois anos depois 
de seu ingresso, publicou duas memórias, uma sobre o método da eliminação de Étienne 
Bézout, e a outra sobre o número de integrais de uma equação em diferenças finitas. Esta 
última foi examinada por Sylvestre François Lacroix e Adrien-Marie Legendre, que 
recomendaram sua publicação no Recueil des savants étrangers, uma honra sem 
precedentes para um jovem de dezoito anos.
Seu pai foi um administrador público e queria que ele fosse médico, mas Poisson não tinha 
vocação para a medicina. Em 1802 começou a ensinar matemática na escola onde se formou 
e em 1809 foi nomeado professor de matemática pura na faculdade de ciências.
Poisson publicou trabalhos que ajudaram a fazer da eletricidade e do magnetismo um ramo 
da física matemática. Efetuou, também, importantes estudos na área da mecânica, da 
astronomia, da geometria diferencial e da teoria das probabilidades.
Na teoria das probabilidades deu a sua grande contribuição, descobrindo uma forma 
limitada da distribuição binomial, a qual mais tarde, em 1810, obteve o seu nome: a 
distribuição de Poisson. É considerada uma das mais importantes distribuições de 
Probabilidades. Esta distribuição descreve a probabilidade como um acontecimento casual, 
ocorrido num espaço ou intervalo de tempo sob as circunstâncias de a probabilidade de um 
acontecimento ocorrer ser muito pequena, mas o número de tentativas é muito grande, 
então o atual acontecimento ocorre algumas vezes.
Publicou cerca de quatrocentos trabalhos entre os quais em 1837 a obraRecherches sur la 
probabilite des jugements. Foi nomeado membro da Academia Francesa e obteve o título de 
Barão em 1825.
Poisson morreu a 25 de Abril de 1840, em Sceaux, França.
O Processo de Poisson
Muitos fenômenos podem ser vistos como uma grande quantidade de “acontecimentos” 
separados e distintos ocorrendo em relação a um “espaço de acontecimentos” contínuos. Se 
o “espaço de acontecimentos” fosse o tempo, os acontecimentos poderiam ser qualquer 
coisa, como desintegração de átomos individuais de urânio ou mesmo suicídios no metrô de 
São Paulo. Por outro lado, o “espaço” contínuo pode ser o volume de um suprimento de 
água do reservatório de uma cidade e os “acontecimentos” ou “eventos” podem ser a 
existência de bactérias coliformes dentro deste volume de água.
Um fenômeno como qualquer dos descritos acima é chamado de Processo de Poisson, desde 
que as seguintes condições sejam cumpridas:
1) Se a variável t representa o espaço contínuo, então a probabilidade de um evento em um 
intervalo pequeno Δt de t é proporcional a Δt;
2) A probabilidade de dois ou mais eventos em um mesmo intervalo pequeno Δt de t é 
desprezível;
3) Se Δt1 e Δt2 forem dois intervalos pequenos de t não-superpostos, então a ocorrência ou 
a não-ocorrência de um evento em Δt1 não exercerão influência sobre a ocorrência ou 
não-ocorrência de um evento em Δt2.
Sob tais condições, a probabilidade de ocorrerem k eventos em t unidades do espaço 
contínuo é dada pela fórmula de Poisson:
onde a constante λ é a média contínua do número de acontecimentos pode unidade do 
espaço.
Exemplo 1: Sabe-se que existem bactérias coliformes no reservatório de suprimento de 
água de uma cidade a uma taxa média de λ = 2 bactéria por centímetro cúbico de água. 
Considere que a presença da bactéria coliforme em uma amostra desta água é um Processo 
de Poisson, isto é, um acontecimento é a ocorrência de uma única bactéria e o espaço 
contínuo é o volume de água envolvido. Se uma amostra de 9 centímetro cúbicos de água é 
retirado do reservatório, qual é a probabilidade de a amostra conter exatamente 20 
bactérias coliformes?
Temos aqui t =9 cm3, λ = 2 bactérias por cm3 em média e k = 20 bactérias. Logo, pela 
fórmula de Poisson:
Exemplo 2: Em um certo livro de cálculo existem 4.000 exercícios propostos. As respostas 
para todos esses exercícios estão no fim do livro. Entretanto, 1% das respostas dadas são 
incorretas. A aluna Sofia faz 10 exercícios e então compara suas respostas com aquelas 
dadas no fim do livro. Qual a probabilidade de que todas as 10 respostas do fim do livro 
estejam corretas?
Apesar do espaço (isto é, as respostas no fim do livro) não ser realmente contínuo, existirão 
tantas respostas (4.000 delas) que poderemos seguramente desprezar esta 
descontinuidade e usar a fórmula de Poisson. Aqui, um evento é uma resposta errada. Como 
1% das 4.000 respostas estão erradas, existem 40 respostas incorretas e desta forma, λ = 
40/4.000 = 0,01 erro por resposta. Para t = 10 respostas e k = 0 erros, a pela fórmula de 
Poisson temos:
Desta forma existe 90% de probabilidade de nenhum erro nas 10 respostas.
Suponha que tenha mos um processo de Poisson cujo espaço seja o tempo, de modo que 
em qualquer intervalo curto de tempo Δt podemos ou não observar um acontecimento; 
Seja λ o número médio contínuo de acontecimentos por unidade de intervalo de tempo. 
Pela fórmula de Poisson, a probabilidade de ocorrerem k acontecimentos em um intervalo 
de tempo t é dada por:
Comecemos a observar esse processo de Poisson e registrar o tempo passado T até o 
primeiro acontecimento. Denotemos a probabilidade de que o tempo de espera T até o 
primeiro acontecimento exceda t como:
Então, se tomarmos um exemplo, se P{T > 2} = 0,57, onde o tempo é medido em horas, em 
aproximadamente 57% dos casos, poderemos esperar pelo menos 2 horas antes que ocorra 
o primeiro evento. Analogamente, denotaremos por P {T ≤ t} a probabilidade de que o 
tempo de espera T não exceda t. Vejam que se P{T > 2} = 0,57, então P{T ≤ 2} = 0,43. 
Generalizando:
Dizer que o tempo de espera T até que ocorra o primeiro acontecimento excede t é 
equivalente a dizer que existem exatamente zero acontecimentos no intervalo de tempo t. 
Portanto, utilizando-se a fórmula de Poisson com k = 0, temos:
e
onde λ é o número médio de acontecimentos por unidade de tempo.
Exemplo 3: As falhas que ocorrem em um certo tipo de motor de jatos obedecem 
aproximadamente a um processo de Poisson tendo em média uma falha a cada 1000 horas 
de operação. Qual é a probabilidade de um desses motores funcionar 1500 horas sem uma 
falha?
Temos que λ = 1/1000 falhas por hora. Logo:
Exemplo 4: Sabe-se que erros de impressão ocorrem em um certo livro decido pelo 
Governo a uma taxa média de um por cada 100 páginas. Qual é a probabilidade de que o 
primeiro erro ocorra antes da página 76?
Neste caso, λ = 1/100 erros de impressão por página, logo:
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