problemas_por_assunto-24-entropia_e_segunda_lei_da_termodinamica

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
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Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4
a
 Ed. - LTC - 1996. Cap. 22 – Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica 
1 
 
 
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE 
JANEIRO, 1996. 
 
 
FÍSICA 2 
 
 
CAPÍTULO 22 - ENTROPIA E A SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA 
 
04. Um mol de gás ideal monoatômico passa pelo ciclo mostrado na Fig. 22-18. O processo bc é 
uma expansão adiabática; pb = 10,0 atm, Vb = 1,00 10
3
 m
3
, e Vc = 8,00 Vb. Calcule: (a) O 
calor adicionado ao gás; (b) O calor cedido pelo gás; (c) O trabalho realizado pelo gás; e (d) A 
eficiência do ciclo. 
 
 (Pág. 257) 
Solução. 
(a) Como bc é adiabática, nenhum calor pode ser trocado nessa etapa. Portanto, as outras duas 
etapas serão utilizadas uma para a entrada (QQ) e outra para a saída (QF) de calor do sistema. O 
calor é adicionado ao gás na etapa ab, pois o sistema aumenta de temperatura sem que nenhum 
trabalho ocorra. Logo: 
 
int, 0ab ab ab ab V abE Q W Q nC T
 (1) 
O produto n Tab pode ser obtido a partir da equação de estado do gás ideal: 
 
pV nRT
 
Para uma transformação que ocorre a volume constante, temos: 
 
ab b abp V nR T
 
 
b ab
ab
V p
n T
R
 (2) 
Substituindo-se (2) em (1): 
 
3 3
2 2
b b ab ab
ab V b b a
V p pV p
Q C R V p p
R R
 (3) 
Agora precisamos calcular pa: 
 
a a b b
a b
p V p V
T T
 
 
b a
a
b
p T
p
T
 (4) 
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2 
O cálculo de pa requer o cálculo de Ta e Tb, ou pelo menos da razão Ta/Tb. O valor de Tb pode ser 
calculado de imediato: 
 
b b bp V nRT
 
 
b b
b
p V
T
nR
 (5) 
Tb pode ser obtido por comparação entre os estados a e c: 
 
a a c c
a c
p V p V
T T
 
Na equação acima, pa = pc, Va = Vb e Vc = 8 Vb. Logo: 
 
8b b
a c
V V
T T
 
 
8
c
a
T
T
 (6) 
Como Ta depende de Tc, precisamos calcular Tc. Para isso, vamos usar a etapa adiabática: 
 
1 1
b b c cTV TV
 
Vamos substituir na expressão acima o valor de Tb dado pela Eq. (5) e Vc = 8 Vb: 
 
1 1 18b b b c b
p V
V T V
nR
 
 
18
b b
c
p V
T
nR
 (7) 
Substituindo-se (7) em (6): 
 
1
1
8 8 8
b b b b
a
p V p V
T
nR nR
 (8) 
Substituindo-se (5) e (8) em (4): 
 8
8
b b
b
b
a
b b
p V
p
pnR
p
p V
nR
 (9) 
Substituindo-se (9) em (3): 
 
3 3 1
1
2 8 2 8
b
ab b b b b
p
Q V p p V
 
Lembrando que, para um gás ideal monoatômico, = CP/CV = 5/3, teremos: 
 5 3 3
5
3
3 Pa 1
10,0 atm 1,01 10 1,00 10 m 1 1.467,6562 J
2 atm
8
abQ
 
 
1,47 kJabQ
 
(b) O calor é retirado do gás na etapa ca, que ocorre à pressão constante Logo: 
 
5 5 5 5
2 2 2 2
ca p ca ca ca a ca a a cQ nC T n R T nR T p V p V V
 
Substituindo-se (9) e Va = Vb e Vc = 8 Vb na expressão acima, teremos: 
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3 
 
5 5 35
8 7
2 8 2.8 2.8
b
ca b b b b b b
p
Q V V p V p V
 
 
5 3 3
5
3
35 Pa
10,0 atm 1,01 10 1,00 10 m 552,3437 J
atm
2.8
caQ
 
 
552 JcaQ
 
(c) Em qualquer máquina térmica, temos: 
 
Q FQ Q W
 
 
1.467,6562 J 552,3437 J 915,3125 JQ F ab caW Q Q Q Q
 
 
915 JW
 
(d) A eficiência desta máquina térmica vale: 
 
915,3125 J
0,6236
1.467,6562 J
Q
W
e
Q
 
 
0,624e
 
 
05. Um mol de gás ideal monoatômico, inicialmente ocupando um volume de 10 L e à temperatura 
de 300 K, é aquecido a volume constante até a temperatura de 600 K, expande isotermicamente 
até atingir a pressão inicial e finalmente é comprimido isobaricamente (à pressão constante), 
retornando ao volume, pressão e temperatura originais. (a) Calcule o calor absorvido pelo 
sistema durante um ciclo; (b) Qual o trabalho realizado pelo gás durante um ciclo? (c) Qual a 
eficiência deste ciclo? 
 (Pág. 257) 
Solução. 
O processo descrito no enunciado é mostrado no gráfico abaixo: 
 
Inicialmente vamos calcular os calores Q1, Q2 e Q3, envolvidos em cada passo do processo. No 
passo 1 (isocórico), temos: 
 
int,1 1 1 1 1 00 V VE Q W Q nC T nC T T
 
 
1
3
1 mol 8,314 J/K.mol 600 K 300 K 3.741,3 J
2
Q
 
No passo 2 (isotérmico), temos: 
 
int,2 2 2 0E Q W
 
 
2 2
0
ln
V
Q W nRT
V
 (1) 
p
p0
VVV0
p
1 2
3a
b
c
T0
T
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O volume V pode ser calculado por meio da comparação entre os estados a e c: 
 
a a c c
a c
p V p V
T T
 
 
0
0
V V
T T
 
 
0
0
V T
V
T
 (2) 
Substituindo-se (2) em (1): 
 
0
0
2
0 0
ln ln
V T
T T
Q nRT nRT
V T
 
 
2
600 K
1 mol 8,314 J/K.mol 600 K ln 3.457,7 J
300 K
Q
 
No passo 3 (isobárico), temos: 
 
int,3 3 3E Q W
 
 
3 int,3 3Q E W
 
Mas: 
 
int,3 3 0 1 3.741,3 JV VE nC T nC T T Q
 
 
3 0 3 3 0W p V nR T nR T T
 
 
3 1 mol 8,314 J/K.mol 300 K 600 K 2.494,2 JW
 
Logo: 
 
3 3.741,3 J 2.494,2 J 6.235,5 JQ
 
(a) O calor absorvido no ciclo corresponde à soma dos calores com sinal + em cada etapa: 
 
1 2 3.741,3 J 3.457,7 J 7.199 JQQ Q Q
 
 
7.200 JQQ
 
(b) O trabalho executado pelo gás total é a soma dos trabalhos em cada etapa: 
 
1 2 3 0 3.457,7 J 2.494,2 J 963,5 JW W W W
 
 
960 JW
 
(c) A eficiência do ciclo vale: 
 
963,5 J
0,1338
7.199 J
Q
W
e
Q
 
 
0,13e
 
 
07. Para fazer gelo, um freezer extrai 42 kcal de calor de um reservatório a 12
o
C em cada ciclo. O 
coeficiente de performance do freezer é 5,7. A temperatura do ambiente é 26
o
C. (a) Quanto 
calor, por ciclo, é rejeitado para o ambiente? (b) Qual a quantidade de trabalho por ciclo 
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necessária para manter o freezer em funcionamento? 
 (Pág. 257) 
Solução. 
(a) O calor rejeitado para o ambiente (QQ) é obtido a partir do coeficiente de performance do 
refrigerador (K): 
 
F F
Q F
Q Q
K
W Q Q
 (1) 
Na expressão acima, QF é o calor extraído da fonte fria. Resolvendo-se para QQ, teremos: 
 
42 kcal
42 kcal 49,3684 kcal
5,7
F
Q F
Q
Q Q
K
 
 
49 kcalQQ
 
(b) O trabalho requerido para operar o refrigerador (W), é obtido a partir de (1):42 kcal
7,3684 kcal
5,7
FQ
W
K
 
 
7,4 kcalW
 
 
10. Num ciclo de Carnot, a expansão isotérmica de um gás ideal acontece a 400 K e a compressão 
isotérmica a 300 K. Durante a expansão, 500 cal de calor são transferidas pelo gás. Calcule (a) o 
trabalho realizado pelo gás durante a expansão isotérmica; (b) o calor rejeitado pelo gás durante 
a compressão isotérmica e (c) o trabalho realizado pelo gás durante a compressão isotérmica. 
 (Pág. 258) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação: 
 
(a) A expansão isotérmica corresponde à etapa 1 do ciclo. Nessa etapa, a variação de energia interna 
do sistema é zero. Logo: 
 
int,1 1 1 0E Q W
 
 
1 1W Q
 
O problema forneceu o calor transferido durante a expansão do sistema, que corresponde às etapas 1 
e 2. Mas a etapa 2 é adiabática, o que implica em Q2 = 0. Logo: 
 
1 500 calW
 
(b) Num ciclo de Carnot, temos: 
 
Q Q
F F
Q T
Q T
 
p
V
T3
T1
1
2
3
4
Q1
Q3
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O que no presente problema corresponde a: 
 
1 1
3 3
Q T
Q T
 
 
1 3
3
1
500 cal 300 K
375 cal
400 K
Q T
Q
T
 
 
3 375 calQ
 
(c) A etapa 3 também é isotérmica, logo: 
 
int,3 3 3 0E Q W
 
 
3 3W Q
 
 
3 375 calW
 
 
12. Uma máquina de Carnot tem uma eficiência de 22%. Ela opera entre reservatórios térmicos 
cujas temperaturas diferem por 75
o
C. Quais são as temperaturas dos reservatórios? 
 (Pág. 258) 
Solução. 
As temperaturas dos reservatórios quente (TQ) e frio (TF) são obtidas por meio da eficiência da 
máquina de Carnot (eCar): 
 
Car
Q F
Q
T T
e
T
 
 
Car
75 K
340,9090 K
0,22
Q F
Q
T T
T
e
 
 
340 KQT
 
Logo: 
 
Car 340,9090 K 0,22 340,9090 K 265,9090 KF Q FT T e T
 
 
270 KFT
 
 
17. (a) Uma máquina de Carnot opera entre uma fonte quente a 320 K e uma fria a 260 K. Se ela 
absorve 500 J de calor por ciclo na fonte quente, quanto trabalho por ciclo realiza? (b) Se a 
mesma máquina, trabalhando em sentido contrário, funciona como um refrigerador entre as 
mesmas fontes térmicas, quanto trabalho por ciclo deve ser fornecido para remover 1.000 J de 
calor da fonte fria? 
 (Pág. 258) 
Solução. 
(a) O trabalho W pode ser obtido por manipulação da eficiência (eCar) da máquina de Carnot: 
 
Car
Q F
Q Q
T T W
e
T Q
 
 320 K 260 K 500 J
93,75 J
320 K
Q F Q
Q
T T Q
W
T
 
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7 
 
94 JW
 
(b) No caso do refrigerador de Carnot, podemos resolver de forma semelhante, só que usando o 
coeficiente de performance de Carnot (KCar): 
 
Car
FF
Q F
QT
K
T T W
 
 320 K 260 K 1.000 J
230,7692 J
320 K
Q F F
F
T T Q
W
T
 
 
230 JW
 
 
20. Uma bomba térmica é usada para aquecer um edifício. Do lado de fora a temperatura é 5
o
C e 
dentro do edifício deve ser mantida a 22
o
C. O coeficiente de performance é 3,8 e a bomba injeta 
1,8 Mcal de calor no edifício por hora. A que taxa devemos realizar trabalho para manter a 
bomba operando? 
 (Pág. 258) 
Solução. 
Uma bomba térmica pode ser imaginada como um ar condicionado (refrigerador) que é instalado na 
parede de uma sala de tal forma a esquentar o seu interior, ao invés de resfriá-la. Portanto, uma 
bomba térmica não passa de um refrigerador instalado ao contrário, em que o ambiente frio é a 
atmosfera que, como se pode imaginar, nunca será resfriada. Veja o esquema abaixo: 
 
A taxa de realização de trabalho corresponde à potência (P) que deve ser fornecida à bomba. 
 
W
P
t
 
O esquema acima permite dizer que: 
 
Q FQ Q W
 
Dividindo-se a expressão acima pelo intervalo de tempo t: 
 
Q F F
Q Q W Q
P
t t t t
 (1) 
O coeficiente de performance (K) da bomba vale: 
 
FQ
K
W
 
Logo: 
QQ
QF
W
TQ
TF
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8 
 
FQ W K
 
 
FQ W
K PK
t t
 (2) 
Substituindo-se (2) em (1): 
 
1
QQ
PK P P K
t
 
 1 1
1,8 Mcal/h 0,375 Mcal/h
1 3,8 1
QQ
P
K t
 
 
6Mcal 1 h cal J0,375 10 4,186 436,04 W
h 3.600 s Mcal cal
P
 
 
440 WP
 
 
21. Uma máquina de Carnot tem uma potência de 500 W. Ela opera entre 100 e 60,0
o
C. Calcule (a) 
a taxa de entrada de calor e (b) a taxa de saída de calor em quilocalorias por segundo. 
 (Pág. 258) 
Solução. 
(a) A eficiência da máquina de Carnot (eCar) vale: 
 
Car
Q F
Q Q Q
T T W P t
e
T Q Q
 
Logo: 
 500 W 373,15 K
4.664,375 J/s 1.114,27 cal/s
40 K
Q Q
Q F
Q PT
t T T
 
 
1,1 kcal/s
QQ
t
 
(b) Em qualquer máquina térmica, vale a seguinte igualdade: 
 
Q FQ Q W
 
Dividindo-se a expressão acima pelo intervalo de tempo t: 
 
Q F F
Q Q W Q
P
t t t t
 
 
4.664,375 W 500 W 4.164,375 W 994,83 cal/s
QF
QQ
P
t t
 
 
0,99 kcal/s
FQ
t
 
 
22. O motor de um refrigerador tem 200 W de potência. Se o compartimento frio está a 270 K e o ar 
em volta a 300 K, qual a quantidade máxima de calor que pode ser extraída do compartimento 
frio, supondo eficiência ideal, em 10 min? 
 (Pág. 258) 
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Solução. 
(a) O coeficiente de performance do refrigerador de Carnot (KCar), que apresenta a maior 
performance que um refrigerador pode ter, vale: 
 
Car
F F
Q F
Q T
K
W T T
 
Logo: 
 
270 K
200 W 600 s 1.080.000 J
300 K 270 K
F F
F
Q F Q F
T T
Q W P t
T T T T
 
 
1,08 MJFQ
 
 
25. Numa máquina de Carnot de dois estágios, uma quantidade Q1 de calor é absorvida à 
temperatura T1, o trabalho W1 é feito e uma quantidade Q2 é rejeitada à temperatura T2 pelo 
primeiro estágio. O segundo estágio absorve o calor rejeitado pelo primeiro, realiza um trabalho 
W2, e rejeita uma quantidade de calor Q3 a uma temperatura T3. Prove que a eficiência desta 
combinação é (T1 T3)/T1. 
 (Pág. 258) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação: 
 
A eficiência (e) dessa máquina é dada por: 
 
1 2 2 31 2 1 3
1 1 1Q
Q Q Q QW W W Q Q
e
Q Q QQ
 
Para uma máquina de Carnot, vale a seguinte igualdade: 
 
1 2 3
1 2 3
Q Q Q
T T T
 
Q1
Q2
W1
T1
Q2
Q3
W2
T3
T2
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10 
 
3 3
1 1
Q T
Q T
 
Logo: 
 
1 3
1
T T
e
T
 
 
27. Uma máquina de Carnot trabalha entre as temperaturas T1 e T2. Ela opera um refrigerador de 
Carnot que trabalha entre duas temperaturas diferentes T3 e T4 (Fig. 22-20). Ache a razão 
|Q3|/|Q1| em termos das quatro temperaturas. 
 
 (Pág. 258) 
Solução. 
Para a máquina de Carnot, a eficiência (eCar) vale: 
 
1 2
Car
1 1
WT T
e
T Q
 
 
1 2
1
1
T T
W Q
T
 (1) 
Para o refrigerador de Carnot, operando como máquina de Carnot, a eficiência (eCar) vale: 
 
3 4
Car
3 3
WT T
e
T Q
 
 
3 4
3
3
T T
W Q
T
 (2) 
Como o trabalho gerado pela máquina de Carnot é consumido pelo refrigerador de Carnot, podemos 
igualar (1) e (2): 
 
3 41 2
1 3
1 3
T TT T
Q Q
T T
 
 1
3 3 3 41 2 1 2
1 1 3 4 1 3
Q T T TT T T T
Q T T T T T
 
 1
3 2 4
1 1 3
1 1
Q T T
Q T T
 
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11 
 
28. Um condicionador de ar operando entre 93 e 70
o
F é fabricado com uma capacidade de 
esfriamento igual a 4.000 Btu/h. Seu coeficiente de performance é 27% daquele de um 
refrigerador de Carnot operando entre as mesmas temperaturas. Qual a potência do motor do 
aparelho em hp? 
 (Pág. 258) 
Solução. 
A performance deste refrigerador é dada por: 
 
Car0,27 0,27
F F
Q F
Q T
K K
W T T
 
 
0,27
Q F
F
F
T T
W Q
T
 
Dividindo-se ambos os membros da equação acima por t e reconhecendo que a razão entre o 
trabalho (W) e o intervalo de tempo ( t) é a potência (P) fornecida ao refrigerador: 
 
307,04 K 294,26 K
4.000 Btu/h
0,27 0,27 294,26 K
Q FF
F
T TW Q
P
t t T
 
 
643,4219 Btu/h 0,2528 hpP
 
 
0,25 hpP
 
 
30. Um mol de gás ideal monoatômico é usado para realizar trabalho em uma máquina que opera 
seguindo o ciclo mostrado na Fig. 22-21. Suponha que p = 2p0, V = 2V0, p0 = 1,01 10
5
 Pa, e V0 
= 0,0225 m
3
. Calcule (a) O trabalho realizado por ciclo; (b) O calor adicionado por ciclo 
durante o trecho de expansão abc, e (c) A eficiência da máquina. (d) Qual a eficiência de Carnot 
de uma máquina operando entre as temperaturas mais altas e mais baixas que ocorrem neste 
ciclo? Compare esta eficiência com aquela calculada em (c). 
 
 (Pág. 259) 
Solução. 
(a) O trabalho realizado pelo gás é a soma dos trabalhos realizados em cada etapa do ciclo: 
 
0 0ab bc cd da bc daW W W W W W W
 
 
0 0 0 0 0 0 0 0 02 2 2W p V V p V V p V V p V V
 
 
5 3
0 0 0 0 0 02 1,01 10 Pa 0,0225 m 2.272,5 JW p V p V p V
 
 
2,27 kJW
 
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12 
(b) O trabalho Qabc é dado por: 
 
abc ab bcQ Q Q
 
O trabalho Qab vale: 
 
0 0 0 0 0 0
3 3 3 3 3
2
2 2 2 2 2
ab V ab ab ab abQ nC T n R T nR T p V p p V p V
 
O trabalho Qbc pode ser obtido a partir da variação da energia interna da etapa bc, Eint,bc: 
 
int, 0 0 0 0 0
3 3 3 3
2 2 3
2 2 2 2
bc V bc bc bc bcE nC T n R T nR T p V p V V p V
 
 
int, 0 0 0 03 2bc bc bc bcE p V Q W Q p V
 
 
0 0 0 0 0 03 2 5bcQ p V p V p V
 
Logo: 
 
5 3
0 0 0 0 0 0
3 13 13
5 1,01 10 Pa 0,0225 m 14.771,25 J
2 2 2
abcQ p V p V p V
 
 
14,8 kJabcQ
 
(c) A eficiência e do ciclo vale: 
 
0 0
0 0
2
0,1538
13 13
2
abcQ
W W p V
e
QQ p V
 
 
0,154e
 
(d) A eficiência de Carnot eCar vale: 
 
Car
Q F c a
Q c
T T T T
e
T T
 
Como: 
 
pV
T
nR
 
Então: 
 0 0 0 0 0 0
Car
0 0
2 2 4 1 3
2 2 4 4
c c a a
c c
p V p V
pV p V p V p VnR nRe
p V pV p V
nR
 
 
Car 0,75e
 
 
37. A temperaturas muito baixas, o calor específico molar CV para muitos sólidos é 
(aproximadamente) proporcional a T
3
; isto é CV = A T
3
, onde A depende da substância. Para o 
alumínio, A = 7,53 10
6
 cal/mol.K
4
. Ache a variação de entropia de 4,00 moles de alumínio, 
quando sua temperatura varia de 5,00 a 10,0 K. 
 (Pág. 259) 
Solução. 
A variação da entropia ( S) é dada por: 
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a
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13 
 3 3
2 3 3
3 3
f
f f f
i i i
i
T
f T T T
V
if f i
i T T T
T
n AT dTnC dTdQ T nA
S nA T dT nA T T
T T T
 
 6 4
3 34,00 moles 7,53 10 cal/mol.k
10,0 K 5,00 K 0,008785 cal/K
3
ifS
 
 
38,79 10 cal/KifS
 
 
43. Numa experiência de calores específicos, 200 g de alumínio (c = 0,215 cal/g.
o
C) a 100
o
C se 
misturam com 50,0 g de água a 20,0
o
C. (a) Ache a temperatura de equilíbrio. Encontre a 
variação de entropia (b) do alumínio e (c) da água. (d) Calcule a variação de entropia do 
sistema. (Sugestão: veja as Eqs. 22-26 e 22-27.) 
 
ln
f T T
H
i T T T T
dQ mcdT dT T
S mc mc
T T T T T
 (22-26) 
 
lnC
T
S mc
T T
 (22-27) 
 (Pág. 259) 
Solução. 
(a) A temperatura de equilíbrio é calculada por meio do balanço dos calores cedido pelo alumínio e 
recebido pela água (Qrec): 
 
2ced,Al rec,H O
0Q Q
 
 
2 2 2Al Al Al H O H O H O
0m c T m c T
 
 
o o o o200 g 0,215 cal/g C 100 C 50 g 1,00 cal/g C 20 C 0T T
 
 
o o43,0 cal/ C 4.300 cal 50,0 cal/ C 1.000 cal 0T T
 
 
o93,0 cal/ C 5.300 calT
 
 
o56,9892 CT
 
 o57 CT 
(b) A variação de entropia do alumínio vale: 
 
Al
Al Al
Al Al Al
Al
ln
f T
i T
m c dTdQ T
S m c
T T T
 
 
o o
Al
56,9892 273,15 K
200 g 0,215 cal/g C ln 5,2660 cal/ C
100 273,15 K
S
 
 
o
Al 5,26 cal/ CS
 
(b) A variação de entropia da água vale: 
 
2 2
2 2 2
H O2
2
H O H O
H O H O H O
H O
ln
f T
i T
m c dTdQ T
S m c
T T T
 
 
2
o o
H O
56,9892 273,15 K
50 g 1,00 cal/g C ln 5,9415 cal/ C
20 273,15 K
S
 
 
2
o
H O 5,9 cal/ CS
 
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14 
(c) A variação total de entropia do sistema vale: 
 
2
o o o
Al H O 5,2660 cal/ C 5,9415 cal/ C 0,6754 cal/ CS S S
 
 
o0,7 cal/ CS
 
Por se tratar de um processo irreversível, temos S 0. 
 
46. Quatro moles de um gás ideal expandem de um volume V1 para um volume V2 = 2V1. (a) Se a 
expansão é isotérmica a T = 400 K, encontre o trabalho realizado pelo gás. (b) Ache a variação 
de entropia, se houver alguma. (c) Se a expansão é reversivelmente adiabática em vez de 
isotérmica, qual a variação de entropia? 
 (Pág. 260)Solução. 
(a) Num processo isotérmico, o trabalho realizado pelo gás vale: 
 
2 1
1 1
2
ln 4 mols 8,314 J/K.mol 400 K ln 9.220,52 J
V V
W nRT
V V
 
 
9 kJW
 
(b) Num processo isotérmico, a variação de energia interna é zero. Logo: 
 
Q W
 
A variação de entropia é dada por: 
 
9.220,52 J1
23,051 J/K
400 K
f
i
dQ W
S dW
T T T
 
 
20 J/KS
 
(c) Num processo adiabático, Q = 0. Logo: 
 
0
f
i
dQ
S
T
 
 
0S
 
 
57. Um mol de gás ideal monoatômico, inicialmente à pressão de 5,00 kN/m
2
 e temperatura de 600 
K expande a partir de um volume inicial Vi = 1,00 m
3
 até Vf = 2,00 m
3
. Durante a expansão, a 
pressão p e o volume V do gás estão relacionados por 
 
/
5,00 i
V V a
p e
 
onde p está em kN/m
2
, Vi e Vf estão em m
3
 e a = 1,00 m
3
. Quais são: (a) a pressão final e (b) a 
temperatura final do gás? (c) Qual o trabalho realizado pelo gás durante a expansão; (d) Qual a 
variação de entropia do gás durante a expansão? (Sugestão: Use dois processos reversíveis 
simples para achar a variação de entropia.) 
 (Pág. 260) 
Solução. 
Considere o gráfico pV correspondente à expansão descrita no enunciado: 
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15 
 
(a) A pressão final, pf, vale: 
 3 3 31,00 m 2,00 m / 1,00 m/ 25,00 5,00 1,8393 kN/mi fV V afp e e
 
 
21,84 kN/mfp
 
(b)Comparando-se os estados inicial e final, temos: 
 
f fi i
i f
p VpV
T T
 
 2 3
2 3
1,8393 kN/m 2,00 m 600 K
441,455 K
5,00 kN/m 1,00 m
f f i
f
i i
p V T
T
pV
 
 
441 KfT
 
(c) O trabalho W vale: 
 
/ /
5,00 5,00
ff f
i i
i i i
Vp p V V a V V a
p p V
W pdV e dV ae
 
 
/ //
5,00 5,00 1i f i fi i
V V a V V aV V a
W a e e a e
 
 
3 3 31,00 m 2,00 m / 1,00 m35,00 1,00 m 1 3,1606 kJW a e
 
 
3,16 kJW
 
(d) Podemos calcular a variação de entropia do processo if, por meio de um caminho mais fácil, em 
duas etapas, uma isotérmica (ia) e outra adiabática (af). Veja o gráfico pV abaixo: 
 
Logo: 
 
1 1
0 ln
a a
i i
a a V V
i a
if ia af ia
i i V V
i i i i
nRT VdQ dV
S S S S dW dV nR nR
T T T V V V
 (1) 
Para o cálculo de Va usamos as seguintes relações: 
 
i i a apV p V
 (2) 
 
f f a ap V p V
 (3) 
p
V
Ti
i
f
Tf
p
V
Ti
i
f
a
Tf
Isotérmica
Adiabática
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16 
Dividindo-se (3) por (2): 
 
f f a
i a
p V V
pV V
 
 
1f f
a
i i
p V
V
pV
 
 
1
1
f f
a
i i
p V
V
pV
 (4) 
Substituindo-se (4) em (1): 
 
1
11
ln
f f
if
i i i
p V
S nR
V pV
 
 
1
5 5
12 3 3 3
3 2 3
1,8393 kN/m 2,00 m1
1 mol 8,314 J/K.mol ln
1,00 m 5,00 kN/m 1,00 m
ifS 
 
1,9360 J/KifS
 
 
2 J/KifS
 
 
58. Dois moles de um gás ideal monoatômico passam pelo processo mostrado no diagrama 
temperatura versus entropia da Fig. 22-27. (a) Quanto calor é absorvido pelo gás (b) Qual a 
variação de energia interna do gás (c) Qual o trabalho realizado pelo gás? 
 
 (Pág. 261) 
Solução. 
(a) O calor absorvido pode ser obtido a partir da definição de entropia: 
 
dQ
dS
T
 
 
dQ TdS
 
 
f
i
S
S
Q TdS
 
A integral acima corresponde à área sob a curva mostrada na figura: 
 
4.500 JQ
 
(b) A variação de energia interna vale: 
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17 
 
int
3 3
2 2
VE nC T n R T nR T
 
 
int
3
2 mols 8,314 J/K.mol 200 K 400 K 3.325,6 J
2
E
 
 
int 3 kJE
 
(c) O trabalho pode ser obtido a partir da primeira lei da termodinâmica: 
 
intE Q W
 
 
int 4.500 J 3.325,6 J 7.825,6 JW Q E
 
 
8 kJW
 
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a
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18 
 
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. 
 
 
FÍSICA 2 
 
 
CAPÍTULO 26 - A ENTROPIA E A SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA 
 
01. Uma máquina térmica absorve 52,4 kJ e libera 36,2 kJ de calor em cada ciclo. Calcule (a) o 
rendimento e (b) o trabalho efetuado pela máquina em cada ciclo. 
 (Pág. 256) 
Solução. 
(a) O esquema abaixo mostra o funcionamento geral de uma máquina térmica: 
 
T q
T f
Q q
Q f
W
 
A eficiência (e) da máquina é dada pela equação (1), onde Qq é o calor extraído da fonte térmica à 
temperatura Tq e Qf é o calor extraído da fonte térmica à temperatura Tf. 
 
30916,0
)kJ 4,52(
)kJ 2,36()kJ 4,52(
||
||||
q
fq
Q
QQ
e
 (1) 
 
309,0e
 
(b) O trabalho efetuado pela máquina vale: 
 
)kJ 2,36()kJ 4,52(|||| fq QQW
 
 
kJ 2,16W
 
 
06. Um motor de combustão interna a gasolina pode ser representado aproximadamente pelo ciclo 
mostrado na Fig. 15. Suponha um gás ideal diatômico e utilize uma taxa de compressão de 4:1 
(Vd = 4 Va). Suponha que pb = 3 pa. (a) Determine a pressão e a temperatura em cada um dos 
vértices do diagrama pV em termos de pa, Ta. (b) Calcule o rendimento do ciclo. 
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19 
 
 (Pág. 257) 
Solução. 
(a) Estados a e b (Isométrico; Va = Vb; pb = 3 pa): 
 
b
bb
a
aa
T
Vp
T
Vp
 
 
a
aa
a
ab
b
p
Tp
p
Tp
T
3
 
 
ab TT 3
 
Estados b e c (Va = Vb; Vc = 4 Va; Tb = 3 Ta): 
 
ccbb VpVp
 
 
acaa VpVp 43
 
 
aaac pppp 4307619,0
4
3
4
3
5/7
 
 
ac pp 431,0
 
 
11
ccbb VTVT
 
 
111 43 acaa VTVT
 
 
aaac TTTT 723048,1
4
3
4
3
15/71
 
 
172,1 TTc
 
Estados a e d (Vd = 4 Va): 
 
ddaa VpVp
 
 
adaa VpVp 4
 
 
a
aa
d p
pp
p 1435873,0
44 5/7
 
 
ad pp 144,0
 
 
11
ddaa VTVT
 
 
111 4 adaa VTVT
 
 
a
aa
d T
TT
T 5743492,0
44 15/71
 
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20 
 
ad TT 574,0
 
(b) A eficiência de uma máquina térmica é dada por (1), onde Qq é o calor extraído da fonte térmicaà temperatura Tq e Qf é o calor extraído da fonte térmica à temperatura Tf. 
 
||
||
1
||
||||
||
||
q
f
q
fq
q Q
Q
Q
QQ
Q
W
e
 (1) 
Mas Qf = Qcd e Qq = Qab: 
 
||
||
1
ab
cd
Q
Q
e
 (2) 
Cálculo de Qcd: 
 
11int, 4
3
4
)( aavcdvcdvcdcd
TT
nCTTnCTnCEQ
 
 
avcd TnCQ 14
2
 
 
avcd TnCQ 14
2
||
 (3) 
Cálculo de Qab: 
 
)3()(int, aavabvabvabab TTnCTTnCTnCEQ
 
 
avab TnCQ 2||
 (4) 
Substituindo-se (3) e (4) em (2): 
 1
1
11
41
4
1
1
2
4
2
1
2
4
2
1
av
av
TnC
TnC
e
 
Como = 7/5: 
 
4256508,041 5/71e
 
 
%6,42426,0e
 
 
39. As duas extremidades de uma barra de latão estão em contato com reservatórios de calor a 
130
o
C e 24,0
o
C, respectivamente. (a) Calcule a variação total de entropia que resulta da 
condução de 1.200 J de calor através da barra. (b) A entropia da barra muda no processo? 
 (Pág. 259) 
Solução. 
(a) A variação infinitesimal da entropia de um sistema é definida por: 
 
T
dQ
dS
 (1) 
Se o processo (estado 1 estado 2) ocorre de tal forma que as condições de equilíbrio mudem 
constantemente, embora nunca se afastem consideravelmente do equilíbrio (quase-equilíbrio), a 
equação (1) é resolvida por integração. 
 
2
1
12
T
dQ
S
 
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21 
No caso do presente problema, o processo termodinâmico ocorre em condições de equilíbrio 
(equilíbrio dinâmico), onde uma quantidade de calor Q abandona uma fonte quente à temperatura Tq 
e é transferido a uma fonte fria à temperatura Tf. 
TfTq
Q
 
Durante todo o processo o fluxo de calor é constante e a temperatura das fontes térmicas não muda. 
Isso sugere que (1) possa ser resolvida através de um somatório, ao invés de uma integral. 
 2
1
12
i i
i
T
Q
S
 
 
2
2
1
1
12
T
Q
T
Q
S
 (2) 
No presente problema, (2) pode ser reescrita da seguinte forma: 
 
f
f
q
q
T
Q
T
Q
S
 
Lembrando que Qq = Q (o calor Q está sendo transferido para fora da fonte Tq) e Qf = Q (a mesma 
quantidade de calor Q está entrando na fonte Tf): 
 
J/K 062737,1
)K 297(
)J 200.1(
)K 403(
)J 200.1(
fq T
Q
T
Q
S
 
 
J/K 06,1S
 
 
40. Um mol de gás diatômico ideal passa pelo ciclo mostrado no diagrama pV da Fig. 20, onde V2 = 
3 V1. Determine, em termos de p1, V1, T1 e R: (a) p2, p3 e T3; (b) W, Q, Eint e S, para os três 
processos. 
 
 (Pág. 259) 
Solução. 
(a) Estados 1 e 2: 
 
2211 VpVp
 
 
1
11
2
11
2
3V
Vp
V
Vp
p
 
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22 
 
3
1
2
p
p
 
Estados 1 e 3: 
 
3311 VpVp
 
 
5/7
13
5/7
11 )3( VpVp
 
 
5/7
1
5/7
1
5/7
5/7
11
3
33
p
V
Vp
p
 
 
5/7
1
3
3
p
p
 (1) 
Estados 1 e 3: 
 
3
33
1
11
T
Vp
T
Vp
 (2) 
Substituindo-se V3 = V2 =3 V1 e (1) em (2): 
 
3
5/7
11
1
11
3
3
T
Vp
T
Vp
 
 
5/7
1
3
3
3T
T
 
 
5/2
1
3
3
T
T
 
(b) Processo 1 2 (Isotérmico, T12 = 0): 
 
TnCE v12int,
 
 
012int,E
 
 
)/3ln()mol 1()/ln( 1111211212 VVRTVVnRTQW
 
 
3ln112 RTQ
 
 
3ln112 RTW
 
 
1
1
1
12
2
1
1
2
1
12
3ln1
T
RT
T
Q
dQ
TT
dQ
S
 
 
3ln12 RS
 
Processo 2 3 (Isométrico, V23 = 0): 
 
3
2
23
V
V
pdVW
 
 
023W
 
 
15/2
1
232323int,
32
5
)(
2
5
)mol 1( T
T
RTTRTnCQE v
 
 
123int, 889,0 RTE
 
 
123 889,0 RTQ
 
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23 
 
1
5/2
1
2
3
3
2
23
3
ln
2
5
ln
2
5
2
5
)mol 1(
3
2
3
2 T
T
R
T
T
R
T
dT
R
T
dTnC
T
dQ
S
T
T
T
T
v
 
 
RS 10,123
 
Processo 3 1 (Adiabático, Q31 = 0): 
 
031Q
 
 
031S
 
 
5/2
1
1313131int,
32
5
)(
2
5
)mol 1(
T
TRTTRTnCWE v
 
 
131int, 889,0 RTE
 
 
131 889,0 RTW