Aula 7 - Cálculo Numérico

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CENTRO DE MÍDIAS 
CÁLCULO 
NUMÉRICO
Prof.a Ma. Andréa Fragata
Prof.a Dr.a Neide Ferreira
MATEMÁTICA
CENTRO DE MÍDIAS 
TEMA
OBJETIVO
Interpolação polinomial.
Apresentar aplicações e métodos 
para resolução de interpolação 
polinomial, com destaque para: 
interpolação linear e quadrática.
CÁLCULO NUMÉRICO
aula 7.1
Interpolação polinomial – Conceitos
Interpolar uma função f(x) 
consiste em aproximar 
essa função por uma outra 
função g(x), escolhida 
entre uma classe de 
funções definidas a priori 
e que satisfaça algumas 
propriedades.
• A função g(x) é então 
usada em substituição à 
função f(x).
 
1 1( , ( ))x f x 2 2( , ( ))x f x
3 3( , ( ))x f x
4 4( , ( ))x f x
5 5( , ( ))x f x
6 6( , ( ))x f x
( )f x
( )g x
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Interpolação polinomial – Conceitos
Funções que substituem as funções dos mais 
variados tipos, tais como: exponencial, logarítmica, 
trigonométrica e polinomial.
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Interpolação polinomial – Conceitos
Uma das classes mais conhecidas e úteis de funções 
que levam o conjunto de números reais em si mesmo 
é a classe dos polinômios algébricos, ou seja, é o 
conjunto de funções da forma.
Onde, n é um inteiro não negativo e a0,...,an são 
constantes reais.
2 1
0 1 2 1( ) ...
−
−= + + + + +
n n
n n nP x a a x a x a x a x
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Teorema da Aproximação de Weierstrass ou Teorema 
dos Extremos
Suponha que seja definida e contínua em [a, b]. 
Para cada , existirá um polinômio P(x), com a 
propriedade que para todo x em [a,b].
f
0ε >
| ( ) ( ) | ε− <f x P x
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Interpolação polinomial – Conceitos
Razões importantes para considerar a classe de 
polinômios na aproximação de funções:
• os polinômios são facilmente computáveis; 
• suas derivadas e integrais são polinômios;
• suas raízes podem ser encontradas com relativa 
facilidade.
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CÁLCULO NUMÉRICO
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A simplicidade dos polinômios permite que a 
aproximação polinomial seja obtida de vários modos:
• interpolação; 
• osculação;
• Método dos Mínimos Quadrados (Ajuste de Curva),
etc.
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Interpolação polinomial – Conceitos
Tais métodos são usados como uma aproximação para 
uma função f(x), nas seguintes situações:
a) não conhecemos a expressão analítica de f(x);
b) f(x) é extremamente complicada e de difícil 
resolução.
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Interpolação polinomial - Conceitos
Métodos:
• interpolação linear;
• interpolação quadrática;
• Lagrange;
• Diferenças Divididas de Newton.
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Interpolação linear
Dados dois pontos distintos de uma função 
para um determinado valor de x entre x0 e x1, usando 
interpolação polinomial.
, deseja-se calcular o valor de ye 0 0( ) : ( , )=y f x x y 1 1( , )x y
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Interpolação linear
Polinômio linear: 
Para determinar o polinômio, os coeficientes a0 e a1 
devem ser calculados de forma que se tenha:
e
1 1 0( ) = +P x a x a
1 0 0 0
1 1 1 1
( ) ( )
( ) ( )
= =
= =
P x f x y
P x f x y
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Interpolação linear
Ao resolver o sistema linear encontra-se os 
coeficientes a0 e a1:
1 0 0 0
1 1 0 1
+ =
 + =
a x a y
a x a y
1 1 0( )∴ = +P x a x a é uma reta.
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Interpolação linear – Exemplo
1 – O censo da população de Belo Horizonte foi 
definido ao longo dos anos conforme tabela abaixo: 
Determinar o n° aproximado de habitantes em 1975
1975  (1950,1980)
Ano
N° de 
habitantes
1960
683.908
1950
352.724
1970
1.235.030
1980
1.814.990
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Interpolação linear – Resolução
Considerando os pontos extremos tem-se:
P1 (1950)=
P1 (1980)=
0 1
0 1
1950 352.724
1980 1.814.990
= + =
= + =
a a
a a
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Interpolação linear - Resolução
Resolvendo o sistema pelo Método direto de Gauss:
a)
0 1
0 1
 1950 352.724
1980 1.814.990
+ =
 + =
a a
a a
21
21
11
 1
 
1
1
= = =
a
m
a
21 21 21 11
22
2
 * 1 1*1 0
1980 *1950 30
1.814.990 * 352.724 1.462.266
1
1
= − = − =
= − =
= − =
a a m a
a
b
21 21 21 11
22
2
 * 1 1*1 0
1980 *1950 30
1.814.990 * 352.724 1.462.266
1
1
= − = − =
= − =
= − =
a a m a
a
b
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Interpolação linear - Resolução
Substituindo os valores tem-se um novo sistema:
A solução do sistema é imediata:
0 1
1
 1950 352.724
0 30 1.462.266
+ =
 + =
a a
a
1
1.462.266 248. ,
30
742= =a
0 648. 4352 ,.724 1950 * 94.694.567 2 2= − = −a
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Interpolação linear - Resolução
Logo, 
Então a população em 1975 será de:
.
( )1 94.694.56 516 48.79 47 21 5 97, 2= − +P *
( )1 1.571.2791975 =P
( )1 94.694.566 48.742, 2= − +P x x
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Interpolação linear - Erros
O resultado obtido está afetado por dois tipos de erros:
a) Erro de arredondamento - é cometido durante a 
execução das operações e no caso do resultado ser 
arredondado.
b) Erro de truncamento - é cometido quando a 
fórmula de interpolação a ser utilizada é escolhida, 
pois a aproximação de uma função conhecida apenas 
através de dois pontos dados é feita por um polinômio 
do 1º grau.
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Interpolação quadrática
Interpolar com 3 pontos distintos:
2
2 0 1 2( ) = + +P x a a x a x
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Interpolação quadrática - Exemplo
Consideremos a tabela:
Determinar o polinômio interpolador para a função 
definida por este conjunto de pontos.
f(x) 815 -1
x 0-1 3
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CÁLCULO NUMÉRICO
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DINÂMICA
LOCAL
1. Durante uma partida do campeonato mundial de 
xadrez, anotou-se o tempo que um jogador leva para 
responder a uma jogada em função da duração da 
partida. Os resultados são descritos na tabela a seguir:
d (seg) 22656 507 900 1408
t (min) 3015 45 60 75
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CÁLCULO NUMÉRICO
Onde t é o tempo de partida e d é o intervalo, em 
segundos, necessários para que o jogador pense 
em sua próxima jogada. Use interpolação linear e 
quadrática para determinar quanto tempo um jogador 
pensa depois de 50 minutos de jogo.
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CÁLCULO NUMÉRICO
TEMA
OBJETIVO
Interpolação Polinomial.
Apresentar o método de 
Interpolação de Lagrange.
CÁLCULO NUMÉRICO
aula 7.2
Interpolação de Lagrange
As interpolações linear 
e quadrática são casos 
particulares da interpolação 
de Lagrange. 
O Método de Lagrange 
determina um polinômio 
interpolador de grau menor 
ou igual a n, sendo dados n+1 
pontos distintos.
Joseph Louis Lagrange
(Turim, 25/01/1736 - Paris, 10/04/1813)
Fonte: Por Granny Enchanted - Wikimedia Commons
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Método de Lagrange
O polinômio Pn(x) pode ser escrito na forma:
P(x) é, no máximo, de grau n, se an ≠ 0 e, para 
determiná-lo deve-se conhecer os valores de a0, a1,...,an.
Como Pn(x) contém os pontos (xi, yi,), i = 0, 1,...n, pode-se 
escrever que Pn (xi) = yj.
ou
2
0 1 2( ) = + + + +
n
n nP x a a x a x a x
0
( )
=
=∑
n
i
n i
i
P x a x
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Método de Lagrange
Logo:
2
0 1 0 2 0 0 0
2
0 1 1 2 1 1 1
2
0 1 2
...
...
...
 + + + + =

+ + + + == 

 + + + + =

n
n
n
n
n
n n n n n
a a x a x a x y
a a x a x a x y
S
a a x a x a x y
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Método de Lagrange
Resolvendo o sistema S, determina-se o polinômio 
Pn(x). Para provar que tal polinômio é único, basta 
que se mostre que o determinante da matriz A, dos 
coeficientes das incógnitas do sistema S, é diferente 
de zero. A matriz A é:
A =
1 X0 X0
2 ... X0
n
1 X1 X1
2 ... X1
n
1 Xn Xn
2 ... Xn
n
..................................[ [
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Interpolação de Lagrange
O determinante da matriz A é conhecido como 
determinante das potências ou de Vandermonde e, da 
Álgebra Linear,sabe-se que seu valor é dado por:
Como xi≠xj para i≠j, vem que det(A)≠0. 
Logo, P(x) é único.
det( ) ( )
>
= −∏ i j
i j
A x x
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Interpolação de Lagrange
A fórmula para o cálculo da interpolação lagrangeana 
será dada por:
( )
( )
0 0
( ) −−
= =
≠
=∑ ∏ ji j
nn
x x
n i x x
i j
j i
P x y
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Interpolação de Lagrange – Exemplo 1
Considerando n = 2 teremos:
22
( )
2 ( )
0 0
( ) −−
= =
≠
=∑ ∏ ji j
x x
i x x
i j
j i
P x y
1 2
0
0 1 0 2
0 2
2 1
1 0 1 2
0 1
2
2 0 2 1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
− −
− −
− −
= +
− −
− −
+
− −
x x x x
y
x x x x
x x x x
P x y
x x x x
x x x x
y
x x x x
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Interpolação de Lagrange – Exemplo 2
O número de bactérias, por unidade de volume, 
existente em uma cultura após x horas é dado na 
tabela abaixo: 
Determine a quantidade de bactérias por unidade de 
volume após 3 horas. Considere o uso de ao menos 4 
valores para interpolar com o método de Lagrange.
Número de horas
Número de bactérias
0 1 2 3 4 5 6
32 47 65 ? 132 190 275
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Interpolação de Lagrange – Exemplo 2
Resolução:
3( ) =
0
( − 1)
( 0 − 1)
( − 2) ( − 3)
( 0 − 2) ( 0 − 3)
+ 1
( − 0)
( 1 − 0)
( − 2) ( − 3)
( 1 − 2) ( 1 − 3)
+ 2
( − 0)
( 2 − 0)
( − 1) ( − 3)
( 2 − 1) ( 2 − 3)
+ 3
( − 0)
( 3 − 0)
( − 1) ( − 2)
( 3 − 1) ( 3 − 2)
 
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Interpolação de Lagrange – Exemplo 2
Resolução: substituindo os valores
Número de horas
Número de bactérias
0 1 2 3 4 5 6
32 47 65 ? 132 190 275
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
3
1 2 4
32
0 1 0 2 0 4
0 2 4
47
1 0 1 2 1 4
0 1 4
65
2 0 2 1 2 4
0 1 2
132
4 0 4 1 4 2
− − −
− − −
− − −
+
− − −
=
− − −
+
− − −
− − −
+
− − −
x x x
x x x
P x
x x x
x x x
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Interpolação de Lagrange – Exemplo 2
Resolução: 
( )
( )
( )
( )
3 2
3 2
3
3 2
3 2
32 ( 7 14 8)
8
47 6 8
3
65 5 4
4
132 3 2
24
− − + −
+ − +
=
− − +
+ − +
x x x
x x x
P x
x x x
x x
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Interpolação de Lagrange – Exemplo 2
Resolução: 
Após alguns cálculos, tem-se o polinômio interpolador 
de grau 3:
Número de horas
Número de bactérias
0 1 2 3 4 5 6
32 47 65 91,5 132 190 275
( )
( )
( )
3 2
3
3 2
3
3
0,91667 1, 25 15,33333 32
3 0,91667 * 1, 25 * 15,33333* 32
91,5
3 3 3
3
= − + +
= − + +
=
P x x x x
P
P
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CÁLCULO NUMÉRICO
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DINÂMICA
LOCAL
Resolva a questão anterior utilizando 2 pontos 
distintos, pelos métodos de Lagrange e da 
interpolação linear.
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CÁLCULO NUMÉRICO