Função Logarítmica

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Unidade III
Função Logarítmica
MATEMÁTICA MATEMÁTICA 
INTRODUÇÃO - LOGARITMO
Função LogaritmicaFunção Logaritmica
Conceito: Considerando a e b dois números reais e positivos, sempre 
com a diferente de 0, define-se logaritmo de b (logaritmando) na 
base a, ou seja qual número deve-se incluir no expoente de a afim de 
termos b como resultado. Assim: ax = b , então temos que loga b = x .
Com as condições de que a, b ϵ R, a > 0 a ≠ 1 e b > 0.
Exemplo: log2 8 =3, sendo que 3 é o logaritmo, 2 é a 
base e 8 é o logaritmando. pois temos que 23 = 8.
Antilogaritmo: É definido como sendo: loga b = x → antiloga x = b 
Exemplo: log2 16 = 4 → antilog2 4 = 16
log1 2 = x assim temos que 1
x = 2 (erro) – Pois o 1 elevado a qualquer expoente será sempre 1
log0 2 = x assim temos que 0
x = 2 (erro) – Pois o 0 elevado a qualquer expoente será sempre 0
log2 0 = x assim temos que 2
x = 0 (erro) – Pois nenhum expoente resultará como resposta 0
Propriedades:
1º Propriedade: (propriedade do produto): loga b + loga c = loga b.c
Exemplo: log10 32 + log10 16 = log10 (32 . 16) = log10 512 = 2,70926
2º Propriedade: (propriedade do quociente): loga b – loga c = loga b/c 
Exemplo: log10 625 – log10 125 = log10 (625/125) = log10 5 = 0,69897
3º Propriedade: (propriedade da potência): = n . loga b
Exemplo: = 2 . log10 81 = 2 . 1,90848 = 3,81696
Seguindo a 3º propriedade temos:
Exemplo:
4º Propriedade: (propriedade da mudança de base): loga b =
Exemplo: log58 = log 8 = 0,90309 = 1,292
log 5 0,69898
Função LogaritmicaFunção Logaritmica
As propriedades zero: a) loga 1 = 0 b) loga a = 1
n
loga b
2
log10 81
loga
n
√bm =
m
n
. loga b, pois = = b
n
√bm
m
n
log10
2
√43 = 3
2
. log10 4 = 1,5 . 0.60205 = 0,093075
logc b
logc a
Log de uma Raiz
Transforma-se a raiz numa 
potência (propriedade 
exponencial do expoente 
fracionário) e utiliza-se a 
propriedade da potência. 
Conceito: Toda função definida pela lei de formação f(x) = loga x, com 
a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de 
função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais 
maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais. 
Exemplos de funções logarítmicas:
a) f(x) = log2 x b) f(x) = log1/2 x c) f(x) = log10 x 
d) f(x) = log2 (x – 1) e) f(x) = log0,5 x
FUNÇÃO LOGARITMICA
Função LogaritmicaFunção Logaritmica
Com o uso da Calculadora Científica
7 log 0,84509804
Com o uso da Calculadora Financeira HP
7 gENTER 0,84509804LN 10 g LN ÷
Representação Gráfica: Para a construção do gráfico da função logarítmica 
devemos estar atentos a duas situações onde:
a) a > 1 - base maior que 1 a função é Crescente.
b) 0 < a < 1 - base maior que zero e menor que 1 a função é Decrescente.
Função LogaritmicaFunção Logaritmica
x
y
0
0 < a < 1
Função Decrescente
1
x
y
0
a > 1
Função Crescente
1
Características do gráfico da função 
logarítmica y = logax
•O gráfico está totalmente à direita do 
eixo y, pois ela é definida para x > 0.
• Intersecta o eixo das abscissas no ponto 
(1,0), então a raiz da função é x = 1.
•O y assume todos as soluções reais, 
assim a Im(imagem) = R.
Obs: Como se 
está trabalhando 
com um logaritmo 
de base 10, para 
simplificar os 
cálculos coloque 
para x valores que 
são potências de 
10 (0,001, 0,01, 
0,1, 1 e 10)
Função LogaritmicaFunção Logaritmica
Exemplo de Cálculos:
x y = log x
0,001 y = log 0,001 = -3
0,01 y = log 0,01 = -2
0,1 y = log 0,1 = -1
1 y = log 1 = 0
10 y = log 10 = 1
1. Represente graficamente a função logarítmica f(x) = log x
2. Determine o log2 128.
log2 128 = x (sabendo que loga b = x é a mesma coisa de a
x = b)
tem-se: 2x = 128 (fatora-se o 128 e obtém-se: 27)
Então corta-se as bases iguais: 2x = 27 → x = 7
3. Determine log25 0,008
log25 0,008 = x → 25
x = 0,008 → 25x = 8/1000 (fatore-se)
(52)x = 23/ 103 → 52.x = (2/10)3 (simplifica-se a fração)
52.x = (1/5)3 (Utiliza-se a propriedade da potência negativa para eliminar a fração)
52.x = 5-3 → 52.x = 5-3 → 2x = -3 x = -3/2
Função LogaritmicaFunção Logaritmica
Exemplo de Cálculos:
4. Determine o valor de log10 (8 . 32).
log10(8 . 32) = log108 + log1032 =
0,903089987 + 1,5051499783 = 2,4082399653
1º Passo: transforma-se o 
logaritmo em exponencial
2º Passo: fatora-se o 
número que esta como 
resultado da exponencial 
a fim de igualar as bases.
3º Passo: corta-se as bases e 
o resultado será o cálculo 
dos valores dos expoentes 
5. O valor do imposto pago por uma certa empresa, com t em milhares, em 
função do tempo, ocorre segundo a função V(t) = Log2(t + 4). Calcule o 
que se pede abaixo:
a) O valor do imposto pago daqui a 4 anos.
b) O imposto pago daqui a 12 anos
Exercício de Revisão
V(t) = Log2(t + 4)
V(4) = Log2(4 + 4)
V(4) = Log2 8 
V(4) = 2x = 8
V(4) = 2x = 23
V(4) = x = 3
V(4) = 3
V(t) = Log2(t + 4)
V(12) = Log2(12 + 4)
V(12) = Log2 16
V(12) = 2x = 16
V(12) = 2x = 24
V(12) = x = 4 
6. (PUC-PR) O valor da expressão log2 0,5 + log3 √3 + log4 8 é:
Exercício de Revisão
1º) log2 0,5 = x
2x = 0,5 (sabendo que 0,5 = 0,5/1)
2x = 0,5/1 (utiliza-se a potência negativa)
2x = (1/0,5)-1
2x = 2-1
x = – 1
2º) log3 √3 = y
3y = √3
3y = 31/2
y = ½
A soma dos logaritmos:
log2 0,5 + log3 √3 + log4 8
– 1 + 1/2 + 3/2
– 2 + 1 + 3 = 2 = 1
2 2
3°) log4 8 = z
4z = 8
(2)²z = 2³
2z = 3
z = 3/2