Funções Polinomiais 1 de 4

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FUNÇÕES POLINOMIAIS DE
VARIÁVEL REAL
CAPÍTULO 1 - REALIDADE E SEUS
MODELOS ABSTRATOS: COMO A
TEORIA DE FUNÇÕES PODE AJUDAR A
MODELAR A REALIDADE?
Denise Fabiana Figueiredo Lopes
INICIAR 
Introdução
Você já se deu conta de que quando observamos um gráfico em um jornal estamos
usando funções? Um gráfico sobre a evolução de lucros ou prejuízos de uma
empresa, por exemplo, representa uma relação entre duas grandezas e, se
tivermos dados suficientes, podemos até compor a expressão algébrica
representativa dessa função.
Neste capítulo, vamos aprender a localizar pontos no plano cartesiano, que é o
passo inicial para conseguir construir um gráfico. Também vamos trabalhar com as
funções na forma algébrica com objetivo de gerar os pontos que vão ser colocados
no gráfico e as curvas que apresentam comportamentos específicos.
Os gráficos são ferramentas de grande importância informativa para representar
um conjunto de dados, pois para o leitor é mais fácil observar uma imagem e tirar
conclusões sobre o crescimento ou decrescimento, ao invés de analisar um grande
conjunto numérico.
Será que podemos utilizar os conceitos matemáticos de funções para fazer o
planejamento financeiro de uma empresa e com isso obter o máximo lucro? Hoje
em dia o mercado de trabalho está altamente competitivo, as empresas precisam
ter um controle eficiente de todas as suas finanças, analisar dados sobre aceitação
do produto, planejar os custos de produção, a faixa de preço mais adequada e as
metas de vendas necessárias para não falir. Em todos esses âmbitos, o conceito de
função é uma ferramenta valiosa que possibilita a tomada de decisões de maneira
sólida, o planejamento de custos e a definição de objetivos para obter sucesso
financeiro.
Então, vamos começar nosso estudo? Acompanhe a leitura!
1.1 Realidade e modelos abstratos
A Matemática está presente em muitas situações concretas do nosso dia a dia,
mesmo que não a percebamos de modo tão evidente; o desenvolvimento
matemático é responsável pelas tecnologias disponíveis hoje, como a internet,
computador, aparelho de celular, sistemas bancários etc.
Essa evolução tecnológica foi possível com a representação de fenômenos da
realidade por modelos matemáticos. Os modelos abstratos permitem, por meio de
cálculos, fazer estimativas, testes, analisar características, solucionar problemas,
fazer previsões e até mesmo desenvolver novas técnicas e, posteriormente, utilizá-
las de maneira concreta.
Nesta disciplina, vamos abordar os modelos abstratos representados por funções
polinomiais de uma variável real. Para isso, serão apresentadas, a seguir, situações
do cotidiano nas quais utilizamos a ideia intuitiva de função. Vamos fazer uma
abordagem tanto do ponto de vista algébrico quanto geométrico, representando
no plano cartesiano os pontos gerados por determinadas condições.
1.1.1 Ideia intuitiva de funções
As funções estão presentes no nosso dia a dia, às vezes vivenciamos situações nas
quais usamos a ideia intuitiva de função, mas não nos damos conta, pois não
houve formalização escrita ou gráfica do problema.
VOCÊ SABIA?
Por que utilizamos o termo função para representar uma relação entre duas grandezas? A palavra
função foi introduzida na Matemática por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), em 1694, quando
ele usou a palavra em suas correspondências com Johann Bernoullii (1667-1748) para expressar
qualquer quantidade associada a uma curva. Bernoulli, por sua vez, utilizou a palavra função para
formalizar esse conceito em um de seus artigos.
Quando deixamos o carro em um estacionamento, por exemplo, observamos
como será feito o pagamento na hora da saída. De modo geral, esse valor depende
do tempo de permanência no local: quanto mais tempo ficar, maior será o valor a
pagar. Nesse caso, temos uma dependência entre duas grandezas, em que o valor
a ser pago é a variável dependente e o tempo é a variável independente.
O filme O jogo da imitação (MOORE, 2014) é baseado em fatos e conta a história do matemático Alan
Turing (1912-1954), chamado de “pai” da Computação, pois foi ele quem construiu o que consideramos
o primeiro computador. Turing teve uma participação importante na Segunda Guerra Mundial, ao
trabalhar com uma equipe de gênios de várias áreas para decifrar as mensagens mandadas em códigos
pelo exército nazista. O filme também mostra os preconceitos e as repressões sofridas por Turing em
relação a sua opção sexual, considerada crime na época.
Para iniciar a compreensão do conceito de função, vamos analisar um exemplo
baseado em Bonafini (2012) para o qual a função está representada por uma
“máquina”. Essa máquina tem uma entrada e uma saída e dentro dela acontece
VOCÊ QUER VER?
um processo que transforma o número que entrou e nos fornece o resultado.
Considere o conjunto de entrada . Quando o número é inserido na
máquina, o valor de saída é , pois ela dobrou esse valor, podemos escrever esse
processo formalmente como . Quando inserimos o número , obtemos 
e quando inserimos o , obtemos , também podemos escrever como e 
, respectivamente. Nesse caso, o conjunto de saída pode ser
representado por .
Os números do conjunto de entrada determinam o domínio da função e são
representados por e os elementos do conjunto de saída determinam a imagem
da função e são representados por ou por .
Agora vamos inserir na máquina, ao invés de um número, a variável . Como o
processo feito por ela dobra o valor de entrada, obtemos como saída . Com esse
pensamento podemos escrever a função como (lemos de igual a
duas vezes ). Dizemos que essa é a representação algébrica de uma função.
Assim como na máquina, podemos inserir números nessa função algébrica, por
exemplo, se quisermos utilizar o número , escrevemos (lemos 
de cinco igual duas vezes cinco), resulta (lemos de cinco igual a dez) e
dizemos que é a imagem do valor pela função .
 Figura 1 - A máquina
representa uma função que faz o processo de dobrar os números de entrada e fornecer o resultado de
saída. Fonte: BONAFINI, 2012, p. 57.
Como sabemos qual o processo numérico a nossa função faz com o número de
entrada, podemos pensar no processo inverso, por exemplo, se o número de saída
fornecido é 22, qual o número que foi inserido? Se o processo estabelecido dobra o
valor, para fazer o contrário precisamos calcular a metade do valor de saída, logo,
se o número de saída é 22 o de entrada precisa ser 11. Esse exercício, ao fazer o
inverso do processo da função, vai ser definido neste capítulo mais a frente como o
cálculo da inversa de uma função.
1.1.2 Sistema de coordenadas ortogonais
Você já jogou Batalha Naval? Esse jogo que, provavelmente, fez parte da sua
infância usa o conceito de localizar um ponto no tabuleiro por meio de duas
coordenadas dadas. O vencedor é quem consegue acertar os pontos que
localizavam uma embarcação.
A forma de localizar pontos em um plano foi desenvolvida por René Descartes no
século XVII. Esse método é usado em muitas áreas como, por exemplo, na
Cartografia, em que para localizar um ponto no mapa, precisamos de duas
coordenadas chamadas de latitude e longitude. O Sistema de Posicionamento
Global, GPS, também utiliza esse conceito.
René Descartes (1596 - 1650) foi um filósofo, físico e matemático francês. Autor da frase "Penso, logo
existo".  Apesar do conceito de plano cartesiano já ser usado na Matemática, foi Descartes que o
formalizou em sua obra “La Géométrie” (A Geometria) publicada em 1637. A palavra “cartesiano”
decorre de seu sobrenome em latim Cartesius e sua teoria foi de grande importância para o
desenvolvimento da Matemática (LEITE; CASTANHEIRA, 2015).
O sistema de coordenadas ortogonais é formado por duas retas perpendiculares
entre si (formam ângulo de 900) que se cruzam na origem do plano cartesiano,
normalmente representado pela letra O (BARRETO, 2013). Essas retas são
denominadas de eixos: horizontalmente temos o eixo das abscissas (Ox) e
verticalmente o eixo das ordenadas (Oy). Ambos dividem o plano em quatro
VOCÊ O CONHECE?
regiões chamadas quadrantes,representadas pelos numerais romanos 
 e indicadas, a partir do primeiro, em sentido anti-horário.
Observe:
Para localizar um ponto no plano cartesiano precisamos de duas coordenadas,
uma para o eixo e outra para o . Assim representamos um ponto como um par
de coordenadas , chamado par ordenado (BARRETO,2013).
Figura 2 - Plano cartesiano em que os eixos e dividem o plano em quatro quadrantes. Fonte:
Elaborado pela autora, 2018.
Na Figura, observe a representação de pontos sobre o plano cartesiano. Podemos
escrever esses pontos com as coordenadas fornecidas no gráfico: , 
, , , e . A primeira
coordenada informa a posição do eixo e a segunda do eixo . Note que se
posicionarmos um ponto exatamente na origem do sistema cartesiano suas
coordenadas serão .
O ponto A encontra-se no Quadrante I, o ponto D no Quadrante II, o ponto C no
Quadrante III e o ponto B no Quadrante IV. Os pontos F e E não estão posicionados
em nenhum dos quadrantes, mas sim sobre os eixos, sendo que E pertence ao eixo
das ordenadas e F ao eixo das abscissas. Sempre que uma das coordenadas for 0,
o ponto estará localizado em um dos eixos coordenados. A origem do sistema, o
ponto de coordenadas (0,0), pertence a ambos os eixos.
Figura 3 - Pontos representados no plano cartesiano. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
VOCÊ SABIA?
O Sistema de Posicionamento Global (GPS) foi criado na década de 1960 pelo Departamento de
Defesa dos Estados Unidos com o objetivo de modernizar o sistema de navegação das Forças
Armadas Americanas. Esse sistema usa as coordenadas terrestres de latitude e longitude, mas em
coordenadas esféricas, pois também é considerado o nível de elevação em relação ao nível do mar
e os receptores posicionados no espaço geram órbitas esféricas. Esse sistema é muito complexo e
só em 1995 ele estava pronto para ser colocado em uso. É um exemplo da importância de modelos
abstratos, pois antes de colocar em prática os cálculos precisaram ser precisos, além das correções
de erros que surgiram posteriormente (SCANNAVINO, 2015).
Saber fazer a localização de pontos no plano cartesiano é de grande importância
para o estudo de funções, pois quando representamos os pontos gerados por uma
função no gráfico, conseguimos estudar várias de suas características e saber
como ela vai se comportar em todo o domínio.
1.1.3 Representação gráfica e representação algébrica
Neste tópico, vamos iniciar a formalização algébricas das funções polinomiais de
variável real que serão estudadas no capítulo. As funções polinomiais são aquelas
que podem ser escritas como um polinômio, logo elas devem ser contínuas e
definidas para o conjunto de todos os números reais (DEMANA et al., 2013).
Existem outros tipos de funções como as exponenciais, logarítmicas e
trigonométricas, além de funções com mais de uma variável e com domínios
diferentes dos reais, como os números complexos, por exemplo. Nesta disciplina,
vamos focar no estudo das funções polinomiais de uma variável real.
Vamos considerar a seguinte definição: seja um número inteiro não negativo e 
 números reais com . A função 
 é uma função
polinomial de grau , onde são seus coeficientes
e é o coeficiente principal ou dominante.
A seguir, vamos analisar se as funções são polinomiais:
 é uma função polinomial com maior expoente
valendo 5 e o coeficiente dominante 9;
 é uma função polinomial com maior expoente valendo 2 e o
coeficiente dominante 15;
 não é uma função polinomial, pois não podemos simplificar
e escrevê-la como um polinômio;
 é uma função polinomial, pois podemos escrevê-la como 
com expoente valendo zero e o coeficiente independente ;
 não é uma função polinomial, pois os expoentes precisam
ser inteiros e positivos.
Para interpretar uma situação real por meio de uma função é necessário saber
fazer a sua formalização. Para isso, vamos conhecer como é feita a representação
algébrica e gráfica de uma função polinomial.
Considere a situação da máquina apresentada no tópico 1.1. Vamos mudar o
processo que ela faz com os números de entrada para o seguinte: triplicar o
número de entrada e subtrair duas unidades. Representando a função por e os
números de entrada por , podemos escrever esse processo algebricamente como
 (lemos de igual a três vezes menos dois).
Utilizando o conjunto de entrada , vamos inserir, um a um, os
números no lugar do para obter pares ordenados, em que a primeira coordenada
são os números de entrada e a segunda os de saída. A Tabela a seguir organiza
esse processo, observe:
Tabela 1 - Representação algébrica de uma regra matemática que associa dois conjuntos de números.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
A partir desses cálculos, obtemos os pares ordenados gerados pela função, de
maneira algébrica, mas podemos também representar a relação 
graficamente. Para isso, usamos os pares ordenados obtidos na Tabela anterior e
marcamos os pontos no plano cartesiano.
A representação gráfica é importante para observar o comportamento da relação
entre os conjuntos. No gráfico gerado, observamos um comportamento linear, ou
seja, os pontos estão alinhados e poderiam ser ligados por uma reta. Problemas
como o valor a ser pago e o número de unidades compradas podem usar essa
representação.
Figura 4 - Representação gráfica de uma regra matemática que associa dois conjuntos de números. Fonte:
Elaborado pela autora, 2018.
Quer conhecer mais exemplos de gráficos de funções? Então acesse o site:
<https://brasilescola.uol.com.br/matematica/representacao-grafica-funcoes.htm
(https://brasilescola.uol.com.br/matematica/representacao-grafica-funcoes.htm)>. (SILVA, 2018a).
Existem funções que são muito estudadas devido ao comportamento de seu gráfico, pois ele vai
determinar como o fenômeno está se comportando com o passar do tempo.
Existem outros tipos de comportamentos que podem ser observados quando
representamos os pontos gerados no plano cartesiano, aqui nesta disciplina você
conhecerá o estudo do linear, quadrático e modular. Saiba que não são os únicos,
outros tipos são importantes para representar fenômenos da realidade como, por
exemplo, a curva exponencial usada em crescimento de bactérias, vírus etc. e as
trigonométricas que representam movimentos ondulatórios como o movimento
das marés e a frequência cardíaca.
As funções estão presentes em muitas situações do nosso dia a dia quando há uma
relação entre duas ou mais grandezas que pode ser representada por uma regra
matemática. Vamos conhecê-las no tópico a seguir.
VOCÊ QUER LER?
1.2 Função
Você já pensou que uma corrida de táxi pode ser representada por uma regra
matemática? Ou que o valor a ser pago por determinado alimento depende, por
exemplo, de quantos quilos foram comprados?
Além dos casos cotidianos, outros campos da ciência utilizam as funções em seus
estudos como as funções custo, receita e lucro, a depreciação de um bem em
relação ao tempo de uso, a valorização de imóveis, a distância percorrida por um
objeto com o passar do tempo, a vazão de água de uma torneira com relação ao
tempo, entre muitos outros.
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/representacao-grafica-funcoes.htm
Neste tópico, vamos formalizar o conceito de função polinomial por meio da
relação entre conjuntos, apresentar suas características e como determinar se
uma relação dada pode ser considerada função.
1.2.1 A definição de função por meio de conjuntos
Como já mencionamos, as funções podem ser usadas quando há uma relação
entre duas grandezas, ou seja, é necessário que tenhamos um conjunto de
números para determinar o domínio e quando fizermos o processo estabelecido
pela função, vamos obter um conjunto numérico com suas imagens. Vamos utilizar
a representação de conjuntos por diagrama de flechas, com base em Leite e
Castanheira (2015), exemplificando cada caso estudado.
Considere o conjunto e , vamos
associar cada elemento pertencente a a um único elemento pertencente a 
. Vamos usar um diagrama de flechas para representar essa relação:
A partir desse diagrama, também podemos escrever ospares ordenados gerados
pelas flechas, que são os seguintes: Esses
pares ordenados podem ser representados graficamente. Há várias formas de
representar as funções que são muito importantes para estudar fenômenos da
realidade.
 Figura 5 - Diagrama de
flechas mostra a relação entre os elementos dos conjuntos A e B. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Os diagramas de flechas são também conhecidos como Diagramas de Venn, em homenagem ao
estudioso britânico John Venn (1834-1923). Acesse o site
<https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
(https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm)>. Para ler mais sobre esse tema e
conhecer a sua origem, as diversas áreas que são utilizadas os diagramas e ver exemplos sobre suas
aplicações (SILVA, 2018b).
Note, ainda, que todo elemento de está ligado a um único elemento de , essa
propriedade caracteriza uma função e podemos dizer que é uma função de em 
. Podemos, assim, definir função: sejam e conjuntos não vazios, uma
relação é uma função se, e somente se, todo elemento de estiver
relacionado, por meio de , a um único elemento de .
Vamos usar a notação para representar a função que leva os
elementos de em .
Vamos aos exemplos? Acompanhe.
 é função de em , pois todos os elementos de estão relacionados a um
único elemento de (mesmo sobrando elementos em ).
VOCÊ QUER LER?
 Figura 6 - Diagrama de
flechas relacionando dois conjuntos numéricos em que não representa uma função. Fonte: Elaborado
pela autora, 2018.
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
 não é função de em , pois existem elementos de que estão relacionados a
mais de um elemento de (o número 5 está relacionado a dois elementos de B e o
8 do conjunto também, esses elementos têm duas imagens em B).
d) é função de em , pois todos os elementos de estão relacionados a um
único elemento de (mesmo sobrando elementos em ).
 Figura 7 - Diagrama de
flechas relacionando dois conjuntos numéricos no qual não representa uma função. Fonte: Elaborado
pela autora, 2018.
 Figura 8 - Elaborado pela
autora, 2018. Fonte: Diagrama de flechas relacionando dois conjuntos numéricos no qual determina
uma função.
Neste último diagrama, temos uma função de A em B, logo podemos definir o seu
domínio, contradomínio e a sua imagem. Domínio são os elementos do conjunto
de entrada que escrevemos como ; contradomínio são os
elementos do conjunto de saída B escrito como ; e a imagem
são os elementos do conjunto que foram utilizados na relação e escrevemos
como .
Os diagramas permitem compreender a definição formal de função e mostrar
alguns casos que são funções ou não. Porém, nem sempre teremos um conjunto
pequeno de números para representar dessa maneira, a maioria das funções é
definida para o conjunto dos números reais, ou seja, um conjunto infinito. Nesse
caso, a melhor maneira de representar uma função é através de um gráfico. Vamos
estudar isso mais adiante.
1.2.2 Relações binárias definidas por certas condições e por
fórmulas
As relações binárias geram pares ordenados que podem ser representados em um
plano cartesiano. Para construir essas relações, precisamos estabelecer condições
ou regras que relacionam os elementos dos conjuntos. Segundo Munaretto (2018),
pode ser uma regra escrita ou uma regra matemática. Vamos apresentar esses
conceitos neste tópico.
Chama-se de relação binária o conjunto de pares ordenados gerados por um
produto cartesiano entre dois conjuntos e . Escrevemos essa relação da
seguinte maneira:
 (lemos a relação R é dada pelos pares
ordenados pertencentes ao produto cartesiano , tal que são gerados
por uma determinada regra).
Exemplo 1:
Considere o conjunto e o conjunto . Vamos
construir a seguinte relação binária: (lemos a
relação R é dada pelos pares ordenados pertencentes ao produto cartesiano 
, tal que y é par). Primeiro, vamos escrever o produto cartesiano entre os
conjuntos e . Para fazer isso, vamos escrever todos os pares ordenados
possíveis com a primeira coordenada do conjunto e a segunda do conjunto :
Os pares ordenados que estarão contidos na relação R pertencem ao conjunto 
 descrito acima, seguindo a regra de que a segunda coordenada y
pertencente ao conjunto deve ser par. Assim, escrevemos R selecionando os
pares ordenados cuja segunda coordenada é par
A relação binária também pode ter uma regra geradora algébrica, nesse caso é
necessário fazer os cálculos adequados para construir a relação.
Exemplo 2:
Considere o conjuntos conjunto e o conjunto 
. Vamos construir a relação definida por 
. Nesse caso, a coordenada y é determinada
pelo dobro de acrescido de quatro unidades; os pares de que satisfazem
essa condição são . Note que o elemento 3
pertencente ao conjunto não pode ser usado para construir um par ordenado,
pois aplicando a regra ao número 3 obtemos o número 10, elemento que não
pertence ao conjunto , então não podemos escrever esse par ordenado.
Nem toda relação binária construída é uma função, já que para ser função é
necessário que todo elemento de tenha um único correspondente em . No
exemplo 2, isso não acontece, pois o elemento 3 do conjunto não tem
correspondente em , o que não atende a definição de função.
1.2.3 Representação algébrica e gráfica de uma função
Em problemas matemáticos, normalmente, as funções são apresentadas em sua
forma algébrica para modelar o fenômeno estudado e poder ser usada para
efetuar cálculos de previsão, interpolação, estimativas etc. Além disso, o conjunto
de pontos que se deseja analisar por meio dessa função é composto por um
intervalo de números reais ou até mesmo por todos os números reais.
Como qualquer intervalo de números reais tem infinitos pontos, quando
construímos o gráfico da função não teremos mais pontos isolados, mas sim uma
linha contínua que representará graficamente todos os infinitos pontos utilizados.
Vamos considerar a relação entre o preço a ser pago por um produto vendido por
quilo, por exemplo, o preço do quilo do tomate, que em determinado
supermercado é de . Nesse caso, podemos escrever uma função que
fornece o preço a ser pago dependendo da quantidade de quilos comprada.
Denotando a quantidade a ser adquirida, em kg, pela variável , e o valor a ser
pago, em reais, por , podemos representar algebricamente a situação por 
 (lemos de igual a quatro vezes ).
Os valores do domínio possíveis para pertencem a um conjunto infinito de
números reais, pois o peso pode ser representado por qualquer número real
positivo. Assim, definimos o conjunto de entrada ou domínio como 
 (lemos pertence aos números reais, tal que é maior ou
igual a 0).
Seria impossível representar algebricamente todos os valores das imagens dessa
função, por isso, para compreender o seu comportamento em um intervalo infinito
de valores, usamos a representação gráfica. Vamos calcular alguns pontos na
Tabela a seguir:
Agora vamos representar esses pares ordenados no plano cartesiano, para
observar como eles se comportam.
 Tabela 2 -
Cálculo de alguns pontos da função para a construção do gráfico. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Observe que os pontos nos gráficos ficam alinhados, então vamos construir mais
alguns pontos para observar o que acontece.
 Figura 9 - Gráfico
representando os pontos da função gerados a partir dos cálculos. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Agora vemos com mais clareza que a função se comporta de maneira linear, ou
seja, os pontos estão alinhados e se construirmos infinitos pontos nesse gráfico
teremos uma reta (nesse caso uma semirreta, pois ela tem o ponto de origem em
(0,0)).
Construir infinitos pontos é impossível, por isso quando a função apresenta esse
comportamento linear apenas alguns pontos são suficientes para traçar a reta que
representará os infinitos pontos possíveis de serem calculados nessa função. Veja
o gráfico:
 Figura 10 -
Ao construir mais pontos, é possível observar o comportamento do gráfico. Fonte: Elaborado pela autora,
2018.
Vamos supor agoraque um jogador de futebol chuta a bola para um companheiro
de time, o movimento que a bola faz ao subir até cair em um determinado ponto
do campo é estudado matematicamente e pode ser representado algebricamente
por uma função. Considere a distância percorrida pela bola na horizontal e a
altura da bola em certo instante, o movimento descrito pela bola é representado
pela seguinte função: .
 Figura 11 - A reta
laranja representando o gráfico da função é infinita, mas, no gráfico, aparece apenas um
pedaço de seu todo. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Os valores de entrada são dados pela distância em metros, nesse caso teremos
infinitos valores que poderemos inserir na função, mas vamos utilizar alguns deles
para analisar o seu comportamento.
Com esses pontos podemos construir um gráfico para visualizar o comportamento
da função. Observe:
 Tabela 3
- Cálculo de pares ordenados por meio da função estabelecida. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Figura 12 - Gráfico representando os pontos da função gerados a partir dos cálculos dos pares ordenados.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Apenas esses pontos ainda não são suficientes para entendermos como a função
está se comportando, por isso vamos inserir mais pontos. Veja:
Agora podemos observar que os pontos estão se alinhando de maneira a formar
uma curva simétrica, o que, em Matemática, chamamos de parábola. Sabendo
como os pontos estão se comportando podemos traçar o gráfico que representa os
infinitos pontos que podem ser inseridos no lugar de . Observe:
Figura 13 - Ao construir mais pontos, o gráfico passa a ter um novo comportamento. Fonte: Elaborado pela
autora, 2018.
Nesse gráfico, podemos observar que a curva em laranja descreve um modelo
matemático aproximado do trajeto que a bola, ao ser chutada pelo jogador de
futebol, faz no ar, partindo do ponto (0, 0), subindo até uma altura máxima e
depois caindo novamente no chão. Existem outros fenômenos que também
podem ser representados por esse tipo de gráfico como: a curva de um jato de
água de uma mangueira ou de chafariz, a superfície espelhada refletora do farol de
um carro ou de uma lanterna, as antenas parabólicas usadas para sinal de
televisão, telefone, radares, entre outros.
Figura 14 - Representação gráfica da função em um intervalo de infinitos pontos. Fonte: Elaborado pela
autora, 2018.
1.3 Zeros ou raízes, domínio e imagem
de uma função
Os conceitos de domínio e imagem são fundamentais para o estudo de funções,
pois além da expressão matemática que relaciona os elementos, os conjuntos
envolvidos precisam estar claros e bem definidos, no caso desta disciplina, dentro
do universo dos números reais.
Ainda, o estudo dos zeros ou raízes de uma função permite analisar o seu
comportamento algébrico e gráfico, bem como fazer cálculos para problemas
específicos como, por exemplo, o valor em que uma empresa não tem prejuízo em
suas vendas, o alcance de um projétil lançado verticalmente, o instante em que
um forno industrial esfria completamente, o tempo gasto por um carro a partir de
sua saída até o final do percurso, onde está parado, entre outros.
1.3.1 Zeros de uma função
O lucro de uma empresa depende do número de unidades vendidas de seu
produto, logo podemos expressar uma relação matemática entre o número de
unidades vendidas e o lucro L obtido. Para se manter no mercado, mais
importante do que ter lucro positivo é garantir que não haverá prejuízos.
Então, é possível determinar o valor exato de unidades que deverão ser vendidas
para que a empresa não tenha prejuízo? A resposta é o valor de para o qual o
lucro L é zero. Esse valor é chamado de zero da função.
Considere a função , tal que . Vamos calcular o valor da
função para e . Observe:
Note que nos dois casos, obtemos resultado 0, ou seja, para e a
função se anula. Quando isso ocorre chamamos e de zeros ou
raízes da função . Assim, para calcular os zeros de uma função devemos fazer 
.
Exemplos:
Calcule os zeros das funções a seguir:
a) 
Para determinar os zeros da função , vamos substituir :
Portanto, essa função possuí apenas um zero: .
b)
Para determinar os zeros da função , vamos substituir 
:
Portanto, essa função possuí dois zeros: e .
VOCÊ SABIA?
É possível encontrar os zeros de qualquer função polinomial de variável real? Não. Existem funções
definidas no conjunto dos números reais que não possuem zeros, por exemplo, 
 não tem solução nos quando substituímos . Veja:
, pois a raiz
quadrada de números negativos não está definida para os , logo não é possível determinar o
zero dessa função para esse domínio. Vale ressaltar que todo polinômio de grau , com ,
possui pelo menos um zero (real ou complexo). Devemos observar se esse valor está contido no
domínio estabelecido para a função, como as funções polinomiais de uma variável real.
Os zeros da função são os pontos em que o gráfico corta o eixo e são importantes
para ajudar a entender como a função está se comportando graficamente, o que
facilita a construção de gráficos complexos. Vamos construir os gráficos dos dois
exemplos anteriores para observarmos a posição dos zeros das funções.
Exemplos:
Para a função , obtemos que o seu zero é . Como o valor do
zero é calculado para , podemos escrevê-lo como o par ordenado ,
em que a coordenada sempre será 0. Observe a posição desse ponto no gráfico a
seguir:
b) Na função , temos dois zeros e , logo
podemos escrevê-los como os pontos e . Observe suas posições no
gráfico a seguir:
 Figura
15 - O ponto em laranja representa o zero da função, ponto de intersecção entre o eixo e o gráfico da
função. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Em cada fenômeno estudado, os zeros da função têm um significado especifico. Se
for a função que descreve o lançamento de uma bola de futebol, os zeros da
função são os momentos em que a bola toca o solo, que é o ponto onde ela é
chutada, e o ponto onde ela cai no gramado. Se estivermos nos referindo a uma
função que determina o lucro de uma empresa, o zero da função representa o
ponto em que o lucro é nulo, ou seja, ainda não foi obtido lucro com as vendas,
mas todos os custos foram pagos.
1.3.2 Determinação do domínio de uma função
A determinação do domínio de uma função é importante para saber quais os
valores podemos substituir pela variável independe . Segundo Leite e
Castanheira (2015), algumas funções já apresentam o seu domínio de maneira
explícita, mas outras necessitam que determinemos qual o subconjunto dos
números reais satisfaz determina regra matemática.
Figura 16 - Os pontos em laranja são os zeros da função e representam a intersecção do eixo com o
gráfico da função. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Considere a função . Vamos pensar na possibilidade de valores que
a variável pode assumir. Para determinar o domínio, temos que responder a
seguinte pergunta: existe algum número real que quando substituído por torna
impossível a determinação da imagem?
Para a resposta, os casos mais importantes a serem considerados são , 
positivo e negativo. Nessa função, qualquer número inserido permite a
determinação de uma imagem , logo dizemos que o domínio são todos os
números reais e representamos da seguinte maneira: (lemos domínio
de igual aos números reais}.
Agora, vamos considerar a seguinte função: . Nesse caso, temos uma
fração algébrica em que a variável aparece tanto no numerador quanto no
denominador. Para determinar o domínio dessa função, vamos analisar as
expressões que compõem a fração algébrica isoladamente.
Como o numerador é não temos restrição para ele. Toda fração tem a
restrição de que o denominador precisa ser diferente de zero, logo e 
 (lemos diferente de quatro negativo). Então, o domínio da função 
 é:
 (lemos pertence aos números reais, tal que é
diferente de quatro negativo).
Seja a função . Quando temos uma raiz quadrada devemos
lembrar que, em , não existe raiz quadrada de número negativo, logo o
radicando, que é a expressão que está dentro dessa raiz, deve ser positivo ou nuloe, portanto, maior ou igual a zero. Então temos que:
Portanto, o domínio da função pode ser escrito como 
 (lemos pertence aos números reais, tal que é maior
ou igual a dois).
Caso tenha ficado com dúvidas nos cálculos do domínio algébrico de uma função, leia o tema no livro
“Pré-Cálculo” (DEMANA et al., 2009). No livro, você verá mais exemplos sobre a determinação do
domínio de uma função.
Para explicar o que é contradomínio e imagem de uma função, vamos utilizar o
diagrama de flechas a seguir:
Aprendemos que o conjunto de entrada é o domínio da função, certo? Assim, no
diagrama anterior, o domínio é dado por . O conjunto B é
o conjunto de chegada e é chamado de contradomínio da função, nesse caso 
. A imagem dessa função são os elementos do
conjunto B que estabeleceram relação com algum elemento de A, logo 
Do mesmo modo quando dizemos que uma função é definida como ,
o domínio é e o contradomínio é A imagem dessa função é definida pelo
conjunto de pontos gerados por ela que estão contidos no contradomínio, ou seja,
os valores de obtidos quando inserimos os valores do domínio definidos na
função.
VOCÊ QUER LER?
 Figura 17 - Diagrama de
flechas relacionando dois conjuntos numéricos. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Uma maneira prática de determinar a imagem de uma função é construir o gráfico
e observar o comportamento dos pontos. Por exemplo, considere o gráfico a
seguir:
Como a imagem é dada pelos pontos de , no gráfico esses pontos são
representados no eixo , logo devemos observar os pontos de que foram
utilizados para construir a função. Note que o primeiro ponto do eixo possui
coordenadas ; todos os demais encontram-se na direção crescente do
eixo y e possuem correspondente em . Dessa maneira, definimos o conjunto
imagem como: } (lemos pertence aos números reais,
tal que é maior ou igual a três negativo).
Vamos a um exemplo. Um vendedor recebe um salário fixo mensal de R$1.400,00
mais uma comissão de 5% do valor vendido mensalmente. No ano passado, no
mês de maio, ele atingiu o seu menor valor de vendas, R$2.000,00, e, em
Figura 18 - Gráfico de uma função em que a imagem está representada em cinza. Fonte: Elaborado pela
autora, 2018.
dezembro, o seu maior valor de vendas, R$8.000,00. Podemos construir uma
função que relacione o salário em função do total de vendas , da seguinte
maneira: .
Note que se trata de uma função afim, cujo domínio é dado pelos valores possíveis
para que varia entre 2000 e 8000 reais, assim o domínio é expresso por 
. Veja o gráfico dessa função.
Como a imagem da função são os valores obtidos para , podemos observar
no gráfico que o conjunto imagem é 
e concluir que o vendedor obteve, no ano passado, um salário compreendido
entre os valores de 1.450 e 1.800 reais.
De modo geral, nos gráficos que formam uma reta a imagem da função são todos
os números reais, pois todo ponto do eixo tem correspondente em e a reta é
infinita nos seus dois sentidos, o que garantimos pelo gráfico que tanto o domínio
quanto a imagem são os números reais. A exceção se dá, naturalmente, quando
esse gráfico está atrelado a um contexto aplicado, com x eou y representando as
variáveis que não podem assumir valores negativos, por exemplo.
Figura 19 - Gráfico representa a relação entre o salário final e o valor de vendas atingido. Fonte: Elaborado
pela autora, 2018.
1.3.3 Funções injetiva, sobrejetiva e bijetiva
As funções podem ser classificadas de acordo com o comportamento da relação
entre domínio e imagem e nesse caso temos três classes de funções: injetiva,
sobrejetiva e bijetiva (LEITE; CASTANHEIRA, 2015). Vamos compreender cada uma
delas neste tópico.
Uma função é injetiva quando elementos distintos de são
relacionados por em elementos distintos de , ou seja, tomando em ,
obtemos ) em . Observe os exemplos a seguir utilizando
diagramas de flechas.
Esse diagrama mostra uma função injetiva, pois elementos distintos de estão
relacionados a elementos distintos de ou, em outras palavras, não temos um
elemento em que receba mais de uma flecha.
 Figura 20 - Diagrama de
flechas que representa a função que é injetiva. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Já esse diagrama mostra o exemplo de uma função que não é injetiva, pois temos
dois elementos distintos pertencentes ao conjunto , (1 e 15) que possuem a
mesma imagem em (30).
Uma função é sobrejetiva quando todo elemento pertencente ao
conjunto é imagem de um elemento pertencente ao conjunto . Observe os
exemplos a seguir utilizando diagramas de flechas.
Nesse diagrama, se escolhermos qualquer elemento do conjunto , este será
imagem de algum elemento do conjunto , isto é, o contradomínio da função 
é igual a sua imagem, ou ainda, não sobram elementos sem flecha no conjunto .
 Figura 21 - Diagrama de
flechas que representa a função que não é injetiva. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
 Figura 22 - Diagrama de
flechas que representa a função que é sobrejetiva. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Nesse caso, a função não é sobrejetiva, pois existem elementos do contradomínio
(conjunto ) que não são imagem de nenhum elemento do conjunto , 9 e 15.
Por fim, uma função é bijetiva quando ela for injetiva e sobrejetiva,
simultaneamente. Observe os exemplos a seguir utilizando diagramas de flechas.
Esse diagrama representa uma função bijetiva, pois ela é injetiva, já que dois
elementos distintos do domínio possuem imagens distintas, e é sobrejetiva, já que
o contradomínio é igual a imagem. Muito bem, seguindo com nosso estudo, no
próximo tópico vamos utilizar o conceito de função bijetiva para determinar a
inversa de funções.
 Figura 23 - Diagrama de
flechas que representa a função que não é sobrejetiva. Fonte: Elaborado pela autora,
2018.
 Figura 24 - Diagrama de
flechas que representa a função que é bijetiva.
1.4 Função composta e inversa
Neste tópico, vamos abordar a composição de funções, que é uma estratégia
matemática que une duas funções com o objetivo de relacionar as variáveis
envolvidas em cada uma. A função composta leva os elementos do domínio da
primeira aos elementos da imagem da segunda e vamos aprender a representar
matematicamente a composta de duas ou mais funções.
Ainda, veremos que as funções inversas permitem criar novas expressões
invertendo os conjuntos de domínio e imagem. Apenas as funções com
características bijetivas podem gerar uma inversa, uma vez que é necessário que
todo elemento na imagem tenha um único correspondente no domínio.
1.4.1 Função composta
Considere a seguinte situação: uma indústria produz parafusos por dia e fazem
pacotes com 50 unidades cada um. São utilizadas para o armazenamento caixas
que comportam 20 pacotes em cada uma.
Vamos representar por f a função que determina a quantidade de pacotes obtidos
com a produção de unidades de parafusos. Como cada pacote contém 50
unidades, podemos escrever .
Agora vamos representar por g a função que relaciona a quantidade de caixas
utilizadas a partir do número de pacotes produzidos pela empresa. Chamando o
número de pacotes, podemos escrever .
Existe uma maneira de calcular diretamente o número de caixas obtidas com a
produção de parafusos por dia sem necessitar calcular o número de pacotes?
Sim, podemos fazer uma composição entre as duas funções, calculando 
(lemos composta com ). Observe:
Assim, a função obtida relaciona o número de
parafusos produzidos com o número de caixas embaladas pela indústria.
SO
esa de bicicletas tem o custo fixo mensal com água, luz, aluguel e funcionários no valor de R$ 12.000,00. O
vel por unidade é de R$ 600,00 e cada bicicleta é vendida por R$ 1.300,00. O dono da empresa gostaria de
omportamento dos lucros e prejuízos dependendo da quantidade de bicicletas vendidas por mês. Um dos
s teve a ideia de representar o lucro por meio de uma função para facilitar o estudo dos casos que o dono
a solicitou. Depois de alguns dias o funcionário apresentou os seguintes resultados.
ente, o lucro é definido pelo que sobra da venda das bicicletas,descontando os gastos mensais e o valor
bicicleta, ou seja, é a receita menos o custo: L = R - C.
mar de x o número de unidades de bicicletas vendidas, assim podemos escrever a função receita como R
A função custo pode ser escrita como C (x) = 600x + 12000, então agora podemos montar a função lucro da
maneira:
ão lucro definida, o funcionário respondeu as dúvidas do dono da empresa. Uma delas era sobre quantas
le precisaria vender para cobrir os seus custos, ou seja, não ter lucro, mas também não ficar devendo
pergunta é respondida calculando o zero da função, fazendo L (x) = 0 da seguinte maneira:
eria necessário vender aproximadamente 17 bicicletas para cobrir os custos da empresa. 
r uma reforma na loja que custaria R$ 8.000,00 quantas unidades precisam ser vendidas para obter esse
de lucro? Nesse caso:
sário vender, aproximadamente, 28 bicicletas para ter o lucro desejado. 
ortância da composição de funções para agilizar os cálculos e obter através de uma única expressão a
re várias variáveis.
De acordo com Munaretto (2018), definimos a função composta como: tomando A,
B e C conjuntos números e as funções e , temos que a
função , tal que , é chamada de função composta de 
 e .
Considere agora as funções e . Vamos calcular a
composta de g em f. Observe:
Agora podemos calcular e , veja:
Também podemos observar a situação contrária, em que a função é dada e vamos
determinar quais funções foram usadas para tal composição. Por exemplo, a
função é uma função composta e suas componentes são: 
 e . Essa técnica é usada para a derivada de funções
compostas, conhecida por regra da cadeia, que vamos estudar mais adiante em
nossa disciplina.
1.4.2 Função inversa
Quando construímos uma função, ela relaciona dois conjuntos por meio de uma
regra, por exemplo, se a regra for dobrar o número de entrada podemos também
fazer o inverso, pegar o número de saída e calcular sua metade, isto é uma
inversão de funções. Vamos estudar essa ideia mais a fundo neste tópico.
Vamos usar um exemplo de diagrama de flechas para introduzir a noção de função
inversa. Considere representada a seguir:
Nesse caso, a função relaciona os seguintes pares ordenados: 
. Para construir a inversa dessa função, precisamos
relacionar os elementos do conjunto com os do conjunto , assim passamos a
 Figura 25 - Diagrama de flechas representando a função . Fonte: Elaborado pela autora,
2018.
ter um novo domínio e uma nova imagem. A função inversa é denominada por 
. O diagrama a seguir mostra a relação , observe:
A função inversa leva os valores de em , então podemos escrever 
. Note que os pares ordenados ficaram
invertidos ou ainda que a inversa desfez a ação de . Não são todas as funções que
possuem inversa ou que são invertíveis. Para uma função ter inversa ela precisa
ser bijetiva, pois a inversão leva todos os elementos do contradomínio em um
elemento no domínio e as bijetoras garantem que isso aconteça.
Vamos agora aprender uma técnica apresentada em Leite e Castanheira (2015)
para a obtenção algébrica da inversa de uma função. Seja a função 
, já vimos que , portanto, podemos escrevê-la da seguinte forma: 
.
O primeiro passo é trocar por e por , veja: . Depois, vamos isolar
a letra :
. Logo, a função inversa de pode ser
escrita como: .
Agora, considere a função . Vamos calcular a sua inversa
trocando as variáveis:
Vamos a um exemplo?
 Figura 26 - Diagrama de
flechas representando a função . Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Uma concessionária de motocicletas anunciou uma promoção em sua linha em
que todas estão com desconto de 8,5% no preço de tabela, mais um desconto
adicional de R$1.000,00 para pagamento à vista. Supondo que você tenha R$9.500
reais, é possível determinar a motocicleta mais cara que você consegue comprar
com esse valor?
Primeiro, vamos construir uma função que relaciona o preço final, com desconto,
P com o valor de tabela x. Como o desconto dado é de 8,5% , o valor da
motocicleta é 91,5% do preço original de tabela, logo .
Para determinar o valor mais alto obtido nessa função, vamos determinar a sua
inversa, trocando as variáveis de posição:
Logo, a função inversa é .
Utilizando o valor disponível de R$9.500, vamos agora calcular o valor procurado
utilizando a inversa:
Concluímos, então, que a motocicleta de maior valor que você poderá comprar
será de R$11.474,41.
O cálculo da função inversa é usado em problemas em que é necessário construir
uma nova função com as mesmas variáveis, mas invertendo o conjunto de entrada
com o de saída. O estudo de seu gráfico também ajuda nesses casos, como
veremos a seguir.
1.4.3 Gráfico de funções inversas
Vimos no tópico anterior que para determinar a inversa de uma função podemos
trocar as letras por . Essa técnica decorre da ideia de pares ordenados, logo
também podemos representá-la no plano cartesiano. Vamos considerar o ponto 
, assim ao inverter as coordenadas obtemos o ponto . Veja
esses pontos no gráfico:
Podemos observar que o inverso de um ponto fica a mesma distância da reta 
, que é a bissetriz dos quadrantes , ou seja, os pontos ficam refletidos
em relação a essa reta. Isso também acontece com os gráficos das funções, sem
que calculemos sua inversa.
Considere a função , como ela é classificada como bijetora,
podemos fazer o cálculo da sua inversa. Primeiro, escrevemos a função da
seguinte maneira: . Depois trocamos por e por , veja: 
.
Agora vamos isolar : . Logo, podemos escrever a
inversa como . Vamos observar o comportamento gráfico de
uma função e sua inversa:
Figura 27 - Representação gráfica do ponto e seu inverso. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Podemos observar que o comportamento do gráfico da função inversa tem uma
simetria de reflexão em torno da reta (MUNARETTO, 2018). Muitas vezes
podemos construir o gráfico da função inversa para observar suas características e
resolver problemas sem conhecer, necessariamente, a sua forma algébrica,
fazendo-o apenas com recursos geométricos.
Figura 28 - Representação gráfica de uma função e o comportamento de sua inversa. Fonte: Elaborado
pela autora, 2018.
Síntese
Concluímos o capítulo introdutório da disciplina de Funções Polinomiais de
Variável Real. Você conheceu situações reais que podem ser representadas por
meio de funções, quando identificar que uma relação é uma função e sua
importância para fazer previsões sobre o fenômeno estudado.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
explorar a ideia intuitiva de função que usamos no dia a dia;
reconhecer a relação entre dois conjuntos numéricos e quando podemos
dizer que esta é uma função;
representar algebricamente uma função;
representar graficamente uma função no plano cartesiano;
identificar o domínio e a imagem de uma função;
classificar as funções em injetiva, sobrejetiva e bijetiva;
compreender o processo de composição de funções;
determinar a inversa de uma função;
identificar as características do gráfico da função inversa.
Bibliografia
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