Cálculo Diferencial e Integral II - AVA1

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Disciplina Cálculo Diferencial e Integral II 
 
Curso Engenharia de Produção 
Trabalho da Disciplina AVA 1 
 
Funções de várias variáveis: algumas aplicações 
 
1ª Questão: A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende da 
longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos escrever T=f(x,y,t). O 
tempo é medido em horas a partir do princípio de janeiro. 
(a) Qual o significado das derivadas parciais ∂T/∂x, ∂T/∂y e ∂T/∂t? 
 
∂T/∂x – A taxa de variação da temperatura e quando a longitude varia, com a latitude e 
tempo fixados 
 
∂T/∂y – A taxa de variação da temperatura quando varia apenas a latitude 
 
∂T/∂t – É a taxa de mudança quando varia apenas o tempo, mas a latitude e a longitude 
permanecem constantes. 
 
(b) Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 21º N. Suponha que às 9 horas 
em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, de forma que a oeste 
e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja frio. Você esperaria fx(158,21,9), 
fy(158,21,9) e ft(158,21,9) serem positivos ou negativos? Explique. (Atenção para o 
fato das longitudes serem contadas a partir do meridiano central, sendo positivas 
para leste (E) e negativas para oeste (W)). 
 
Fx (158,21,9) - Positiva - Quando há variação, na longitude, a temperatura tende a ficar 
mais quente, sendo assim, indo mais para leste do que oeste, consequentemente sendo 
positiva. 
 
Fy (158,21,9) - Negativa - Quando há variação de temperatura na direção norte, esta 
tende a ficar mais fria, sendo assim, indo mais para oeste que para leste, 
consequentemente sendo negativa. 
 
Ft (158,21,9) - Positiva - Conforme o enunciado, a temperatura aumenta pela manhã 
para a tarde. 
 
 
2ª Questão: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja V 
seja dado por 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)=5𝑥2−3𝑥𝑦+𝑥𝑦𝑧. 
(a) Qual o domínio da função V? 
D = {f(v) = (x,y,z) € R³ I (5x)² – 3xy+xyz ≥ 0} 
(b) Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor �̂�+ �̂�+𝒌 ̂. 
V (x,y,z) = 5x² – 3xy + xyz 
 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 = 10x – 3y +yz 
𝒅𝒗
𝒅𝒚
 = – 3x + xz 
𝒅𝒗
𝒅𝒛
 = xy 
Então o gradiente é dado por: 
∇V(x,y,z) = (10x – 3y + yz) �̂� + (– 3x + xz) �̂� + (xy) 𝒌 ̂ 
𝑑𝑣(𝑃)
𝑑𝑥
 = 10x – 3y + yz = (10.3) – (3.4) + (4.5) = 30 – 12 + 20 = 38 
𝑑𝑣(𝑃)
𝑑𝑦
 = – 3x + xz = – (3.3) + (3.5) = – 9 + 15 = 6 
𝑑𝑣(𝑃)
𝑑𝑧
 = xy = (3.4) = 12 
∇V(p) = (38,6,12) Direção de máxima variação de V. 
Derivada direcional na direção do vetor �̂�+ �̂�+𝒌 ̂. 
V = �̂�+ �̂�+𝒌 ̂ sendo V= 1 + 1 + 1 
|𝑉| = √12 + 12 + 1² 
Taxa de variação: 
(∇𝑉. 𝑣
→
|
𝑣
→|
) = 
(38.1)+(6.1)+(12.1)
√3
 
 (3,4,5) 
(∇𝑉. 𝑣
→
|
𝑣
→|
) = 
38+6+12
√3
 
 (3,4,5) 
(∇𝑉. 𝑣
→
|
𝑣
→|
) = 
56
√3
 
 (3,4,5) 
(c) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P? 
A direção em que V varia mais rapidamente em P é a direção do gradiente de V no 
ponto P, isto é, na direção de ∇V (p) = (38,6,12) 
3ª Questão: Uma caixa de papelão (com tampa) deve ter um volume de 32.000 cm3. 
Determine as dimensões (aproximadas) da caixa que minimizem a quantidade de 
papelão utilizado. (Atenção: o raciocínio desenvolvido deve ser o mais geral possível, 
logo a caixa deve ser considerada, inicialmente, retangular) 
 
𝑉 = 𝑥𝑧𝑦 = 32000 𝑐𝑚3 
 𝐴 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2 (𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧) → Á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎 
Temos que z = 
3200
𝑥𝑦
 
 
𝐴 (𝑥, 𝑦) = 2 (𝑥𝑦 +
32000
𝑥
+ 
32000
𝑦
) 
𝑑𝐴
𝑑𝑥
= 0 → 2 (𝑦 − 
32000
𝑥
) = 0 → 𝑦 =
32000
𝑥²
 
𝑑𝐴
𝑑𝑦
= 0 → 2 (𝑥 − 
32000
𝑦²
) = 0 → 𝑥 =
32000
𝑦²
 
Achando os valores de x e y temos, 
𝑥 = 
32000
𝑦²
→ 𝑥 =
32000
(
32000
𝑥²
)²
 → 𝑥 =
𝑥²
32000
→ 𝑥3 = 32000 → 𝑥 = √32000
3
≅ 31,75 
𝑦 = 
32000
𝑥²
→ 𝑥 =
32000
( √32000
3
)²
 → 𝑦 = √32000
3
≅ 31,75 
 
𝑥 ≅ 31,75 𝑒 𝑦 ≅ 31,75 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑚 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 
𝑧 = 
32000
𝑥𝑦
→
32000
31,75.31,75
≅ 31,74 
Dimensões da caixa: 
Altura 31,75 cm / Largura 31,75cm / Profundidade 31,74cm