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Disciplina: Cálculo diferencial e integral 2 Curso: Engenharia de produção Setembro/2021 Questões e Respostas: 1ª Questão: A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende da longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos escrever T=f(x,y,t). O tempo é medido em horas a partir do princípio de janeiro. a) Qual o significado das derivadas parciais ∂T/∂x, ∂T/∂y e ∂T/∂t? ∂T/∂x - É a taxa de variação da temperatura quando somente a longitude muda. A latitude e o tempo são constantes. ∂T/∂y - É a taxa de variação da temperatura quando a latitude muda. A longitude e o tempo são constantes. ∂T/∂t - É a taxa de variação da temperatura quando o tempo muda. A latitude e a longitude permanecem constantes. b) Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 2 1º N. Suponha que às 9 horas em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, de forma que a oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja frio. Você esperaria f x(158,21,9), fy(158,21,9) e ft(158,21,9) serem positivos ou negativos? Explique. (Atenção para o fato de as longitudes serem contadas a partir do meridiano central, sendo positivas para leste (E) e negativas para oeste (W)). Longitude = fx(158,21,9) > 0 Latitude = fy(158,21,9) < 0 Tempo = ft(158,21,9) > 0 2ª Questão: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja V seja dado por 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)=5𝑥2−3𝑥𝑦+𝑥𝑦𝑧. a) Qual o domínio da função V? b) Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor 𝒊+ ̂ 𝒋+̂ 𝒌.̂ c) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P? V varia mais rápido na direção do vetor ∆V(P) = (38; 6; 12) Funções de várias variáveis: algumas aplicações Ao longo das unidades 1 e 2 discutimos algumas possíveis aplicações das funções de várias variáveis. Nas questões abaixo teremos uma noção geral de como tais funções e o conhecimento adquirido até agora podem ser utilizados em algumas áreas do conhecimento. 1ª Questão: A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende da longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos escrever T=f(x,y,t). O tempo é medido em horas a partir do princípio de janeiro. (a) Qual o significado das derivadas parciais ∂T/∂x, ∂T/∂y e ∂T/∂t? (b) Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 21º N. Suponha que às 9 horas em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, de forma que a oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja frio. Você esperaria fx(158,21,9), fy(158,21,9) e ft(158,21,9) serem positivos ou negativos? Explique. (Atenção para o fato das longitudes serem contadas a partir do meridiano central, sendo positivas para leste (E) e negativas para oeste (W)). 2ª Questão: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja V seja dado por 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)=5𝑥2−3𝑥𝑦+𝑥𝑦𝑧. (a) Qual o domínio da função V? (b) Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor 𝒊+ ̂ 𝒋+̂ 𝒌.̂ (c) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P? 3ª Questão: Uma caixa de papelão (com tampa) deve ter um volume de 32.000 cm3. Determine as dimensões (aproximadas) da caixa que minimizem a quantidade de papelão utilizado. (Atenção: o raciocínio desenvolvido deve ser o mais geral possível, logo a caixa deve ser considerada, inicialmente, retangular).
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