08 - Equações de 1 e de 2 graus

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Aula 08 – Álgebra – 
Equações de 1º e 2º graus 
Raciocínio Lógico para Agente de Pesquisas e 
Mapeamento do IBGE (Pós-edital). 
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Sumário 
ÁLGEBRA – EQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAUS ............................................................................................. 3 
EQUAÇÕES DE 1º GRAU 3 
Sistemas de equações de primeiro grau (sistemas lineares) 7 
EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU 14 
Representação das equações de segundo grau 14 
Cálculo das raízes da equação 16 
Análise da quantidade de raízes distintas 18 
Soma e produto das raízes 20 
Sistemas de equações do 2º grau 22 
QUESTÕES DA BANCA FGV COMENTADAS ...................................................................................................... 25 
LISTA DE QUESTÕES DA AULA ........................................................................................................................ 41 
GABARITO .......................................................................................................................................................46 
RESUMO DIRECIONADO .................................................................................................................................. 47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Álgebra – Equações de 1º e 2º Graus 
 
Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima. 
É com muita alegria que inicio mais essa aula. 
Vamos tratar sobre os seguintes tópicos do seu edital neste encontro: 
 
Equações de 1º e 2º graus. 
 
Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo: 
 
EQUAÇÕES DE 1º GRAU 
Para começar o estudo deste tópico, vamos trabalhar o seguinte exemplo: “João tinha uma quantidade 
de bolas cheias, porém 5 murcharam, restando apenas 3 cheias. Quantas bolas tinha João?”. Neste caso, a 
variável que pretendemos descobrir é o número de bolas. Chamando essa variável de x, sabemos que x menos 
5 bolas que murcharam resulta em apenas 3 bolas cheias. Matematicamente, temos: 
x – 5 = 3 
portanto, 
x = 8 bolas 
Este é um exemplo bem simples. Note que a variável x está elevada ao expoente 1 (lembra-se que 
1x x=
?). Quando isso acontece, estamos diante de uma equação de 1º grau. Estas equações são bem simples de se 
resolver: basta isolar a variável x em um lado da igualdade, passando todos os demais membros para o outro 
lado, e assim obtemos o valor de x. 
Antes de prosseguirmos, uma observação: você notará que eu não gosto de usar a letra x, mas sim uma 
letra que “lembre” o que estamos buscando. No exemplo acima, eu teria usado B (de bolas), pois acho que isso 
evita esquecermos o que representa aquela variável – principalmente quando estivermos trabalhando com 
várias delas ao mesmo tempo. 
O valor de x que torna a igualdade correta é chamado de “raiz da equação”. Uma equação de primeiro 
grau sempre tem apenas 1 raiz. Vejamos outro exemplo: 
3x - 15 = 0 
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3x = 15 
x = 5 
Note que as equações abaixo NÃO são de primeiro grau: 
2 16 0x − = 
30 0x x+ − = 
1
5 0x
x
+ − = 
Uma equação do primeiro grau pode sempre ser escrita na forma 0ax b+ = , onde a e b são números 
que chamaremos de coeficientes, sendo que, necessariamente, 0a  (a deve ser diferente de zero, caso 
contrário 0.x = 0, e não estaríamos diante de uma equação de primeiro grau). Veja que, isolando x em 
0ax b+ = , temos: 
ax = -b 
b
x
a
−
= 
Portanto, a raiz da equação é sempre dada por b
a
− . Na equação de primeiro grau 2 13 0x − = , temos a 
= 2 e b = -13. Portanto, a raiz será x = 
( 13) 13
2 2
b
a
− − −
= = . 
Agora imagine o seguinte problema: “O número de bolas que João tem, acrescido em 5, é igual ao dobro 
do número de bolas que ele tem, menos 2. Quantas bolas João tem?” 
Ora, sendo B o número de bolas, podemos dizer que B + 5 (o número de bolas acrescido em 5) é igual a 2B 
– 2 (o dobro do número de bolas, menos 2). Isto é: 
B + 5 = 2B – 2 
Para resolver este problema, basta passar todos os termos que contém a incógnita B para um lado da 
igualdade, e todos os termos que não contém para o outro lado. Veja: 
-(-2) + 5 = 2B – B 
Repare que, quando passamos um termo de um lado para o outro da igualdade, devemos mudar a sua 
operação. Se o número está somando (é positivo), ele passa para o outro lado subtraindo (negativo). Se um 
número está multiplicando, ele passa para o outro lado dividindo. E vice-versa. Continuando o cálculo: 
2 + 5 = B 
7 = B 
Sobre este tema, resolva as questões a seguir: 
FGV – IBGE – 2017) Fernando teve três filhos em três anos seguidos. Quando ele fez 39 anos reparou que essa 
sua idade era igual à soma das idades dos seus três filhos. Nesse dia, o seu filho mais velho tinha: 
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(A) 12 anos; 
(B) 13 anos; 
(C) 14 anos; 
(D) 15 anos; 
(E) 16 anos. 
RESOLUÇÃO: 
Como os filhos nasceram em anos seguidos, podemos dizer que o mais novo tem N anos, os demais tem N+1 e 
N+2 anos de idade. Sabemos que a idade de Fernando (39) é igual à soma das idades dos filhos, ou seja, 
39 = N + N+1 + N+2 
39 = 3N + 3 
3N = 39 – 3 
3N = 36 
N = 12 
O filho mais velho tem N+2 = 12+2= 14 anos. 
Resposta: C 
 
VUNESP – CÂMARA SJC– 2018) Três quartos do total de uma verba foi utilizada para o pagamento de um 
serviço A, e um quinto do que não foi utilizado para o pagamento desse serviço foi utilizado para o pagamento 
de um serviço B. Se, da verba total, após somente esses pagamentos, sobraram apenas R$ 200,00, então é 
verdade que o valor utilizado para o serviço A, quando comparado ao valor utilizado para o serviço B, 
corresponde a um número de vezes igual a 
(A) 13. 
(B) 14. 
(C) 15. 
(D) 16. 
(E) 17. 
Resolução: 
 Seja “N” o valor da verba. O serviço A foi pago com ¾ dessa verba: ¾ de N = 3N/4. Não foi utilizado, 
portanto, ¼ de N = N/4. 
 O serviço B foi pago com um quinto do que não foi utilizado do serviço A. Logo: 1/5 x N/4 = N/20. 
 Após esses dois pagamentos, restaram 200 reais. Portanto: 
N – 3N/4 – N/20 = 200 
20N/20 – 15N/20 – N/20 = 200 
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20N – 15N – N = 20 x 200 
4N = 4000 
N = 1000 reais 
 Os valores usados para pagar os serviços A e B foram: 
Serviço A = 3000/4 = 750 reais 
Serviço B = 1000/20 = 50 reais 
 Logo, o valor de A em relação a B é: 750/50 = 15 vezes maior. 
Resposta: C 
 
CESPE – PM/AL – 2017) Em um tanque A, há uma mistura homogênea de 240 L de gasolina e 60 L de álcool; 
em outro tanque B, 150 L de gasolina estão misturados homogeneamente com 50 L de álcool. 
A respeito dessas misturas, julgue os itens subsequentes. 
( ) Para que a proporção álcool/gasolina no tanque A fique igual à do tanque B é suficiente acrescentar no tanque 
A uma quantidade de álcool que é inferior a 25 L. 
RESOLUÇÃO: 
A proporção álcool/gasolina do tanque B é de 50/150 = 1/3. 
Suponha que precisamos acrescentar uma quantidade X de álcool no tanque A para ele chegar nesta mesma 
proporção. A quantidade de álcool passará a será de 60 + X, e a de gasolina será 240, de modo que ficaremos 
com a razão: 
1/3= (60+X) / 240 
Como o 240 está dividindo o lado direito, vamos passá-lo para o lado esquerdo multiplicando: 
240 x 1/3 = 60 + X 
80 = 60 + X 
60 + X = 80 
X = 80 - 60 
X = 20 litros 
 Item CERTO. 
Resposta: C 
 
FCC – TRT24 – 2017) Um funcionário arquivou certo número de processos ao longo dos cinco dias úteis de 
trabalho de uma semana. Na terça-feira ele arquivou 2/3 do número de processos que havia arquivado na 
segunda-feira. Na quarta-feira ele arquivou o dobro do que havia arquivado na terça-feira. Tanto na quinta-
feira quanto na sexta-feira ele arquivou 5 processos a mais do que havia arquivado na terça-feira. Sabendo-se 
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que esse funcionário arquivou 49 processos de segunda a sexta-feira dessa semana, a soma do número de 
processos arquivados por ele nos três dias da semana em que arquivou mais processos foi igual a 
(A) 38 
(B) 32 
(C) 41 
(D) 31 
(E) 34 
RESOLUÇÃO: 
Seja N o número de processos arquivados na segunda. Na terça foi 2/3 disto, ou seja, 2N/3 processos. Na quarta 
foi o dobro disso, ou seja, 4N/3 processos. Na quinta e na sexta ele arquivou 5 a mais que na terça, ou seja, 2N/3 
+ 5 processos. Como o total de processos é 49, então: 
N + 2N/3 + 4N/3 + 2N/3 + 5 + 2N/3 + 5 = 49 
N + 10N/3 + 10 = 49 
3N/3 + 10N/3 = 49 – 10 
13N/3 = 39 
N/3 = 3 
N = 9 
Assim, na segunda-feira ele arquivou N = 9 processos. Na terça ele arquivou 2N/3 = 2.9/3 = 6 processos. Na 
quarta ele arquivou o dobro disso, ou seja, 12 processos. Na quinta foram 5 a mais que na terça, ou seja, 11 
processos, e na sexta a mesma quantidade. 
Nos 3 dias que ele arquivou mais processos, o total foi de 12 + 11 + 11 = 34. 
Resposta: E 
 
Sistemas de equações de primeiro grau (sistemas lineares) 
Em alguns casos, pode ser que tenhamos mais de uma incógnita. Imagine que um exercício diga que: 
x + y = 10 
Veja que existem infinitas possibilidades de x e y que tornam essa igualdade verdadeira: 2 e 8, -2 e 12 etc. 
Por isso, faz-se necessário obter mais uma equação envolvendo as duas incógnitas para poder chegar nos seus 
valores exatos. Portanto, imagine que o mesmo exercício diga que: 
x – 2y = 4 
Portanto, temos o seguinte sistema, formado por 2 equações e 2 variáveis: 
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10
2 4
x y
x y
+ =

− =
 
A principal forma de resolver esse sistema é usando o método da substituição. Este método é muito 
simples, e consiste basicamente em duas etapas: 
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO (SISTEMAS LINEARES) 
1 - Isolar uma das variáveis em uma das equações; 
2 - Substituir esta variável na outra equação pela expressão achada no item anterior. 
A título de exemplo, vamos isolar a variável x na primeira equação acima. Teremos, portanto: 
10x y= − 
Agora podemos substituir x por 10 – y na segunda equação. Assim: 
2 4
(10 ) 2 4
10 3 4
10 4 3
6 3
2
x y
y y
y
y
y
y
− =
− − =
− =
− =
=
=
 
Uma vez encontrado o valor de y, basta voltar na equação x = 10 – y e obter o valor de x: 
10
10 2
8
x y
x
x
= −
= −
=
 
É importante conhecer bem o método da substituição, visto que ele auxiliará a resolver diversas questões 
de sua prova! 
Outro método bastante útil é o método da adição (ou soma) de equações. Ele também é um método 
muito simples e consiste basicamente em duas etapas: 
MÉTODO DA SOMA DE EQUAÇÕES (SISTEMAS LINEARES): 
1 - Multiplicar uma das equações por um número que seja mais conveniente para eliminar uma variável. 
2 - Somar as duas equações, de forma a ficar apenas com uma variável. 
Vejamos como aplicar o método da adição no mesmo exemplo visto anteriormente. 
10
2 4
x y
x y
+ =

− =
 
Primeiramente, vamos multiplicar a primeira equação por 2: 
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2x + 2y = 20 
 Veja que nós somos obrigados a multiplicar TODOS os termos dos DOIS lados da equação pelo número 
escolhido (neste caso, o 2). Você deve estar se perguntando: professor, por que você decidiu multiplicar 
justamente por 2? Calma, já vai ficar claro. Agora o nosso sistema de equações ficou assim: 
{
2𝑥 + 2𝑦 = 20
𝑥 − 2𝑦 = 4
 
Quando temos duas igualdades como acima, nós também podemos dizer que a SOMA dos termos da 
esquerda das duas equações é igual à SOMA dos termos da direita das duas equações. Isto é, 
(2x + 2y) + (x – 2y) = 20 + 4 
Ao fazer isso, veja que o 2y vai ser cancelado pelo -2y! Este foi o motivo pelo qual, lá no início, decidi 
multiplicar a primeira equação por 2! O meu objetivo era que, ao somar as equações, alguma variável fosse 
cancelada, restando apenas uma. Veja como fica a continuação do cálculo: 
3x = 24 
x = 24/3 
x = 8 
 Obtido o valor de x, basta substituir este valor em qualquer uma das equações para obter o valor de y. Por 
exemplo, substituindo na segunda equação: 
x – 2y = 4 
8 – 2y = 4 
8 – 4 = 2y 
4 = 2y 
y = 4/2 
y = 2 
Esta é a única forma de resolver pelo método da substituição? NÃO! Poderíamos, por exemplo, ter 
decidido multiplicar a segunda equação por -1. Olha o que teríamos: 
x + y = 10 
-x + 2y = -4 
 Agora podemos somar as duas equações. Note que, agora, o x da primeira equação vai cancelar com o -x 
da segunda, ficando: 
y + 2y = 10 + (-4) 
3y = 6 
y = 6/3 
y = 2 
Substituindo este valor de y em qualquer das equações originais, vamos descobrir que x = 8. 
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Enfrente as questões a seguir, envolvendo sistema de equações: 
VUNESP – CÂMARA SJC– 2018) Em um concurso somente para os cargos A e B, cada candidato poderia fazer 
inscrição para um desses cargos. Sabendo que o número de candidatos inscritos para o cargo A era 3000 
unidades menor que o número de candidatos inscritos para o cargo B, e que a razão entre os respectivos 
números, nessa ordem, era igual a 0,4, então é verdade que o número de candidatos inscritos para o cargo B 
correspondeu, do total de candidatos inscritos, a 
(A) 3/7 
(B) 5/9 
(C) 4/7 
(D) 2/3 
(E) 5/7 
Resolução: 
 Seja “A” o número de candidatos do cargo A e “B” o número de candidatos do cargo B. 
 O enunciado afirma que “o número de candidatos inscritos para o cargo A era 3000 unidades menor que o 
número de candidatos inscritos para o cargo B”. Portanto: 
A = B – 3000 
 Afirma, ainda, que “a razão entre os respectivos números, nessa ordem, era igual a 0,4”. Logo: 
A/B = 0,4 
A = 0,4B 
 Substituindo essa última equação na primeira, temos: 
0,4B = B – 3000 
3000 = B – 0,4B 
3000 = 0,6B 
B = 3000/0,6 
B = 5000 
 Lembrando que A = 0,4B, podemos obter o valor de A: 
A = 0,4 x 5000 
A = 2000 
 O total de inscritos será: 
A + B = 5000 + 2000 = 7000 
 O número de inscritos para o cargo B, em relação ao total, será: 
B/Total = 
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5000/7000 = 
5/7 
Resposta: E 
 
CESPE – POLÍCIA FEDERAL – 2018) Os indivíduos S1, S2, S3 e S4, suspeitos da prática de um ilícito penal, 
foram interrogados, isoladamente, nessa mesma ordem. No depoimento, com relação à responsabilização pela 
prática do ilícito, S1 disse que S2 mentiria; S2 disse que S3 mentiria; S3 disse que S4 mentiria. 
A partir dessa situação, julgue os itens a seguir. 
( ) Caso S3 complete 40 anos de idade em 2020, S1 seja 8 anos mais novo que S3 e S2 seja 2 anos mais velho 
que S4, se em 2020 a soma de suas idades for igual a 140 anos, então é correto afirmar que S2 nasceu antes de 
1984. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos assumir que S3 tem 40anos em 2020. S1 é 8 anos mais novo que S3, ou seja, em 2020 sabemos que S1 
terá 32 anos de idade. Como S2 é 2 anos mais velho que S4, podemos dizer que: 
Idade de S2 = Idade de S4 + 2 
Usando ID1, ID2, ID3 e ID4 para designar as respectivas idades no ano de 2020, podemos escrever que: 
ID2 = ID4 + 2 
 
Sabemos que a soma das idades, em 2020, é igual a 140 anos: 
ID1 + ID2 + ID3 + ID4 = 140 
32 + (ID4+2) + 40 + ID4 = 140 
74 + 2.ID4 = 140 
2.ID4 = 66 
ID4 = 33 
Logo, ID2 = ID4 + 2 = 33 + 2 = 35 anos em 2020. Assim, S2 deve ter nascido em 2020 – 35 = 1985. Não podemos 
afirmar que S2 nasceu antes de 1984, tornando o item ERRADO. 
Resposta: E 
 
FGV – IBGE – 2017) O número de balas de menta que Júlia tinha era o dobro do número de balas de morango. 
Após dar 5 balas de cada um desses dois sabores para sua irmã, agora o número de balas de menta que Júlia 
tem é o triplo do número de balas de morango. O número total de balas que Júlia tinha inicialmente era: 
(A) 42; 
(B) 36; 
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(C) 30; 
(D) 27; 
(E) 24. 
RESOLUÇÃO: 
Sendo Me balas de menta e Mo balas de morango inicialmente, sabemos que as de menta são o dobro das de 
morango: 
Me = 2.Mo 
 Após dar 5 balas de cada sabor para a irmã, sobram Me – 5 balas de menta e Mo – 5 balas de morango. Agora, 
as de menta são o triplo das de morango: 
Me – 5 = 3.(Mo – 5) 
Me – 5 = 3.Mo – 15 
Me = 3.Mo – 10 
 Aqui, temos um sistema formado por duas equações 2 variáveis: 
Me = 2.Mo 
Me = 3.Mo – 10 
Veja que, na segunda equação, podemos substituir Me por 2.Mo, como mostra a primeira equação. Fazendo 
isso, temos: 
2.Mo = 3.Mo – 10 
10 = 3.Mo – 2.Mo 
10 = Mo 
Podemos calcular também o valor de Me lembrando que: 
Me = 2.Mo 
Me = 2.10 
Me = 20 
Inicialmente ela tinha 10 balas de morango e 20 de menta, totalizando 30 balas. 
Resposta: C 
 
FCC – ARTESP – 2017) Sérgio tem algumas notas de 2 reais e algumas moedas de 50 centavos, totalizando R$ 
76,00. Somando-se o número de notas de 2 reais com o número de moedas de 50 centavos que ele tem, o 
resultado é 71. Admitindo-se que suas moedas de 50 centavos sejam idênticas e que tenham massa de 7,81 
gramas cada, a massa total das moedas que Sérgio tem, em gramas, é um número que está entre 
(A) 310 e 320. 
(B) 340 e 350. 
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(C) 280 e 290. 
(D) 370 e 380. 
(E) 400 e 419. 
RESOLUÇÃO: 
Sendo D notas de dois reais e C moedas de cinquenta centavos, sabemos que o valor total é de 76 reais, ou seja: 
D x 2 + C x 0,50 = 76 
2D + 0,5C = 76 
 O total de notas e moedas é 71: 
D + C = 71 
Veja que podemos isolar a variável D na equação acima, escrevendo D = 71 – C. Agora, podemos substituir D na 
equação 2D + 0,5C = 76, pois sabemos que D é o mesmo que 71 – C. Assim: 
2 x (71 – C) + 0,5C = 76 
142 – 2C + 0,5C = 76 
142 – 76 = 2C – 0,5C 
66 = 1,5C 
C = 66 / 1,5 
C = 44 moedas de cinquenta centavos 
 Se a massa de cada moeda é 7,81g, a massa total é de 44 x 7,81g = 343,64g. 
Resposta: B 
 
FCC – TRT/PE – 2018) Amanda, Manuela, Patrícia, Olívia e Daniela fizeram uma mesma prova, cuja nota mais 
alta, dentre elas, foi 18. Amanda obteve a metade da nota conquistada por Manuela. Patrícia tirou nota 
equivalente à média aritmética das notas de Daniela e Manuela. Olívia obteve a mesma nota que Daniela, e o 
triplo da nota de Amanda. A segunda maior nota dentre as cinco pessoas foi igual a 
(A) 15 e obtida por Patrícia 
(B) 16,5 e obtida por Patrícia. 
(C) 12 e obtida por Manuela. 
(D) 16,5 e obtida por Manuela. 
(E) 15 e obtida por Olívia e Daniela. 
RESOLUÇÃO: 
Chamando de A, M, D, O e P as notas de cada mulher, podemos tentar escrever as notas de todas elas em 
função de uma única. No caso, vamos tentar escrever todas em função da nota de Amanda (A). Veja: 
- Amanda obteve a metade da nota conquistada por Manuela: A = M/2, ou seja, M = 2A. 
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- Patrícia tirou nota equivalente à média aritmética das notas de Daniela e Manuela: P = (D+M)/2 
- Olívia obteve a mesma nota que Daniela, e o triplo da nota de Amanda: O = D = 3A. 
Da segunda equação, veja que: 
P = (D+M)/2 
P = (3A + 2A)/2 
P = 5A/2 
P = 2,5A 
 Portanto, temos notas de valores: 
3A (duas pessoas) 
2,5A 
2A 
A 
 A maior nota é 3A. O enunciado disse que a maior nota vale 18: 
3A = 18 
A = 18/3 
A = 6 
Assim, a segunda maior nota dentre as cinco pessoas foi igual a 2,5A = 2,5×6 = 15. Esta é a nota de Patrícia. 
Resposta: A 
 
EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU 
Representação das equações de segundo grau 
Assim como as equações de primeiro grau se caracterizam por possuírem a variável elevada à primeira 
potência (isto é, 
1x ), as equações de segundo grau possuem a variável elevada ao quadrado ( 2x ), sendo 
escritas na forma 2 0ax bx c+ + = , onde a, b e c são os coeficientes da equação. Veja um exemplo: 
2 3 2 0x x− + = 
Nesta equação, a = 1 (pois 
2x está sendo multiplicado por 1), b = -3 e c = 2. As equações de segundo grau 
tem 2 raízes, isto é, existem 2 valores de x que tornam a igualdade verdadeira. No caso da equação acima, veja 
que x = 1 e x = 2 são raízes, pois: 
21 3 1 2 0−  + = 
e 
22 3 2 2 0−  + = 
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Toda equação de segundo grau pode ser escrita também da seguinte forma: 
1 2( ) ( ) 0a x r x r −  − = 
 
Nesta forma de escrever, 
1r e 2r são as raízes da equação. Tratando do exemplo acima, como as raízes 
são 1 e 2, podemos escrever: 
1 ( 1) ( 2) 0x x −  − = 
 
Desenvolvendo a equação acima, podemos chegar de volta à equação inicial: 
2
2
1 ( 1) ( 2) 0
2 1 ( 1) ( 2) 0
3 2 0
x x
x x x
x x
 −  − =
− − + −  − =
− + =
 
 
Resolva essa questão comigo: 
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) A alternativa que apresenta a equação de 2.º grau cujas raízes reais são 5 
e (-1) é: 
a) x2 + 4x + 5 = 0 
b) x2 + 4x2 – 5 = 0 
c) 2x2 - 2x + 10 = 0 
d) 2x2 + 2x – 10 = 0 
e) x2 - 4x – 5 = 0 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que as raízes são r1 = 5 e r2 = -1. Uma forma de representar uma equação de segundo grau em função 
das raízes é: 
a.(x – r1).(x – r2) = 0 
Substituindo as raízes conhecidas: 
a.(x – 5) . (x – (-1)) = 0 
a . (x – 5) . (x + 1) = 0 
a . (x.x + x.1 -5.x -5.1) = 0 
a . (x2 – 4x – 5) = 0 
Repare que “a” pode assumir qualquer valor. Qualquer equação com a “cara” acima tem como raízes os valores 
5 e -1. Se substituirmos a = 1, por exemplo, teremos: 
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1 . (x2 – 4x – 5) = 0 
x2 – 4x – 5 = 0 
Temos essa opção de resposta na alternativa E. 
Resposta: E 
 
Cálculo das raízes da equação 
Como sabemos, as raízes da equação de segundo grau são os valores de x que “obedecem” a equação, ou 
seja, que realmente a igualam ao valor zero. Por exemplo, o valor x = 1 é uma raiz de x2 – 3x + 2 = 0. Podemos 
conferir isso substituindo x por 1. Veja como fica: 
12 – 3.1 + 2 = 
1 – 3 + 2 = 
0 
 Veja que, de fato, ao substituir x por 1 nós chegamos ao valor zero. 
 Não é preciso tentar adivinhar os valores das raízes. Podemos obtê-las por meio da fórmula de Báskara. 
Basta identificar os coeficientes a, b e c e colocá-los na seguinte expressão: 
2 4
2
b b ac
x
a
−  −
= 
Veja o sinal ± presente na expressão acima. É ele que permitirá obtermos dois valores para as raízes, um 
valor utilizando o sinal positivo (+) e outro valor utilizando o sinal negativo (-). 
Paraexemplificar, vamos calcular as raízes da equação 2 3 2 0x x− + = utilizando a fórmula de Báskara. 
Recordando que a = 1, b = -3 e c = 2, basta substituir estes valores na fórmula: 
−  −
=
2 4
2
b b ac
x
a
 
− −  − −  
=

2( 3) ( 3) 4 1 2
2 1
x 
 −
=
3 9 8
2
x 

=
3 1
2
x 
Observe esta última expressão. Dela podemos obter as 2 raízes, usando primeiro o sinal de adição (+) e 
depois o de subtração (-). Veja: 
1
3 1 4
2
2 2
x
+
= = = 
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e 
2
3 1 2
1
2 2
x
−
= = = 
 Pratique a fórmula de Báskara nessa questão: 
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) Assinale a alternativa que indica as raízes da equação 2x2+7x+5=0. 
a) -1; 5 
b) -1; 
5
2
− 
c) 1; 
5
2
+ 
d) 1; 
5
2
− 
e) -1; 
5
2
 
RESOLUÇÃO: 
Para resolvermos a equação de 2º grau do tipo “ax2 + bx + c = 0”, basta usar as raízes de Báskara, ou seja: 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
A nossa equação é 2x2+7x+5=0. Comparando ela com a fórmula genérica, vemos que a = 2 (termo que multiplica 
x2), b = 7 (termo que multiplica x), e c = 5 (termo livre). Substituindo na expressão: 
x = 
x = 
x = 
x = 
Agora podemos calcular cada raiz separadamente, usando primeiro o sinal + e depois o sinal -. Veja: 
x1 = 
x1 = -1 
ou 
x2 = 
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x2 = 
x2 = 
Assim, as raízes são -1 e . 
Resposta: B 
 
Análise da quantidade de raízes distintas 
Muitas questões não vão pedir o valor das raízes. O examinador pode estar interessado em saber SE a 
equação tem raízes reais. E, caso a equação tenha raízes reais, se temos 2 raízes reais IGUAIS entre si ou 2 raízes 
reais distintas entre si. Vamos aprender a fazer essa análise? 
Na fórmula de Báskara, chamamos de “delta” (  ) a expressão 2 4b ac− , que vai dentro da raiz 
quadrada. Na resolução acima, 2 4 1b ac− = , ou seja, o “delta” era um valor positivo ( 0  ). Quando 0 
, teremos sempre duas raízes reais para a equação, como foi o caso. 
Veja que, se  for negativo, não é possível obter a raiz quadrada. Portanto, se 0  , dizemos que não 
existem raízes reais para a equação de segundo grau. 
Já se 0 = , a fórmula de Báskara fica 
0
2 2
b b
x
a a
−  −
= = . Isto significa que teremos apenas 1 raiz para a 
equação, ou melhor duas raízes idênticas. Por exemplo, vamos calcular as raízes de 2 2 1 0x x− + = . Veja que 
a = 1, b = -2 e c = 1. Calculando o valor de “delta”, temos: 
2
2
4
( 2) 4 1 1
4 4 0
b ac = −
 = − −  
 = − =
 
Na fórmula de Báskara, temos: 
2 4
2
2
( 2) 0
2 1
2
1
2
b b ac
x
a
b
x
a
x
x
−  −
=
−  
=
− − 
=

= =
 
Portanto, chegamos apenas ao valor x = 1. Essa equação de segundo grau tem 0 = , o que leva a apenas 
1 raiz, isto é, a 2 raízes de mesmo valor (x = 1). Esta equação poderia ter sido escrita assim: 
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1 x (x – 1) x (x – 1) = 0 
ou simplesmente 
(x – 1)2 = 0 
Portanto, guarde isso: 
 
Sobre este aspecto, enfrente as questões abaixo: 
CONSULPLAN – SEDUC/PA – 2018) Sobre equações do 2º grau, relacione adequadamente as colunas a seguir. 
Equação do 2º grau com raízes reais e distintas 
Equação do 2º grau com raízes reais e iguais. 
Equação do 2º grau sem raízes reais. 
( ) Δ = 0 
( ) Δ < 0 
( ) Δ > 0 
A sequência está correta em 
A) 1, 2, 3 
B) 1, 3, 2 
C) 2, 3, 1 
D) 3, 2, 1 
RESOLUÇÃO: 
Quando Δ = 0, significa que as raízes são reais e iguais. Se Δ < 0, não existe raiz real para a equação. Se Δ > 0, 
existem duas raízes reais e distintas. Logo, a sequência fica: 2, 3, 1. 
Resposta: C 
 
FUNDATEC – FISCAL TAPEJARA/RS – 2011) Qual deve ser o valor de m para que a equação x2 + 6x + m = 0 
tenha raízes reais iguais? 
Número de 
raízes
Delta>0 2 distintas
Delta = 0 2 iguais
Delta < 0
sem raiz 
real
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A) 3 
B) 9 
C) 6 
D) -9 
E) -3 
RESOLUÇÃO: 
 Para que a equação do segundo grau tenha raízes iguais, é preciso que o delta seja igual a zero. Isto é, 
delta = b2 – 4.a.c 
0 = 62 – 4.1.m 
0 = 36 – 4m 
4m = 36 
m = 9 
Resposta: B 
 
Soma e produto das raízes 
 Ao analisarmos a equação 2 3 2 0x x− + = , obtivemos as raízes x = 2 e x = 1, está lembrado? 
 Muitas vezes o examinador não está interessado nos valores das raízes, e sim no valor da SOMA das 
raízes ou então no valor da MULTIPLICAÇÃO (PRODUTO) entre as raízes. Neste caso, você nem precisa calcular 
as raízes anteriormente. Basta saber que, em uma equação ax2 + bx + c = 0, temos: 
 
- a soma das raízes é dada por −
𝑏
𝑎
; 
- o produto das raízes é dado por 
𝑐
𝑎
. 
 
 Você duvida? Vamos testar então. Em 2 3 2 0x x− + = , sabemos que a = 1, b = -3 e c = 2. A soma das 
raízes é, portanto: 
𝑆𝑜𝑚𝑎 = −
𝑏
𝑎
= −
(−3)
1
=
3
1
= 3 
 Repare que, de fato, 2 + 1 = 3. Esta é mesmo a soma das raízes. Veja ainda que: 
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 =
𝑐
𝑎
=
2
1
= 2 
 Realmente sabemos que 2 x 1 = 2. Este é o valor exato do produto entre as raízes! 
 
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 Guarde essas duas fórmulas, pois elas ajudam a economizar tempo em prova! Pode ser bem mais 
trabalhoso calcular o valor de cada raiz e então multiplica-las do que calcular diretamente o produto entre as 
raízes! 
 
 Resolva essas questões comigo: 
 
CONSULPLAN – Pref. Cascavel – 2016 – adaptada) Julgue a afirmativa: 
A soma das raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0 é um número ímpar. 
RESOLUÇÃO: 
 Comparando a equação com ax2 + bx + c = 0, vemos que a = 1, b = -5 e c = 6. Assim, a soma das raízes é: 
𝑆𝑜𝑚𝑎 = −
𝑏
𝑎
= −
(−5)
1
= 5 
 Este número é ímpar. Afirmativa VERDADEIRA. 
Resposta: V 
 
IBFC – PM/SE – 2018) José perguntou ao seu avô Pedro, que é professor de matemática, com que idade ele se 
formou na faculdade. Pedro disse ao neto que sua idade era o produto entre as raízes da equação x² -10x + 21 = 
0. Nessas condições, assinale a alternativa que apresenta a idade que Pedro se formou na faculdade: 
a) 18 
b) 21 
c) 24 
d) 27 
RESOLUÇÃO: 
Vamos achar as raízes dessa equação: 
x² -10x + 21 = 0 
x =
−(−10) ± √(−10)2 − 4.21
2
 
x =
10 ± √16
2
 
x’ = (10 + 4)/2 = 7 
x” = (10 – 4)/2 = 3 
O produto dessas raízes será 7 x 3 = 21. 
 
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Se você lembrasse da fórmula do produto das raízes de uma equação de 2º grau, a solução ficaria MUITO mais 
rápida: 
Produto = c/a 
Na equação, temos c = 21 e a = 1. Logo, 
Produto = 21/1 = 21 
Resposta: B 
 
Sistemas de equações do 2º grau 
Já aprendemos a resolver sistemas formados por duas ou mais equações de primeiro grau, contendo duas 
ou mais variáveis. Utilizamos para isso o método da substituição. Podemos ter sistemas contendo também 
equações de segundo grau, onde aplicaremos o mesmo método para resolver. Veja um exemplo a seguir: 
2 2
3
3
x y
x y
+ =

− = −
 
Isolando x na primeira equação, temos que x = 3 – y. Efetuando a substituição na segunda equação, temos 
que: 
(3 – y)2 – y2 = -3 
9 – 6y + y2 – y2 = -3 
y = 2 
Logo, 
x = 3 – y = 3 – 2 = 1 
Veja que neste caso a solução foi bem simples, pois a variável y2 foi cancelada por –y2. Entretanto, ainda 
que isso não ocorra é possível resolver o sistema, utilizando os conhecimentos de equações de 2º grau. Veja 
este outro exemplo: 
2 3
1
x y
x y
 + =

−= −
 
Isolando x na segunda equação, temos x = y – 1. Substituindo na primeira equação, temos: 
(y – 1)2 + y = 3 
y2 – 2y + 1 + y = 3 
y2 – y – 2 = 0 
Com o auxílio da fórmula de Báskara podemos resolver esta equação de segundo grau na variável y: 
2( 1) ( 1) 4 1 ( 2)
2 1
y
− −  − −   −
=

 
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1 3
2
y

= 
y = 2 ou y = -1 
Para y = 2 temos que x = y – 1 = 2 – 1 = 1. Da mesma forma, para y = -1 você pode ver que x = -2. Assim, 
este sistema possui duas soluções: 
x = 1 e y = 2 
ou 
x = -2 e y = -1 
Veja essa questão comigo: 
IDECAN – Bombeiros/RN – 2017) A solução do sistema de equações a seguir tem como par ordenado: 
2 22 54
9
x y
x y
 + =

− = −
 
A) {(6, 3)}. 
B) {(–6, 3)}. 
C) {(6, –3)}. 
D) {(–6, –3)}. 
RESOLUÇÃO: 
 Podemos isolar x na segunda equação, passando o y para o outro lado. Ficamos com: 
x = y – 9 
 Substituindo x por (y – 9) na primeira equação, teremos: 
(y – 9)2 + 2y2 = 54 
 Aqui podemos lembrar que, quando temos algo como (a – b)2, o resultado é a2 – 2.a.b + b2. Isto é, (y – 9)2 
é igual a y2 – 18y + 81. Se você não se lembrar deste produto notável, basta fazer (y – 9).(y – 9) e chegará a resta 
resposta. Continuando o cálculo: 
y2 – 18y +81 + 2y2 = 54 
– 18y + 27 + 3y2 = 0 
3y2 – 18y + 27 = 0 
 Perceba que podemos dividir todos os termos por 3, ficando com: 
y2 – 6y + 9 = 0 
 Temos a = 1, b = -6 e c = 9. Na fórmula de Báskara: 
𝑦 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
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𝑦 =
−(−6) ± √(−6)2 − 4.1.9
2.1
 
𝑦 =
6 ± √36 − 36
2
 
𝑦 =
6 ± √0
2
 
𝑦 =
6
2
= 3 
 Repare que, como o delta ficou igual a zero, obtivemos apenas um valor para a raiz (y = 3). Sabemos que, 
na verdade, temos 2 raízes iguais. 
 No início da resolução nós escrevemos que x = y – 9. Agora que sabemos o valor de y, fica fácil obter o 
valor de x: 
x = y – 9 
x = 3 – 9 
x = -6 
 Portanto, o par (x, y) que resolve o sistema é (-6, 3). 
Resposta: B 
Chega de teoria! Vamos praticar tudo o que vimos até aqui? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questões da banca CESPE comentadas 
1. CESPE – SEDUC/AL – 2018) 
Situação hipotética: A média aritmética dos pesos dos 60 alunos de uma sala de aulas é igual a 51,8 kg. Nessa 
sala, a média aritmética do peso dos meninos é de 62 kg e das meninas, 45 kg. Assertiva: Nesse caso, essa sala 
de aulas tem 24 meninos e 36 meninas. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos chamar de “P” a soma dos pesos dos 60 alunos. Como a média é 51,8 kg, temos: 
Média = 
Soma dos pesos
nº de alunos
 
51,8 = 
P
60
 
P = 60 x 51,8 
P = 3108 kg 
Sabemos que a média do peso dos meninos foi 62 kg. Sendo “n” o número de meninos e “m” a soma de seus 
pesos, temos: 
62 = 
m
n
 
m = 62n (I) 
O número de meninas será “60 – n” e a soma de seus pesos “3108 – m”. Como a média é 45 kg, fica: 
45 = 
3108 − m
60−n
 
3108 - m = (60 – n). 45 
3108 - m =2700 – 45n 
3108 – 2700 = m – 45n 
408 = m – 45n (II) 
Substituindo a equação (I) em (II), temos: 
408 = 62n – 45n 
17n = 408 
n = 24 meninos 
Como são 60 alunos, existem 36 meninas. Item CORRETO. 
Resposta: C 
 
2. CESPE – POLÍCIA FEDERAL – 2018) 
Os indivíduos S1, S2, S3 e S4, suspeitos da prática de um ilícito penal, foram interrogados, isoladamente, nessa 
mesma ordem. No depoimento, com relação à responsabilização pela prática do ilícito, S1 disse que S2 
mentiria; S2 disse que S3 mentiria; S3 disse que S4 mentiria. 
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A partir dessa situação, julgue os itens a seguir. 
( ) Caso S3 complete 40 anos de idade em 2020, S1 seja 8 anos mais novo que S3 e S2 seja 2 anos mais velho 
que S4, se em 2020 a soma de suas idades for igual a 140 anos, então é correto afirmar que S2 nasceu antes de 
1984. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos assumir que S3 tem 40 anos em 2020. S1 é 8 anos mais novo que S3, ou seja, em 2020 sabemos que S1 
terá 32 anos de idade. Como S2 é 2 anos mais velho que S4, podemos dizer que: 
Idade de S2 = Idade de S4 + 2 
Usando ID1, ID2, ID3 e ID4 para designar as respectivas idades no ano de 2020, podemos escrever que: 
ID2 = ID4 + 2 
 
Sabemos que a soma das idades, em 2020, é igual a 140 anos: 
ID1 + ID2 + ID3 + ID4 = 140 
32 + (ID4+2) + 40 + ID4 = 140 
74 + 2.ID4 = 140 
2.ID4 = 66 
ID4 = 33 
Logo, ID2 = ID4 + 2 = 33 + 2 = 35 anos em 2020. Assim, S2 deve ter nascido em 2020 – 35 = 1985. Não podemos 
afirmar que S2 nasceu antes de 1984, tornando o item ERRADO. 
Resposta: E 
 
Em um tanque A, há uma mistura homogênea de 240 L de gasolina e 60 L de álcool; em outro tanque B, 150 L 
de gasolina estão misturados homogeneamente com 50 L de álcool. 
A respeito dessas misturas, julgue os itens subsequentes. 
3. CESPE – PM/AL – 2017) 
Para que a proporção álcool/gasolina no tanque A fique igual à do tanque B é suficiente acrescentar no tanque 
A uma quantidade de álcool que é inferior a 25 L. 
RESOLUÇÃO: 
A proporção álcool/gasolina do tanque B é de 50/150 = 1/3. 
Suponha que precisamos acrescentar uma quantidade X de álcool no tanque A para ele chegar nesta mesma 
proporção. A quantidade de álcool passará a será de 60 + X, e a de gasolina será 240, de modo que ficaremos 
com a razão: 
1/3 = (60+X) / 240 
Como o 240 está dividindo o lado direito, vamos passá-lo para o lado esquerdo multiplicando: 
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240 x 1/3 = 60 + X 
80 = 60 + X 
60 + X = 80 
X = 80 - 60 
X = 20 litros 
 Item CERTO. 
Resposta: C 
 
4. CESPE – PM/AL – 2017) 
Os soldados Pedro e José, na função de armeiros, são responsáveis pela manutenção de determinada 
quantidade de armas da corporação – limpeza, lubrificação e municiamento. Se Pedro fizer a manutenção das 
armas que estavam a seu encargo e de mais 50 que estavam a cargo de José, então Pedro fará a manutenção 
do dobro de armas que sobram para José. Se José fizer a manutenção das armas que estavam a seu encargo e 
de mais 60 que estavam a cargo de Pedro, José fará a manutenção do triplo de armas que sobraram para Pedro. 
Nesse caso, a quantidade de armas para manutenção a cargo de Pedro e José é superior a 260. 
RESOLUÇÃO: 
Sejam P e J as quantidades de armas a cargo de Pedro e José originalmente. 
Se Pedro fizer a manutenção das armas que estavam a seu encargo e de mais 50 que estavam a cargo de José, 
então Pedro ficará com P + 50, e José com J – 50 armas. Nesta situação, Pedro fará a manutenção do dobro de 
armas que sobram para José. Ou seja, 
P + 50 = 2 x (J – 50) 
P + 50 = 2J – 100 
P = 2J – 150 (I) 
 Se José fizer a manutenção das armas que estavam a seu encargo e de mais 60 que estavam a cargo de Pedro, 
José ficará com J + 60 e Pedro com P – 60 armas. Neste caso, José fará a manutenção do triplo de armas que 
sobraram para Pedro. Isto é: 
J + 60 = 3 x (P – 60) 
J + 60 = 3P – 180 
J = 3P – 240 (II) 
Temos um sistema formado pelas equações (I) e (II). Substituindo (I) em (II), ficamos com: 
J = 3.(2J – 150) – 240 
J = 6J – 450 – 240 
690 = 5J 
J = 138 
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Logo, 
P = 2J – 150 = 2.138 – 150 = 276 – 150 = 126 
 A quantidade de armas para manutenção a cargo de Pedro e José é 138 + 126 = 264, número INFERIOR a 260. 
Item ERRADO. 
Resposta: E 
 
5. CESPE – PM/AL – 2017) 
O tanque para água de um veículode combate a incêndio tem a forma de um paralelepípedo retângulo e está 
completamente cheio. No combate a um incêndio, gastou-se 1/3 de sua capacidade. No combate a um segundo 
incêndio, gastou-se 3/7 do que sobrou. Neste caso, depois de extintos os dois incêndios, restou, no tanque, água 
até uma altura superior a 1/3 da altura original. 
RESOLUÇÃO: 
Seja C a capacidade do tanque. Após gastar 1/3 de C, sobrou 2/3 de C, ou seja, 2C/3. 
Após gastar 3/7 desta sobra, resta apenas 4/7 desta sobra, isto é, 
Resto = 4/7 de 2C/3 
Resto = (4/7) x (2C/3) = 8C/21 
 Veja que o volume restante é superior a 1/3 (que corresponde a 7/21) da capacidade total. Isto significa que a 
água estará a uma altura superior a 1/3 da altura original. 
Item CERTO. 
Resposta: C 
 
6. CESPE – PM/AL – 2017) 
Considere que em um tanque C, inicialmente vazio, tenham sido despejadas certas quantidades das misturas 
dos tanques A e B totalizando 100 L. Considere também que, depois de homogeneizada essa mistura no tanque 
C, a separação de álcool e gasolina por um processo químico tenha mostrado que nesses 100 L, 22 L eram de 
álcool. Nessa situação, para formar a mistura no tanque C foram usados mais de 55 L da mistura do tanque A. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos chamar simplesmente de “A” a quantidade da mistura do tanque A que foi acrescentada no tanque C. 
Neste caso, a quantidade da mistura B foi de 100 – A, afinal a soma dos dois deve ser igual a 100 litros. 
No tanque A temos 300 litros ao todo, dos quais 60 litros são álcool, ou seja, a razão entre o álcool e o total 
deste tanque é de 60/300 = 1/5. Portanto, se tiramos um volume “A”, a quantidade de álcool retirada é de A.1/5 
= A/5. 
No tanque B temos 200 litros ao todo, dos quais 50 litros são álcool, ou seja, a razão entre o álcool e o total 
deste tanque é de 50/200 = 1/4. Portanto, se tiramos um volume “100 – A”, a quantidade de álcool retirada é de 
(100 – A).1/4 = 25 – A/4. 
O total de álcool no tanque C é de 22 litros, e corresponde à soma: 
A/5 + (25 – A/4) = 22 
25 – 22 = A/4 – A/5 
3 = 5A/20 – 4A/20 
3 = A/20 
A = 60 litros 
 Portanto, foram usados MAIS de 55 litros do tanque A para encher o tanque C. Item CERTO. 
Resposta: C 
 
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7. CESPE – SAEB/BA – 2013) 
Olavo vive com a esposa Rute e com o filho Luca. Rute e Olavo demoram no banho o mesmo tempo, mas Rute 
abre o chuveiro com vazão igual à metade da de Olavo. Luca abre o chuveiro com vazão igual à de sua mãe, 
mas demora no banho o dobro do tempo de seu pai. Se o volume de água gasto com os banhos dos três é de 
150 L, o volume de água que Olavo gasta em seu banho é igual a 
A) 30 L. 
B) 50 L. 
C) 60 L. 
D) 75 L. 
RESOLUÇÃO: 
Seja “O” o total de água gasto por Olavo em seu banho. Rute demora o mesmo tempo, mas abre o chuveiro 
com vazão igual à metade da de Olavo. Logo, ela gasta metade da água gasta por Olavo, ou seja, O/2. 
Luca abre o chuveiro com vazão igual à de sua mãe, mas demora no banho o dobro do tempo de seu pai (ou de 
sua mãe, já que ambos os pais gastam o mesmo tempo). Assim, Luca gasta o dobro da água gasta pela mãe, 
isto é, O. 
O volume de água gasto com os banhos dos três é de 150 L, ou seja: 
O + O/2 + O = 150 
2,5 x O = 150 
O = 60 litros 
Resposta: C 
 
8. CESPE – INPI – 2013) 
Considere que em um escritório de patentes, a quantidade mensal de pedidos de patentes solicitadas para 
produtos da indústria alimentícia tenha sido igual à soma dos pedidos de patentes mensais solicitadas para 
produtos de outra natureza. Considere, ainda, que, em um mês, além dos produtos da indústria alimentícia, 
tenham sido requeridos pedidos de patentes de mais dois tipos de produtos, X e Y, com quantidades dadas por 
x e y, respectivamente. Supondo que T seja a quantidade total de pedidos de patentes requeridos nesse 
escritório, no referido mês, julgue os itens seguintes. 
( ) Se T = 128, então as quantidades x e y são tais que x + y = 64, com 0 ≤ x ≤ 64. 
( ) Se, em determinado mês, a quantidade de pedidos de patentes do produto X foi igual ao dobro da quantidade 
de pedidos de patentes do produto Y, então a quantidade de pedidos de patentes de produtos da indústria 
alimentícia foi o quádruplo da quantidade de pedidos de patentes de Y. 
( ) Se T = 128 e a quantidade x foi 18 unidades a mais do que a quantidade y, então a quantidade y foi superior a 
25. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Se T = 128, então as quantidades x e y são tais que x + y = 64, com 0 ≤ x ≤ 64. 
Seja “a” a quantidade de pedidos de patentes da indústria alimentícia. Foi dito que este total é igual à soma dos 
demais pedidos, que são x e y, ou seja, 
a = x + y 
O total de pedidos é: 
T = a + x + y = a + a = 2a 
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Como T = 128, temos 
128 = 2a 
a = 64 
Logo, x + y = a = 64. De fato é preciso que x esteja entre 0 e 64, afinal y não pode ser um número negativo (pois 
se trata de pedidos de patentes). Item CORRETO. 
 
( ) Se, em determinado mês, a quantidade de pedidos de patentes do produto X foi igual ao dobro da quantidade de 
pedidos de patentes do produto Y, então a quantidade de pedidos de patentes de produtos da indústria alimentícia 
foi o quádruplo da quantidade de pedidos de patentes de Y. 
Sendo x o dobro de y, ou seja, x =2y, temos que: 
a = x + y 
a = 2y + y 
a = 3 
Assim, as patentes da indústria alimentícia (“a”) são o TRIPLO das patentes de Y. Item ERRADO. 
( ) Se T = 128 e a quantidade x foi 18 unidades a mais do que a quantidade y, então a quantidade y foi superior a 25. 
Já vimos que, se T = 128, temos que x + y = 64. Agora foi dito ainda que: 
x = y + 18 
Substituindo x por y + 18, temos: 
x + y = 64 
(y + 18) + y = 64 
y = 23 unidades 
Item ERRADO. 
Resposta: C E E 
 
9. CESPE – INPI – 2013) 
Considerando que, em determinado dia, a quantidade de homens e mulheres, em um shopping center, entre 
10 h e 20 h, seja dada, respectivamente, pelas expressões y = 5t + 200 e x = 3t + 234, em que t seja a hora 
correspondente, julgue os itens que se seguem. 
( ) A cada hora, a quantidade de homens aumenta 20 unidades a mais do que a quantidade de mulheres. 
( ) A quantidade de pessoas no shopping center, às 20 h, é superior à quantidade de pessoas às 10 h. 
( ) Ao longo do dia em questão, a quantidade de homens dentro do shopping aumentou, enquanto que a 
quantidade de mulheres no shopping diminuiu. 
( ) A quantidade de homens no shopping torna-se igual à quantidade de mulheres antes das 18 h. 
RESOLUÇÃO: 
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( ) A cada hora, a quantidade de homens aumenta 20 unidades a mais do que a quantidade de mulheres. 
Vejamos as quantidades de homens e mulheres em t = 10 horas e também 1 hora depois, isto é, t = 11 horas: 
y = 5t + 200 = 5.10 + 200 = 250 homens às 10 horas 
x = 3t + 234 = 3.10 + 234 = 264 mulheres às 10 horas 
y = 5t + 200 = 5.11 + 200 = 255 homens às 11 horas 
x = 3t + 234 = 3.11 + 234 = 267 mulheres às 11 horas 
Portanto, o número de homens aumentou em 5 unidades e o de mulheres em 3 unidades. Repare que estes são 
justamente os coeficientes da variável “t”. Item ERRADO. 
 
( ) A quantidade de pessoas no shopping center, às 20 h, é superior à quantidade de pessoas às 10 h. 
CORRETO. Repare que as duas equações são retas crescentes, onde o coeficiente que multiplica a variável “t” 
é positivo. Assim, à medida que o tempo t passa, a quantidade de pessoas no shopping aumenta. 
 
( ) Ao longo do dia em questão, a quantidade de homens dentro do shopping aumentou, enquanto que a quantidade 
de mulheres no shopping diminuiu. 
ERRADO. Ambas são crescentes. 
 
( ) A quantidade de homens noshopping torna-se igual à quantidade de mulheres antes das 18 h. 
Para que essas quantidades sejam iguais, é preciso que x seja igual a y, isto é: 
x = y 
3t + 234 = 5t + 200 
234 – 200 = 5t – 3t 
34 = 2t 
t = 17horas 
CORRETO, pois as quantidades se igualaram às 17h. 
Resposta: E C E C 
 
10. CESPE – IBAMA – 2012) 
Em uma repartição, 4.000 processos permaneceram sem andamento devido a problema técnico na rede de 
computadores. Para resolver esse problema, o chefe da repartição direcionou 1/4 dos servidores para fazer uma 
triagem nos processos, classificando-os em média ou baixa complexidade e em alta complexidade. O chefe, 
então, disponibilizou 2/5 dos servidores para a análise dos processos de média ou baixa complexidade e 70 
servidores para a análise dos processos de alta complexidade, de forma que todos os servidores ficaram 
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ocupados com essas atividades. Após seis semanas de trabalho, havia ainda 3.520 processos aguardando 
triagem e análise. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 
( ) Caso, após a conclusão da triagem dos 4.000 processos, os servidores responsáveis por essa atividade sejam 
direcionados à análise dos processos de alta complexidade, o número de servidores realizando tal análise será 
menor que o dobro daqueles que analisam processos de média ou baixa complexidade. 
( ) Mais servidores da repartição foram direcionados para a triagem dos processos do que para a análise de 
processos de média ou baixa complexidade. 
( ) A repartição possui um total de 200 servidores. 
( ) Após seis semanas de trabalho, mais de 90% dos processos ainda aguardavam triagem e análise. 
( ) Caso o ritmo de trabalho permaneça igual ao das seis primeiras semanas, os funcionários da repartição 
levarão mais de um ano, contado do início dos trabalhos, para completar a triagem e a análise dos 4.000 
processos. 
RESOLUÇÃO: 
O total de servidores (S) é igual a soma entre ¼ de S, 2/5 de S e 70: 
1 2
70
4 5
S S S= + + 
1 2
70
4 5
S S S− − = 
20 5 8
70
20 20 20
S S S− − = 
7
70
20
S = 
1
10
20
S = 
200S servidores= 
Portanto, 50 servidores trabalharam na triagem (1/4 de 200), 80 trabalharam nos processos de baixa e média 
complexidade (2/5 de 200) e 70 nos de alta complexidade. Após seis semanas de trabalho, havia ainda 3.520 
processos aguardando triagem e análise, de modo que apenas 480 dos 4000 processos foram trabalhados em 
6 semanas. 
Com essas informações em mãos, vamos julgar os itens. 
( ) Caso, após a conclusão da triagem dos 4.000 processos, os servidores responsáveis por essa atividade sejam 
direcionados à análise dos processos de alta complexidade, o número de servidores realizando tal análise será 
menor que o dobro daqueles que analisam processos de média ou baixa complexidade. 
Caso os 50 servidores da triagem se juntem aos 70 que estão trabalhando nos processos de alta complexidade, 
teremos 120 servidores executando tal análise, número este inferior ao dobro de 80 (servidores analisando 
processos de baixa e média complexidade). Item CORRETO. 
 
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( ) Mais servidores da repartição foram direcionados para a triagem dos processos do que para a análise de processos 
de média ou baixa complexidade. 
A triagem ficou com 50, número menor que os 80 trabalhando nos processos de média ou baixa complexidade. 
Item ERRADO. 
 
( ) A repartição possui um total de 200 servidores. 
Item CORRETO, conforme calculamos anteriormente. 
 
( ) Após seis semanas de trabalho, mais de 90% dos processos ainda aguardavam triagem e análise. 
Após 6 semanas, 3520 dos 4000 processos ainda aguardavam triagem e análise. Percentualmente, temos 3520 
/ 4000 = 0,88 = 88%. Item ERRADO. 
 
( ) Caso o ritmo de trabalho permaneça igual ao das seis primeiras semanas, os funcionários da repartição levarão 
mais de um ano, contado do início dos trabalhos, para completar a triagem e a análise dos 4.000 processos. 
Para finalizar o trabalho de 480 processos foram necessárias 6 semanas. Para finalizar os 4000 processos, 
vejamos quantas semanas são necessárias: 
480 processos --------------------------- 6 semanas 
4000 processos----------------------- X semanas 
480X = 4000 x 6 
480X = 24000 
X = 24000 / 480 
X = 50 semanas 
Como cada semana tem 7 dias, vemos que 50 semanas correspondem a 50 x 7 = 350 dias, ou seja, menos de 1 
ano. Assim, os funcionários levarão menos de um ano para finalizar a triagem e análise dos 4000 processos. 
Item ERRADO. 
Resposta: C E C E E 
 
11.CESPE – CORREIOS – 2011) 
Um cliente comprou, em uma agência dos Correios, selos comemorativos dos 150 anos do nascimento do padre 
Landell de Moura e dos 150 anos de fundação da Caixa Econômica Federal (CAIXA). Para o pagamento desses 
produtos, o cliente entregou certa quantia em reais e notou que 3⁄4 dessa quantia correspondiam ao custo dos 
selos comemorativos dos 150 anos do padre Landell de Moura e 1⁄5, ao custo dos selos comemorativos dos 150 
anos da CAIXA. 
Nessa situação, com relação à quantia entregue para pagamento, o troco a que faz jus o cliente corresponde a 
 a) 20%. 
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 b) 5%. 
 c) 8%. 
 d) 10%. 
 e) 12%. 
RESOLUÇÃO: 
Seja Q a quantia entregue para pagamento. Vemos que (3/4)Q corresponde aos selos do padre, e (1/5)Q aos 
selos da CAIXA. Assim, sobram: 
3 1
4 5
20 15 4
20
1
20
0,05
5%
Q Q Q
Q
Q
Q
Q
− − =
− −
=
=
=
 
Assim, sobra 5% do valor pago, que deve ser devolvido como troco. 
Resposta: B 
 
12. CESPE – CORREIOS – 2011) 
Considerando-se que 3 caixas de encomenda do tipo 2B e 3 caixas de encomenda do tipo flex correios custem, 
ao todo, R$ 12,00 e que 5 caixas do tipo 2B e 10 do tipo flex correios custem, ao todo, R$ 28,00, é correto afirmar 
que uma caixa do tipo 2B custa 
 a) R$ 2,40. 
 b) R$ 3,15. 
 c) R$ 3,20. 
 d) R$ 1,20. 
 e) R$ 2,00. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos chamar as caixas 2B simplesmente de “B”, e as caixas flex de “F”. Assim, 
3 x B + 3 x F = 12 
B + F = 4 
B = 4 – F 
E, também: 
5 x B + 10 x F = 28 
5 x (4 – F) + 10 x F = 28 
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20 – 5F + 10F = 28 
5F = 8 
F = 1,6 real 
Portanto, B = 4 – 1,6 = 2,4 reais. Assim, a caixa 2B custa R$2,40. 
Resposta: A 
 
13. CESPE – CORREIOS – 2011) 
Em uma empresa, os empregados têm direito a descanso remunerado de um dia a cada 15 dias trabalhados. 
Em determinado ano, os dias trabalhados e os dias de descanso somaram 224 dias. 
Com base nessa situação, é correto afirmar que, nesse ano, a quantidade de dias de descanso desses 
empregados foi 
 a) superior a 16 e inferior a 20. 
 b) superior a 20 e inferior a 24. 
 c) superior a 24. 
 d) inferior a 12. 
 e) superior a 12 e inferior a 16. 
RESOLUÇÃO: 
Seja D o número de dias de descanso. Assim, o número de dias trabalhados (T) é 15 vezes maior, ou seja, T = 
15D. 
Além disso, sabemos que a soma dos dias trabalhados e de descanso é 224, ou seja, 
224 = T + D 
224 = 15D + D 
224 = 16D 
D = 14,93 
Resposta: E 
 
14. CESPE – TRE/ES – 2011) 
Se, em um município, as seções eleitorais X, Y e Z têm, juntas, 1.500 eleitores; os tempos médios de votação 
nessas seções são 1 minuto e 30 segundos, 2 minutos e 1 minuto por eleitor, respectivamente; o tempo médio 
de votação nas três seções é de 2.175 minutos; e o número de eleitores da seção Y é igual à metade da soma do 
número de eleitores das seções X e Z, então, nesse caso, a seção eleitoral que tem o maior número de eleitores 
é a X.RESOLUÇÃO: 
Sejam x, y e z o número de eleitores das seções X, Y e Z , respectivamente. Sabemos que: 
x + y + z = 1500 
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y = (x + z) / 2 → x + z = 2y 
Assim, 
2y + y = 1500 → y = 500 eleitores 
Além disso, podemos dizer que x + z = 1000. 
O tempo total de votação em cada seção é dado pela multiplicação do tempo médio de votação pelo número 
de eleitores. Assim: 
1,5x + 2y + 1z = 2175 
0,5x + x + 2x500 + z = 2175 
0,5x + (x + z) + 1000 = 2175 
0,5x + 1000 + 1000 = 2175 
x = 350 
z = 1000 – x = 1000 – 350 = 650 
Assim, a seção com maior número de eleitores é Z. Item ERRADO. 
Resposta: E 
 
15. CESPE – CORREIOS – 2011) 
Se 4 selos do tipo A e 4 selos do tipo B custam R$ 7,00 e se um selo do tipo A custa 50% a mais que um selo do 
tipo B, então 8 selos do tipo A custam 
 a) R$ 9,00. 
 b) R$ 10,50. 
 c) R$ 12,00. 
 d) R$ 12,60. 
 e) R$ 8,40. 
RESOLUÇÃO: 
Sendo PA o preço do selo do tipo A, e PB o preço do selo do tipo B, o enunciado nos diz que PA = PB + 50%PB, 
ou seja, PA = 1,5PB. Assim, se 4 selos de cada tipo, juntos, custam 7 reais, podemos dizer que: 
4 x PA + 4 x PB = 7 
4 x (1,5PB) + 4 x PB = 7 
10PB = 7 
PB = 0,7 reais 
Portanto, 
PA = 1,5PB = 1,5 x 0,7 = 1,05 reais 
Logo, 8 selos do tipo A custam 8 x 1,05 = 8,40 reais. 
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Resposta: E 
 
16. CESPE – CORREIOS – 2011) 
Em um escritório, a despesa mensal com os salários dos 10 empregados é de R$ 7.600,00. Nesse escritório, 
alguns empregados recebem, individualmente, R$ 600,00 de salário mensal e os outros, R$ 1.000,00. 
A partir das informações do texto, considere que aos empregados que recebem salário mensal de R$ 600,00 
seja concedido reajuste salarial de 10%, e aos que recebem salário de R$ 1.000,00, reajuste de 15%. Nesse caso, 
a despesa mensal do escritório com os salários de seus empregados aumentará entre 
 a) 7% e 9%. 
 b) 9% e 11%. 
 c) 11% e 13%. 
 d) 13% e 15%. 
 e) 5% e 7%. 
RESOLUÇÃO: 
Seja X o número de empregados que recebem 600 reais, de modo que os 10 – X restantes recebem 1000 reais 
(pois o total é de 10 empregados). Como 7600 reais é o total pago pela folha de salários, podemos dizer que: 
600X + (10 – X) x 1000 = 7600 
10000 – 400X = 7600 
400X = 2400 
X = 6 empregados 
Assim, 6 empregados recebem 600 reais e os outros 4 recebem 1000. Aumentando em 10% o salário de 600 
reais, os empregados passarão a receber: 
600 x (1 + 10%) = 660 reais 
E aumentando em 15% o salário de 1000 reais, os empregados passarão a receber: 
1000 x (1 + 15%) = 1150 reais 
Logo, a folha de salários passará a ser de: 
6 x 660 + 4 x 1150 = 3960 + 4600 = 8560 reais 
O aumento da folha de salário foi de 8560 – 7600 = 960 reais. Percentualmente, este aumento foi de: 
960
% 0,1263 12,63%
7600
Aumento = = = 
Este valor encontra-se entre 11% e 13%. 
Resposta: C 
 
17. CESPE – CORREIOS – 2011) 
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O trajeto de 5 km percorrido por um carteiro é formado por 2 trechos. Sabe-se que os comprimentos desses 
trechos, em metros, são números diretamente proporcionais a 2 e 3. Nesse caso, a diferença, em metros, entre 
os comprimentos do maior trecho e do menor trecho é igual a 
 a) 600. 
 b) 1.400. 
 c) 1.200. 
 d) 1.000. 
 e) 800. 
RESOLUÇÃO: 
Seja “A” o tamanho de um trecho, sabemos que o tamanho do segundo é igual a 5 – A, afinal a soma dos dois 
deve ser igual a 5km. Como esses trechos são diretamente proporcionais a 2 e 3, podemos dizer que: 
2
5 3
A
A
=
−
 
3A = 2 x (5 – A) 
3A = 10 – 2A 
5A = 10 
A = 2km 
Assim, o outro trecho mede 5 – A = 5 – 2 = 3km. Portanto, a diferença entre o maior e o menor trecho, em 
metros, é 3.000 – 2.000 = 1.000metros. 
Resposta: D 
 
18. CESPE – CORREIOS – 2011) 
Em determinado dia, todas as correspondências recebidas na agência dos Correios da cidade Alfa destinavam-
se apenas a moradores dos bairros X, Y e Z. Ao bairro X foi destinada metade das correspondências recebidas 
na agência menos 30 correspondências; ao bairro Y foi destinada a terça parte das correspondências restantes, 
isto é, depois de retiradas as do bairro X, e mais 70 correspondências; o bairro Z recebeu 180 correspondências. 
O total de correspondências recebidas, nesse dia, na agência dos Correios da cidade Alfa foi: 
A) superior a 680 e inferior a 700. 
B) superior a 700 e inferior a 720. 
C) superior a 720. 
D) inferior a 660. 
E) superior a 660 e inferior a 680. 
RESOLUÇÃO: 
Chamemos de x, y e z o total de correspondências destinadas às agências X, Y e Z respectivamente. Assim, o 
total de correspondências é: 
Total = x + y + z 
Para X foram metade do total, menos 30, ou seja: 
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30
2
x y z
x
+ +
= − 
2 60x x y z= + + − 
60x y z= + − 
Retiradas as correspondências de X, sobram y + z. Deste total, em Y ficaram 1/3 e mais 70, ou seja, 
70
3
y z
y
+
= + 
3 210y y z= + + 
2 210y z= + 
Como Z recebeu 180, então z = 180. Assim, 
2 180 210y = + 
195y = 
E, finalmente, 
60x y z= + − 
195 180 60 315x = + − = 
Portanto, o total de correspondências é 315 + 195 + 180 = 690. 
Resposta: A 
 
19. CESPE – CORREIOS – 2011) 
Considere que sejam cobrados R$ 5,00 para o envio de uma carta comercial simples e uma carta comercial 
registrada, ambas de até 20g, e R$ 11,10 para o envio de 3 cartas comerciais simples e 2 registradas, todas de 
até 20g. Nessa situação, a diferença entre o preço cobrado para o envio de uma carta comercial registrada e o 
cobrado para o envio de uma carta comercial simples, ambas de até 20g, é de 
A R$ 2,60. 
B R$ 2,70. 
C R$ 2,80. 
D R$ 2,90. 
E R$ 2,50. 
RESOLUÇÃO: 
Seja S o preço de uma carta simples e R o preço de uma carta registrada. Ao enviar uma carta de cada, o valor 
pago é de 5 reais, ou seja, 
S + R = 5 
R = 5 – S 
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Como o custo de 3 cartas simples e 2 registradas é 11,10 reais, então: 
3S + 2R = 11,10 
Como R = 5 – S, podemos substituir R por 5 – S na equação acima, obtendo: 
3S + 2 (5 – S) = 11,10 
3S + 10 – 2S = 11,10 
S = 11,10 – 10 
S = 1,10 real 
Portanto, R = 5 – 1,10 = 3,90 reais. Logo, a diferença entre o custo das duas cartas é de 3,90 – 1,10 = 2,80 reais. 
Resposta: C 
 
 
 
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Lista de questões da aula 
 
1. CESPE – SEDUC/AL – 2018) 
Situação hipotética: A média aritmética dos pesos dos 60 alunos de uma sala de aulas é igual a 51,8 kg. Nessa 
sala, a média aritmética do peso dos meninos é de 62 kg e das meninas, 45 kg. Assertiva: Nesse caso, essa sala 
de aulas tem 24 meninos e 36 meninas. 
 
2. CESPE – POLÍCIA FEDERAL – 2018) 
Os indivíduos S1, S2, S3 e S4, suspeitos da prática de um ilícito penal, foram interrogados, isoladamente, nessa 
mesma ordem. No depoimento, com relação à responsabilização pela prática do ilícito, S1 disse que S2 
mentiria; S2 disse que S3 mentiria; S3 disse que S4 mentiria. 
A partir dessa situação, julgue os itens a seguir. 
( ) Caso S3 complete 40 anos de idade em 2020, S1 seja 8 anos mais novo que S3 e S2 seja 2 anos mais velho 
que S4, se em 2020 a soma de suas idades for igual a 140 anos, então é correto afirmar que S2 nasceu antes de 
1984. 
 
Em um tanque A, há uma mistura homogênea de 240 L de gasolinae 60 L de álcool; em outro tanque B, 150 L 
de gasolina estão misturados homogeneamente com 50 L de álcool. 
A respeito dessas misturas, julgue os itens subsequentes. 
3. CESPE – PM/AL – 2017) 
Para que a proporção álcool/gasolina no tanque A fique igual à do tanque B é suficiente acrescentar no tanque 
A uma quantidade de álcool que é inferior a 25 L. 
 
4. CESPE – PM/AL – 2017) 
Os soldados Pedro e José, na função de armeiros, são responsáveis pela manutenção de determinada 
quantidade de armas da corporação – limpeza, lubrificação e municiamento. Se Pedro fizer a manutenção das 
armas que estavam a seu encargo e de mais 50 que estavam a cargo de José, então Pedro fará a manutenção 
do dobro de armas que sobram para José. Se José fizer a manutenção das armas que estavam a seu encargo e 
de mais 60 que estavam a cargo de Pedro, José fará a manutenção do triplo de armas que sobraram para Pedro. 
Nesse caso, a quantidade de armas para manutenção a cargo de Pedro e José é superior a 260. 
 
5. CESPE – PM/AL – 2017) 
O tanque para água de um veículo de combate a incêndio tem a forma de um paralelepípedo retângulo e está 
completamente cheio. No combate a um incêndio, gastou-se 1/3 de sua capacidade. No combate a um segundo 
incêndio, gastou-se 3/7 do que sobrou. Neste caso, depois de extintos os dois incêndios, restou, no tanque, água 
até uma altura superior a 1/3 da altura original. 
 
6. CESPE – PM/AL – 2017) 
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Considere que em um tanque C, inicialmente vazio, tenham sido despejadas certas quantidades das misturas 
dos tanques A e B totalizando 100 L. Considere também que, depois de homogeneizada essa mistura no tanque 
C, a separação de álcool e gasolina por um processo químico tenha mostrado que nesses 100 L, 22 L eram de 
álcool. Nessa situação, para formar a mistura no tanque C foram usados mais de 55 L da mistura do tanque A. 
 
7. CESPE – SAEB/BA – 2013) 
Olavo vive com a esposa Rute e com o filho Luca. Rute e Olavo demoram no banho o mesmo tempo, mas Rute 
abre o chuveiro com vazão igual à metade da de Olavo. Luca abre o chuveiro com vazão igual à de sua mãe, 
mas demora no banho o dobro do tempo de seu pai. Se o volume de água gasto com os banhos dos três é de 
150 L, o volume de água que Olavo gasta em seu banho é igual a 
A) 30 L. 
B) 50 L. 
C) 60 L. 
D) 75 L. 
8. CESPE – INPI – 2013) 
Considere que em um escritório de patentes, a quantidade mensal de pedidos de patentes solicitadas para 
produtos da indústria alimentícia tenha sido igual à soma dos pedidos de patentes mensais solicitadas para 
produtos de outra natureza. Considere, ainda, que, em um mês, além dos produtos da indústria alimentícia, 
tenham sido requeridos pedidos de patentes de mais dois tipos de produtos, X e Y, com quantidades dadas por 
x e y, respectivamente. Supondo que T seja a quantidade total de pedidos de patentes requeridos nesse 
escritório, no referido mês, julgue os itens seguintes. 
( ) Se T = 128, então as quantidades x e y são tais que x + y = 64, com 0 ≤ x ≤ 64. 
( ) Se, em determinado mês, a quantidade de pedidos de patentes do produto X foi igual ao dobro da quantidade 
de pedidos de patentes do produto Y, então a quantidade de pedidos de patentes de produtos da indústria 
alimentícia foi o quádruplo da quantidade de pedidos de patentes de Y. 
( ) Se T = 128 e a quantidade x foi 18 unidades a mais do que a quantidade y, então a quantidade y foi superior a 
25. 
 
9. CESPE – INPI – 2013) 
Considerando que, em determinado dia, a quantidade de homens e mulheres, em um shopping center, entre 
10 h e 20 h, seja dada, respectivamente, pelas expressões y = 5t + 200 e x = 3t + 234, em que t seja a hora 
correspondente, julgue os itens que se seguem. 
( ) A cada hora, a quantidade de homens aumenta 20 unidades a mais do que a quantidade de mulheres. 
( ) A quantidade de pessoas no shopping center, às 20 h, é superior à quantidade de pessoas às 10 h. 
( ) Ao longo do dia em questão, a quantidade de homens dentro do shopping aumentou, enquanto que a 
quantidade de mulheres no shopping diminuiu. 
( ) A quantidade de homens no shopping torna-se igual à quantidade de mulheres antes das 18 h. 
 
10. CESPE – IBAMA – 2012) 
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Em uma repartição, 4.000 processos permaneceram sem andamento devido a problema técnico na rede de 
computadores. Para resolver esse problema, o chefe da repartição direcionou 1/4 dos servidores para fazer uma 
triagem nos processos, classificando-os em média ou baixa complexidade e em alta complexidade. O chefe, 
então, disponibilizou 2/5 dos servidores para a análise dos processos de média ou baixa complexidade e 70 
servidores para a análise dos processos de alta complexidade, de forma que todos os servidores ficaram 
ocupados com essas atividades. Após seis semanas de trabalho, havia ainda 3.520 processos aguardando 
triagem e análise. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 
( ) Caso, após a conclusão da triagem dos 4.000 processos, os servidores responsáveis por essa atividade sejam 
direcionados à análise dos processos de alta complexidade, o número de servidores realizando tal análise será 
menor que o dobro daqueles que analisam processos de média ou baixa complexidade. 
( ) Mais servidores da repartição foram direcionados para a triagem dos processos do que para a análise de 
processos de média ou baixa complexidade. 
( ) A repartição possui um total de 200 servidores. 
( ) Após seis semanas de trabalho, mais de 90% dos processos ainda aguardavam triagem e análise. 
( ) Caso o ritmo de trabalho permaneça igual ao das seis primeiras semanas, os funcionários da repartição 
levarão mais de um ano, contado do início dos trabalhos, para completar a triagem e a análise dos 4.000 
processos. 
 
11.CESPE – CORREIOS – 2011) 
Um cliente comprou, em uma agência dos Correios, selos comemorativos dos 150 anos do nascimento do padre 
Landell de Moura e dos 150 anos de fundação da Caixa Econômica Federal (CAIXA). Para o pagamento desses 
produtos, o cliente entregou certa quantia em reais e notou que 3⁄4 dessa quantia correspondiam ao custo dos 
selos comemorativos dos 150 anos do padre Landell de Moura e 1⁄5, ao custo dos selos comemorativos dos 150 
anos da CAIXA. 
Nessa situação, com relação à quantia entregue para pagamento, o troco a que faz jus o cliente corresponde a 
 a) 20%. 
 b) 5%. 
 c) 8%. 
 d) 10%. 
 e) 12%. 
 
12. CESPE – CORREIOS – 2011) 
Considerando-se que 3 caixas de encomenda do tipo 2B e 3 caixas de encomenda do tipo flex correios custem, 
ao todo, R$ 12,00 e que 5 caixas do tipo 2B e 10 do tipo flex correios custem, ao todo, R$ 28,00, é correto afirmar 
que uma caixa do tipo 2B custa 
 a) R$ 2,40. 
 b) R$ 3,15. 
 c) R$ 3,20. 
 d) R$ 1,20. 
 e) R$ 2,00. 
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13. CESPE – CORREIOS – 2011) 
Em uma empresa, os empregados têm direito a descanso remunerado de um dia a cada 15 dias trabalhados. 
Em determinado ano, os dias trabalhados e os dias de descanso somaram 224 dias. 
Com base nessa situação, é correto afirmar que, nesse ano, a quantidade de dias de descanso desses 
empregados foi 
 a) superior a 16 e inferior a 20. 
 b) superior a 20 e inferior a 24. 
 c) superior a 24. 
 d) inferior a 12. 
 e) superior a 12 e inferior a 16. 
 
14. CESPE – TRE/ES – 2011) 
Se, em um município, as seções eleitorais X, Y e Z têm, juntas, 1.500 eleitores; os tempos médios de votação 
nessas seções são 1 minuto e 30 segundos, 2 minutos e 1 minuto por eleitor, respectivamente; o tempo médio 
de votação nas três seçõesé de 2.175 minutos; e o número de eleitores da seção Y é igual à metade da soma do 
número de eleitores das seções X e Z, então, nesse caso, a seção eleitoral que tem o maior número de eleitores 
é a X. 
 
15. CESPE – CORREIOS – 2011) 
Se 4 selos do tipo A e 4 selos do tipo B custam R$ 7,00 e se um selo do tipo A custa 50% a mais que um selo do 
tipo B, então 8 selos do tipo A custam 
 a) R$ 9,00. 
 b) R$ 10,50. 
 c) R$ 12,00. 
 d) R$ 12,60. 
 e) R$ 8,40. 
 
16. CESPE – CORREIOS – 2011) 
Em um escritório, a despesa mensal com os salários dos 10 empregados é de R$ 7.600,00. Nesse escritório, 
alguns empregados recebem, individualmente, R$ 600,00 de salário mensal e os outros, R$ 1.000,00. 
A partir das informações do texto, considere que aos empregados que recebem salário mensal de R$ 600,00 
seja concedido reajuste salarial de 10%, e aos que recebem salário de R$ 1.000,00, reajuste de 15%. Nesse caso, 
a despesa mensal do escritório com os salários de seus empregados aumentará entre 
 a) 7% e 9%. 
 b) 9% e 11%. 
 c) 11% e 13%. 
 d) 13% e 15%. 
 e) 5% e 7%. 
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17. CESPE – CORREIOS – 2011) 
O trajeto de 5 km percorrido por um carteiro é formado por 2 trechos. Sabe-se que os comprimentos desses 
trechos, em metros, são números diretamente proporcionais a 2 e 3. Nesse caso, a diferença, em metros, entre 
os comprimentos do maior trecho e do menor trecho é igual a 
 a) 600. 
 b) 1.400. 
 c) 1.200. 
 d) 1.000. 
 e) 800. 
 
18. CESPE – CORREIOS – 2011) 
Em determinado dia, todas as correspondências recebidas na agência dos Correios da cidade Alfa destinavam-
se apenas a moradores dos bairros X, Y e Z. Ao bairro X foi destinada metade das correspondências recebidas 
na agência menos 30 correspondências; ao bairro Y foi destinada a terça parte das correspondências restantes, 
isto é, depois de retiradas as do bairro X, e mais 70 correspondências; o bairro Z recebeu 180 correspondências. 
O total de correspondências recebidas, nesse dia, na agência dos Correios da cidade Alfa foi: 
A) superior a 680 e inferior a 700. 
B) superior a 700 e inferior a 720. 
C) superior a 720. 
D) inferior a 660. 
E) superior a 660 e inferior a 680. 
 
19. CESPE – CORREIOS – 2011) 
Considere que sejam cobrados R$ 5,00 para o envio de uma carta comercial simples e uma carta comercial 
registrada, ambas de até 20g, e R$ 11,10 para o envio de 3 cartas comerciais simples e 2 registradas, todas de 
até 20g. Nessa situação, a diferença entre o preço cobrado para o envio de uma carta comercial registrada e o 
cobrado para o envio de uma carta comercial simples, ambas de até 20g, é de 
A R$ 2,60. 
B R$ 2,70. 
C R$ 2,80. 
D R$ 2,90. 
E R$ 2,50. 
 
 
 
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Gabarito 
1. C 
2. E 
3. C 
4. E 
5. C 
6. C 
7. C 
8. CEE 
9. ECEC 
10. CECEE 
11. B 
12. A 
13. E 
14. E 
15. E 
16. C 
17. D 
18. A 
19. C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resumo direcionado 
• Equação de 1º grau é aquela em que a variável x está elevada ao expoente 1 
• Forma geral: a.x + b = 0 
• Única raiz: 𝑥 = −
𝑏
𝑎
 
• Dica para resolver: passar todos os termos que contém a incógnita para um lado da igualdade, e todos os 
termos que não contém para o outro lado 
• Sistema linear (ou sistema de equações de 1º grau): formado por “n” equações de 1º grau e “n” variáveis. 
 
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO (SISTEMAS LINEARES) 
1 - Isolar uma das variáveis em uma das equações; 
2 - Substituir esta variável na outra equação pela expressão achada no item anterior. 
 
MÉTODO DA SOMA DE EQUAÇÕES (SISTEMAS LINEARES): 
1 - Multiplicar uma das equações por um número que seja mais conveniente para eliminar uma variável; 
2 - Somar as duas equações, de forma a ficar apenas com uma variável. 
Equações de segundo grau 
• possuem a variável elevada ao quadrado (x2), sendo escritas na forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são os 
coeficientes da equação. Possuem 2 raízes. 
 
• toda equação de segundo grau pode ser escrita também da seguinte forma: 
a . (x – r1) . (x – r2) = 0 
(r1 e r2 são as raízes da equação) 
 
• fórmula de Báskara (p/ obter as raízes): 
2 4
2
b b ac
x
a
−  −
= 
• “delta” ( ) é a expressão b2 – 4ac: 
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• soma e produto das raízes: 
r1 + r2 = −
𝑏
𝑎
 
r1 . r2 = 
𝑐
𝑎
 
 
Número de 
raízes
Delta>0 2 distintas
Delta = 0 2 iguais
Delta < 0
sem raiz 
real