CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL - A4

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1. Franco (2013) Uma aproximação para a velocidade em função do tempo de 
um paraquedista em queda livre na atmosfera é dada pela equação: 
 
em que é a aceleração da gravidade (9,8 ), é a massa do 
paraquedista (75 kg), é o coeficiente de arrasto (13,4 ) e é o tempo 
(em ) a partir do início da queda. Suponha que o paraquedista salte de uma 
altura de 3500 metros. Sabe-se que o espaço percorrido por ele entre os 
instantes de tempo e é dado por: 
, 
A partir da regra dos trapézios composta, com 6 pontos distintos, 
desconsiderando a fórmula do erro de truncamento, calcule o espaço 
percorrido pelo paraquedista entre os instantes e . 
Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: 
Editora Pearson, 2013, p. 373. 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra 
dos trapézios composta com 6 pontos distintos, temos 
 
 
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos obtidos através da lei da 
função, podemos calcular o valor de metros . 
 
 
0 2 16,48049477 
1 2,2 17,82738402 
2 2,4 19,12699418 
3 2,6 20,38098486 
4 2,8 21,59095741 
5 3 22,75845698 
• 19,71 metros 
 
2. Franco (2013) Uma aproximação para a velocidade em função do tempo de um 
paraquedista em queda livre na atmosfera é dada pela equação: 
 
em que é a aceleração da gravidade (9,8 ), é a massa do 
paraquedista (68 kg), é o coeficiente de arrasto (12,5 ) e é o tempo 
(em ) a partir do início da queda. Suponha que o paraquedista salte de uma 
altura de 3000 metros. Sabe-se que o espaço percorrido por ele entre os 
instantes de tempo e é dado por: 
, 
A partir da regra dos trapézios composta, com 5 pontos distintos, 
desconsiderando a fórmula do erro de truncamento, calcule a altura em que se 
encontra o paraquedista no instante 
Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: 
Editora Pearson, 2013, p. 373. 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra 
dos trapézios composta com 5 pontos distintos, temos 
 
 
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos obtidos através da lei da 
função, podemos calcular o valor de metros . 
 
 
0 0 0 
1 0,5 4,681559536 
2 1 8,952010884 
3 1,5 12,84745525 
4 2 16,40082363 
 
Portanto, a altura em que se encontra o paraquedista é igual a 
 metros. 
• metros 
 
3. A velocidade instantânea de uma motocicleta foi medida em vários momentos 
e registrada numa tabela como segue abaixo: 
 
t (segundos) v (km/h) 
0 20 
120 22 
240 23 
360 25 
480 30 
600 31 
720 32 
840 40 
960 45 
1080 50 
1200 65 
 
Referência: Elaborado pelo autor. 
Uma vez que o motociclista não anotou a quilometragem da motocicleta e 
deseja calcular uma aproximação da distância percorrida, em metros, 
determine essa aproximação usando a regra dos trapézios composta sobre 
todos os pontos dados na tabela. 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra 
dos trapézios composta com 11 pontos distintos, temos 
 
 
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, 
podemos calcular o valor de . 
 
 
0 0 20 
1 120 22 
2 240 23 
3 360 25 
4 480 30 
5 600 31 
6 720 32 
7 840 40 
8 960 45 
9 1080 50 
10 1200 65 
• 11350 
 
4. Franco (2013) A determinação da área da seção reta de rios e lagos é 
importante em projetos de prevenção de enchentes (para o cálculo de vazão 
da água) e nos projetos de reservatórios (para o cálculo do volume total de 
água). A menos que dispositivos tipo sonar sejam usados na obtenção do perfil 
do fundo de rios/lagos, o engenheiro deve trabalhar com valores da 
profundidade, obtidos em pontos discretos da superfície. Um exemplo típico da 
seção reta de um rio é mostrado na Figura abaixo: 
 
 
Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: 
Editora Pearson, 2013, p. 371. 
 
Use a fórmula dos trapézios composta sobre os respectivos pontos igualmente 
espaçados para calcular a área da região da seção reta do rio compreendida 
entre 10 e 20 metros de distância da margem esquerda desse rio. 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra 
dos trapézios composta com 6 pontos distintos, temos 
 
 
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos lidos na Figura, podemos 
calcular o valor de metros quadrados. 
 
 
0 10 6 
1 12 4 
2 14 3,6 
3 16 3,4 
4 18 2,8 
5 20 0 
• 33,6 metros quadrados 
 
5. Barroso (1987) Uma linha reta foi traçada de modo a tangenciar as margens de 
um rio nos pontos A e B. Para medir a área de um trecho entre o rio e a reta 
AB foram traçadas perpendiculares em relação a AB com um intervalo de 0,04 
m. Usando os dados tabelados e a regra dos trapézios composta, calcule uma 
aproximação para a área da região descrita. 
 
Perpendiculares Comprimento (metros) 
1 3,37 
2 4,43 
3 4,65 
4 5,12 
5 4,98 
6 3,61 
7 3,85 
8 4,71 
9 5,25 
10 3,86 
11 3,22 
 
Referência: BARROSO, L. C. et al. Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. 
São Paulo: Harbra, 1987, p. 273. 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra 
dos trapézios composta com 11 pontos distintos, temos 
 
 
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, 
podemos calcular o valor de metros quadrados. 
 
 
0 0 3,37 
1 0,04 4,43 
2 0,08 4,65 
3 0,12 5,12 
4 0,16 4,98 
5 0,2 3,61 
6 0,24 3,85 
7 0,28 4,71 
8 0,32 5,25 
9 0,36 3,86 
10 0,4 3,22 
• 1,75 metros quadrados 
 
6. Barroso (1987) Usando a regra dos trapézios composta sobre os pontos 
necessários, calcule e marque a alternativa que representa o valor do 
trabalho realizado por um gás sendo aquecido segundo a 
tabela abaixo, em que é a pressão exercida pela gás e é o seu 
respectivo volume. 
 
 ( ) 
 
0,5 110 
1,0 100 
1,5 90 
2,0 82 
2,5 74 
3,0 63 
3,5 54 
4,0 38 
4,5 32 
5,0 22 
 
Referência: BARROSO, L. C. et al. Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. 
São Paulo: Harbra, 1987, p. 274. 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra 
dos trapézios composta com 6 pontos distintos, temos 
 
 
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, 
podemos calcular o valor de J. 
 
 
0 1,5 90 
1 2 82 
2 2,5 74 
3 3 63 
4 3,5 54 
5 4 38 
• 168,5 J 
 
7. Quando desejamos saber a precisão que estamos trabalhando com a regra 
dos trapézios composta, podemos utilizar a expressão para o erro de 
truncamento. Em vista disso, determine uma cota para o erro máximo de 
truncamento cometido no cálculo da integral , quando 
utilizamos a regra dos trapézios composta com 7 pontos distintos. 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra 
dos trapézios composta com 7 pontos distintos, , temos que a 
fórmula do erro de truncamento é dada por: 
 
Portanto, uma cota para o erro máximo de truncamento é igual a
. 
 
• 
 
8. Partindo do conhecimento adquirido por Barroso (1987) que afirma que a 
quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de um certo corpo 
de massa de a é 
 
em que é o calor específico do corpo à temperatura . Considerando a 
tabela abaixo, calcule a quantidade de calor necessária para se elevar 20 kg de 
água de 0 °C a 100 °C. 
 
 (°C) ( ) 
0 999,9 
10 999,7 
20 998,2 
30 995,5 
40 992,5 
50 988,2 
60 983,2 
70 977,8 
80 971,8 
90 965,6 
100 958,4 
 
Referência: BARROSO, L. C. et al. Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. 
São Paulo: Harbra, 1987, p. 272. 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra 
dos trapézios composta, com , temos que 
 
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos da tabela dada na 
questão, podemos calcular o valor de . 
. 
 
 
 
0 0 999,9 
1 10 999,7 
2 20 998,2 
3 30 995,5 
4 40 992,5 
5 50 988,2 
6 60 983,2 
7 70 977,8 
8 80 971,8 
9 90 965,6 
10 100 958,4 
 
Consequentemente, kcal 
 
 
• 1970330 kcal 
 
9. (Franco, 2013, adaptado) Sem utilizar a fórmulado erro de truncamento, 
aproxime pela regra dos trapézios composta, com 6 pontos distintos, o 
comprimento de arco da curva de a . Lembre-se que 
o comprimento de arco de uma curva genérica do ponto ao 
ponto é dada por 
 
 Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: 
Editora Pearson, 2013, p. 366. 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra 
dos trapézios composta com 6 pontos distintos, temos 
 
 
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos determinados a partir da 
lei da função do integrando, podemos calcular o valor de
. 
 
 
0 1 6,08276253 
1 1,2 8,062257748 
2 1,4 10,04987562 
3 1,6 12,04159458 
4 1,8 14,03566885 
5 2 16,03121954 
• 11,05 
 
10. (Franco, 2013, adaptado) Sem utilizar a fórmula do erro de truncamento, 
aproxime pela regra dos trapézios composta, com 5 pontos distintos, o 
comprimento de arco da curva de a . Lembre-se que o 
comprimento de arco de uma curva genérica do ponto ao 
ponto é dada por 
 
 Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: 
Editora Pearson, 2013, p. 366. 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra 
dos trapézios composta com 5 pontos distintos, temos 
 
 
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos determinados a partir da 
lei da função do integrando, podemos calcular o valor de
. 
 
 
0 0 4,123105626 
1 0,25 1,802775638 
2 0,5 1,414213562 
3 0,75 3,640054945 
4 1 6,08276253 
• 2,99