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1
Electrónica 3
2006/2007
FEUP/DEEC – 4º/MIEEC
Vítor Grade Tavares
José Machado da Silva
Vítor Grade Tavares e 
José Machado da Silva
Electrónica 3
FEUP / MIEEC
2
Aula 14: Filtros 
� Sumário:
� Função de Aproximação:
� Butterworth.
� Chebyshev.
� Bessel.
� Filtros Elípticos.
� Características marcantes dos diferentes 
filtros.
� Transformação de frequência.
2
Vítor Grade Tavares e 
José Machado da Silva
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3
O Problema da Aproximação.
� O problema da aproximação consiste em encontrar uma função 
cuja característica se encontre dentro das regiões permitidas 
pelas especificações.
� A solução consiste no uso de funções racionais cujas raízes 
são bem conhecidas.
� Para o nosso estudo:
� As aproximações mais populares são: Butterworth, Chebyshev, 
Elíptico (Cauer) e Bessel.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2
2
122
P1
D
N
1HAtenuação jw
jw
jw
jwjw +=+==
−
( ) 0111P asasasas nnnn ++++= −− L
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José Machado da Silva
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Filtro de Butterworth.
� O mais plano na banda de passagem.
( ) ( )
N
p
N
p w
w
jwH
w
s
sH
2
21
1
1
1








+
=⇒








+
=
εε
Amin (dB)
wp ws
BP
BR
BT
0dB
Amax (dB)






+ 21
1
log10
ε
( )21log10 ε+
0)(
0
=
=wdw
jwdH
3
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Filtro de Butterworth: Ordem.
( ) 1101log20 10maxmax
1
22 −=→≤



 Ω+
=Ω
A
AN εε
( ) ( )
( )
















−
−
=
Ω







 −
≥
−≥Ω→≥



 Ω+
Ω=Ω
p
ss
N
s
N
w
w
N
A
A
AA
A
s
log
110
110
log
log2
110
log
110
1log20
10
min
10
max
10
max
10
max
2
2
2
max
22
ε
ε
ε
Atenuação em dBs
p
s
p
s
s
p
pp
f
f
w
w
f
fjw
wjj
==Ω
=Ω
==Ω
1
Considere-se a normalização:
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Filtro de Butterworth: Pólos de H(s).
� Para a determinação dos pólos do filtro temos de partir da função |H(jw)|, ou de 
forma equivalente |H(jw)|2, pois é esta que se relaciona com as especificações. 
Isto é equivalente a determinar a função:
� As singularidades de H(-s) são as singularidades de H(s) reflectidas em torno 
da origem. A função resultante |H(s)|2 irá respeitar |H(jw)|2 (e portanto |H(jw)|).
� Observando para a expressão normalizada:
� O número de pólos desta expressão é 2N. Para H(s) serão aqueles N pólos que 
situam do lado esquerdo do eixo s=jw. Os restantes correspondem a H(-s)
( ) ( )
( ) ( )sHsHsH
jwHjwHjwH
−=
−=
2
2
)(
)( ou
Que é equivalente à anterior para s=jw
( ) ( ) NNN sssH 222
2
11
1
1
1
)(
−+
=
−+
=
4
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Filtro de Butterworth: H(s).
( ) ( )∏ Ω−
=
Ω
Ω
k
kS
SH
1
oNormalizad
( ) 01 2 =−+ Ω NS
N
π
.... ...
.
....
....
Pólos de H(s) Pólos de H(-s)
Nk
e N
Nkj
k
2,,2,1
12
2
L=
=Ω











 −+π










=Ω
p
N
w
SS
1
ε
( )sH
Pólos da função normalizada εεεε=1 e SΩΩΩΩ=S/wp
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Filtro de Butterworth.
� Se n é par, os pólos são as raízes de s2n=ejπ, pelo que sk=ekjπ/2n. 
Escolhem-se os pólos do lado esquerdo.
� Se n é ímpar, os pólos são as raízes de s2n=ej2π, pelo que 
sk=ekjπ/n
Ex: n=4
x
x
x
x
x
x
x
x
( )





 +π+




 +π+
=
22
4
ss
8
3
sin21ss
8
sin21
1
sH
Ex: n=3
x
x
( )
( )( )23 ss1s1
1
sH
+++
=
x
x
x
x
5
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Filtro de Butterworth: Características.
� Característica bastante 
plana na banda de 
passagem.
� Fraca linearidade na fase.
� Declive moderado na banda 
de transição.
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Filtro de Butterworth: H(s) normalizado.
6
5
4
3
2
1
Ordem, n Polinómios do denominador de funções de transferência de Butterworth.)( ΩSP
Ω+ S1
221 ΩΩ ++ SS
( )( ) 322 22111 ΩΩΩΩΩΩ +++=+++ SSSSSS
( )( ) 43222 613,2414,3613,211848,117653,0 ΩΩΩΩΩΩΩΩ ++++=++++ SSSSSSSS
( )( )( )
5432
22
236,3236,5236,5236,31
1618,11618,01
ΩΩΩΩΩ
ΩΩΩΩΩ
+++++=
=+++++
SSSSS
SSSSS
( )( )( )1932,1121517,0 222 ++++++ ΩΩΩΩΩΩ SSSSSS
(Pólos de filtros Butterworth (passa-baixo normalizado)
0,2588; 0,7071; 0,9659 0,9659; 0,7071; 0,25886
0,5878; 0,95110,809; 0,309; 1,05
0,3827; 0,92390,9239; 0,38274
0,8660,5; 1,03
0,70710,70712
Parte imaginária, jβParte real, α
Ordem, n
6
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Filtro de Butterworth: H(s) normalizado.
6.39245320.43172942.80206164.88239674.23342964.88239642.80206120.4317296.39245310
5.75877016.58171931.16343741.98638641.98638631.16343716.5817195.7587709
5.12583113.13707121.84615125.68835621.84615113.1370715.1258318
4.49395910.09783514.59179414.59179410.0978354.4939597
3.8637037.4641029.1416207.4641023.8637036
3.2360685.2360685.2360683.2360685
2.6131263.4142142.6131264
2,02,03
1.4142142
a9a8a7a6a5a4a3a2a1
Orde
m, n
Coeficientes de polinómios do denominador de funçõe s de transferência de Butterworth.
1...
1
)(
1
3
3
2
2
1
1 ++++++
=
Ω
−
Ω−
−
Ω−
−
Ω−Ω
Ω
SaSaSaSaS
SH
n
n
n
n
n
n
n
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Filtro de Butterworth: Exemplo.
� Exemplo – Achar a expressão do 
ganho de um filtro passa-baixo de 
Butterworth cuja função de 
transferência apresenta uma 
frequência superior de corte de 10 
MHz, e a 20 MHz a atenuação é de 20 
dB.
� Resolução – A frequência fp=10MHz 
é tomada como referência de 
frequência (normalização). Como fp é
a frequência de corte, então ε=1.
2
1
==Ω
=Ω
==Ω
p
s
s
p
pp
f
f
f
f
w
w
31,3
10
20
log2
110log
log2
110log 10
20
10
min
=








−
=
Ω








−
≥
+−
s
A
N
Trata-se pois de um filtro de ordem 4, cuja função de transferência é
( )( )1848,11765,0
1
)(
22 +Ω+Ω+Ω+Ω
=ΩH
















++
















++
=
22
848,11765,01
1
)(
pppp
jjjj
jH
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
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Filtro de Chebyshev
( )
)(1
1
)(1
1
)(
22
pp nn
C
jH
C
sH
ω
ωω
ω ε
ω
ε ⋅+
=⇒
⋅+
=
Amin (dB)
wp ws
BP
BR
BT
0dB
Amax (dB)
( )21log10 ε+
( ) ( )( )( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )







==
−=
→




>
≤
=
−+
p
w
w
w
w
w
w
Nw
w
N
p
w
w
N
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
N
w
w
CC
CC
w
w
C
N
N
C
pp
ppp
pp
pp
p
10
11
;1
2
1arccoshcosh
1arccoscos
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Filtro de Chebyshev: H(s).
110 max1,0 −= Aε
( )[ ]( )
( )
p
s
p
s
w
w
A
w
w
N
NA
1
1,0
1
122
min
cosh
110
cosh
coshcosh1log10
min
−
−
−







 −
≥⇒
+=
ε
ε



















 ++


















 +−=Ω −−
ε
π
ε
π 1
sinh
1
cosh
21
2
cos
1
sinh
1
sinh
21
2
sin 11
NN
k
j
NN
k
k
( ) ( )∏ Ω−
=
Ω
Ω
k
kS
K
SH oNormalizad








=Ω
pw
SS
1
( )SH
� Os pólos distribuem-se ao longo de uma elipse no plano S
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Filtro de Chebyshev: Características.
� Bom declive na banda de 
transição.
� Linearidade de fase e 
característica na banda de 
passagem mais pobre do 
que as do Butterworth. Na 
banda passante (ω<ωp), 
20log|H(jw)| evolui ao ritmo 
de cos[nϕ]=cos[n.arcos(Ω)], 
e a curva de resposta 
ondula entre 0 e -
10log(1+ε2) dB.
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Filtro Elíptico (Cauer).
Amin (dB)
wp ws
BP
BR
BT
0dB
Amax (dB)
wz1 wz2
( )21log10 ε+
� A razão de atenuação na banda de atenuação, em ambos 
Chebyshev e Butterworth, mantém-se a Nx20dB/Dec para além 
de ws.
� Filtro de Cauer possui zeros na banda
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