Artigo da Disciplina de Análise de sinais II Série de Fourier

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Análise de Fourier de sinais em tempo discreto: Série e transformada 
de Fourier 
GABRIEL POSSEBON COSMAM1 
RAVELLI ZARDINELLO DE MATTOS 2 
 
Resumo: Neste presente artigo serão abordadas as 
teorias e representações da série e transformada de 
Fourier em tempo discreto, que permitem representar e 
estudar o comportamento de certas funções com respeito 
a propriedade de periodicidade. O objetivo deste artigo é 
o estudo da série e transformada de Fourier em tempo 
discreto, obtendo como resultado a aquisição de 
conhecimentos básicos, porém sólidos sobre essa teoria. 
A série de Fourier em tempo discreto permite representar 
muitas funções periódicas como uma infinita soma de 
exponenciais complexas, e para obtermos uma 
aproximação dos coeficientes da série de Fourier de 
funções periódicas, utilizamos a transformada de Fourier 
em tempo discreto, a qual em alguns casos, nos mostra 
uma aproximação exata. 
Palavras-chaves: Funções periódicas, série de Fourier, 
transformada de Fourier, tempo discreto, teorias, 
representações. 
1 Introdução 
Sinais em tempo discreto, são sinais com a variável 
independente, representada por n, definida somente para 
um conjunto discreto de valores, que são conjuntos de 
números inteiros, denotados por x[n], y[n]. Esses sinais, 
ao contrário do contínuo não aparece na natureza, são na 
maioria das vezes resultante de um processo chamado 
amostragem no tempo, a qual faz uso de técnicas e 
sistemas digitais no seu processamento. O seu intervalo 
de amostragem pode ser escolhido para que toda a 
informação do sinal seja preservada, e que possa voltar a 
sua forma original analógica quando necessário. 
Para aprimorar a análise dos sinais, foram-se 
aprimorando suas representações, surgiu-se então a 
análise de Fourier. Aplicada ainda em tempo contínuo, 
trata da representação de sinais e sistemas no domínio da 
frequência. Sendo descrita a motivação e desenvolvida a 
fundamentação para a definição das ferramentas que 
possibilitam a mudança do domínio do tempo para o 
domínio da frequência. A primeira dessas ferramentas 
analisada é a série de Fourier, que no domínio de tempo 
discreto, descreve como um sinal periódico com período 
N, e pode ser representada como a soma de N 
exponenciais complexas discretas. 
A segunda ferramenta analisada é a transformada de 
Fourier para sinais discretos, a qual é utilizada para 
 
converter um sinal discreto em uma representação 
contínua e periódica em frequência. 
2 Série de Fourier em tempo discreto 
Diferente do tempo continuo em que o sinal cos ωt não 
depende de ω, no tempo discreto a senóide cos ωn será 
periódica somente se Ω/(2⋅π) for um número racional. 
Então o período N0 da senóide cos Ωn é 𝑁_0 =
𝑚(2𝛱/𝛺), sendo m um coeficiente que deve ser ajustado 
para que No seja um número inteiro Z={...,-4,-3,-2,-
1,0,+1,+2,+3,+4,...} e satisfaça a condição de 
periodicidade. 
A representação do sinal periódico é dada por 𝑥[𝑛] =
𝑥[𝑛 + 𝑁0], em que essa equação só é valida se 𝑁0 ≥ 
período fundamental. Esse sinal 𝑋 = [𝑛] também é 
representado por uma senóide de frequência fundamental 
𝛺_0 = 2𝜋/𝑁𝑜 e suas harmônicas. 
 
Devido a facilidade de manipulação matemática, a série 
de Fourier em tempo discreto e desenvolvida na forma 
exponencial, constituída pelas exponenciais 
𝑒𝑗0𝑛, 𝑒±𝑗2𝛺0𝑛, … , 𝑒±𝑗𝑛𝛺0𝑛, …, que terá um número finito 
de 𝑁0 pois a primeira harmônica é igual a (N0+1)-esíma 
harmônica, segunda harmônica é idêntica (N0+2)-esíma 
harmônica e assim sucessivamente. 
A SFTD é representada por: 
 
𝑋[𝑛] = ∑ 𝐷𝑟𝑒𝑗𝑟𝛺0𝑛
𝑁0−1
𝑁=𝑎
 
 
Na qual: 
 
𝐷𝑟 =
1
𝑁0
∑ 𝑋[𝑛]𝑒−𝑗𝑟𝛺0𝑛 𝑁0−1𝑁=𝑎 𝑟0 =
2𝜋
𝑁0
 
 
Através da série de Fourier é possível obter seu espectro 
de um sinal período X[n], onde os coeficientes complexos 
são representados por: 
𝐷𝑟 = |𝐷𝑟|𝑒𝑗 ∠Dr 
O gráfico de espectro de amplitude é obtido através do 
|Dr| em função de Ω, já seu espectro de ângulo(fase) é 
obtido com ∠Dr em função de Ω. Os dois gráficos juntos 
formam o espectro de frequência de X[n]. 
Representada como no exemplo de uma onda quadrada 
de 1V de amplitude: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Transformada de Fourier em tempo discreto 
O uso de transformadas serve para observar 
características que já estavam presentes em um sinal, mas 
que podem não ser observados em um domínio. Com isso 
a transformada consegue levar o sinal para outro domínio 
e traze-lo de volta para o domínio original. 
Para analisarmos sinais não periódicos aplicamos 
então a transformada de Fourier, nesse caso em tempo 
discreto. Na qual X[n] assume as seguintes formas, 
simbolicamente expressas e com suas representações 
espectrais: 
𝑋(Ω) = 𝐹{𝑋[𝑛]} = ∑ 𝑋[𝑛]𝑒−𝑗𝛺𝑛
∞
𝑛−∞
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑋[𝑛] = 𝐹−1{𝑥(Ω)} =
1
2𝜋
∫ 𝑋(𝛺)𝑒𝑗𝛺𝑛 𝑑𝛺
2𝜋
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde x[n] e x[Ω] formam um par de transformada 
descrito por x[n]↔x[Ω]. E para que X[Ω] converge é 
necessário que x[n] seja somável em modulo, isto é: 
∑ |𝑋[𝑛] < ∞
∞
𝑛=−∞
 
Para ser representada na forma polar, a transformada 
de Fourier em tempo discreto costuma ser um número 
complexo: 
𝑋[Ω] = |𝑋(Ω)|𝑒𝑗∠xΩ 
Fórmula, em que o módulo de |x[Ω]| é o espectro de 
amplitude e ângulo ∠X[Ω] é o espectro de fase. 
Para processar esses sinais usados em computadores, 
eles devem estar na forma discreta e finitos, na qual se 
encaixa a transformada discreta de Fourier. 
4 Aplicações da série e transformada de Fourier 
Fenômenos periódicos ocorrem em várias aplicações, 
sendo modelados pela série de Fourier, podendo serem 
estendidas para fenômenos não periódicos aplicando a 
transformada de Fourier, e são com esses fenômenos que 
realizamos a resolução de problemas em diversas áreas 
no nosso dia a dia. Um exemplo é nos eletrocardiogramas 
utilizados na medicina, que são realizados em uma 
largura de banda menor, para poder assim medir o ritmo 
 
Figura 2: espectro de fase 
 
 
 
 
Figura 1: espectro de amplitude 
 
 Figura 3: representação equação TFTD 
 
 
Figura 4: representação equação TFTD 
 
desprezado pormenores morfológicos, essa análise só é 
possível graças a aplicação da transformada de Fourier. 
Outras aplicações da série e transformada também muito 
utilizada e de grande importância, é a realização de 
filtragem com a frequência desejada, eliminando ruídos 
de áudio e tendo uma boa resolução em imagens. Temos 
uma vasta aplicação e solução desde a mais rústica, até a 
mais sofisticada criação da ciência e da engenharia. 
5 Conclusão 
Com o presente artigo podemos estudar e observar a 
teoria da série e transformada de Fourier em tempo 
discreto, bem como seu comportamento nos espectros. 
Conclui-se com isso a grande aplicação na engenharia 
elétrica, indo muito além do que se é estudado em sala de 
aula, sendo muito utilizado para solucionar problemas de 
sistemas elétricos, apresentando resultados interessantes 
e de grande relevância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 Referências 
Lathi,B. P. “Análise de sinais no tempo continúo: A série 
de Fourier”. Sinais e Sistemas lineares, (9):738-775, 
2007. 
Hsu, hwei. “Análise de Fourier de sinaise sistemas de 
tempo discreto”. Sinais e Sistemas, (7):262-300, 2012. 
edisciplinas.usp.br. Análise espectral, outra forma de 
olhar para os sinais. Disponível em: 
<https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/3005865/mod
_resource/content/1/Analise%20de%20Fourier.pdf> 
Acesso em: 1 de dezembro de 2018