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1
Electrónica 3
2006/2007
FEUP/DEEC – 4º/MIEEC
Vítor Grade Tavares
José Machado da Silva
Vítor Grade Tavares e 
José Machado da Silva
Electrónica 3
FEUP / MIEEC
2
Aula 14: Filtros 
� Sumário:
� Função de Aproximação:
� Butterworth.
� Chebyshev.
� Bessel.
� Filtros Elípticos.
� Características marcantes dos diferentes 
filtros.
� Transformação de frequência.
2
Vítor Grade Tavares e 
José Machado da Silva
Electrónica 3
FEUP / MIEEC
3
O Problema da Aproximação.
� O problema da aproximação consiste em encontrar uma função 
cuja característica se encontre dentro das regiões permitidas 
pelas especificações.
� A solução consiste no uso de funções racionais cujas raízes 
são bem conhecidas.
� Para o nosso estudo:
� As aproximações mais populares são: Butterworth, Chebyshev, 
Elíptico (Cauer) e Bessel.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2
2
122
P1
D
N
1HAtenuação jw
jw
jw
jwjw +=+==
−
( ) 0111P asasasas nnnn ++++= −− L
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José Machado da Silva
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4
Filtro de Butterworth.
� O mais plano na banda de passagem.
( ) ( )
N
p
N
p w
w
jwH
w
s
sH
2
21
1
1
1








+
=⇒








+
=
εε
Amin (dB)
wp ws
BP
BR
BT
0dB
Amax (dB)






+ 21
1
log10
ε
( )21log10 ε+
0)(
0
=
=wdw
jwdH
3
Vítor Grade Tavares e 
José Machado da Silva
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FEUP / MIEEC
5
Filtro de Butterworth: Ordem.
( ) 1101log20 10maxmax
1
22 −=→≤



 Ω+
=Ω
A
AN εε
( ) ( )
( )
















−
−
=
Ω







 −
≥
−≥Ω→≥



 Ω+
Ω=Ω
p
ss
N
s
N
w
w
N
A
A
AA
A
s
log
110
110
log
log2
110
log
110
1log20
10
min
10
max
10
max
10
max
2
2
2
max
22
ε
ε
ε
Atenuação em dBs
p
s
p
s
s
p
pp
f
f
w
w
f
fjw
wjj
==Ω
=Ω
==Ω
1
Considere-se a normalização:
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Filtro de Butterworth: Pólos de H(s).
� Para a determinação dos pólos do filtro temos de partir da função |H(jw)|, ou de 
forma equivalente |H(jw)|2, pois é esta que se relaciona com as especificações. 
Isto é equivalente a determinar a função:
� As singularidades de H(-s) são as singularidades de H(s) reflectidas em torno 
da origem. A função resultante |H(s)|2 irá respeitar |H(jw)|2 (e portanto |H(jw)|).
� Observando para a expressão normalizada:
� O número de pólos desta expressão é 2N. Para H(s) serão aqueles N pólos que 
situam do lado esquerdo do eixo s=jw. Os restantes correspondem a H(-s)
( ) ( )
( ) ( )sHsHsH
jwHjwHjwH
−=
−=
2
2
)(
)( ou
Que é equivalente à anterior para s=jw
( ) ( ) NNN sssH 222
2
11
1
1
1
)(
−+
=
−+
=
4
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Filtro de Butterworth: H(s).
( ) ( )∏ Ω−
=
Ω
Ω
k
kS
SH
1
oNormalizad
( ) 01 2 =−+ Ω NS
N
π
.... ...
.
....
....
Pólos de H(s) Pólos de H(-s)
Nk
e N
Nkj
k
2,,2,1
12
2
L=
=Ω











 −+π










=Ω
p
N
w
SS
1
ε
( )sH
Pólos da função normalizada εεεε=1 e SΩΩΩΩ=S/wp
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Filtro de Butterworth.
� Se n é par, os pólos são as raízes de s2n=ejπ, pelo que sk=ekjπ/2n. 
Escolhem-se os pólos do lado esquerdo.
� Se n é ímpar, os pólos são as raízes de s2n=ej2π, pelo que 
sk=ekjπ/n
Ex: n=4
x
x
x
x
x
x
x
x
( )





 +π+




 +π+
=
22
4
ss
8
3
sin21ss
8
sin21
1
sH
Ex: n=3
x
x
( )
( )( )23 ss1s1
1
sH
+++
=
x
x
x
x
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Filtro de Butterworth: Características.
� Característica bastante 
plana na banda de 
passagem.
� Fraca linearidade na fase.
� Declive moderado na banda 
de transição.
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Filtro de Butterworth: H(s) normalizado.
6
5
4
3
2
1
Ordem, n Polinómios do denominador de funções de transferência de Butterworth.)( ΩSP
Ω+ S1
221 ΩΩ ++ SS
( )( ) 322 22111 ΩΩΩΩΩΩ +++=+++ SSSSSS
( )( ) 43222 613,2414,3613,211848,117653,0 ΩΩΩΩΩΩΩΩ ++++=++++ SSSSSSSS
( )( )( )
5432
22
236,3236,5236,5236,31
1618,11618,01
ΩΩΩΩΩ
ΩΩΩΩΩ
+++++=
=+++++
SSSSS
SSSSS
( )( )( )1932,1121517,0 222 ++++++ ΩΩΩΩΩΩ SSSSSS
(Pólos de filtros Butterworth (passa-baixo normalizado)
0,2588; 0,7071; 0,9659 0,9659; 0,7071; 0,25886
0,5878; 0,95110,809; 0,309; 1,05
0,3827; 0,92390,9239; 0,38274
0,8660,5; 1,03
0,70710,70712
Parte imaginária, jβParte real, α
Ordem, n
6
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Filtro de Butterworth: H(s) normalizado.
6.39245320.43172942.80206164.88239674.23342964.88239642.80206120.4317296.39245310
5.75877016.58171931.16343741.98638641.98638631.16343716.5817195.7587709
5.12583113.13707121.84615125.68835621.84615113.1370715.1258318
4.49395910.09783514.59179414.59179410.0978354.4939597
3.8637037.4641029.1416207.4641023.8637036
3.2360685.2360685.2360683.2360685
2.6131263.4142142.6131264
2,02,03
1.4142142
a9a8a7a6a5a4a3a2a1
Orde
m, n
Coeficientes de polinómios do denominador de funçõe s de transferência de Butterworth.
1...
1
)(
1
3
3
2
2
1
1 ++++++
=
Ω
−
Ω−
−
Ω−
−
Ω−Ω
Ω
SaSaSaSaS
SH
n
n
n
n
n
n
n
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Filtro de Butterworth: Exemplo.
� Exemplo – Achar a expressão do 
ganho de um filtro passa-baixo de 
Butterworth cuja função de 
transferência apresenta uma 
frequência superior de corte de 10 
MHz, e a 20 MHz a atenuação é de 20 
dB.
� Resolução – A frequência fp=10MHz 
é tomada como referência de 
frequência (normalização). Como fp é
a frequência de corte, então ε=1.
2
1
==Ω
=Ω
==Ω
p
s
s
p
pp
f
f
f
f
w
w
31,3
10
20
log2
110log
log2
110log 10
20
10
min
=








−
=
Ω








−
≥
+−
s
A
N
Trata-se pois de um filtro de ordem 4, cuja função de transferência é
( )( )1848,11765,0
1
)(
22 +Ω+Ω+Ω+Ω
=ΩH
















++
















++
=
22
848,11765,01
1
)(
pppp
jjjj
jH
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
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Filtro de Chebyshev
( )
)(1
1
)(1
1
)(
22
pp nn
C
jH
C
sH
ω
ωω
ω ε
ω
ε ⋅+
=⇒
⋅+
=
Amin (dB)
wp ws
BP
BR
BT
0dB
Amax (dB)
( )21log10 ε+
( ) ( )( )( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )







==
−=
→




>
≤
=
−+
p
w
w
w
w
w
w
Nw
w
N
p
w
w
N
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
N
w
w
CC
CC
w
w
C
N
N
C
pp
ppp
pp
pp
p
10
11
;1
2
1arccoshcosh
1arccoscos
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Filtro de Chebyshev: H(s).
110 max1,0 −= Aε
( )[ ]( )
( )
p
s
p
s
w
w
A
w
w
N
NA
1
1,0
1
122
min
cosh
110
cosh
coshcosh1log10
min
−
−
−







 −
≥⇒
+=
ε
ε



















 ++


















 +−=Ω −−
ε
π
ε
π 1
sinh
1
cosh
21
2
cos
1
sinh
1
sinh
21
2
sin 11
NN
k
j
NN
k
k
( ) ( )∏ Ω−
=
Ω
Ω
k
kS
K
SH oNormalizad








=Ω
pw
SS
1
( )SH
� Os pólos distribuem-se ao longo de uma elipse no plano S
8
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15
Filtro de Chebyshev: Características.
� Bom declive na banda de 
transição.
� Linearidade de fase e 
característica na banda de 
passagem mais pobre do 
que as do Butterworth. Na 
banda passante (ω<ωp), 
20log|H(jw)| evolui ao ritmo 
de cos[nϕ]=cos[n.arcos(Ω)], 
e a curva de resposta 
ondula entre 0 e -
10log(1+ε2) dB.
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Filtro Elíptico (Cauer).
Amin (dB)
wp ws
BP
BR
BT
0dB
Amax (dB)
wz1 wz2
( )21log10 ε+
� A razão de atenuação na banda de atenuação, em ambos 
Chebyshev e Butterworth, mantém-se a Nx20dB/Dec para além 
de ws.
� Filtro de Cauer possui zeros na bandade atenuação => 
Função racional com pólos e zeros finitos (não contém só pólos 
como no Chebyshev e Butterworth).
9
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Filtro Elíptico (Cauer): Características
� wz1 colocado no eixo 
imaginário e próximo de ws
faz aumentar o declive na 
banda de transição => em 
geral um filtro de menor 
ordem.
� Filtros muito populares. A 
análise matemática da 
aproximação Cauer é
complexa e requer o 
conhecimento da teoria de 
funções elípticas.
� A linearidade de fase é
pobre.
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Filtro de Bessel
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ω−Ω−ΩΩΩ
+−== sBssBnsB
sB
B
sH nnn
N
N
2
2
112
0
)(
� A aproximação de Bessel é um polinómio que aproxima a 
característica ideal de um atraso:
Amin (dB)
BP
BR
BT
0dB
Amax (dB)
wp ws
τ-ssH e=)(
( )
( ) 1
1
1
0
+=
=
ΩssB
sB 







=Ω
pw
SS
1
( )sH
10
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19
Filtro Bessel: Características
� O atraso (ou atraso de grupo) é o mais 
plano em DC de todos os filtros.
� A especificação nos filtros de Bessel é feita 
normalmente em termos da linearidade de 
fase.
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20
Linearidade de fase
� Se a linearidade de fase é importante, o uso de filtros de 
Butterworth, Chebyshev ou Cauer seguido de um filtro passa-
tudo para compensar a fase (como vimos anteriormente) é
geralmente mais eficiente.
Filtro Butterworth,
Chebyshev ou
Cauer
Equalização da
banda de passagem
com filtros passa-tudo
de 2ª ordem
11
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21
Comparação das respostas: Súmula.
� O filtro elíptico apresenta a menor ordem, seguido pelo 
Chebyshev, Butterworth e finalmente Bessel.
� O filtro de Butterworth é o mais plano na banda de 
passagem.
� O filtro de Chebyshev tem o pior variação de atraso de 
grupo, seguido pelo Butterworth e pelos filtros 
elípticos. O melhor é o de Bessel.
� Os filtros de Cauer apresentam pólos e zeros finitos. 
Os restantes apenas possuem zeros no infinito.
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22
Comparação da resposta de diferentes 
filtros.
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Elíptico
Bessel
Butterworth
Chebyshev
w
Filtros de ordem 5
12
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Comparação da resposta de diferentes 
filtros quanto a atraso de grupo.
Butterworth Chebyshev
Bessel
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Transformação de frequências.
Especificação:
Passa-baixo (PB)
Passa-alto (PA)
Passa-banda (PB)
Rejeita-banda (RB)
Especificação:
Passa-baixo
normalizado
HPBN(sΩΩΩΩ)
HPA(s)
HPB(s)
HRB(s)
Transformação
no domínio das 
frequências
Transformação
no domínio das 
frequências
Uma vez obtida esta equivalência/transformação, a f unção de transferência do 
filtro pretendido é obtida fazendo a transformação i nversa. Deste modo, todo o 
estudo relativo a funções que aproximam as funções de transferência das 
diferentes topologias de filtros, reduz-se ao caso particular de um filtro passa-
baixo normalizado. Aqui normalizado identifica um fi ltro com um ganho máximo 
na banda passante de 0dB e uma frequência superior de corte unitária (w p=1).
13
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25
Transformação: Passa-baixo
Passa-baixo normalizadoPassa-baixo
pp
j
f
f
jSS
ω
ω==→ Ω
)(ωs
pp
jjsS ω
ω
ω =Ω=Ω ,
pω 1=Ωp
sω
p
C
s ω
ω=Ω
p
s
SN
SHsH
ω
=Ω Ω
= )()(
� Simples mudança de 
escala
Passa-baixo
0 dB
|H|
wp ws Ω
Passa-baixo normalizado
Amax Amin
w Ωp=1 Ωs=ws/wp
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Transformação: Passa-Alto
� mudança e inversão de 
escala
Passa-alto
normalizado
Passa-
alto
)(ωs ωωω pp jjsS −=Ω=Ω ,
pω 1=Ωp
Cω
s
p
s ω
ω=Ω
ω
ωpp j
f
f
jSs −=−=→ Ω
s
SNpa p
SHsH ω
=Ω Ω
= )()(
Passa-baixo normalizado
0 dB
|H|
ws wp
Passa-alto
Amax Amin
ωΩΩp=1 Ωs=wp/ws
14
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27
Transformação: Passa-Banda
Passa-baixo
normalizado
Passa-
banda
21210 sspp ωωωωω ==
)(
,,
,
111
.
12
2
0
2
0
012
0
0
12
12
0
0
22
fff
ff
f
f
f
f
ff
f
e
f
ff
xffBcom
jf
f
f
f
j
xS
S
xBs
s
Ss o
−
−
=−
−
=Ω
−=∆−=






+
∆
=





+
∆
=+=→
Ω
ΩΩ
ω
sB
s
SN
pb
SH
sH
2
0
2)(
)(
ω+
=Ω Ω
=
)(ωs
)(
,
. 12
2
0
222
ωωω
ωωω
−
−
−=Ω+=Ω jjBs
s
S o
21, pp ωω 1=Ωp
21, ss ωω
12
34
ωω
ωω
−
−=Ωs
� toma-se como referência a frequência 
central do filtro
Passa-banda normalizado
0 dB
|H|
Ωp=1 Ωs ω
Passa-banda
ω1ω3 ω2 ω4
Amax
ω0Ω
Amin
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Transformação de frequências: Súmula
S = wp/s S -> wp/s
Passa-Banda Passa-Baixo Passa-banda
(w2w1,Amax),
(w3w4, Amin)
B=w2-w1
w0= (w2w1)
1/2
(1,Amax),
[(w4- w3)/ (w2- w1), Amin]
H(s)=
HPB((s
2+w0
2)/Bs)
S =(s2+w0
2)/Bs S ->(s2+w0
2)/Bs
S ->Bs/(s2+w0
2) S ->Bs/(s2+w0
2)
Rejeita-Banda Passa-Baixo Rejeita-Banda
(w3w4,Amax), 
(w1w2, Amin)
B=w2-w1
w0= (w2w1)
1/2
(1,Amax), 
[(w2- w1)/ (w4- w3), Amin]
H(s)= 
HPB(Bs/(s
2+w0
2))
Passa-Alto Passa-Baixo Passa-Alto
(wp,Amax), 
(ws, Amin)
(1,Amax), 
(wp/ws, Amin)
H(s)= HPB(wp/s)