Aula 5 - Continuidade de uma função

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Aula 5 – Continuidade de uma 
função em um número 
Prof. Ronaldo Portela 
Continuidade de uma função 
• Observamos que o limite de uma função quando x 
tende a a pode muitas vezes ser encontrado 
simplesmente calculando-se o valor da função em a. 
 
• As funções com esta propriedade são chamadas 
contínuas em a. 
2 
Continuidade de uma função 
• Vamos analisar os seguintes gráficos: 
3 
Continuidade de uma função 
• Definição: Dizemos que uma função f (x) é contínua 
no número a se e somente se as seguintes condições 
forem satisfeitas: 
 
i) 
ii) 
 
iii) 
lim ( ) existe;
x a
f x

( ) existe;f a
lim ( ) ( ).
x a
f x f a


4 
Continuidade de uma função 
• Exemplo: Seja f definida por 
 
 
 
Verifique se f é contínua no ponto x = 1. 
5 
2 3 se 1
( )
2 se 1
x x
f x
x
 
 

Continuidade de uma função 
• Exemplo: Seja f definida por 
 
 
 
Verifique se f é contínua no ponto x = 2. 
6 
1
( )
2
f x
x


Continuidade de uma função 
• Exemplo: Seja g definida por 
 
 
 
Verifique se g é contínua no ponto x = 2. 
7 
1
 se 2
( ) 2
3 se 2
x
g x x
x


 
 
Continuidade de uma função 
• Exemplo: Seja h definida por 
 
 
 
Verifique se h é contínua no ponto x = 1. 
8 
3 se 1
( )
3 se 1
x x
h x
x x
 
 
 
Continuidade de uma função 
• Teorema: Se f e g forem funções contínuas em um 
número a, então 
i. f + g será contínua em a; 
ii. f – g será contínua em a; 
iii. f . g será contínua em a; 
iv. f /g será contínua em a, desde que g(a) ≠ 0. 
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Continuidade de uma função 
• Teorema: Uma função polinomial é contínua em 
qualquer número. 
• Exemplo: Se f (x) = x3 – 2x2 + 5x + 1, então f será 
uma função polinomial e, portanto, contínua em 
qualquer número. Em particular, como f é contínua 
em 3, então Assim, 
10 
3
lim ( ) (3).
x
f x f


3 2 3 2
3
lim( 2 5 1) 3 2(3) 5(3) 1
 27 18 15 1
 25.
x
x x x

      
   

Continuidade de uma função 
• Teorema: Uma função racional é contínua em todos 
os números do seu domínio. 
• Exemplo: Determine os números nos quais a função 
a seguir é contínua: 
11 
3
2
1
( )
9
x
f x
x



Continuidade de funções 
trigonométricas 
 
• Seja . Observe que: 
0
sen
: lim 1
x
x
x
Teorema
x f (x) 
0,1 0,998 
0,01 0,999 
0,001 0,999 
x f (x) 
-0,1 0,998 
-0,01 0,999 
-0,001 0,999 
sen
( )
x
f x
x

Continuidade de funções 
trigonométricas 
• Exemplo: Determine o seguinte limite: 
 
 
• Teorema: A função f (x) = sen (x) é contínua em 0. 
• Teorema: A função f (x) = cos (x) é contínua em 0. 
 
• Teorema: 
0
sen3
lim
sen5x
x
x
0
1 cos
lim 0
x
x
x


Continuidade de funções 
trigonométricas 
• Exemplo: Determine o limite, se existir: 
 
 
• Exemplo: Determine o limite, se existir: 
 
 
0
1 cos
lim
senx
x
x

2
20
2tg
lim
x
x
x
Continuidade de funções 
trigonométricas 
• Teorema: As funções seno e co-seno são contínuas 
em todos os números reais. 
 
• Teorema: As funções tangente, co-tangente, secante e 
co-secante são contínuas em seus domínios. 
 
 
Referências Bibliográficas 
• LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria 
Analítica. Volume 1. 3ª edição. São Paulo, Harbra, 
1994. 
 
• STEWART, J. Cálculo. Volume 1. 5ª edição. São 
Paulo, Thomsom Learning. 2006. 
 
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