O espaco Vetorial R3 prof Rodrigo

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Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Prof.:Rodrigo Dias 
 
O espaço vetorial R3 
 No espaço tridimensional, cada ponto é indicado por três coordenadas (x, y, z). Assim, todo vetor 
de R3, localizado na origem será indicado por (x, y, z) onde (x, y, z) são as coordenadas de suas 
extremidades. 
Assim, o vetor u da fig.3, será u = (x, y, z). 
 
O módulo do vetor u, de R3 é determinado por 
 
expressão essa obtida a partir do cálculo da diagonal de um paralelepípedo retângulo. 
- ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR 
 
 Definição 1- Adição de Vetores: Dados os vetores u = (u1, u2, u3, ..., un) e v = (v1, v2, v3, ..., 
vn), de R
n, define-se o vetor soma s = u + v, tal que 
 s = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, ..., un + vn) 
 
 A adição de vetores goza das seguintes propriedades: 
P1) u + v = v + u (comutatividade) 
 Temos: u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, ..., un + vn) = (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3, ..., vn + un) 
(comutatividade da adição de números reais) = v + u. 
P2) (u + v) + w = u + (v + w) (associatividade) 
P3) Vetor nulo, simbolizado por 0 = (0, 0, 0, ...0), tal que 0 + v = v + 0 = v. 
P4) Vetor simétrico. Para cada vetor v, existe o vetor -v, simétrico a v, tal que v + -v = -v + v = 0. 
Conseqüência: o simétrico de u = (u1, u2, u3, ..., un) é -u = (-u1, -u2, -u3, ..., -un). 
Os vetores u e -u têm a mesma direção, o mesmo módulo, porém, seus sentidos são opostos. 
P5) O módulo da soma de dois vetores não é igual à soma dos módulos dos dois vetores. 
 
 Definição 2 - Multiplicação por escalar - Sejam: o vetor v = (v1, v2, v3, ..., vn) de Rn e o 
escalar r  R. Define-se o produto do escalar r pelo vetor v, como sendo o vetor rv, tal que rv = (rv1, 
rv2, rv3, ..., rvn). 
 A multiplicação de um escalar por um vetor goza das propriedades: 
P6) rv = vr. (comutatividade) 
P7) r.(u + v) = ru + rv. (distributividade em relação à adição de vetores) 
P8) (r + s).v = rv + sv. (distributividade em relação à adição de escalares). 
P9) 1.v = v 
P10) 0.v = 0. 
P11) -1.v = -v. 
P12) rv é paralelo a v, sendo r um número real. 
P13) (r.s)v = r.(s.v) 
EXERCICIOS 
1) Sejam u = (2, -4, 6), v = (-3, 12, -4) e w = (6, 3, -1). Determine o vetor x tal que: 
a) x = u + v 
b) x = 3u + 2w 
c) x = 2u - v 
d) x = 2 (u + v) + 3w 
e) x = 2 (3u + 2w) - 3 (5v) 
e) u + 2v = x - w 
f) 3 (u + 2x) = 4x + 2w 
 
2) Se u = (2, 2, 1), v = (0, -2, 4) e w = (7, -3, -2), determine o módulo do vetor 3u - 4v + 2w. 
3) Determine o vetor w, tal que w = 3u + 2v, se u = 3i - 2j + 5k e v = -5i + 6j - 3k. 
 
4) Calcule o módulo dos vetor 3u + v, se u = 3i - 2j + 5k e v = -5i + 6j - 3k. 
 
- PRODUTO ESCALAR 
 
 Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) dois vetores, que formam um ângulo . 
 
- PRODUTO VETORIAL 
O produto vetorial, como o próprio nome diz, é uma multiplicação de dois vetores onde o resultado 
será também um vetor. Para indicar o produto vetorial de u por v escrevemos u x v ou u  v (nesta 
última notação lê-se u vec v. 
O Produto vetorial u x v é definido como sendo um vetor que apresenta as seguintes 
características: 
MÓDULO: | u |.| v |. sen , onde  é o ângulo formado pelos dois vetores. 
DIREÇÃO:- perpendicular ao plano formado por u e v. 
SENTIDO:- determinado pela regra da mão direita, conforme mostra a figura abaixo: 
 
Com a mão direita aberta, formando um plano, aponta-se o primeiro vetor com o polegar. Os demais 
dedos apontam o segundo vetor. A palma da mão indicará o sentido do produto. 
Um algoritmo simples pode ser usado para se obter o produto anterior. (1) Escreve-se as coordenadas 
do segundo vetor debaixo das coordenadas do 1º vetor. (2) repete-se, à frente, as duas primeiras 
colunas. (3) elimina-se a primeira coluna. (4) efetua-se os produtos conforme indicados pelas linhas. 
Observe as cores e as posições dos produtos na figura a seguir. 
 
 PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL 
 
Para o produto escalar são válidas as propriedades: 
P1. u x v = -(v x u) (anti-comutativa) 
P2. r.(u x v) = (ru) x v 
P3. u x v = 0  u = rv  u // v. 
P4. (u x v) x w ¹ u x (v x w) (anti-associativa) 
EXEMPLOS 
- No caderno 
 
- PRODUTO MISTO 
 
 O produto misto de três vetores consiste na combinação de produtos escalares e vetoriais. 
Podemos ter as seguintes formas: (1) u.(v x w) e (2) (u.v) x w. 
 
Na forma (1), ao efetuar o produto (v x w) o resultado será um vetor que ao multiplicar escalarmente 
por u resultará em um escalar. 
Temos para essa forma: quando u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) e w = (x3, y3, z3), 
 v x w = (y2z3 - z2y3, z2x3 - x2z3, x2y3 - y2x3) e 
u.(v x w) = x1.y2z3 - x1z2y3 + y1z2x3 - y1x2z3 + z1x2y3 - z1y2x3 que é um escalar igual ao determinante 
da matriz 
 
Para a forma (2), u.v = x1x2 + y1y2 + z1z2 que é um escalar. Assim, (u.v) x w = (x1x2 + y1y2 + 
z1z2).(x3, y3, z3) que é um vetor. 
 
 
Lista de Exercícios 
[01] 
 
[02] 
 
[03] 
 
[04] 
 
Resp.: 
 
[05] 
 
Resp.: 
 
[06] 
Determine o vetor w, tal que w = 3u + 2v, se u = 3i - 2j + 5k e v = -5i + 6j - 3k. 
 
 
[07] 
 
 
Resp.: 
 
[08] 
 
Resp.: