Integracao-pdf[1]

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Recordando: Conceitos de Derivada
y
O coeficiente angular de uma reta secante, s, passando por dois pontos de 
uma curva:
Q(x2,y2)
y2
y
s
P(x1,y1)
y1
x
y
x1 x2 x
yyy  12
Coeficiente angular ou Inclinação da reta s é:
x
y
xx
yytg 
 12
12
Derivada e Antiderivada
y
A reta Tangente
-Mantenha P fixo e faça Q se mover no 
sentido anti-horário sobre a curva em 
direção a P.
P(x1,y1)= Q(x2,y2)
y1
y2 Perceba que a inclinação da reta s irá 
variar à medida que Q vai se 
aproximando cada vez mais de P, 
e a inclinação da secante tende para 
x1= x2 x
ç p
um valor limite.
Esse valor limite, é chamado 
inclinação da reta tangente à curva no 
t P D i d d fponto P, ou Derivada da funçao no 
ponto. P.
dyxyxxy  )()(
dx
dy
x
xyxxya
x

 
)()(limtan
0
Integral ou Antiderivada: Conceitos e Propriedades
Pierre de FermatGottfried Wilhelm von LeibnizIsaac Newton 
(1642 – 1727) (1646 – 1716) (1601-1665)(1642 1727) ( )
Integral Indefinida
 Antiderivação ou Integração
 Antiderivação é uma operação que consiste em encontrar
uma função F(x), cuja derivada F’(x) é uma função dada ou
conhecida inicialmente f(x) Se a função F(x) existir ela éconhecida inicialmente, f(x). Se a função F(x) existir, ela é
chamada antiderivada de f(x).
E l
CxxF  3
3
1)(2)( xxf 
2
 Exemplo
 Seja . Uma antiderivada de f(x) é:
32)(' xxF Pois .
 Chamamos a operação de antiderivação também por
integração e a antiderivada por integral.
Integral Indefinida
 Antiderivação e Integração
 Todas as integrais indefinidas devem ter o complemento
“+C” em sua solução pois muitas funções têm a mesma
derivada.
 A integral indefinida é aquela para a qual não foi
especificado um intervalo de valores portanto ela é umaespecificado um intervalo de valores, portanto, ela é uma
função ou uma família de funções;
 A integral definida é aquela definida dentro de um certo A integral definida é aquela definida dentro de um certo
intervalo e, portanto, ela é um número .
Integral Indefinida
 Integral Indefinidag
 A operação que envolve uma integral indefinida consiste em achar 
sua primitiva, ou seja, é a mesma operação que consiste em achar 
uma antiderivada. O que muda então?q
A notação!
 Para denotar a integral de uma função passaremos a utilizar a 
seguinte notação:seguinte notação:
Seja . Uma primitiva de f é:
Pois . Assim, a nova notação estabelece que:
2)( xxf  CxxF  3
3
1)(
)()(' xfxF  , ç q)()( xfx
CxFdxxf  )()(
Integral Indefinida cxFdxxf  )()(
 Exemplos
3
Integral Indefinida
 A integral de é:2)( xxf  Cxdxx  3
3
2
f )( A i t l d éxxf sen)(  Cxxdx  cossen A integral de é:
xexf )( Cedxe xx  A integral de é:f )( g
xxf cos)(  Cxxdx  sencos A integral de é:
Integral Indefinida
 Outro Exemplo
 A função é uma primitiva da funçãoCxxF  2sen
2
1)(
 1f(x) = cos2x, pois .
 Fazendo, )(2cos02cos2.1)(' xfxxxF 
Cxxdx  2sen212cos
,
A ã é t f it fá il t
)(2cos02cos2.
2
)( xfxxxF 
 As vezes, não é uma tarefa muito fácil encontrar a
primitiva de certas funções, mas existem métodos para
isto e iremos aprender alguns delesisto e iremos aprender alguns deles.
Integral Indefinida
 Definição simbólica
 Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + C
é chamada integral indefinida da função f(x) e é
representada pela expressão:representada pela expressão:
  CxFdxxf )()(
 O símbolo “dx” que aparece dentro do símbolo de

integral serve para identificar a variável sobre a qual
se processa a integração.
Integral Indefinida
 Exemplos dxx 2p
 Significa que a operação de integração incide ou se
“ ”
dxx
realiza sobre a variável “x”.
d 32 dyyx 32
 Significa que a operação de integração incide sobre a
variável “y”.
Integral Indefinida
 Integral de uma função constante
 Uma primitiva de uma função constante f(x) = k, é a 
função linear F(x) = k x, pois F’(x) = (k x)’ = k. 
Logo:Logo:
Cxkdxk 
 Exemplo Cxdx  .5.5
Integral Indefinida
 Integral de uma função potência Cxdxx
n
n 
 . 1
 Seja, por exemplo, f(x) = x4.
5x)(
C
n  1
 Uma primitiva de f(x) é pois F’(x) = x4.
 Logo:
5
xxF )(
Cxdxx  54g
 Portanto, uma primitiva da função f(x) = xn, com
Cdxx  5
1n
n  -1, é a função
1
)(
1


n
xxF
n
Integral Indefinida
 Caso especial de Integral de uma função potência
 Seja, por exemplo, f(x) = x-1 = 1/x.
 Uma primitiva de f(x) = 1/x é a função F(x) = ln|x|, 
portanto:portanto:
Cxdx
x
 ln1x
Integral Indefinida
 Integral de função exponencial
i d f õ i é i
Cedxe xx 
 Integrais de funções trigonométricas
Cxxdx  sencos Cxdxtgxx  sec..secCxxdx secos
Cxxdx  cossen
Cxdxtgxx  sec..sec
Cgxdxx  cot.seccos 2
Ctgxxdx  2sec

Cxdxgxx  seccos.cot.seccos
Integral Indefinida
 Integral das funções inversasg ç
Csenxarcdx  1 2x 1 2
1 Ctgxarcdx
x
 1 1 2
Integral Indefinida
 Propriedades
 Integral da soma
[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx C     
 Exemplo
[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx C     
p
    dxxdxdxxdxxx 4)4( 22
3
3x
2
2x x4+ + + C
Integral Definida (Métodos Numéricos)
Interpretação Geométrica para Integral como a área S embaixo da curva f x) versus x (Pierre Fermat)
As vezes precisamos usar aproximações (métodos 
numéricos) para calcular uma integral :numéricos) para calcular uma integral : 
Exemplo para f(x)= √x entre 0 a 1, como 
mostrado em Verde e amarelo. Quanto menor 
o erro, melhor a aproximação numérica.
Integral Indefinida
 Bibliografia utilizada:g
 Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education. 
São Paulo, 1992.
 Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São 
Paulo, 2006.
 Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006.
 Priestley W M Calculus: An Historical Approach Springer- Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer-
Verlag. New York, 1979.
 Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. 
Dover 1990Dover, 1990.