CALCULO INTEGRAL- AOL03 (08 - 10)

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Cálculo Integral – AOL 03 
1) A integral definida de funções tem importantes aplicações em diversos estudos de 
fenômenos modelados matematicamente, de forma que o conhecimento das regras de 
integração definida em um intervalo [a,b] é essencial para o bom aproveitamento dos 
conceitos estudados. 
Considerando isso e seus conhecimentos sobre regras de integração definida, analise as 
afirmativas a seguir. 
 
I) A integral de uma constante no intervalo [a,b] é igual a c(a-b). 
II) A integral definida no intervalo [a,b] do produto de duas funções é igual ao produto das 
integrais dessas funções nesse intervalo. 
III) A integral definida no intervalo [a,b] da soma de duas funções é igual à soma das 
integrais dessas funções nesse intervalo. 
IV) Se f(x) > 0 em um intervalo [a,b], então sua integral nesse intervalo também é maior 
que zero. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
( ) II e III 
( ) I e IV 
( x ) III e IV 
( ) I e III 
( ) II e III 
 
2) As integrais de funções possuem inúmeros significados dentro da física, sendo que nosso 
primeiro contato com esses conceitos nessa área do conhecimento ocorre no estudo de 
movimento de corpos, trabalho de forças, volumes, pressões etc. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e 
com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I) ( ) A primitiva de f(x) = sen(x) é F(x) = cos(x) + C. 
II) ( ) A integral de uma função sempre é calculável em um intervalo, pois, 
diferentemente da derivada, é possível calcular uma área que seja um número real 
para qualquer função, mesmo que seja descontínua no ponto. 
III) ( ) A primitiva de g(x) = cos(x) é G(x) = sen(x). 
IV) ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = 2cos(x) é igual a 0. 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
 
( ) V, F, F, V 
( ) F, F, V, F 
( ) V, F, F, V 
( ) V, V, F, F 
( ) F, V, F, V 
 
3) O Teorema Fundamental do Cálculo permite o cálculo de integrais definidas dado um 
intervalo de integração. Não somente por isso, esse Teorema é muito importante por um 
outro fator. 
Considerando essas informações, pode-se afirmar que Teorema Fundamental do Cálculo é 
relevante para o Cálculo, também porque: 
 
( x ) ele realiza a conexão do Cálculo Integral com o Cálculo diferencial. 
( ) ele torna dispensável a utilização das derivadas. 
( ) ele é o único teorema que envolve integrais. 
( ) ele refuta a integral de Riemann. 
( ) ele permite o cálculo de integrais definidas. 
 
4) O estudo das funções exponenciais e logarítmicas e suas propriedades têm fundamental 
importância para o Cálculo, pois essas funções descrevem uma série de fenômenos 
observados nas ciências naturais. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre o significado da derivada 
como limite e seu uso em problemas da reta tangente e de velocidade instantânea, analise 
as afirmativas a seguir: 
 
I) A integral de qualquer função exponencial é a própria função. 
II) Diferentemente da derivada, a integral não pode ser calculada por meio de limites. 
III) A integral de 4e(2x) é igual a 2e(2x). 
IV) Os gráficos de f(x) = ex e de g(x) = ln(x) são simétricos em relação à reta y = x. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
( ) I, II e III 
( ) II e III 
( x ) II, III e IV 
( ) II e IV 
( ) I e IV 
 
5) Conseguir identificar integrais, sendo elas definidas ou não, é fundamental nos estudos de 
Cálculo pelas limitações teóricas que cada uma impõe. Em uma situação aplicada, a 
integral definida funciona como uma ferramenta de mensuração de área para uma 
determinada curva, já a integral indefinida consegue identificar uma família de soluções 
para uma determinada situação. 
Com base no seu conhecimento acerca dessas integrais, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): 
 
I) ( V ) ∫ 5x dx é uma integral indefinida. 
II) ( F ) ∫ 3x dx é uma integral definida. 
III) ( V ) ∫ 2x³ + 2xdx é uma integral definida. 
IV) ( V ) ∫ f(x)dx = F(b) – F(a) é uma integral definida. 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
 
( ) V, V, V, F 
( ) V, F, F, F 
( x ) V, F, V, V 
( ) V, V, F, F 
( ) F, F, V, V 
 
6) O estudo acerca das integrais é fundamental para alunos que estudam Cálculo. Por meio 
delas, tem-se uma medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos, portanto, 
reconhecê-las e utilizá-las é essencial. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração indefinida, 
analise as afirmativas a seguir: 
 
I) Uma Integral indefinida é delimitada na forma ∫ f(x) * dx = F(x) + C. 
II) As integrais indefinidas dão somente uma resposta específica, ou seja, só há uma 
resposta possível. 
III) Com a integração indefinida, é possível calcular o valor da integral em um 
determinado ponto. 
IV) A constante adicionada ao final da integração indica que há uma família de 
respostas possível para o cálculo. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
( ) II e IV 
( ) II e III 
( ) I, II e IV 
( ) I, II e III 
( x ) I e IV 
 
7) No cálculo de integrais definidas de funções, após fazer a integral indefinida da função, é 
necessário substituir os limites do intervalo na fórmula da primitiva e realizar um cálculo. E 
isso significa calcular a área entre a curva da função e o eixo x, de forma a atribuir valores 
positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integração de funções 
polinomiais, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I) A primitiva da função f(x) = 2x + 1 é F(x) = x(x + 1) + C, e a integral definida no 
intervalo [1,2] vale 4. 
 
Porque: 
 
II) A integral de f(x) num intervalo [a,b] qualquer equivale à área definida pelo eixo x, 
pelas retas y = a, y = b e pela curva dessa função, e esse valor equivale a F(b) – 
F(a). 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
( x ) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
( ) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira 
( ) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta 
da I. 
( ) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
( ) As asserções I e II são proposições falsas. 
 
8) As integrais de funções têm inúmeros significados dentro da física, sendo que nosso 
primeiro contato com esses conceitos nessa área do conhecimento ocorre no estudo de 
movimento de corpos, trabalho de forças, volumes, pressões etc. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e 
com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I) ( ) A integral definida de uma função no intervalo [a,b] pode ser calculada dividindo 
a figura formada pela curva e o eixo x no maior número possível de retângulos de 
mesmo comprimento e somando as áreas dos mesmos. 
II) ( ) A integral de e(x) = x² definida no intervalo [0,9] é igual a 243. 
III) ( ) A integral definida de f(x) no intervalo [a,b] é dada por A1 – A2, onde A1 é a área 
entre a curva e o eixo x nas regiões onde f(x) > 0 e A2 é área das regiões onde f(x) 
< 0. 
IV) ( ) A integral de g(x) = |x| no intervalo [-10,10] é igual a 0, pois essa é uma função 
par. 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
 
( ) F, V, F, V 
( ) F, F, V, F 
( ) V, F, F, V. 
( ) V, V, F, F. 
( x ) V, V, V, F. 
 
9) Existem diversas propriedades de integração, entre elas a de funções exponenciais, que 
são importantes funções que modelam fenômenos naturais, econômicos e sociais. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculoda integral indefinida e definida e 
com seus conhecimentos sobre funções exponenciais e logarítmicas, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I) ( ) A integral indefinida de f(x) = ex + e(2x) resulta na primitiva F(x) = (½)(ex)(ex + 2). 
II) ( ) A área entre o eixo x e o gráfico de g(x) = (⅗)x no intervalo [1, e] é igual a 3/5. 
III) ( ) A função h(x) = ex + x² apresenta apenas valores positivos de integral, qualquer 
que seja o intervalo de integração. 
IV) ( ) A integral indefinida de i(x) = 1/(2x+1) resulta na primitiva I(x) = ln(2x+1)/2 + C. 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
 
( ) V, F, V, V. 
( ) F, F, F, V 
( ) V, V, V, F. 
( ) F, V, V, F 
( ) F, F, V, V. 
 
10) Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e o eixo x, de 
forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. 
Entretanto, não podemos tomar toda função como integrável em um intervalo [a,b], pois, 
antes de calcular a integral definida, precisamos analisar a continuidade da função. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integrais indefinidas de 
funções circulares, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I) A integral definida de f(x) = cos(x)/(sen²(x)) no intervalo [π/3, π/2] é igual a 1. 
 
Porque: 
 
II) A integral dessa função nesse intervalo pode ser calculada por substituição de 
sen(x) por outra variável ou então reescrevendo a função como f(x) = 
(1/sen(x))(cos(x)/sen(x)) = cossec(x)cotg(x), cuja primitiva pode ser consultada em 
uma tabela de integração, sendo F(x) = -cossec(x) + C. Então, basta calcular F(π/2) 
– F(π/3). 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
( x ) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
( ) As asserções I e II são proposições falsas. 
( ) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa correta da I. 
( ) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa 
( ) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta 
da I. 
 
Respostas 
1-C / 2- / 3-A / 4-C / 5-C / 6-E / 7-A / 8-E / 9- / 10-A