Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (EMC02) Avaliação II - Individual

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10/06/2022 15:44 Avaliação II - Individual
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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:740425)
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Prova 49611377
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 10/0
Nota 10,00
No estudo dos espaços vetoriais, pode-se realizar a análise de sua dimensão. Pode-se relacioná-
la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações desse conceito são 
puramente utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e propriedades. Sobre o exposto, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n². 
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 3. 
( ) A dimensão do R² é igual a 2. 
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 4. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - V - V.
B F - F - V - V.
C F - V - F - V.
D V - F - F - F.
Uma transformação linear pode ser compreendida e associada ao estudo de funções, que 
normalmente já conhecemos desde o Ensino Médio. Isto se deve ao fato de uma transformação linear 
ligar dois conjuntos através de uma lei de formação. A grande diferença é que uma transformação 
opera com vetores e não com números reais como de costume. Baseado na transformação linear de R³ 
em R³ dada por T(x,y,z) = (x + y, 2x, y - z), classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as 
falsas: 
( ) Uma base para a imagem desta transformação é [(1,2,0),(1,0,1),(0,0,1)]. 
( ) A sua imagem tem dimensão 2. 
( ) O núcleo da transformação possui apenas o vetor nulo. 
( ) A dimensão do domínio da transformação é 3. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - V - F - F.
B F - V - F - V.
C V - F - V - V.
D V - V - F - V.
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Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) 
quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em 
contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo 
menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisso, assinale a alternativa 
CORREA que apresenta um conjunto de vetores LI:
A {(1,1,0),(2,2,0),(0,0,3)}.
B {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.
C {(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}.
D {(2,1,-1),(0,0,1),(2,1,0)}.
Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços vetoriais. 
Em especial, para poder afirmar que uma transformação é linear, temos que verificar se ela preserva 
as operações de soma, e multiplicação por um escalar. Considerando a imagem do vetor (1, -2, 4) 
quando aplicado na transformação a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as 
falsas:
A F - F - F - V.
B F - F - V - F.
C V - F - F - F.
D F - V - F - F.
Ao falar das aplicações do cálculo dos autovetores e autovalores de uma matriz, podemos 
colocar as soluções de equações diferenciais que são de interesse físico, como as frequências naturais 
de vibração de um instrumento musical, ou de uma simples corda esticada. No entanto, anteriormente 
a isto, devemos compreender corretamente este conceito para que as futuras aplicações sejam 
corretas. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o conceito de autovetor de transformação:
A É um vetor que gera uma base do núcleo da transformação.
B É um vetor que após aplicado à transformação resulta num múltiplo de si mesmo.
C É um número real que multiplica o vetor após a transformação.
D É um número real que anula a transformação.
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Em geometria, paralelismo é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão na 
mesma direção. Ao trabalhar com a noção de espaço vetorial, duas retas são paralelas se existe um 
plano que as contém, e se essas retas não se tocam. Assim, elas estão na mesma direção mesmo que 
estejam em sentidos opostos. Para vetores, o princípio é basicamente o mesmo. Sobre o exposto, 
analise as sentenças a seguir: 
I- Os vetores (2,-1,4) e (6,-3,12) são paralelos. 
II- Os vetores (1,-2,4) e (2,-2,5) são paralelos. 
III- Os vetores (3,1,2) e (6,-2,1) são paralelos. 
IV- Os vetores (1,-1,2) e (2,-2,4) são paralelos. 
Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças I e III estão corretas.
B As sentenças II e III estão corretas.
C Somente a sentença I está correta.
D As sentenças I e IV estão corretas.
O núcleo de uma transformação linear, como já é de conhecimento, trata-se do conjunto de 
vetores do domínio que possuem representantes no contradomínio com valor nulo. Uma de suas 
principais aplicações na Álgebra Linear e Vetorial é a possibilidade de definir se uma aplicação 
possui a propriedade da injetividade. Observando os vetores que pertencem ao núcleo da 
transformação T(x,y) = (x-y, y-x). 
I- v = (1,1). 
II- v = (0,1). 
III- v = (-2,-2). 
IV- v = (1,0). 
Assinale a alternativa CORRETA:
A As opções II e IV estão corretas.
B As opções I e IV estão corretas.
C As opções I e III estão corretas.
D As opções II e III estão corretas.
Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. 
Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu 
principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a 
ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto vetorial entre u = (1,-2,3) e v = (0,2,1), 
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: 
( ) u x v = (0,-4,3). 
( ) u x v = (-8,-1,2). 
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( ) u x v = (8,1,-2). 
( ) u x v = (0,4,3). 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - F - V.
B F - F - V - F.
C V - F - F - F.
D F - V - F - F.
Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito 
mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio característico de 
uma transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial 
para a compreensão e a análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., 
como também de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados os 
seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e de transmissão de 
energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações residenciais, edifícios altos, 
plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores da transformação apresentada a seguir, 
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que 
apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - F - F.
B F - V - F - F.
C V - V - F - V.
D F - F - V - F.
A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de 
adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de 
partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de 
adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, 
números reais) por elementos deste conjunto. A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
( ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar. 
( ) Os espaços vetoriais de podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações 
lineares. 
( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço. 
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( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - V - V - F.
B F - V - V - F.
C V - F - V - F.
D V - V - F - F.
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