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ENG 1007 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS Coleção de questões antigas de provas sobre tensões em vigas Prof. Ney Augusto Dumont 1) [P32002a_2] Uma viga é construída em aço e madeira, com seção transversal mostrada na figura abaixo. O módulo de elasticidade da madeira é GPaEmad 5,10 e do aço .210GPaEaço Sabendo-se que as tensões admissíveis de tração e de compressão para o aço e a madeira são, respectivamente, MPaaçoadm 120 e MPamadadm 10 , pede-se determinar o momento fletor admissível admM para a viga. A x dAEy MEy 2 Resposta: b) Momento de inércia I em relação ao eixo neutro z: 431 InII2I com I1 = I2 42 3 2 323 680.597.210)2052,140(1090 12 1090 20 )1002,140(20090 12 20090 3 200 2,140 2 20030 36 20030 2 mm I c) Momento admissível Para a madeira: I yMmad admmad adm 12 3 6 10210597680 )102,140( 1010 mad adm M kNmM mad adm 02,15 (Resposta) Para o aço: I nyM aço admaço adm 12 3 6 10210597680 2010)2,140210( 10120 aço adm M kNmM aço adm 10,18 200mm 10 mm 90mm 30mm 30mm aço madeira Área retangular 12 3bh I Área triangular 36 3bh I a) Posição do eixo neutro (a partir do topo) n = Eaço / Emadeira = 210 / 10,5 = 20 431 443311 nAAA2 nAy~AyAy~2 y com A1 = A2 10902020090 2 20030 2 10902020520090100 2 20030 3 200 2 y mm2,140y 200mm 10 mm 90mm 30mm 30mm aço madeira A1 A2 A3 A4 z’ z 2) [P32002b_2] Uma viga é construída com três materiais distintos ( ,2001 GPaE GPaE 402 , GPaE 803 ), conforme figura abaixo. Pede-se determinar o valor mínimo da largura b da viga, sabendo-se que o momento fletor que deve suportar é kNmM 30 e que as tensões admissíveis, para tração e compressão, são: MPamatadm 120 1 , MPamatadm 10 2 , MPamatadm 80 3 . 2x A MEy Ey dA Resposta: Momento de inércia I da seção transversal em relação ao eixo neutro z: 33211 InIInI 2 3 2 3 2 3 )1486,6(4 12 4 2)786,6(10 12 10 )186,6(2 12 2 5 b b b b b b I = 848,76 b cm4 Largura da seção transversal a) Considerando o material 1: 8 23 6 1076,848 )1086,6(51030 10120 b cmb 1,10 b) Considerando o material 2: 8 23 6 1076,848 1014,51030 1010 b cmb 2,18 (resposta) c) Considerando o material 3: 8 23 6 1076,848 1014,921030 1080 b cmb 1,8 material 2 material 3 material 1 2 cm 10 cm 4cm b Posição do eixo neutro (a partir do topo) 540/2001 n e 240/803 n 33211 33322111 ~~~ AnAAn AnyAyAny y cm bbb bbb y 86,6 421025 4142107251 material 2 material 3 material 1 2 cm 10 cm 4cm b z´ z 3) [P32002b_2] A figura ao lado esquematiza a seção transversal de uma viga, com as dimensões em cm. Os módulos de elasticidade dos materiais são E1 = 10 GPa e E2 = 100 GPa. As peças estão coladas entre si. A tensão máxima admissível de cisalhamento da cola é adm cola = 350 kPa. Sabendo que a seção está solicitada por um esforço cortante V = 4 kN, calcular o coeficiente de segurança da cola. A y y xy dAEyb EydAV máx 2 Resposta: Toma-se o material 1 como referência, 10 12 EEn . a) Posição do eixo neutro z (distância yc a partir do topo da seção transversal): cm9 11010201091010 5,29110101920105,491010 c y b) Integral eq A IEdAEy 2 2 da seção em relação a z: 2 3 2 3 2 1020 12 20 105,49 12 9 1010 A dAEy eq IEE 11 2 3 5,201 12 1 1010 onde 484 109300093000 mcmI eq c) A cola entre as duas seções superiores passa exatamente na linha neutra e estará, portanto, submetida às maiores tensões de cisalhamento. Para o cálculo da tensão nesta seção, tem-se 1 3 1 9 0 40505,4)910(10 EcmEEydA d) Tensão na cola: kPa E E dAEyb EydAV A cola xy 174,193 10930001010 1040504000 1 82 1 6 2 9 0 Coeficiente de segurança da cola = 0,2 193,174 350 9 20 cola 1 10 E1 E2 E2 cola 9 20 cola 1 10 E1 E2 E2 cola L.N. 4) [P32008b_2] A viga mostrada na figura (a) abaixo, confeccionada em aço com perfil em I da figura (b), suporta uma carga uniformemente distribuída w= 4,8 kN/m e uma carga P de 10 kN, que provocam no engaste o momento fletor de -51,6 kN.m e esforço cortante de 24,4 kN. Sabe-se que o momento de inércia, Iz, em relação ao eixo z que passa no CG da seção é 211,77 x 106mm4. Determine a máxima e a mínima tensões cisalhantes que ocorrem na parte vertical (alma) da seção em I. (a) (b) Resposta: 5) [P32008a_2] A viga mostrada na figura ao lado foi confeccionada de aço com perfil em U invertido e suporta uma carga uniformemente distribuída que provoca no apoio B um momento fletor de -173,1 kN.m. O perfil em U tem espessura t = 50 mm. Determine a máxima tensão normal trativa e compressiva que ocorre nesta seção da viga, i.e., sobre o apoio B A x dAEy MEy 2 Resposta O C.G. da seção está localizado a mm 75 do bordo superior. P yA A EydA dAEyyb V )( 2 MPa540 10x7721110x10 10x424 MPa710 10x7721110x10 10x424 mm10x694EydA mm10x226EydA 23 3 23 3 35 Ab 35 Ac ,0,47 ),( , ,0,62 ),( , , , min max 8 4 3 -3 3 -3 -4 -4 75 mm 2,604 10 173,1 x10 ( 75 10 ) 173,1 x10 (175 10 ) 49,86 116,33 2,604 10 2,604 10 z x x y I x mm x x MPa MPa x x 6) [P32008a_1] Determinar a máxima tensão normal a que está submetido o material PVC de uma viga composta, cuja seção mostrada abaixo está submetida a um momento fletor M = 4 kNm. A x dAEy MEy 2 EPVC = 3 GPa Eplástico = 1 GPa Ebaquelite = 5,3 GPa Resposta: Tomando-se o módulo de elasticidade do PVC como referência, multiplica-se a largura da seção de plástico por 1 3 e a largura da seção de baquelitepor 5,3 3 , para a obtenção das larguras equivalentes. Cálculo de yc (distância da linha neutra ao bordo superior da seção): 0,048mcm8,4 5 3 3,5 82 3 1 818 5,55 3 3,5 822 3 1 85,018 cy Cálculo de I para a seção equivalente (momento de inércia da seção em relação à linha neutra: A PVC eq dAEy E I 2 1 2 3 2 3 2 3 )8,45,5(5 12 5 3 3,58 )28,4(2 12 2 3 8 )5,08,4(1 12 1 8 = 484 10034,374034,374 mcm Cálculo da tensão normal máxima, na fibra mais afastada do PVC: 26 48)( /10051349,0 10034,374 048,04 mkN m mkNm PVCx MPaPVCx 349,51)( baquelite 8 cm 2 cm 1 cm PVC 5 cm plástico 7) [P3207b_2] Uma viga é construída com três materiais distintos ( ,2001 GPaE GPaE 402 , GPaE 803 ), conforme figura abaixo. Determinar o valor mínimo da largura b da viga, sabendo-se que o momento fletor que deve suportar é kNmM 30 e que as tensões admissíveis, para tração e compressão, são MPamatadm 120 1 , MPamatadm 10 2 , MPamatadm 80 3 . O eixo neutro está localizado a 6,86 cm a partir do topo da seção. A x dAEy MEy 2 Resposta: Momento de inércia I da seção transversal em relação ao eixo neutro z: 33211 InIInI 2 3 2 3 2 3 )1486,6(4 12 4 2)786,6(10 12 10 )186,6(2 12 2 5 b b b b b b I = 848,76 b cm4 Largura da seção transversal a) Considerando o material 1: 8 23 6 1076,848 )1086,6(51030 10120 b cmb 1,10 b) Considerando o material 2: 8 23 6 1076,848 1014,51030 1010 b cmb 2,18 (resposta) c) Considerando o material 3: 8 23 6 1076,848 1014,921030 1080 b cmb 1,8 material 2 material 3 material 1 2 cm 10 cm 4cm b Posição do eixo neutro (a partir do topo) 540/2001 n e 240/803 n 33211 33322111 ~~~ AnAAn AnyAyAny y cm bbb bbb y 86,6 421025 4142107251 material 2 material 3 material 1 2 cm 10 cm 4cm b z´ z 8) [P3207b_2] A figura ao lado esquematiza a seção transversal de uma viga, com as dimensões em cm. Os módulos de elasticidade dos materiais são E1 = 10 GPa e E2 = 100 GPa. As peças estão coladas entre si. Sabendo que a seção está solicitada por um esforço cortante V = 4 kN, a) calcular o coeficiente de segurança da cola, para uma tensão máxima admissível de cisalhamento adm cola = 350 kPa; b) calcular o espaçamento dos pregos, sabendo que cada prego resiste a 0,5 kN de força de cisalhamento. (Este item não entra na P3 de 2012!) A y y xy dAEyb EydAV máx 2 bf xy Resposta: Toma-se o material 1 como referência: 10 12 EEn . a) Posição do eixo neutro z (distância yc a partir do topo da seção transversal): cm9 11010201091010 5,29110101920105,491010 c y b) Integral eq A IEdAEy 2 2 da seção em relação a z: 2 3 2 3 2 1020 12 20 105,49 12 9 1010 A dAEy eq IEE 11 2 3 5,201 12 1 1010 onde 484 109300093000 mcmI eq c) Cálculo da tensão na seção da cola (coincidente com a linha neutra): 1 3 1 9 0 40505,4)910(10 EcmEEydA Tensão na cola: kPa E E dAEyb EydAV A cola xy 174,193 10930001010 1040504000 1 82 1 6 2 9 0 Coeficiente de segurança da cola = 0,2 193,174 350 d) Cálculo do espaçamento dos pregos (F = 0,5 kN) (Este item não entra na P3 de 2012!) 1 3 1 21 20 20505,20)110(10 EcmEEydA Força na seção dos pregos cmkN E E dAEy EydAV f A i /88170,0 93000 20504 1 1 2 21 20 Espaçamento entre pregos (2 fileiras) = cm f F e i 34,11 08817,0 5,022 9 20 2 fileiras de pregos 1 10 E1 E2 E2 cola q = 100 kN/m m3 m1 x 33,133 kN67,266kN33,133 67,166 100 33,1 89,88máxM 50 V M 9) [P3207b_2] A viga da figura abaixo está bi-apoiada e submetida a um carregamento uniformemente distribuído. Conforme esquematizado à direita, a viga é composta por uma vigota de PVC e outra de plástico, coladas entre si. O plástico tem módulo de elasticidade Epl = 1 GPa. O PVC tem módulo de elasticidade EPVC = 3 GPa. A linha neutra da seção transversal está a 11 cm do topo. A rigidez da seção à flexão foi calculada como pl A EcmdAEy 42 67,74616 . Calcular os valores das tensões máximas de flexão e de cisalhamento que atuam na viga. A x dAEy MEy 2 A y y xy dAEyb EydAV máx 2 Resposta: No trecho 30 x : xxV 10033,133)( , 25033,133)( xxxM kNVmáx 67,166 no apoio direito. kNmMmáx 89,88 para mx 33,1 . A tensão normal é máxima para 13máxy cm: MPa E E pl PVC máx 006,207 1067,16746 101389,88 8 2 A tensão de cisalhamento é máxima na linha neutra: plpl y y EcmEAEy máx 3 13 0 1014 2 13 1343d MPa E E pl pl máx 229,25 1067,1674604,0 10101467,166 8 6 = 11cm 20 cm 20 cm 4 cm 4 cm cola plástico PVC q = 100 kN/m m3 m1 9 1 20 2 E2 E1 E1 10 cm 20 10) [P3207b_1] Uma viga é composta por dois materiais, conforme esquematizado na figura, de módulos de elasticidade E1 = 50 GPa e E2 = 100 GPa. As tensões normais máximas admissíveis de tração e de compressão a que estes materiais resistem são, em módulo, 4001 máx MPa para o material 1 e 8002 máx MPa para o material 2. Calcular o valor do carregamento distribuído máximo, qmáx, a que esta viga pode ser submetida, para o esquema de apoios apresentado, com um vão de 3 m e um balanço de 2 m. Resposta: Seja 212 EEn . Distância da linha neutra a partir do bordo superior: cm9 1202029102 5,29120192025,49102 cy 42 2 2 2 2 2 cm18600)5,299( 12 1 120 )199( 12 20 202)5,49( 12 9 9102 eqI Tensão máxima no material 1 (para y = 30 – 9 = 21 cm): kNm 29,543MPa 004 18600 21 4 máx máx M cm cmM Tensão máxima no material 2 (para y = 9 cm): kNm 67,268MPa 008 18600 92 4 máx máx M cm cmM Momento fletor máximo na viga: 2m212 máxmáxmáx qqM (sobre o apoiodireito). Portanto, kN/m 177,14529,3542 máxmáx qq . 12 3 2 hb I dAEy MEy A x 3 m 2 m qmáx = ? 11) [P3207b_1] Uma viga é construída com placas de madeira coladas, conforme mostra a seção transversal abaixo. Sabendo-se que para a cola a tensão cisalhante admissível é kPacolaadm 350 e para a madeira MPamadadm 1 , pede- se calcular o valor da máxima força cortante que pode atuar na viga. I VQ bf xy bI VQ xy máxy y dAyQ 1 A dAyI 2 Resposta: Devido à simetria, cmy 10 Momento de Inércia I 4 33 992.12 12 88 12 2020 cmI Força Cortante: Q bI V a) Na madeira, para 01 y 3 ~10 0 936)462620( 462620 46226207 cmAyydAQ kNV 66,16 10936 101299210)66(101 6 826 b) Na cola, para cmy 41 3 10 4 ~ 8406207 cmAyydAQ kNV 5,6 10840 101299210)66(10350 6 823 c) Na cola, para cmy 71 3 10 7 ~ 5103205,8 cmAyydAQ kNV 83,17 10510 1012992102010350 6 823 6cm 6cm 8cm 3cm 3cm 8cm 6cm cola Resposta do problema 3cm 3cm 4cm z (eixo neutro) 6cm 6cm 8cm 12) [P32007a_2] Determinar o momento máximo que pode suportar a seção da viga composta de aço e latão mostrada abaixo. A x dAEy MEy 2 GPaEaço 200 GPaElatão 100 MPaadmaço 120 MPaadmlatão 80 A posição da linha neutra é definida por y = 7 cm (por simetria). Resposta: A formula a ser aplicada é: 2 max max A adm Ey dA M Ey ; resolvendo incialmente o numerador temos: 3 3 3 2 4 4 214 14 10 10 10 10 5569,33 12 12 12 aço lat A Ey dA E cm E cm kN m Usando o aço como critério: 2 max 2 6 2 5569,33 120000 47,73 200 10 0,07 KN KN m M KN m KNm m m Usando o latão como critério: 2 max 2 6 2 5569,33 80000 89,1 100 10 0,05 KN KN m M KN m KNm m m Assim sendo, o valor máximo admissível vale: 47,73 KN m. 10 cm 2 cm 10 cm 2 cm 2 cm latão aço 2 cm 13) [P32007a_2] A viga da figura abaixo está bi-apoiada e submetida a um carregamento uniformemente distribuído. Conforme esquematizado à direita, a viga é construída com três materiais distintos. A relação entre os módulos de elasticidade dos materiais 1 e 2 é 10211 EEn e entre os materiais 3 e 2 é 5233 EEn . A linha neutra da seção transversal está a 12,5 cm do topo. A rigidez da seção à flexão foi calculada como 2 42 5,687.29 EcmdAEy A . Calcular os valores das tensões máximas de flexão e de cisalhamento que atuam na viga. A x dAEy MEy 2 A y y xy dAEyb EydAV máx 2 Resposta: kN q Vmáx 200 2 4100 2 nos apoios. kNm q Mmáx 200 8 4100 8 22 no meio do vão. A tensão normal é máxima para 5,12máxy cm, quando também o módulo de elasticidade é máximo: MPa E E máx 1,842 105,29687 105,12200 8 2 2 1 A tensão de cisalhamento é máxima na linha neutra. 2 3 2 5,12 0 75,18361211210 2 5,11 5,116d EcmEAEy máxy y 6 2 8 2 200 1836,75 10 20,623 0,06 29687,5 10 máx E MPa E 1 cm 24 cm 15 cm 12 cm 6 cm material 1 3 cm material 2 material 3 yc=12,5 cm L. N. y z q = 100 kN/m m4
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