Matemática - Teórico_VOLUME1

Prévia do material em texto

VIVENCIANDO
APLICAÇÃO DO CONTEÚDO 
INCIDÊNCIA DO TEMA 
NAS PRINCIPAIS PROVAS
ÁREAS DE 
CONHECiMENTO DO ENEM
TEORIA
MULTiMÍDiA
CONEXÃO ENTRE DiSCiPLiNAS
DiAGRAMA DE iDEiAS
HERLAN FELLiNi
Caro aluno 
Ao elaborar o seu material inovador, completo e moderno, o Hexag considerou como principal diferencial sua exclu-
siva metodologia em período integral, com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. 
O material didático é composto por 6 cadernos de aula e 107 livros, totalizando uma coleção com 113 exemplares. 
O conteúdo dos livros é organizado por aulas temáticas. Cada assunto contém uma rica teoria que contempla, de 
forma objetiva e transversal, as reais necessidades dos alunos, dispensando qualquer tipo de material alternativo 
complementar. Para melhorar a aprendizagem, as aulas possuem seções específicas com determinadas finalidades. 
A seguir, apresentamos cada seção:
No decorrer das teorias apresentadas, oferecemos uma cuidado-
sa seleção de conteúdos multimídia para complementar o reper-
tório do aluno, apresentada em boxes para facilitar a compreen-
são, com indicação de vídeos, sites, filmes, músicas, livros, etc. 
Tudo isso é encontrado em subcategorias que facilitam o apro-
fundamento nos temas estudados – há obras de arte, poemas, 
imagens, artigos e até sugestões de aplicativos que facilitam os 
estudos, com conteúdos essenciais para ampliar as habilidades 
de análise e reflexão crítica, em uma seleção realizada com finos 
critérios para apurar ainda mais o conhecimento do nosso aluno.
Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico é o seu 
distanciamento da realidade cotidiana, o que dificulta a compreen-
são de determinados conceitos e impede o aprofundamento nos 
temas para além da superficial memorização de fórmulas ou regras. 
Para evitar bloqueios na aprendizagem dos conteúdos, foi desenvol-
vida a seção “Vivenciando“. Como o próprio nome já aponta, há 
uma preocupação em levar aos nossos alunos a clareza das relações 
entre aquilo que eles aprendem e aquilo com que eles têm contato 
em seu dia a dia.
Sabendo que o Enem tem o objetivo de avaliar o desempenho ao 
fim da escolaridade básica, organizamos essa seção para que o 
aluno conheça as diversas habilidades e competências abordadas 
na prova. Os livros da “Coleção Vestibulares de Medicina” contêm, 
a cada aula, algumas dessas habilidades. No compilado “Áreas de 
Conhecimento do Enem” há modelos de exercícios que não são 
apenas resolvidos, mas também analisados de maneira expositiva 
e descritos passo a passo à luz das habilidades estudadas no dia. 
Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para ajudá-lo a 
apurar as questões na prática, a identificá-las na prova e a resol-
vê-las com tranquilidade.
Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Por isso, cria-
mos para os nossos alunos o máximo de recursos para orientá-los em 
suas trajetórias. Um deles é o ”Diagrama de Ideias”, para aqueles 
que aprendem visualmente os conteúdos e processos por meio de 
esquemas cognitivos, mapas mentais e fluxogramas.
Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo da 
aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta aos princi-
pais conteúdos ensinados no dia, o que facilita a organização dos 
estudos e até a resolução dos exercícios.
Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é ela-
borada, a cada aula e sempre que possível, uma seção que trata 
de interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares atuais não 
exigem mais dos candidatos apenas o puro conhecimento dos 
conteúdos de cada área, de cada disciplina.
Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abran-
gem conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, 
como Biologia e Química, História e Geografia, Biologia e Mate-
mática, entre outras. Nesse espaço, o aluno inicia o contato com 
essa realidade por meio de explicações que relacionam a aula do 
dia com aulas de outras disciplinas e conteúdos de outros livros, 
sempre utilizando temas da atualidade. Assim, o aluno consegue 
entender que cada disciplina não existe de forma isolada, mas faz 
parte de uma grande engrenagem no mundo em que ele vive.
De forma simples, resumida e dinâmica, essa seção foi desenvol-
vida para sinalizar os assuntos mais abordados no Enem e nos 
principais vestibulares voltados para o curso de Medicina em todo 
o território nacional.
Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos de cada coleção 
tem como principal objetivo apoiar o aluno na resolução das ques-
tões propostas. Os textos dos livros são de fácil compreensão, com-
pletos e organizados. Além disso, contam com imagens ilustrativas 
que complementam as explicações dadas em sala de aula. Qua-
dros, mapas e organogramas, em cores nítidas, também são usados 
e compõem um conjunto abrangente de informações para o aluno 
que vai se dedicar à rotina intensa de estudos.
Essa seção foi desenvolvida com foco nas disciplinas que fazem 
parte das Ciências da Natureza e da Matemática. Nos compila-
dos, deparamos-nos com modelos de exercícios resolvidos e co-
mentados, fazendo com que aquilo que pareça abstrato e de difí-
cil compreensão torne-se mais acessível e de bom entendimento 
aos olhos do aluno. Por meio dessas resoluções, é possível rever, 
a qualquer momento, as explicações dadas em sala de aula.
© Hexag Sistema de Ensino, 2018
Direitos desta edição: Hexag Sistema de Ensino, São Paulo, 2021
Todos os direitos reservados.
Autores
Herlan Fellini
Pedro Tadeu Batista
Vitor Okuhara
Diretor-geral
Herlan Fellini
Diretor editorial
Pedro Tadeu Batista 
Coordenador-geral
Raphael de Souza Motta
Responsabilidade editorial, programação visual, revisão e pesquisa iconográfica
Hexag Sistema de Ensino
Editoração eletrônica
Arthur Tahan Miguel Torres
Matheus Franco da Silveira
Raphael de Souza Motta
Raphael Campos Silva
Projeto gráfico e capa
Raphael Campos Silva
Imagens
Freepik (https://www.freepik.com)
Shutterstock (https://www.shutterstock.com)
ISBN: 978-65-88825-13-6
Todas as citações de textos contidas neste livro didático estão de acordo com a legis-
lação, tendo por fim único e exclusivo o ensino. Caso exista algum texto a respeito do 
qual seja necessária a inclusão de informação adicional, ficamos à disposição para 
o contato pertinente. Do mesmo modo, fizemos todos os esforços para identificar e
localizar os titulares dos direitos sobre as imagens publicadas e estamos à disposição 
para suprir eventual omissão de crédito em futuras edições.
O material de publicidade e propaganda reproduzido nesta obra é usado apenas para 
fins didáticos, não representando qualquer tipo de recomendação de produtos ou
empresas por parte do(s) autor(es) e da editora.
2021
Todos os direitos reservados para Hexag Sistema de Ensino.
Rua Luís Góis, 853 – Mirandópolis – São Paulo – SP
CEP: 04043-300
Telefone: (11) 3259-5005
www.hexag.com.br
contato@hexag.com.br
MATEMÁTICA
ÁLGEBRA
TRIGONOMETRIA E ARITMÉTICA
GEOMETRIA PLANA
Aulas 1 e 2: Potenciação e radiciação 6
Aulas 3 e 4: Equações do primeiro grau e problemas clássicos 14
Aulas 5 e 6: Equações do segundo grau 22
Aulas 7 e 8: Teoria dos conjuntos 27
Aulas 1 e 2: Trigonometria no triângulo retângulo 36
Aulas 3 e 4: Produtos notáveis 41
Aulas 5 e 6: Fatoração 44
Aulas 7 e 8: Conjuntos numéricos 49
Aulas 1 e 2: Introdução à geometria plana 57
Aulas 3 e 4: Ângulos num triângulo e ângulos numa circunferência 63
Aulas 5 e 6: Razão proporcional e teoremas de Tales e da bissetriz interna 71
Aulas 7 e 8: Pontos notáveis de um triângulo 76
SUMÁRIO
UFMG
Encontraremos propriedades de potenciação e 
radiciação em questões tanto de Matemática 
como de Física e Química. Não é difícil encon-
trar alguma questão em ambas as fases da 
Vunesp, exigindo do candidato a produção 
de equações do 1º e 2º graus. 
Esta prova possui questões dissertativas com 
alto grau de dificuldade. Portanto, devemos 
somar os conteúdos deste livro com os 
próximos para resolver os exercícios.Potenciação e radiciação, são cobrados em 
questões de variações de grandezas físicas. 
Teoria dos conjuntos é cobrada com descrição 
no enunciado. Equações são assuntos básicos 
que necessitam de outros tópicos para que 
tenham uma aplicação.
Dentro dos temas abordados neste livro, os 
equacionamentos do 1º e 2º graus possuem 
maior incidência nesse vestibular.
Esta prova exigirá de seu candidato alta habi-
lidade em potenciação. A leitura de um texto 
aliada a um raciocínio lógico-matemático será 
fundamental para resolver problemas clássicos 
de equações do 1º grau.
A PUC-Camp exige do candidato uma firme 
análise das propriedades básicas de potencia-
ção e radiciação, quando explora questões de 
exponenciais e logaritmos.
O vestibular da Santa Casa aborda as proprie-
dades de potenciação e radiciação, dentro dos 
exercícios de Exatas. Realizar equacionamen-
tos do 1º ou 2º graus é imprescindível nas 
questões objetivas.
O Enem exigirá dos candidatos conceitos 
básicos de potenciação e radiciação. Encon-
traremos também situações problemas que 
precisam de equações do 1º e 2º graus para 
serem resolvidas.
Potenciação e radiciação, por serem assuntos 
básicos, dificilmente serão cobrados diretamente. 
Já para equações do 1º e 2º grau, podemos 
encontrar alguma questão, na primeira fase, 
exigindo uma leitura mais atenta.
Tanto no exame de qualificação, quanto 
no exame discursivo, ocorrem questões de 
equações do 1º e 2º graus. Conceitos de 
potenciação e radiciação estarão, em grande 
parte, das questões de Exatas.
O processo seletivo da Unigranrio possui 
questões mais diretas, diferentemente do 
Enem. Assim, a álgebra possui grande inci-
dência nessa prova e o candidato deve estar 
muito bem esclarecido em relação a todos 
os temas.
O processo seletivo para Medicina da Souza 
Marques possui questões contextualizadas, 
e os conteúdos abordados neste livro são 
essenciais para suas resoluções.
Esse vestibular exige pontos específicos do 
candidato, pois possui uma quantidade menor 
de questões. Assim, a resolução de equações 
do 1º e 2º graus e os outros temas abordados 
neste livro são fundamentais.
A UFPR possui um vestibular com questões 
dissertativas e objetivas, com alto grau de 
dificuldade. O candidato deve resolver com 
proeza questões de equação do 1º grau.
Apresenta questões bem elaboradas, que 
alinham os conteúdos deste livro com os 
próximos e outras áreas de Exatas.
INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS
ÁLGEBRA
 6
1. Potenciação
1.1. Potenciação com expoente natural
Representa-se por bn, sendo b (denominado base) um 
número real e n (denominado expoente) um número 
natural maior que 2, o produto de n fatores iguais a b, o 
seguinte produto:
bn = b ∙ b ∙ b ∙ ... ∙ b
n fatores
Modelo
 Cálculo do valor de 25, no qual a base é um núme-
ro natural:
25 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32
 Cálculo do valor de (–3)3 e (–3)4, no qual a base é um 
número inteiro negativo:
(–3)³ = (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) = –27
(–3)4 = (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) = 81
 Atenção: Observe que, se a base for um número real ne-
gativo, e o expoente for um número natural ímpar, o re-
sultado será negativo; no entanto, se o expoente for um 
número natural par, o resultado será positivo.
 Cálculo do valor de ( 2 __ 3 ) 
3
, no qual a base é um núme-
ro racional:
 ( 2 __ 3 ) 
3
 = ( 2 __ 3 ) ∙ ( 2 __ 3 ) ∙ ( 2 __ 3 ) = 8 ___ 27 
No caso em que n < 2, deve-se definir:
 b0 = 1, para b ≠ 0;
 b1 = b.
Algebricamente, sendo x ℝ, a potenciação pode ser es-
crita da seguinte forma:
x = x¹ x ∙ x = x² x ∙ x ∙ x = x³
1.2. Potenciação com expoente 
inteiro negativo
Dada uma base b real não nula e um expoente n ℤ, 
define-se:
b–n = 1 __ 
bn
 
Assim, quando o expoente for um número inteiro negativo, 
pode-se inverter a base a fim de tornar o expoente positivo 
e efetuar as operações como foi visto anteriormente.
Modelo
 3–2 = 1 __ 
32
 = 1 __ 
9
 
 ( 2 __ 5 ) 
–2
 = 1 ____ 
 ( 2 __ 5 ) 
2 = 
1 ___ 
( 4 ___ 25 
 
)
 = 25 ___ 
4
 
 10–2 = 1 ___ 
102
 = 1 ___ 
100
 = 0,01
 x–1 = 1 __ x , sendo x ℝ e não nulo
1.3. Potenciação com expoente racional
Dado um número real a e um número racional m __ n , sendo 
m ℤ e n ℤ* (n ≠ 0), deve-se definir a potenciação de 
base a e expoente m __ n da seguinte forma:
a = n dXXX am 
Como é possível observar, quando há um expoente racio-
nal na forma da fração m __ n , pode-se reescrever a potên-
POTENCIAÇÃO E 
RADICIAÇÃO
HABILIDADES: 1, 3, 4, 7, 10 e 11
COMPETÊNCIAS: 1 e 2
AULAS 1 e 2
FONTE: YOUTUBE
Introdução à potenciação
F Y
multimídia: vídeo
 7
cia como uma raiz n-ésima de am. Serão definidas 
as propriedades das raízes n-ésimas aritméticas no 
próximo capítulo.
1.4. Propriedades
De modo geral, sendo a e b números reais, e m e n núme-
ros inteiros, valem as seguintes propriedades:
Produto de potências de mesma base
Quando se tem o produto entre duas potências de mesma 
base, somam-se os expoentes e conserva-se a base:
P1: a
m ∙ an = am+n
 23 ∙ 25 = 23+5 = 28
 ( 1 __ 2 ) 
5
 ∙ 23 = 2–5 ∙ 23 = 2–5+3 = 2–2 = 1 __ 
22
 = 1 __ 
4
 
 16 ∙ 32 = 24 ∙ 25 = 24+5 = 29
 x2 · ( 1 __ x ) = x2 ∙ x–1 = x1 = x
Quociente de potências de mesma base
Quando se tem o quociente entre duas potências de mes-
ma base, subtraem-se os expoentes e conserva-se a base:
P2: 
am __ an = a
m–n, se a ≠ 0
 5
7
 __ 
53
 = 57–3 = 54
 ( 1 __ 3 ) 9 : ( 1 __ 3 ) 5 = ( 1 __ 3 ) 9–5 = ( 1 __ 3 ) 4
 x
7
 __ 
x3
 = x4
Potência de um produto
A potência de um produto pode ser escrita como um pro-
duto de potências:
P3: (a ∙ b)
m = am ∙ bm
 (2 ∙ 5)³ = 2³ ∙ 5³ = 8 ∙ 125 = 1 000
 (x ∙ y)² = x² ∙ y²
Potência de um quociente
A potência de um quociente pode ser escrita como um quo-
ciente de potências:
P4: ( a __ b ) 
m
 = a
m
 __ 
bm
 , se b ≠ 0
 ( 2 __ 3 ) 
2 
=
 
 2
2
 __ 
32
 = 4 __ 
9
 
 ( x __ yz ) 3 = x
3
 ____ 
(yz)3
 = x
3
 ___ 
y3z3
 
Potência de uma potência
Quando se tem uma potência em que sua base apresen-
ta outra potência, mantém-se a base e multiplicam-se 
os expoentes:
P5: (a
m)n = am ∙ n
 (52)3 = 52 ∙ 3 = 56
 (2 ∙ 32)4 = 24 ∙ (32)4 = 24 ∙ 32 ∙ 4 = 24 ∙ 38
 (x2 ∙ y5)3 = (x2)3 ∙ (y5)3 = x2 ∙ 3 · y5 ∙ 3 = x6 ∙ y15
Note que devido à propriedade comutativa da multiplica-
ção, resulta que (am)n = (an)m.
Atenção: Observe que (am)n ≠ amn. No caso de (am)n, a base 
do expoente n é am, e, no caso de amn, a base do expoente n 
é m, e mn é o expoente da base a. Veja um exemplo:
(2²)³ = (2²) ∙ (2²) ∙ (2²) = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64
22³ = 22 ∙ 2 ∙ 2 = 28 = 256
1.4.1. Resumo das propriedades
Sendo a e b números reais, e m e n números inteiros, 
segue que:
 P1: a
m ∙ an = am+n
 P2: 
am __ an = a
m – n, se a ≠ 0
 P3: (a ∙ b)
m = am ∙ bm
 P4: ( a __ b ) 
m
 = a
m
 __ bm , se b ≠ 0
 P5: (a
m)n = am ∙ n
1.5. Número na forma de potência
Nas expressões numéricas em que é possível escrever to-
das as potências com uma base comum, é possível utilizar 
as propriedades de potenciação descritas. Observe alguns 
exemplos utilizando a base 2:
Também é possível escrever alguns números racionais na 
forma de uma potência com base inteira:
 0,5 = 5 ___ 
10
 = 1 __ 
2
 = 2–1
 0,25 = 25 ___ 
100
 = 1 __ 
4
 = 2–2
 0,125 = 125 ____ 
1.000
 = 1 __ 
8
 = 2–3
 8
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
Veja como se pode simplificar o cálculo de uma expressão 
numérica envolvendo potências de mesma base:
[ 4 ∙ ( 1 __ 8 ) 
–2
 ∙ 163 ] –1
 _____________ 
0,58 ∙ ( 1 ___ 32 ) 
2 
Escrevendo cada fator como uma potência de base 2, 
segue que:
 
[ (22) ∙ (2–3)–2 ∙ (24)3 ] –1
 ________________ 
(2–1)8 ∙ (2–5)2
 
Utilizando, agora, as propriedades da potenciação, pode-se 
realizar as simplificações:
 (2
2 ∙ 26 ∙ 212)–1 ___________ 
2–8 ∙ 2–10
 = (2
2+6+12)–1 _______ 
2–8+(–10)
 = (2
20)–1 _____ 
2–18
 
= 2–20–(–18)= 2–2 = 1 __ 
4
 
1.6. Potências e notação científica
Como foi visto, potências do tipo bn podem ser utilizadas 
para simplificar um produto de n termos iguais a b. Quando 
se trata de grandezas muito grandes ou muito pequenas, 
podem-se utilizar potências de base 10 para representar 
esses números. Esse tipo de representação é denominada 
notação científica.
Observe a fórmula da notação científica:
m ∙ 10e
na qual m é denominado mantissa, um número racional 
maior do que 1 ou igual a 1 e menor que 10, enquanto que 
e é denominado a ordem de grandeza, expoente da base 10.
Caso deseje escrever o número 2 500 000 (dois milhões 
e quinhentos mil) de forma mais concisa:
2 .500. 000 = 2,5 ∙ 1.000. 000 = 2,5 ∙ 106
Imagine um grande prédio em construção, com todos os seus elementos e estruturas, fundações, vigas e tijolos. 
Fazendo uma analogia com a construção de um prédio, a potenciação e a radiciação são a base para a construção 
dos conhecimentos algébricos.
Você poderá utilizar os conhecimentos aprendidos de potenciação na disciplina de Física, no uso da notação científica, 
e na área de Geografia, mais especificamente na área de cartografia, uma vez que trabalhar com potências facilita a 
mudança de escalas.
2. Radiciação
Chama-se radical a raiz enésima de um número real , sendo um número maior ou igual a zero, quando n é um natural par; ou 
sendo um número real, quando n é um natural ímpar.
 n √
__
 , em que [ R+ e n [ N, com n ≥ 2, é chamado de radical.
 9
Modelos
7 
 √
____
 −3 √
___
 16 5 √
__
 2 √
___
 1 ___ 
36
 
O termo radical também é representado pelo símbolo √
__
 0 .
2.1. Propriedades
2.1.1. Primeira propriedade
Observe um radical com índice ímpar:
 3 √
____
 125 = 5 e 125 = 53
 3 √
____
 125 = 3 √
__
 53 = 5
Agora, veja um radical com índice par:
 2 √
____
 121 = 11 e 121 = 112
 2 √
____
 121 = 2 √
___
 112 = 11
De modo geral, vale a igualdade n √
___
 n = , para todo [ 
R+ e n [ N, com n ≥ 2.
Modelos
 √
__
 42 = 4 6 √
__
 76 = 7 8 √
__
 78 = 7
Atenção: Essa propriedade é válida somente para 
maior do que zero ou igual a zero.
Caso ocorra, por exemplo, 4 √
____
 (-2)4 , a expressão não equiva-
lerá a – 2, pois 4 √
____
 (-2)4 = 4 √
___
 16 = 2.
Se, porém, o índice for ímpar, a propriedade n √
__
 n = 
continuará válida. Veja:
 3 √
____
 (-1)3 = –1
Dessa forma, para uma expressão com radicais, é preciso 
impor a condição de existência:
 Se o índice for ímpar (n é ímpar), o radicando poderá 
ser qualquer número real: 
n
 √
__
 xn = x, x R
 Se o índice for par (n é par), o radicando deverá ser um 
número real não negativo:
 n √
__
 xn = x, x 0 (condição de existência)
2.1.2. Segunda propriedade
Pode-se representar o número 2 por meio de diferentes radicais:
2 = 5 √
__
 25 
2 = 10 √
___
 210 
Então: 5 √
__
 25 = 10 √
___
 210 
Para obter a igualdade, é possível fazer:
 10 √
___
 210 = 10 : 2 √
____
 210 : 2 = 5 √
__
 25 
De modo geral, segue que n √
___
 m = 
n : p
 √
___
 m:p , para todo [ 
R+ e n [ N, com n ≥ 2, sendo p um número diferente de 
zero e divisor comum de m e n.
Essa propriedade comumente é usada para simplificar al-
guns radicais.
Modelos
 8 √
__
 74 = 8 : 4 √
____
 74 : 4 = 2 √
__
 7 
 10 √
___
 32 = 10 √
__
 25 = 10 : 5 √
____
 25 : 5 = 2 √
__
 2 
2.1.3. Terceira propriedade
Observe as expressões 3 √
_____
 27 ∙ 8 e 3 √
___
 27 · 3 √
__
 8 .
De modo geral, segue que: n √
____
 a ∙ b = n √
__
 a · n √
__
 b , para todo a 
[ R+, b [ R+ e n [ N, com n ≥ 2.
Modelos
 √
_____
 4 ∙ 10 = √
__
 4 ∙ √
___
 10 
 4 √
_______
 1 ___ 
10
 ∙ 100 = 4 √
___
 1 ___ 
10
 ∙ 4 √
____
 100 
2.1.4. Quarta propriedade
Observe as expressões 3 √
___
 27 ___ 
8
 e 
3
 √
___
 27 ____ 
 3 √
__
 8 
 
De modo geral, segue que n √
__
 a __ 
b
 = 
n
 √
__
 a ___ 
 n √
__
 b 
 , 
para todo a [ R+, b [ R + * e n N, com n ≥ 2.
Modelos
 √
___
 30 ___ 
7
 = √
___
 30 ____ 
 √
__
 7 
 
 3 √
_____
 0,001 = 3 √
______
 1 _____ 
1.000
 = 
3
 √
__
 1 ______ 
 3 √
_____
 1.000 
 = 1 ___ 
10
 
 10
2.2. Potenciação e radiciação 
com radicais
Veja uma potenciação com radicais:
 ( 5 √
__
 2 ) 4 = 5 √
__
 2 · 5 √
__
 2 · 5 √
__
 2 · 5 √
__
 2 = 5 √
_________
 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 5 √
__
 24 
De modo geral, para efetuar a potenciação com um ra-
dical, eleva-se o radicando ao expoente dado: ( m √
__
 a ) n = 
m √
__
 an , em que a ≥ 0, m é um número natural maior que 1, 
e n é um número inteiro.
Atenção: Repare que, se a < 0, então ( m √
__
 a ) n m √
__
 an . Por exem-
plo, se a = −3, tem-se: 4 √
____
 ( −3)4 = 4 √
__
 34 = 3, ( 4 √
___
 −3 )4 não existe.
Modelo 1
 ( √
__
 5 ) 3 = √
__
 53 
 ( 2 3 √
__
 3 ) 
5
 = 25 · 3 √
__
 35 = 32 · 3 · 3 dXX 32 = 96 3 dXX 32 
 ( 6 dXXXXX 4 – x ) 2 = 62 · dXXXXXX (4 – x)2 = 36 · (4 – x) = 144 – 36x, 
com x ≤ 4
 ( dXX 5 + 3 ) 2 = ( dXX 5 ) 2 + 2 · dXX 5 · 3 + 32 = 5 + 6 dXX 5 + 9 = 14 + 6 dXX 5 
Para entender o procedimento da radiciação com radicais, 
compare as expressões:
 2 dXXXXX 3 dXXXX 729 = 2 dXX 9 = 3 e 6 dXXXX 729 = 3
Como as duas expressões são iguais a 3, então: 
 2 dXXXXX 3 dXXXX 729 = 6 dXXXX 729 = 3
De modo geral, para efetuar a radiciação com radicais, po-
de-se fazer m dXXX n dXX a = m · n dXX a , em que a ≥ 0 e m e n são núme-
ros naturais maiores que 1.
Modelo 2
 3 dXXX dXX 2 = 3 · 2 dXX 2 = 6 dXX 2 
 dXXXXXXX 3 dXXXXX 1.000 _____ 64 = 2 · 3 d
XXXXX
 1.000 _____ 
64
 = 6 dXXXX 103 ___ 26 = 
6
 dXXX 103 ____ 
 6 dXX 26 
 = 
dXXX 10 ____ 
2
 
2.3. Racionalização de denominadores
O processo de racionalização do denominador consiste em 
multiplicar a fração dada pelo número 1, escrito como fra-
ção, de modo que o produto nos denominadores seja um 
número racional.
 1 ___ 
 dXX 2 
 = 1 ___ 
 dXX 2 
 · 1 = 1 ___ 
 dXX 2 
 · 
dXX 2 ___ 
 dXX 2 
 = 1 · 
dXX 2 ______ 
 dXX 2 · dXX 2 
 = 
dXX 2 ____ 
 dXX 22 
 = 
dXX 2 ___ 
2
 
Observe que, depois da racionalização, escreve-se de outra 
forma o número dado, agora com denominador racional.
Calcular 
dXX 2 ___ 
2
 é mais simples do que calcular 1 ___ 
 dXX 2 
 .
Acompanhe a racionalização dos denominadores de alguns 
números agrupados nas situações a seguir:
Modelo 1
 Racionalização do denominador de 2 ____ 
3 dXX 8 
 .
 2 ____ 
3 dXX 8 
 = 2 ____ 
3 dXX 8 
 · 
dXX 8 ___ 
 dXX 8 
 = 2 √
__
 8 ____ 
3 ∙ 8
 = √
__
 8 ___ 
12
 
 Racionalização do denominador de 3 ___ 
 4 dXX 3 
 .
 3 ___ 
 4 dXX 3 
 = 3 ___ 
 4 dXX 3 
 · 
4
 dXX 33 ___ 
 4 dXX 33 
 = 3 
4
 dXX 33 ____ 
 4 dXX 34 
 = 3 
4
 dXX 33 ____ 
3
 = 4 dXX 33 
Modelo 2
 Racionalização do denominador de 3 ______ 
 dXX 3 + 1
 .
Como nesse denominador há uma adição em que pelo me-
nos uma parcela é um número irracional, utiliza-se o produto 
da soma pela diferença para racionalizar o denominador.
3
 Racionalização do denominador de 2 _______ 
 dXX 2 + dXX 5 
 .
Nesse denominador, há uma adição de dois números 
irracionais. Para racionalizá-lo, multiplica-se a fração 
por: 
Racionalização do denominador de 
dXX 6 ______ 
4 – dXX 5 
 .
FONTE: YOUTUBE
Uma Mente Brilhante
F Y
multimídia: vídeo
 11
O produto da soma pela diferença de a e b é:
(a + b) · (a – b) = a2 – b2
2.4. Potência com expoente fracionário
O expoente de uma potência pode ser um número em for-
ma de fração.
Observe o exemplo a seguir:
51/2 = ( √
___
 51/2 )2 : 1.ª propriedade dos radicais
( √
___
 51/2)2 = dXXX 51/2 · dXXX 51/2 = dXXXXXX 51/2 + 1/2 : propriedade do 
produto de potências de mesma base
 dXXXXXX 51/2 + 1/2 = dXX 51 = dXX 5 
Portanto: 51/2 = dXX 5 .
Se 51/2 = dXX 5 , então 53/2 = (51/2)3 = ( dXX 5 ) 3 = dXX 53 
Da mesma forma, é possível escrever outras potências de 
expoente fracionário como um radical.
25/3 = 3 dXX 25 
 [ 1 __ 8 ] 
2/3
 = 3 dXXXX [ 1 __ 8 ] 
2
 = 3 √
____
 ( 1 __ 23 ) 
2
 = 3 dXXX 1 __ 26 = 1 __ 4 
(0,3)2/7 = 7 dXXXXX (0,3)2 = 7 √
____
 0,09 
De modo geral, pode-se dizer que am/n = n √
__
 am para todo a 
[ R+, m [ Z e n [ N, com n 2.
Aplicação do conteúdo
1. Examine as afirmações a seguir: 
I. A subtração ( 2 √
__
 8 – 3 √
__
 2 ) 3 equivale a 2 √
__
 2 .
II. 5 √
__
 8 é maior do que 11 √
__
 2 .
III. (6 √
__
 3 )2 é igual a 108.
As afirmativas corretas são: 
a) I e II apenas.
b) I e III apenas.
c) II e III apenas.
d) I, II e III.
Resolução: Alternativa B
I. Correta. Desenvolvendo a subtração:
(2 √
__
 8 – 3 √
__
 2 )3 = (2 √
__
 23 – 3 √
__
 2 )3 = 
= (2 √
__
 22 · 2 – 3 √
__
 2 )3 = 
= (2 √
__
 22 · √
__
 2 – 3 √
__
 2 )3 = (4 √
__
 2 – 3 √
__
 2 )3 = 
= ( √
__
 2 ) 3 = 2 √
__
 2 
II. Incorreta. 5 √
__
 8 = 5 √
______
 22 ∙ 2 = 5 √
__
 22 · √
__
 2 = 
= 10 √
__
 2 < 11 √
__
 2 
III. Correta. Tem-se:
(6 √
__
 3 )2 = 36 · 3 = 108
2. Analise as seguintes expressões:
I. 3 
√
___
 12 ____ 
2
 = 3 √
__
 2 
II. (2 √
__
 3 )
-1
 = 
√
__
 3 ___ 
6
 
III. (24)
 1 __ 2 
 = 2 √
__
 2 
A(s) alternativa(s) verdadeira(s) é(são): 
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) I e III.
Resolução: Alternativa B
I. Incorreta. 3 
√
___
 12 ____ 
2
 = 3 · 2 · 
√
__
 3 ________ 
2
 = 3 √
__
 3 
II. Correta. (2 √
__
 3 )-1 = 1 ____ 
2 √
__
 3 
 · 
√
__
 3 ___ 
 √
__
 3 
 = 
√
__
 3 ___ 
6
 
III. Incorreta. (24)
 1 __ 2 
 = 2 
4
 
__
 2 = 22 = 4
3. Assinale a alternativa correta:
a) √
__
 4 + √
__
 5 < 3
b) ( √
__
 3 + √
__
 2 )2 = ( √
__
 3 )2 + ( √
__
 2 ) 2 = 3 + 2 = 5
c) 9 ___ 
 √
__
 3 
 = 6 √
__
 3 
d) 4 ______ 
 ( √
__
 5 − 1 ) 
 = √
__
 5 + 1 
e) √
___
 16 = 4 
Resolução: Alternativa D
a) Incorreta, pois √
__
 4 + √
__
 5 > 3
b) Incorreta, pois ( √
__
 3 + √
__
 2 ) 2 =
= ( √
__
 3 ) 2 + 2 √
__
 3 ∙ √
__
 2 + ( √
__
 2 )2 = 5 + 2 √
__
 6 .
c) Incorreta, pois 9 ___ 
 √
__
 3 
 = 9 ___ 
 √
__
 3 
 ∙ 
√
__
 3 ___ 
 √
__
 3 
 = 9 
√
__
 3 ____ 
3
 = 3 √
__
 3 .
d) Correta, pois 4 ______ 
 ( √
__
 5 – 1 ) 
 · 
√
__
 5 + 1 ______ 
 √
__
 5 + 1
 = √
__
 5 + 1 .
e) Incorreta, pois √
___
 16 = 4.
4. Analisando os números reais,
x = √
___
 2,7... 
 12
y = [ √
____
 0,25 + (163/4)-1 ] -1
z = 3 √
____
 (23)2 – √
________
 3 √
__
 56 · ( 5 __ 6 ) 
-2
 
é FALSO afirmar que:
a) z _ y < – 
3 __ 
2
 
b) x – y < 1 __ 
5
 
c) x + z < 0
d) x + y + z ( ℝ – ℚ)
Resolução: Alternativa A
x = √
___
 2,7... = √
_____
 2 + 7 __ 
9
 = √
___
 25 ___ 
9
 = 5 __ 
3
 
y = [ √____ 0,25 + ( 4 √___ 163 ) -1 ] 
-1
 
 y = ( √
__
 1 __ 
4
 + 4 √
_____
 ( 1 ___ 16 ) 
3
 ) 
-1
 y = ( 1 __ 2 + 1 __ 8 ) 
-1 
 y= ( 5 __ 8 ) 
-1
 y = 8 __ 
5
 
z = 3 √
____
 (23)2 – √
________
 3 √
__
 56 ∙ ( 5 __ 6 ) 
-2
 26/3
 
 – √
________
 56/3 ∙ ( 6 __ 5 ) 
2
 
 22 – √
_____
 52 · 36 ___ 
25
 = 4 – 6 = –2
a) Falso. 
 z __ y < – 
3 __ 
2
 : 2 __ 
 8 __ 
5
 
 = –2 · 5 __ 
8
 = – 5 __ 
4
 e – 5 __ 
4
 > – 3 __ 
2
 .
b) Verdadeiro. 
x – y < 1 __ 
5
 : 5 __ 
3
 – 8 __ 
5
 < 1 __ 
5 
 = 1 ___ 
15
 < 1 __ 
5
 . 
c) Verdadeiro. 
x + z < 0 : 5 __ 
3
 – 2 < 0 -- 1 __ 
3
 < 0. 
d) Verdadeiro. 
x + y + z (ℝ – ℚ), pois a soma de três números 
racionais será sempre um número racional. 
5. O valor da expressão √
___
 50 – √
___
 18 + √
___
 98 é: 
a) √
____
 130 
b) –5 √
__
 2 
c) 9 √
__
 2 
d) 5 √
___
 13 
e) 15 √
__
 2 
Resolução: Alternativa B
 √
___
 50 – √
___
 18 – √
___
 98 
= 5 √
__
 2 – 3 √
__
 2 – 7 √
__
 2 = 
= –5 √
__
 2 
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-alge-
bra-exponents-radicals
multimídia: site
 13
DIAGRAMA DE IDEIAS
POTENCIAÇÃO
RADICIAÇÃO
EXPOENTE
(QUANTIDADE DE VEZES 
QUE A BASE É MULTIPLI-
CADA POR ELA MESMA)
BASE
(NÚMERO A SER 
MULTIPLICADO)
OPERAÇÃO INVERSA 
DA POTENCIAÇÃO
a a• a• a• a•... •an
n VEZES
(BASE)
(RADICANDO)
(EXPOENTE)
(ÍNDICE)
"RAIZ" VEM DO 
LATIM RADIX, QUE
QUER DIZER "LADO".
QUANDO ALGUÉM 
DIZ "RAIZ 
QUADRADA DE 9", 
ESTÁ PENSANDO EM 
"QUAL É O LADO 
DO QUADRADO 
DE ÁREA 9?".
an
9=3 9 3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
 14
1. Equações
A primeira referência conhecida que trata das equações 
está relacionada ao chamado Papiro de Rhind (também 
conhecido como Papiro de Ahmes), um dos documentos 
egípcios mais antigos sobre Matemática, escrito no ano de 
1650 a.C.
A álgebra começa a ser pesquisada a partir do século IX, 
com a obra de Al-Khwarizmi (738-850 d.C), que trata do 
estudo das equações com uma ou mais incógnitas em uma 
resolução de problema. Em sua interpretação, quando é 
possível representar em linguagem simbólica, na forma de 
uma equação, o resultado é a equação como uma conse-
quência da situação-problema. Al-Khwarizmi, um dos maio-
res matemáticos árabes, resolvia as equações de um modo 
semelhante ao atual: tudo, até mesmo os números, era re-
presentado por palavras. O livro Al-jabr wa’l mugãbalah tra-
zia explicações minuciosas sobre a resolução de equações.
Diofante, por sua vez, foi um matemático grego que viveu 
no século III. Ele se dedicou à álgebra e aplicou a ideia de 
representar um número desconhecido por uma letra; as-
sim, influenciou decisivamente outros matemáticos.
A equação de 1.º grau é definida como “uma sentença 
aberta que exprime uma igualdade entre duas expres-
sões numéricas”.
A palavra “equação” deriva do latim equatione, que significa 
“equacionar”, “igualar”. As expressões numéricas, separa-
das pelo sinal de igualdade, chamam-se “membros”; cada 
membro é composto por “termos”; e esse termo, que multi-
plica as letras, chama-se “coeficiente de termo”.
Observe a seguinte igualdade:
1 + x = 3
Essa igualdade leva o nome de sentença matemática 
aberta ou equação, pois pode ser verdadeira ou falsa, de-
pendendo do valor atribuído à variável x. Nesse caso, se o 
valor de x for 3, a sentença será falsa. Por outro lado, se o 
valor atribuído for 2, a sentença será verdadeira. Como x = 
2 torna a sentença verdadeira, afirma-se que o número 2 é 
a raiz da equação. 
O conjunto dos valores que tornam uma equação verdadei-
ra é chamado de conjunto solução. No exemplo dado, o 
conjunto solução S é:
S = {2}
EQUAÇÕES DO 
PRIMEIRO GRAU 
E PROBLEMAS 
CLÁSSICOS
HABILIDADES: 19, 21, 22 e 23
COMPETÊNCIA: 5
AULAS 3 e 4
https://pt.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-math/
cc-6th-equations-and-inequalities
multimídia: site
Modelos
1. 2x + 4 = 6, para x [ R
O único valor real que torna a equação verdadeira é x = 1, 
logo S = {1}.
2. x² = 4, para x [ R
Os valores reais que tornam a equação verdadeira são 
x = 2 ou x = –2, logo S = {–2, 2}.
3. 0x + 1 = 1, para x [ R
Nesse caso, nota-se que independentemente do valor de x, 
a equação é verdadeira, logo S = R.
4. x² = –1, para x [ R
Nesse caso, nota-se que não há valor real de x que torne a 
equação verdadeira, logo S = Ø.
Para descobrir os valores que compõem o conjunto solu-
ção, é possível manipular a equação utilizando algumas 
propriedades com o intuito de isolar a variável (incógnita) 
em um dos membros daequação.
P1: Se um mesmo número for somado ou subtraído 
de ambos os membros de uma igualdade, a igualdade 
permanecerá verdadeira. 
 15
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
Modelos
1. x – 4 = 10
x – 4 + 4 = 10 + 4
x = 14
Logo, S = {14}
2. 3 + x = 1
3 + x – 3 = 1 – 3
x = –2
Logo, S = {–2}
P2: Se ambos os membros de uma igualdade forem 
multiplicados ou divididos por um mesmo número, a 
igualdade permanecerá verdadeira. 
Modelos:
1. x __ 
4
 = 6
 x __ 
4
 · 4 = 6 · 4
x = 24
Logo, S = {24}
2. –2x = 6
 –2x ___ 
–2
 = 6 ___ 
–2
 
x = –3
Logo, S = {–3}
A equação do primeiro grau é a mais simples das equações estudadas no Ensino Médio, mas não é menos importan-
te do que as outras. As famosas fórmulas da disciplina de Física, como Q m · c · , que equaciona a quantidade 
de calor, e a equação horária do movimento retilíneo uniforme, s = S0 + vt, são equações do primeiro grau. 
Aprender a manipular as equações do primeiro grau fará com que você aumente seus horizontes tanto em 
Matemática quanto em Física.
2. Equações de primeiro grau
Uma equação do primeiro grau pode ser representada na 
forma ax + b = 0, com a i 0, a partir de manipulações 
algébricas descritas anteriormente. Uma vez escrita nessa 
forma, é possível encontrar facilmente o conjunto solução 
subtraindo o termo independente b de ambos os membros 
e, em seguida, dividindo-os por a.
Em uma equação de primeiro grau, ocorrem apenas ope-
rações de soma, subtração, multiplicação e divisão. Assim, 
é possível reduzir uma equação de primeiro grau à forma 
ax + b = 0, realizando apenas essas quatro operações.
Observe alguns exemplos de como manipular as equações 
com o intuito de isolar a incógnita:
1. Resolver 5(x – 3) = –2(x – 1)
Deve-se aplicar a propriedade distributiva, com o objetivo 
de eliminar os parênteses, respeitando a regra de sinais:
5x – 15 = –2x + 2
Somando 2x em ambos os membros para isolar a incógnita:
5x – 15 + 2x = –2x + 2 + 2x ä 7x – 15 = 2
Somando 15 em ambos os membros e finalmente 
dividindo por 7:
7x – 15 + 15 = 2 + 15 ä 7x = 17
 7x __ 
7
 = 17 ___ 
7
 à x = 17 ___ 
7
 
Logo, S = { 17 ___ 7 } .
2. Resolver x __ 
4
 = 5 __ 
2
 
Para cancelar o denominador 4 da fração x __ 
4
 , ambos os 
membros devem ser multiplicados por 4:
 x __ 
4
 · 4 = 5 __ 
2
 · 4 x = 20 ___ 
2
 = 10
Logo, S = {10}.
 16
3. Resolver x ___ 
–4
 = 3 __ 
2
 
De modo semelhante ao exemplo anterior, ambos os 
membros da igualdade devem ser multiplicados por –4:
 x ___ 
–4
 · (–4) = 3 __ 
2
 · (–4)
x = –12 ____ 
2
 = –6
Logo, S = {–6}.
Outra maneira de resolver equações desse tipo é realizan-
do o produto cruzado:
 a __ 
b
 = c __ 
d
 à a · d = b · c
 x ___ 
–4
 = 3 __ 
2
 à 2x = 3(–4)
2x = –12 à x = –12 ____ 
2
 = –6
4. Resolver x + 2 _____ 
6
 = 5 __ 
3
 
Realizando o produto cruzado, tem-se:
3(x + 2) = 6 · 5 à 3x + 6 = 30
3x = 30 – 6
3x = 24
x = 24 ___ 
3
 = 8
Logo, S = {8}.
5. Resolver 12 – x ______ 
3
 + 1 = x __ 
2
 
Em somas ou subtrações de frações, primeiramente é pre-
ciso encontrar o mínimo múltiplo comum entre os deno-
minadores. Assim, todos os denominadores são reduzidos 
a um denominador comum, permitindo, então, cancelá-lo:
mmc(1,2,3) = 6
 2 · (12 – x) + 6 · 1 ______________ 
6
 = 3 · x ____ 
6
 
Multiplicando ambos os membros por 6, os denominado-
res são cancelados. Efetuando as operações no restante da 
igualdade, tem-se:
24 – 2x + 6 = 3x à 30 = 3x + 2x 30 = 5x
x = 30 ___ 
5
 = 6
Logo, S = {6}.
2.1. Resolvendo sistemas de duas 
equações de primeiro grau
Em problemas envolvendo equações de primeiro grau, é 
possível ter mais de uma incógnita a ser calculada. 
Nesse caso, deve-se ter também mais de uma equação. 
Um conjunto de equações determina um sistema de 
equações. Existem principalmente dois métodos para 
resolver tais sistemas: o método da substituição e o 
método da adição.
2.1.1. Método da substituição
Esse método consiste em obter, a partir de uma das equações, 
uma incógnita em função das demais. Depois, substitui-se 
esse resultado nas outras equações. Observe um exemplo:
Considere as seguintes equações:
Primeiramente, escolhe-se uma das equações e isola-se 
qualquer uma das incógnitas. Por exemplo, a incógnita x 
na equação (I) é isolada:
(I) x + 3y = 11 ä x = 11 – 3y
Em seguida, o valor encontrado para x na equação é subs-
tituído na equação (II):
(II) 2x + y = 7
2(11 – 3y) + y = 7
22 – 6y + y = 7
–5y = –15
y = –15 ____ 
–5
 = 3
Logo, y = 3.
Com esse resultado, é possível substituir o valor de y em 
quaisquer das equações. Utilizando a equação (I):
(I) x + 3y = 11
x + 3(3) = 11
x + 9 = 11
x = 2
Assim, a solução do sistema de equações é S = {(2; 3)}
2.1.2. Método da adição
Esse método consiste em igualar os coeficientes de uma 
das incógnitas em ambas as equações de modo que, ao so-
má-las, esses coeficientes se anulem, diminuindo a quanti-
dade de incógnitas. Veja o exemplo:
Considere o mesmo sistema de equações do exemplo 
anterior:
 17
VIVENCIANDO
Se a equação (I) for multiplicada por −2, será obtido o 
seguinte sistema:
Somando a equação (I) e (II), tem-se:
Observe que a escolha do fator –2 para multiplicar a equa-
ção teve como finalidade igualar o valor absoluto dos 
coeficientes da incógnita x nas duas equações.
Agora, a partir do valor de y, basta substituir em qualquer 
das equações. Em (I), tem-se:
(I) x + 3y = 11
x + 3(3) = 11
x + 9 = 11
x = 2
Assim, a solução do sistema de equações é S = {(2; 3)}.
Nos restaurantes por quilo, ou self-service, ocorre um exemplo de aplicação de uma equação de primeiro grau. Três 
informações são indicadas no leitor da balança: 1) o peso da comida; 2) o valor por quilo da comida; 3) o valor a 
ser pago. Com duas das três informações, é possível verificar a terceira informação desconhecida por meio de uma 
equação do primeiro grau: 
Peso da comida = x gramas
Valor do kg da comida = R$ 30,00 / kg
Valor a ser pago: R$ 12,00
Valor a ser pago = Peso da comida multiplicado pelo valor do quilo da comida
R$12,00 = x kg ∙ 30 R$/kg
12 = x ∙ 30 
x = 12 ___ 
30
 
x = 0,4 kg ou 400 g
Aplicação do conteúdo
A resolução de um problema matemático consiste em trans-
formá-lo em linguagem matemática, como uma equação, 
utilizando os dados fornecidos para chegar a uma conclu-
são, com base no pedido no enunciado. Por meio de alguns 
exemplos, será demonstrado como problemas envolvendo 
equações de primeiro grau são enunciados.
1. Dado um número x, a soma do dobro desse número 
com 6 equivale à diferença entre o triplo desse número 
e 4. Qual é esse número?
Resolução:
 “soma do dobro desse número com 6”: 2x + 6
 “diferença entre o triplo desse número e 4”: 3x – 4
Logo:
2x + 6 = 3x – 4
6 + 4 = 3x – 2x
10 = x
Portanto, o número pedido é 10.
2. Um executivo distribui seus rendimentos mensais da 
seguinte maneira: 1 __ 
8
 para o plano de saúde, 1 __ 
4
 para a 
poupança, 1 __ 
6
 para a alimentação e a moradia e os R$ 
6.600,00 restantes para o lazer. Quanto o executivo 
poupa a cada mês?
 18
Resolução:
Quando o problema menciona “ 1 __ 
8
 para o plano de saúde”, 
entende-se que ele destina 1 __ 
8
 do valor total que recebe 
para o plano de saúde. Como o valor que ele recebe ao todo 
não é conhecido, ele é denominado x. Assim, é possível escre-
ver que, para o pagamento do plano de saúde, ele destina 1 __ 
8
 
de x, ou seja, 1 __ 
8
 ∙ x = x __ 
8
 .
Assim, se todos os valores que ele destina a cada atividade 
forem somados, teremos o valor total de x:
 x __ 
8
 + x __ 
4
 + x __ 
6
 + 6 600 = x
mmc(4,6,8) = 24
13x + 158 400 = 24x 
158 400 = 24x – 13x 
158 400 = 11x
x = 158 400 _______ 
11
 = 14 400
Dessa forma, como o valor total recebido mensalmente 
pelo executivo foi denominado x, segue que o valor P des-
tinado à poupança corresponde a 1 __ 
4
 de x:P = 1 __ 
4
 x = x __ 
4
 = 14.400 ______ 
4
 = 3 600
Portanto, o executivo poupa R$3 600,00 ao mês.
3. Em uma chácara, há galinhas e vacas, totalizando 14 
cabeças e 38 pés. Calcule o número de galinhas.
Resolução:
Sendo x o número de galinhas e y o número de vacas, 
e considerando que cada vaca e cada galinha possuem 
uma cabeça, cada galinha possui dois pés, e cada vaca, 
quatro. Tem-se:
Como o objetivo é obter o número de galinhas (x), pelo 
método da adição é possível eliminar a outra incógnita (y). 
Assim, a equação (I) deve ser multiplicada por –4, e ambas 
as equações devem ser somadas:
Multiplicando ambos os lados da equação por –1, tem-se:
–2x = –18 à 2x = 18 x = 9
Portanto, nessa chácara há 9 galinhas.
4. Em uma escola de música, o salário mensal de 
um professor é de R$ 800,00. Além disso, ele ganha 
R$ 20,00 por mês por cada aluno inscrito em suas au-
las. Para receber R$ 2.400,00 por mês, quantos alunos 
devem estar matriculados em suas aulas?
Resolução:
Considerando x a quantidade de alunos matriculados e 
multiplicando o valor recebido por cada aluno matricula-
do (R$ 20,00) pela quantidade de alunos matriculados, 
obtém-se o valor recebido pelo professor por cada aluno 
inscrito em suas aulas.
Somando ao valor fixo de R$ 800,00, chega-se ao salário 
final do professor. Como ele deve receber mensalmente 
R$ 2.400,00, tem-se a seguinte equação:
20 · x + 800 = 2 400
Resolvendo a equação:
20 · x = 2 400 – 800
20 · x = 1 600
x = 1.600 _____ 
20
 = 80
Assim, deve haver 80 alunos matriculados.
3. Problemas clássicos
Alguns problemas são comuns no vestibular, e não há fór-
mula para resolvê-los. No entanto, analisando a resolução 
de alguns deles, é possível utilizar os mesmos métodos 
para problemas semelhantes. Observe os exemplos:
 Uma torneira enche um tanque em 16 horas, e outra, em 12 
horas. Estando o tanque vazio e abrindo simultaneamente 
as duas torneiras, em quanto tempo encherão o tanque?
 Um trabalhador em uma fazenda consegue arar todo 
o campo em 16 horas. Um outro trabalhador consegue 
arar o mesmo campo em 12 horas. Em quanto tempo 
os dois trabalhadores conseguem arar um campo idên-
tico trabalhando ao mesmo tempo?
Note que os dois problemas, apesar de tratarem de temas 
distintos, possuem semelhanças. Com efeito, a resolução 
de ambos é idêntica. Assim, se soubermos resolver um de-
les, também saberemos resolver o outro. 
Devido a essa similaridade entre questões, serão apre-
sentados alguns problemas e suas resoluções para que 
os métodos de resolução possam ser aplicados em outras 
situações que podem aparecer no vestibular.
 19
3.1. O problema das torneiras
Uma torneira enche um tanque em 16 horas, e outra, em 12 
horas. Estando o tanque vazio e abrindo simultaneamente as 
duas torneiras, em quanto tempo encherão o tanque?
Análise
Nessa situação-problema, não é possível aplicar a regra de 
três, uma vez que as capacidades de trabalho das torneiras 
são diferentes. O caminho, nesse caso, é identificar as fra-
ções do trabalho que as respectivas torneiras realizam em 
uma unidade de tempo. Assim, é preciso verificar a parte 
do tanque que cada torneira enche em 1 hora.
 Se a primeira torneira enche o tanque todo em 16 
horas, então em 1 hora ela encherá 1 ___ 
16
 do tanque.
 Se a segunda torneira enche o tanque todo em 12 
horas, então em 1 hora ela encherá 1 ___ 
12
 do tanque.
Solução
Sendo x horas o tempo que as duas torneiras gastarão 
para encher o tanque juntas, em uma hora elas encherão 
 do tanque.
Assim, 
Veja: 6 __ 
7
 h = 6 __ 
7
 · 60 min = 360 ___ 
7
 min = 51 3 __ 
7
 min
Resposta: 6 6 __ 
7
 horas ou 6 horas e 51 3 __ 
7
 minutos.
3.2. O problema das lojas
Juliana foi ao shopping center e entrou em 5 lojas. Em cada 
uma, gastou R$ 1,00 a mais do que a metade do que tinha 
ao entrar. Ao sair do shopping center, pagou R$ 3,00 de 
estacionamento e ficou com R$ 2,00. Quanto Juliana tinha 
antes de entrar na primeira loja?
Solução algébrica
Sendo x reais a quantia inicial de Juliana, tem-se:
Loja
Entrou 
com...
Gastou Saiu com...
1 x x __ 2 + 1 
x __ 
2
 – 1
2 x – 2 ____ 2 
x – 2 ____ 
4
 + 1 x – 2 ____ 
4
 – 1
3 x – 6 ____ 4 
x – 6 ____ 
8
 + 1 x – 6 ____ 
8
 – 1
4 x – 14 _____ 8 
x – 14 _____ 
16
 + 1 x – 14 _____ 
16
 – 1
5 x – 30 _____ 16 
x – 30 _____ 
32
 + 1 x – 30 _____ 
32
 – 1
Depois de pagar R$ 3,00 de estacionamento, resulta que:
 x – 30 _____ 
32
 – 1 – 3 = 2 x – 30 _____ 
32
 = 6 x = 222
Solução aritmética
Observando a situação-problema do fim ao começo, tem-se:
54
Resposta: Juliana tinha no início R$ 222,00.
3.3. O problema das idades
Eric diz a Douglas: “Hoje eu tenho o dobro da idade que 
tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu 
tiveres a idade que eu tenho, a soma das nossas idades 
será 90 anos”. Descubra a idade atual de cada um.
Análise
Uma bom auxílio para resolver os problemas de idade é 
construir uma tabela contendo as idades dos personagens 
envolvidos, no presente e/ou no passado e/ou no futuro e, em 
seguida, montar equações considerando que a diferença en-
tre idades não muda: “Se, quando Douglas nasceu, Eric tinha 
x anos, Eric sempre será x anos mais velho do que Douglas no 
presente, no passado ou no futuro”.
Solução
Considerando os dados do problema, é possível construir 
a seguinte tabela.
Passado Presente Futuro
Eric y 2x 90 – 2x
Douglas x y 2x
Acompanhe passo a passo a construção da tabela:
1. Eric disse: “Hoje eu tenho o dobro da idade que tu tinhas 
[...]”. Daí, Eric, no presente, tem 2x anos, e Douglas, x anos, 
no passado.
2. Eric disse: “[...] quando eu tinha a idade que tu tens”.
Então, Eric tinha y anos no passado (quando Douglas tinha 
x anos), sendo y anos também a idade de Douglas hoje, 
no presente.
 20
3. Eric disse: “Quando tu tiveres a idade que eu tenho [...]”. 
Então, no futuro, a idade de Douglas será 2x (a mesma de 
Eric no presente).
4. Eric disse: “[...] a soma das nossas idades será 90 anos”. 
Então, como no futuro a idade de Douglas será 2x, a de 
Eric será o que está faltando para completar os 90 anos, ou 
seja, a idade de Eric será (90 – 2x) anos.
Considerando que, em qualquer tempo, a diferença entre 
as idades será sempre a mesma:
I. y – x = 2x – y 2y = 3x
Aqui, recorre-se ao artifício do problema da proporção para 
evitar as frações.
2y = 3x = 6k 
x = 2k
y = 3k
II. y – x = (90 – 2x) – 2x y + 3x = 90 
 3k + 6k = 90 k = 10 
 
x = 20
y = 30
Logo, hoje Eric tem 2x = 40 anos, e Douglas, y = 30 anos.
3.4. O problema dos tratores
Para arar um campo, o primeiro trator gasta 2 horas a 
menos do que o terceiro e uma hora a mais do que o 
segundo. Se o primeiro e o segundo tratores trabalha-
rem juntos, a operação pode ser feita em 1 hora e 12 
minutos. Quanto tempo gastariam os 3 tratores, juntos, 
para arar um campo idêntico?
Análise
Se, para efetuar um trabalho, gastam-se 3 horas, em uma 
hora faz-se 1 __ 
3
 desse trabalho. Assim, se, para efetuar um 
trabalho, gastam-se x horas, em uma hora faz-se 1 __ x des-
se trabalho.
Solução
Se o terceiro trator gasta sozinho x horas, tem-se:
1. Tempo gasto pelo primeiro trator : (x – 2) horas
2. Tempo gasto pelo segundo trator : tempo gasto pelo 
primeiro trator, menos 1 hora : (x – 3) horas.
Observe: Se o primeiro trator gasta uma hora a mais do 
que o segundo, então o segundo gasta uma hora a menos 
do que o primeiro.
3. 1h e 12 minutos = ( 1 + 12 ___ 60 ) h = 6 __ 5 h
4. Em uma hora de trabalho, o primeiro trator realiza 1 ____ 
x – 2
 
do serviço, o segundo faz 1 ____ 
x – 3
 , e os dois, juntos, fazem 
 1 __ 
 6 __ 
5
 
 = 5 __ 
6
 . Assim:
5x2 – 37x + 60 = 0 
 x = 5 ou x = 2,4 (não convém)
Dessa forma, o primeiro, o segundo e o terceiro tratores gas-
tam, respectivamente, x – 2 = 3h, x – 3 = 2h e x = 5h. En-
tão, se os três gastarem y horas para fazer o serviço juntos, 
emuma hora eles farão:
 1 __ y = 
1 __ 
2
 + 1 __ 
3
 + 1 __ 
5
 = 31 ___ 
30
 
Resposta: 30 ___ 
31
 horas.
3.5. O problema da água e do vinho
Um barril contém 30 litros de água, e o outro, 20 litros 
de vinho. Simultaneamente, x litros de cada barril são tro-
cados. Essa operação se repete várias vezes e é possível 
comprovar que a quantidade de vinho em cada barril se 
mantém constante depois da primeira operação. Determi-
ne quantos litros (x) são trocados em cada operação.
Solução
De início, tem-se:
No 1.º barril: 
água = 30 L
vinho = 0
No 2.º barril: 
água = 0
vinho = 20 L
Depois da primeira troca, tem-se:
No 1.º barril: 
água = (30 – x) L
vinho = x L
fração de vinho = x ___ 
30
 
No 2.º barril: 
água = x L
vinho = (20 – x) L
fração de vinho = 20 – x _____ 
20
 
 ( Lembre-se: fração = parte ____ todo ) 
A partir da primeira troca, as quantidades de vinho perma-
necem inalteradas em cada barril. Então, as quantidades 
de vinho trocadas são iguais:
Vinho que sai do 1.º barril = Vinho que sai do 2.º barril. As-
sim, obtém-se:
 x ___ 
30
 · x = ( 20 – x _____ 20 ) · x
Uma vez que x é diferente de zero, tem-se:
 x __ 
3
 = 20 – x _____ 
2
 x = 12
Resposta: 12 litros
 21
DIAGRAMA DE IDEIAS
EQUAÇÕES DO 1.º GRAU
PROBLEMAS 
CLÁSSICOS
 • DAS TORNEIRAS
 • DAS LOJAS
 • DAS IDADES
 • DA ÁGUA E DO VINHO
 • DOS TRATORES
VOLUME VERSUS TEMPO
DECRÉSCIMOS SUCESSIVOS
ORGANIZAÇÃO DE TABELAS: IDADE VERSUS TEMPO
MISTURA
EXECUÇÃO DE TRABALHO VERSUS TEMPO
CONHECIMENTOS 
PRÉVIOS:
• OPERAÇÕES BÁSICAS
• FRAÇÕES
• DISTRIBUTIVAS
• X É UMA INCÓGNITA
• TODA EQUAÇÃO TEM UM 
CONJUNTO SOLUÇÃO. 
• 2 É A RAIZ QUE TORNA A 
EQUAÇÃO UMA SEN-
TENÇA VERDADEIRA.
1 + x = 3
1.º MEMBRO
IGUALDADE ENTRE 
OS MEMBROS
2.º MEMBRO
EXIGE UMA 
LEITURA ATENTA
ORGANIZAÇÃO 
NAS SOLUÇÕES
NÃO POSSUEM UMA 
FÓRMULA PRONTA
 22
1. Equações do segundo grau
Uma equação de segundo grau pode ser escrita na forma 
ax² + bx + c = 0, com a i 0 e a, b e c parâmetros reais. 
As equações desse tipo podem apresentar até duas solu-
ções distintas, ou seja, podem existir dois valores reais de 
x que satisfaçam a igualdade. É por meio da fórmula de 
Bhaskara que as soluções devem ser encontradas:
x = 
 – b ± 
dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 
Sendo a, b e c os coeficientes de uma equação do tipo ax² 
+ bx + c = 0, com a i 0, as duas soluções (denominadas 
raízes) x1 e x2 são dadas, então, por:
x1 = 
–b + dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 e x2 = 
–b – √
_______
 b2 – 4ac ____________ 
2a
 
O termo b2 – 4ac, denominado discriminante, é represen-
tado pela letra grega delta maiúscula (D). O valor numérico 
do discriminante indica a quantidade de raízes reais distin-
tas da equação:
 Se D > 0 (discriminante positivo), a equação possui 
duas raízes reais diferentes.
 Se D = 0 (discriminante nulo), a equação possui ape-
nas uma raiz real dupla.
 Se D < 0 (discriminante negativo), a equação não 
possui raízes reais.
Para solucionar uma equação do segundo grau, é neces-
sário calcular a raiz quadrada do discriminante. Quando 
se tem D < 0, o radical é negativo, e seu resultado para 
números reais não pode ser definido.
Modelos
1. Encontre o conjunto solução da equação.
x² – 5x + 6 = 0
Determinando os parâmetros, segue:
a = 1
b = –5
c = 6
Calcula-se primeiramente o discriminante:
D = b2 – 4ac = (–5)2 – 4 · 1 · 6 = 1
Como D > 0, a equação apresentará duas raízes reais dis-
tintas: x1 e x2:
x = –b ± 
dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 = –(–5) ± 
dXX 1 _________ 
2 · 1
 = 5 ± 1 _____ 
2
 = 
= { x1 = 
5 + 1 _____ 
2
 = 3
 
x2 = 
5 – 1 ____ 
2
 = 2
 
 
 
Logo, o conjunto solução é S = {2, 3}.
2. Encontre o conjunto solução da equação.
25 + x² – 10x = 0
Determinando os parâmetros, segue:
a = 1
b = –10
c = 25
Note que os parâmetros a e b são, respectivamente, os 
coeficientes de x² e x, e c é o termo independente, não 
sendo necessariamente o primeiro, segundo e terceiro 
termos da equação.
Identificando o discriminante:
D = b2 – 4ac = (–10)2 – 4 · 1 · 25 = 0
Como D = 0, a equação apresentará apenas uma raiz real.
x = – b ± √
_______
 b2 – 4ac ____________ 
2a
 = –(–10) ± 
√
__
 0 __________ 
2(1)
 = 10 ± 0 ______ 
2
 = 5
Logo, o conjunto solução é S = {5}.
3. Encontrar o conjunto solução da equação x² + x + 1 = 0.
Determinando os parâmetros, segue:
a = 1
b = 1
c = 1
HABILIDADES: 19, 21, 22 e 23
COMPETÊNCIA: 5
AULAS 5 e 6
EQUAÇÕES DO 
SEGUNDO GRAU
 23
VIVENCIANDO
Calculando o discriminante:
D = b2 – 4ac = (1)2 – 4(1)(1) = –3
Como D < 0, a equação não apresenta raízes reais, portan-
to não é necessário calcular as raízes. 
O conjunto solução é S = Ø.
1.1. Condições para o 
número de raízes reais
O valor numérico do discriminante indica o número de 
raízes reais de uma equação de segundo grau. Assim, é 
possível, caso haja um coeficiente desconhecido, verificar 
sob quais condições esse parâmetro oferece duas, uma 
ou nenhuma raiz real.
Imagine as seguintes situações: um designer de interiores precisa verificar se os móveis de uma casa estão bem dis-
postos dentro de cada cômodo e um pedreiro precisa confirmar a metragem de uma parede antes de levantá-la. Com 
efeito, em todos os momentos em que um cálculo de área for exigido, a equação de segundo grau será a ferramenta 
essencial para a resolução do problema.
Aplicação do conteúdo
1. Qual deve ser o valor real do parâmetro k para que 
a equação 2x² + 4x + k = 0 forneça apenas uma solu-
ção real?
Resolução:
Determinando os parâmetros, segue:
a = 2
b = 4
c = k
Como a equação deve fornecer apenas uma raiz real, o dis-
criminante deve ser nulo:
D = b2 – 4ac = 0
4² – 4 · 2 · k = 0
16 – 8k = 0
–8k = –16
k = –16 ____ 
–8
 = 2
Logo, se ocorrer k = 2 na equação 2x² + 4x + k = 0, haverá 
apenas uma raiz real. Veja que não é preciso calcular a raiz.
2. Quais os valores de m para que a equação mx² – x + 1 = 0 
apresente duas raízes reais distintas? E para quais valores 
não apresenta raízes reais?
Resolução:
Determinando os parâmetros, segue:
a = m
b = –1
c = 1
Para que a equação apresente duas raízes reais, o discrimi-
nante deve ser positivo:
D = b2 – 4ac > 0
(–1)² – 4 · m · 1 > 0
1 – 4m > 0
–4m > –1
m < 1 __ 
4
 
Logo, se o valor de m for menor que 1 __ 
4
 , a equação apresen-
tará duas soluções reais distintas.
Para que a equação não apresente raízes reais, o discrimi-
nante deve ser negativo:
D = b2 – 4ac < 0
(– 1)² – 4 · m · 1 < 0
1 – 4m < 0
– 4m < –1
m > 1 __ 
4
 
Dessa forma, se o valor de m for maior que 1 __ 
4
 , a equação 
não apresentará raiz real.
 24
1.2. Equações de segundo grau 
incompletas
Quando uma equação do segundo grau ax² + bx + c = 0 
apresenta b = 0 ou c = 0, mesmo sendo possível utilizar 
a fórmula de Bhaskara, existem modos mais eficientes de 
encontrar as raízes.
1.2.1. Caso b = 0
Uma equação do tipo ax² + c = 0 pode ser resolvida sem 
a utilização da fórmula de Bhaskara. Observe um exemplo:
 Calcule as soluções da equação 2x² – 8 = 0.
Isolando o termo x² em um membro da equação: 
2x² = 8
x² = 4
Como existem dois valores para x, que, quando elevados à 
segunda potência, resultam no valor 4, as raízes da equa-
ção são x1 = 2 e x2 = –2. Assim, S = {–2, 2}.
 Calcule as soluções da equação x² + 5 = 0.
Isolando o termo x²:
x² = –5
Note que não existe um valor que, elevado ao quadrado, 
resulte em um número negativo. Assim, S = Ø.
1.2.2. Caso c = 0
Caso o termo independente seja nulo, haverá uma equa-
ção do tipo ax² + bx = 0. Essas equações podem ser resol-
vidas fatorando a expressão:
ax² + bx = 0 à x (ax + b) = 0
Para um produto ser nulo, um dos fatores deve ser nulo:
x = 0
ou
ax + b = 0 à x = –b ___ a 
Assim, as raízes são x1 = 0 e x2 = 
–b ___ a .
Observe um exemplo:
 Calcule as raízes da equação 4x² – 5x = 0.
Fatorando o primeiromembro da equação:
4x² – 5x = 0 à x(4x – 5) = 0
Para o produto ser nulo, é preciso ter:
x = 0
ou
4x – 5 = 0 à x = 5 __ 
4
 
Assim, as raízes são x1 = 0 e x2 = 
5 __ 
4
 , ou seja, 
S = { 0, 5 __ 4 } .
1.3. Soma e produto das raízes de 
uma equação de segundo grau
Considerando uma equação do segundo grau com 
ax² + bx + c = 0, com a i 0, as duas soluções x1 e 
x2 são dadas por:
x1 = 
– b + √
_______
 b2 – 4ac ____________ 
2a
 e x2 = 
– b – √
_______
 b2 – 4ac ____________ 
2a
 .
Sendo S a soma das raízes:
S = x1 + x2 = 
_ b + √
__
 ∆ ________ 
2a
 + – b – √
__
 ∆ ________ 
2a 
 . ä
ä S = –b + √
__
 ∆ – b – √
__
 ∆ _______________ 
2a
 . ä
ä S = – 2b ___ 
2a
 = – b __ a .
Logo: S = – b __ a ä –S = 
b __ a .
Sendo P o produto das raízes:
P = x1 · x2 = 
(–b + √
__
 ) _______ 
2a
 · (–b – 
√
__
 ) ______ 
2a
 ä
ä P = (–b)
2 – ( √
__
 )2 __________ 
4a2 
 = b
2 – √
__
 
 _____ 
4a2
 ä
ä P = b
2 – (b2 – 4ac) ___________ 
4a2
 = 4ac ___ 
4a2
 = c __ a 
Logo: P = c __ a .
Substituindo em ax² + bx + c = 0, considerando o coe-
ficiente dominante igual a 1, segue:
x² – Sx + P = 0
Assim, o coeficiente do termo do 1.º grau será a soma das 
raízes com o sinal trocado, e o termo independente será o 
produto das raízes.
Modelo 
Supondo x1 > x2
 Se x2 – 3x + 2 = 0, então { x1 = 2 x2 = 1 
 Se x2 – x – 12 = 0, então { x1 = 4 x2 = –3 
 25
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
1.4. Equações biquadradas
Quando uma equação do quarto grau possui a forma:
ax4 + bx² +c = 0 (sendo a i 0)
ela é denominada equação biquadrada. Note que a 
equação de quarto grau possui somente variáveis com expo-
ente par. Observe alguns exemplos de equação biquadrada:
x4 + 2x2 – 1 = 0
2x4 – 8 = 0
x4 – 4x2 = 0
Contudo, casos como:
x4 + 2x3 – x2 + 7 = 0
5x4 – 2x2 + x – 1 = 0
não são equações biquadradas, pois possuem coeficientes 
não nulos em variáveis de grau ímpar.
Esses casos particulares de equações incompletas de quar-
to grau podem ser resolvidos por meio de uma substituição 
de variável realizada de modo a reduzir a equação de quar-
to grau a uma de segundo grau.
Considere a equação ax4 + bx² + c = 0, com a i 0. Subs-
tituindo x² por y, resulta:
x4 = (x²)² = (y)² = y²
Logo, a equação na variável y é:
ay² + by + c = 0
Como já visto, essa equação possui as raízes:
y1 = 
–b + dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 e y2 = 
–b – dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 .
No entanto, como x² = y, segue que x = ± √
_
 y , logo:
x1 = √
__
 y1 x2 = – √
__
 y1 
x3 = √
__
 y2 x4 = – √
__
 y2 
Modelos
1. Resolva a equação x4 – 13x² + 36 = 0.
Substituindo x² por y, tem-se:
y² – 13y + 36 = 0
Essa equação pode ser resolvida por meio da fórmula de 
Bhaskara, resultando em y1 = 4 e y2 = 9.
Contudo, como x² = y, segue que:
 x² = 4, logo x1 = 2 e x2 = –2.
 x² = 9, logo x3 = 3 e x4 = –3.
Assim, o conjunto solução é S = {–2, –3, 2, 3}.
2. Encontre o conjunto solução da equação biquadrada 
x4 + x2 – 2 = 0.
Substituindo x² por y, tem-se:
y² + y – 2 = 0
Resolvendo a equação de segundo grau, resulta y1 = 1 e 
y2 = –2.
Retornando à variável x, chega-se a:
 x² = 1, logo x1 = 1 e x2 = –1.
 x² = –2 (não há valores reais de x que satisfaçam 
essa igualdade)
Assim, o conjunto solução é S = {–1, 1}.
3. Encontre as raízes da equação x4 – 16 = 0.
Realizando a substituição x² = y, tem-se:
y² – 16 = 0
y² = 16
y = ± 4, ou seja, y1 = 4 e y2 = –4.
Como x² = y, retornando a equação à variável x, segue que:
 x² = 4, logo x1 = 2 e x2 = –2.
 x² = –4 (não há valores reais de x que satisfaçam essa 
igualdade)
Assim, o conjunto solução é S = {–2, 2}.
Equações do segundo grau estão intimamente relacionadas às funções do segundo grau estudadas na disciplina 
de Física. Um exemplo é a equação horária do espaço s = s0 + v0t + 
1 __ 
2
 at2, para t0 = 0, chamada de “sorvetão”. A 
resolução desse tipo de problema se torna mais fácil com a aplicação da fórmula de Bhaskara.
 26
DIAGRAMA DE IDEIAS
EQUAÇÕES DO 2.º GRAU
CONHECIMENTOS 
PRÉVIOS:
• FATORAÇÃO
• PRODUTO NOTÁVEL
• POTENCIAÇÃO 
E RADICIAÇÃO
ax² + bx + c = 0
com a ≠ 0 x = 2a
- b+- b² - 4ac
DISCRIMINANTE
b² - 4ac=
0 há 2 raízes reais e distintas
há 2 raízes reais e iguais
não há raízes reais
= 0
0
Se
 27
1. Teoria dos conjuntos
Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência de 
elemento ao conjunto são definidos como primitivos, 
isto é, são aceitos sem definição.
Não obstante, a noção de conjunto pode ser compreendi-
da intuitivamente como um agrupamento de elementos. 
Observe os exemplos a seguir:
 conjunto dos números naturais menores que 10;
 conjunto das letras do alfabeto;
 conjunto dos números pares;
 conjunto dos dias de uma semana;
 conjunto dos números primos;
 conjunto dos números inteiros negativos;
 conjunto dos polígonos regulares.
É possível representar um conjunto nomeando seus elemen-
tos um a um e organizando-os entre chaves e separados por 
vírgulas. Nesse modelo, o conjunto está representado por 
extensão. Por exemplo, pode-se representar o conjunto A 
dos números naturais menores que 10 da seguinte maneira:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Assim, está indicado que os elementos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8 e 9 pertencem ao conjunto A.
Atenção: As chaves são utilizadas para representar con-
juntos. Ou seja, a e {a} são diferentes:
A representação por extensão pode ser aplicada para con-
juntos infinitos ou finitos, mesmo que o número de ele-
mentos seja muito grande. Veja:
 Conjunto dos números ímpares positivos:
B = {1, 3, 5,...} é conjunto infinito
 Conjunto dos números pares positivos menores 
que 400:
C = {2, 4, 6,..., 398} é conjunto finito
Também é possível representar um conjunto por meio de 
uma figura chamada diagrama de Euler-Venn.
Por exemplo, um conjunto A = {0, 2, 4, 6, 8} pode ser repre-
sentado pelo seguinte diagrama:
Nos casos em que é dada uma propriedade característica 
dos elementos de um conjunto, afirma-se que o conjunto 
está representado por compreensão. Observe:
1.1. Relações de pertinência
Quando o objetivo é indicar que um determinado elemento 
x faz parte de um conjunto A, afirma-se que o elemento x 
pertence ao conjunto A, relação que é simbolizada da 
seguinte maneira:
x [ A
Do mesmo modo, se o objetivo é indicar que um elemento 
x não pertence a um conjunto A, a representação é:
x Ó A
As relações de pertinência [ e Ó relacionam um ele-
mento a um conjunto.
Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. É possível realizar 
as seguintes afirmações:
 1 [ A 
(Lê-se: o elemento 1 pertence ao conjunto A)
 6 Ó A 
(Lê-se: o elemento 6 não pertence ao conjunto A)
HABILIDADES: 1, 2, 5, 21, 22, 23 e 25
COMPETÊNCIAS: 1, 5 e 6
AULAS 7 e 8
TEORIA DOS 
CONJUNTOS
 28
1.2. Relações de inclusão
Para relacionar dois conjuntos, são utilizadas as relações 
de inclusão. Se todo elemento de um conjunto B perten-
ce a outro conjunto A, afirma-se que o conjunto B está 
contido no conjunto A. Essa relação é simbolizada da se-
guinte maneira:
B , A
Caso algum elemento de B não pertença ao conjunto A, 
o conjunto B não estará contido em A. Essa relação é 
simbolizada da seguinte maneira:
B ÷ A
As relações de inclusão , e ÷ relacionam dois conjuntos.
Considerando os conjuntos A e B representados pelo dia-
grama de Venn, tem-se:
Atenção: As relações de pertinência sempre relacionam 
um elemento a um conjunto, e as relações de inclusão rela-
cionam dois conjuntos. Observe os exemplos:
 1 , {1, 2, 3}
Errado – a relação de inclusão “,” relaciona dois con-
juntos, e 1 é um elemento.
 {1} , {1, 2, 3}
Correto – o conjunto formado pelo número 1 está conti-
do no conjunto {1, 2, 3}.
 {2} [ {1, 2, 3}
Errado – o elemento {2} não pertence ao conjunto {1, 2, 3}.
 2 [ {1, 2, 3}
Correto – o elemento 2 pertence ao conjunto {1, 2,3}.
É possível, em alguns casos, tratar conjuntos como elemen-
tos de um outro conjunto. Veja:
A = {1, 2, 3, {3}}
Nesse caso, o conjunto A é formado pelos algarismos 1, 
2 e 3 e por um conjunto que contém o algarismo 3. Dessa 
forma, é possível escrever:
{3} [ {1, 2, 3, {3}}
O conjunto unitário {3} é tratado como sendo um elemen-
to do conjunto A.
1.3. Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos 
elementos. Caso dois conjuntos A e B sejam iguais, a indi-
cação será A = B.
A negação da igualdade é indicada por A i B (A é dife-
rente de B). Isso quer dizer que um desses conjuntos possui 
pelo menos um elemento que não pertence ao outro.
Observe que, se A , B e B , A, então A = B.
1.4. Conjunto universo
Em diversas situações, é importante estabelecer o con-
junto U, ao qual pertencem os elementos de todos os 
conjuntos considerados. Esse conjunto é denominado 
conjunto universo.
Por exemplo, ao tratar da população humana, o conjunto 
universo é constituído de todos os seres humanos.
Para descrever um conjunto A por meio de uma proprieda-
de característica p de seus elementos, é preciso mencionar, 
de modo explícito ou não, o conjunto universo U no qual 
se está trabalhando:
A = {x [ U | x tem a propriedade p} 
ou
A = {x | x tem a propriedade p}, 
quando a intenção é se referir a U de modo implícito.
1.5.Conjunto unitário
O conjunto que possui um único elemento é chamado de 
conjunto unitário.
Considere, por exemplo, o conjunto P = { x | x é um número 
primo par e positivo}.
O único número primo par e positivo é 2. Assim, P é um 
conjunto unitário e é possível escrever P = {2}.
 29
1.6. Conjunto vazio
O conjunto que não possui elementos é chamado de con-
junto vazio. Observe:
Se A for o conjunto dos números primos menores que 2, 
esse conjunto não possuirá elemento, pois não há número 
primo menor que 2.
O conjunto vazio é representado por { } ou Ø.
Note que, como o símbolo Ø já representa um conjunto, 
para representar um conjunto vazio é possível escrever { } 
ou Ø, mas não {Ø}.
1.7. Subconjuntos
Os conjuntos A e B são também representados por diagrama:
A = {1, 3, 7} e B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}
É possível notar que qualquer elemento de A também per-
tence a B. Nesse caso, afirma-se que A está contido em B 
ou A é subconjunto de B.
A indicação é: A , B (A está contido em B).
Esse símbolo significa “está contido”.
Também é possível dizer que B contém A.
A indicação é: B . A (B contém A)
Esse símbolo significa “contém”.
Caso exista ao menos um elemento de A que não pertença 
a B, afirma-se que A não está contido em B ou que B não 
contém A. Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 6}
Observe que o elemento 4 pertence a A, mas não pertence 
a B. A indicação é:
A ÷ B (A não está contido em B) 
B À A (B não contém A)
O símbolo ÷ significa “não está contido”, e À significa 
“não contém”.
Um conjunto A é subconjunto do conjunto B quando todo 
elemento de A também pertence a B.
Lembre-se:
Se A , B e B , A, então A = B.
Os símbolos ,, ., ÷ e À são aplicados para relacio-
nar conjuntos.
Para todo conjunto A, tem-se A , A. Para todo con-
junto A, tem-se Ø , A, em que Ø representa o con-
junto vazio.
2. Operações
2.1. União de conjuntos
Considere os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}.
Agora, considere um conjunto C, formado pelos elementos 
que pertencem a A, a B ou a ambos:
O conjunto C é denominado união de A e B.
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por 
todos os elementos que pertencem a A ou a B.
A união de A e B é indicada por A < B (A união B).
O símbolo < significa "união" ou "reunião".
2.1.1. Propriedades da união
P1 A < A = A (idempotente)
P2 A < Ø = A (elemento neutro em relação 
à união)
P3 A < B = B < A (comutativa)
P4 (A < B) < C = A < (B < C) (associativa)
Modelos 
1. Determine a união dos conjuntos A = {0, 2} e B = {x [ N 
| x é impar e 0 < x < 6}.
 30
A união dos conjuntos A e B é:
Por diagrama, tem-se:
Observe que os conjuntos A e B não possuem elementos 
comuns.
2. Determine a união dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = 
{3, 4, 5, 6}.
A união entre os conjuntos A e B pode ser representada 
pelo diagrama de Venn da seguinte maneira:
Assim, A < B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2.2. Interseção de conjuntos
Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}.
Observe como determinar um conjunto C formado pelos 
elementos que são comuns a A e a B, ou seja, os elementos 
que pertencem a A e também pertencem a B.
O conjunto C é denominado interseção de A e B.
A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto 
formado pelos elementos que são comuns a A e a B.
A interseção de A e B é designada por A > B (A inter B).
A > B = {x | x [ A e x [ B}
O símbolo > significa interseção.
2.2.1 Propriedades da interseção
P1 A > A = A (idempotente)
P2 A > U = A (elemento neutro em relação 
à interseção)
P3 A > B = B > A (comutativa)
P4 (A > B) > C = A > (B > C) (associativa)
Modelo
1. Em cada caso a seguir, determine A > B e crie a repre-
sentação em diagrama.
a) A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4}
b) A = {0, 2} e B = {1, 3, 5}
Do enunciado:
a)
 
ä
Em diagrama:
b)
Note que não há elementos em comum entre A e B. Devido 
a isso, a interseção desses conjuntos é vazia. Quando 
A > B = Ø, os conjuntos A e B são denominados disjuntos.
2.3. Diferença de conjuntos
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}.
Agora, considere um conjunto C formado pelos elemen-
tos que pertencem a A, mas que não pertencem a B:
O conjunto C é a diferença de A e B.
A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto dos ele-
mentos que pertencem a A, mas que não pertencem a B.
A diferença de A e B é indicada por A – B (A menos B).
A – B = {x | x [ A e x Ó B}
Em diagrama:
amareloamarelo
 31
Se B , A, a diferença A – B denomina-se complementar 
de B em relação a A e é indicada por C B A .
C B A = A – B
Por exemplo, se B = {2, 3} e A = {0, 1, 2, 3, 4}, então C B A = 
A – B = {0, 1, 4}.
Em diagrama:
O complementar de B em relação a A é o que falta para o 
conjunto B ficar igual ao conjunto A. Assim, o complementar 
de B em relação a A só está definido se, e somente se, B , A.
Aplicação do conteúdo
1. Se A = {4, 5, 6, 7}, B = {5, 6} e E = {5, 6, 8}, determine:
a) C B A 
b) B – E
Resolução:
a) C B A = A – B = {4, 5, 6, 7} – {5, 6} 
C B A = {4, 7}
b) B – E = {5, 6} – {5, 6, 8} 
 B – E = Ø
3. Principais símbolos lógicos
| (tal que)
ù (interseção)
ø (união)
? (qualquer que seja)
'! (existe um único)
ä (implicar)
[ (pertence)
Ó (não pertence)
. (contém)
À (não contém)
, (está contido)
÷ (não está contido)
à (equivalente)
` (e)
~ (ou)
. (maior que)
, (menor que)
' (existe ao menos um)
 (não existe)
5 (igual)
Þ (diferente)
< (aproximadamente)
4. Número de elementos em 
um conjunto A: n(A)
O número de elementos contidos no conjunto A é repre-
sentado por n(A). Observe:
A = {x | x representa os dias de uma semana} ä n(A) = 7
Lembre-se:
 Conjunto unitário
A = {x | x é dia da semana que começa com a letra D}
A = {domingo} ä n(A) = 1
 Conjunto vazio
A = {x | x é dia da semana que começa com a letra M}
A = { } ou Ø ä n(A) = 0
 Conjuntos finitos e infinitos
A = {2, 3, 4} ä n(A) = 3 ä A é finito
B = {2, 3, 4,...} ä B é infinito
 Conjuntos iguais
A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 2, 3, 3} e 
C = {x | x [ N e 1 ø x ø 3}
A = B = C, em todos os casos, n(A) = n(B) = n(C) = 3.
5. Conjuntos disjuntos
Dois conjuntos A e B, não vazios, são disjuntos se não pos-
suírem elementos comuns.
Veja: A > B = Ø
6. Resumo
6.1. Pertinência e inclusão
 de elemento para conjunto
[ Ó
(pertence) e (não pertence)
 32
 de subconjunto para conjunto
, ÷
(está contido) e (não está contido)
 de conjunto para subconjunto
. À
(contém) e (não contém)
A é subconjunto de B.
A , B lê-se: “A está contido em B”.
A é parte de B.
Modelo
Sendo A = {1, {1}, 2, 3}, de acordo com as afirmações:
 1 [ A (verdadeiro)
 {1} [ A (verdadeiro)
 {1} , A(verdadeiro)
 Ø [ A (falso)
 Ø Ó A (verdadeiro)
 2 , A (falso)
 2 [ A (verdadeiro)
 {2} ÷ A (falso)
7. Números de subconjuntos
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e so-
mente se, todo elemento de A pertence também a B.
Com a notação A , B indicamos que “A é subconjunto de 
B” ou “A é parte de B” ou “A está contido em B”.
A negação de A , B é indicada por A ÷ B, que se lê: “A 
não está contido em B” ou “B não contém A”.
A indicação simbólica é: A , B à (?x, x [ A ä x [ B).
Modelos
 {1, 2} , {1, 2, 3, 4}
 {5} , {5, 6}
 {1, 2, 3} ÷ {4, 5, 6}
Lembre-se
1. O conjunto vazio está contido em qualquer conjun-
to A, isto é, Ø , A, ?A.
2. Qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo, isto 
é, A , A, ?A.
3. Chama-se subconjunto próprio de um conjunto 
A qualquer subconjunto de A que seja diferente de 
A. Simbolicamente, B é subconjunto próprio de A se 
B ⊂ A e B ≠ A.
Aplicação do conteúdo
1. Quantos subconjuntos possui o conjunto A = {a, b, c}?
Resolução:
Em primeiro lugar, registre todos os subconjuntos de A:
Ø; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a, b, c}.
Há, portanto, 8 subconjuntos. Analisando o que acontece 
com os elementos, em relação aos subconjuntos, é possível 
dizer que cada um deles pode ou não aparecer. Então, para 
o elemento a, há duas possibilidades quanto à sua presen-
ça no subconjunto (aparecer ou não aparecer). O mesmo 
acontece com os elementos b e c. Assim, segundo o prin-
cípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo 
na análise combinatória, tem-se:
2. Quantos subconjuntos possui um conjunto A com 
n elementos?
Resolução:
Conforme explicado no exemplo anterior, cada elemento de 
A pode ou não estar presente num determinado subconjun-
to C, devido ao fato de A ter n elementos. Dessa forma:
Portanto: n.° de subconjuntos = 2 · 2 · 2 ... 2 
n vezes
Com isso: n° de subconjuntos = 2n
8. Conjuntos das partes 
de um conjunto
Considere o conjunto A = {1, 2, 3}, que tem os seguintes 
subconjuntos:
 33
DIAGRAMA DE IDEIAS
 o conjunto vazio;
 os conjuntos de um elemento: {1}, {2} e {3};
 os conjuntos com dois elementos {1, 2}, {1, 3} e {2, 3};
 o próprio conjunto A.
É denominado conjunto das partes do conjunto A o conjunto 
P(A) formado por todos os subconjuntos do conjunto A:
P(A) = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
Observe que o conjunto vazio, o conjunto A e os demais 
subconjuntos de A são elementos do conjunto P(A).
É correto, por exemplo, afirmar que {3} [ P(A), mas é in-
correto afirmar que {3} , P(A).
8.1. Número de elementos 
do conjunto das partes
Observe o quadro:
Conjunto 
A
Conjunto 
P(A)
Número de 
elementos 
P(A)
Potência
Ø {Ø} 1 20
{b} {Ø, {b}} 2 21
{b1, b2}
{Ø, {b1}, {b2}, 
{b1, b2}}
4 22
{b1, b2, ..., bn,}
n elementos
{Ø, {b1}, {b2}, ..., 
{b1, b2, ...,bn}}
2n 2n
De modo geral, é possível afirmar que:
Se A tem n elementos, então P(A) tem 2n elementos.
Modelo
Determine quantos elementos tem o conjunto das partes 
do conjunto A, sabendo que A tem 4 elementos.
Se o conjunto A tem 4 elementos, ou seja, n = 4, então 
P(A) tem 24 elementos, isto é, P(A) tem 16 elementos.
Número de subconjuntos (conjuntos das partes)
Se um conjunto A possui n elementos, então A possui 
2n subconjuntos, que podem ser representados por:
n(P(A)) = 2n(A)
9. Números de elementos da união
O número de elementos da união de A e B, dado por 
n(A < B), é calculado por:
n(A < B) = n(A) + n(B) – n(A > B)
Modelo
8 4
Para a união de três conjuntos, tem-se:
n ( A < B < C ) = n(A) + n(B) + n(C) -- n (A > B) -- 
n (B > C) -- n (A > C) + n (A > C > B).
• 0 • 2
• 4 • 6
A
•8
• A É UM CONJUNTO
• 0, 2, 4 E 6 SÃO ELEMENTOS A, ISTO É, PERTENCEM A A
• O ELEMENTO 8 NÃO PERTENCE AO CONJUNTO A
UFMG
Trigonometria no triângulo retângulo será 
cobrado neste vestibular com questões 
contextualizadas. Por meio de gráficos de 
tabelas, utilizaremos os conceitos de razão e 
proporção para solucionar questões na área 
de Exatas.
Razão e proporção são temas cobrados com 
grande incidência, em situações do cotidiano, 
sempre descritos em textos ou em gráficos. 
Já trigonometria no triângulo retângulo é 
um assunto cobrado, em sua maioria, em 
geometria.
Não faltarão questões abordando os 
conceitos básicos da trigonometria na prova 
da Comvest. Saber utilizar produtos notáveis 
com agilidade é importante. Trabalhar com 
razão e proporção é fundamental ao resolver 
questões de exatas
Esta prova possui temas próximos ao do 
vestibular da Unesp, logo, toda a abordagem 
deste livro é fundamental para a continuidade 
do estudo, ao longo do ano.
Nesse processo seletivo, as questões são 
contextualizadas com razão e proporção e 
possuem alto nível de dificuldade. Fatorar e 
agrupar expressões algébricas será exigido do 
candidato.
Por possuir um vestibular tradicional, exigirá 
de seu candidato uma boa habilidade em 
trigonometria. Questões contextualizadas 
serão cobradas nesse processo seletivo.
O processo seletivo exigirá do aluno um 
grande conhecimento em trigonometria, pois 
trabalhar com triângulos retângulos alinhados 
a essa área é essencial. Possui também uma 
alta incidência de questões sobre razão e 
proporção.
Todos os conteúdos deste livro são cobrados 
no Enem, com alta incidência. As questões 
serão contextualizadas e podem variar seu 
grau de dificuldade.
Produtos notáveis são facilitadores importan-
tes para resolução de polinômios. Ao saber os 
conceitos de razões e proporções, podemos 
solucionar com facilidade diversas questões 
dentro das Exatas.
Devido à similaridade entre as provas da Uerj 
e do Enem, os assuntos abordados neste livro 
são essenciais para o candidato. Por meio de 
figuras planas, gráficos e tabela, encontrare-
mos questões muito bem contextualizadas.
A Unigranrio apresenta um vestibular com 
questões objetivas, que abordam a trigono-
metria por completo. Logo, o aluno deve estar 
muito esclarecido sobre esse assunto.
Com questões contextualizadas, esse 
processo seletivo tem alta incidência de razão 
e proporção. O candidato também deverá 
resolver questões sobre trigonometria, na área 
de Exatas.
Esse vestibular apresentará uma questão com 
situação problema aliada ao cotidiano do 
candidato. Portanto, razão e proporção é o 
tema de maior importância neste livro.
Trigonometria no triângulo retângulo será 
cobrado do candidato, em questões de geo-
metria. Proporções são essenciais para resolver 
questões de equação do 1º grau.
Por meio de situações do cotidiano, a UEL 
exigirá de seu candidato uma boa resolução 
de questões sobre razão e proporção. É de 
extrema importância a fatoração e o conheci-
mento de produtos notáveis para questões 
sobre funções polinomiais.
INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS
TRIGONOMETRIA 
E ARITMÉTICA
 36
1. Razões trigonométricas 
no triângulo retângulo
Tri gono metria
(três) (ângulo) (medida)
Todos sabem que, se você deseja ser um físico ou en-
genheiro, deveria ser bom em Matemática. Mais e mais 
pessoas estão descobrindo que, se desejam trabalhar 
em certas áreas da Economia ou Biologia, deveriam re-
ver sua Matemática. A Matemática penetrou na Socio-
logia, Psicologia, Medicina e Linguística. Sob o nome de 
cliometria, está se infiltrando na História, para sobres-
salto dos mais velhos. 
VIS, PHILIP J.; KERSH, REUBEN. A EXPERIÊNCIA MATEMÁTICA. 
TRADUÇÃO DE JOÃO BOSCO PITOMBEIRA. 
RIO DE JANEIRO: F. ALVES, C 1989. 481 P. (COLEÇÃO 
CIÊNCIA): THE MATHEMATICAL EXPERIENCE.
As razões trigonométricas eram utilizadas pelos egípcios para 
resolver problemas de Arquitetura nas construções das pirâ-
mides. A trigonometria era um ramo da Matemática em que 
os ângulos de um triângulo e as medidas de seus lados eram 
relacionados. Com o tempo, o estudo da trigonometria foi 
ampliado para outras áreas do conhecimento, solucionando 
problemas específicos e contribuindo indiretamente para as 
navegações, a Astronomia e agrimensura. Mais tarde, por 
volta dos séculos XVI e XVII, a trigonometria surgiu na Física 
para descrever