Geometria analítica e álgebra linear

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ÁLGEBRA LINEAR: UTILIZAÇÃO DE MATRIZES PARA CRIPTOGRAFIA DE MENSAGENS
Bruna Kelly dos Santos¹
David da Silva Lobato¹
Jane Conceicao Santos Puridade¹
Hamilton Simas¹
Sandro Romário Santana Goulart¹
Antonio Jacinto de Sousa Alves²
1. INTRODUÇÃO
A criptografia serve para codificar e decodificar mensagens, ou seja, torná-las ocultas, secretas. Ela envolve a utilização de uma chave criptografada com valores matemáticos em conjunto onde há uma concordância entre o remetente e o destinatário, essa chave vai ser utilizada paradescodificar os dados tornando o texto de leitura fácil.
Há centenas de anos as mensagens secretas começaram a se tornar precisas para a comunicação de reis, generais, entre outros. Com essa necessidade de enviar e receber mensagens ocultas o general Júlio César foi o primeiro a elaborar um sistema de criptografia para poder se comunicar com seus aliados em batalha, conhecido por Cifra de Cesar. "A importância de não revelar segredos e estratégias às forças inimigas, motivou o desenvolvimento de códigos, cifras e técnicas para mascarar uma mensagem, possibilitando apenas ao destinatário ler o conteúdo."(BEZERRA E MALAGUTTI, 2010, p.1). Percebemos que essa estratégia foi de suma importância para a comunicação sigilosa entre os aliados.
Antigamente víamos a criptografia mais nas situações de guerra ou alguma ameaça, porém hoje em dia é comum vermos o uso da criptografia em redes sociais, podemos citar, como exemplo, o WhatsApp, onde milhares de pessoas se comunicam de forma fácil e segura. Essa segurança faz com que os usuários se sintam mais confortáveis e seguros ao usar essa rede social e tantas outras que aderem a esse método.
O presente trabalho foi realizado para o adquirimento de nota para a disciplina Prática Interdisciplinar: Aplicações de álgebra linear e geometria analítica e tem como objetivo apresentar a relação entre álgebra linear e a criptografia na utilização das matrizes, lhes mostrando que a criptografia é um método antigo e permeia até hoje em nossas vidas. 
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Juntamente com a evolução da escrita surge também a necessidade de manter o sigilo do conteúdo de mensagens. Foi então que se cria a ideia da escrita através de códigos, a qual consiste na utilização de uma palavra ou frase para substituir uma palavra. O que motivou o desenvolvimento de códigos foi à ameaça do conteúdo de uma mensagem ser interceptada e lida por um inimigo (SANTOS, 2015). Com o tempo perceberam que seria possível avançar ainda mais nas comunicações. Foram desenvolvidas as cifras, que possuem a mesma ideia base do código, porém se diferem pelo fato das cifras substituírem cada letra de uma palavra por outra, não toda palavra ou frase por outra palavra. Assim foi que surgiu a ciência responsável pela transmissão de mensagens sigilosas que é denominada Criptografia (NOGUEIRA, 2017). “Originária do grego, a palavra criptografia significa ciência de escrever mensagens em códigos” (RODRIGUES et al, 2019) “Kryptós =oculto” e “Graphien = escrita”, portanto, significa escrita oculta (ou secreta). (SANTOS, 2015).
A criptografia é uma ciência formada por um conjunto de conceitos e técnicas que visam preservar a informação de modo que somente o emissor e o receptor possam compreendê-la (SANTOS, 2015).
Sempre buscando estudar os mecanismos para codificar uma mensagem de forma que a interpretação individual seja somente do destinatário legítimo (NOGUEIRA, 2017). De modo que as fontes não autorizadas não tenham acesso ao conteúdo da mensagem (JESUS, 2013). Atualmente o foco primordial de a moderna criptografia proteger as informações referentes às transações bancárias e comerciais que transitam entre computadores numa rede (SANTOS, 2015).
Para transmitir uma mensagem de texto de modo seguro, sem que uma pessoa seja capaz de ler, primeiramente deve ser feita a codificação (ou encriptação). A mensagem estando escrita em códigos ou em cifras pode circular livremente em quaisquer meios, mesmo esse não sendo seguro, pois se espera que o único capaz de interpretar os códigos seja o legítimo receptor da mensagem, e para lê-la ele utilizará uma “chave” para decodificação da mensagem, processo inverso da codificação. Chave é um protocolo acordado entre o transmissor e o receptor (NOGUEIRA, 2017).
“Quando usamos uma chave para decodificar e a mesma é usada também para decodificar, dizemos que o método de criptografia é simétrico. Caso contrário, ou seja, quando usamos chaves distintas o método é definido como assimétrico, uma dessas chaves, especificamente a de codificação, é de conhecimento público, e a outra, a de decodificação é de conhecimento privado. Duas técnicas são bastante utilizadas na arte de codificar mensagens: a substituição e a transposição” (SANTOS,2015). 
Dois métodos são utilizados: transposição e substituição. O método de substituição é subdividido em outras duas técnicas: Código e Cifras. Historicamente a mais usada, a Cifra é uma técnica mais fundamental, em que as letras são substituídas no lugar de palavras. Enquanto, o Código envolve a substituição de uma palavra ou frase por outra palavra, um número ou um símbolo (NOGUEIRA, 2017). Enquanto no método de transposição somente as posições das letras do texto original é mudada, sem qualquer alteração no seu valor normal ou convencional (SANTOS, 2015. Vejamos mais sobre algumas diferenças entre esses dois métodos.
O Método de substituição é o termo dado a qualquer cifra de substituição, na qual o alfabeto cifrado pode consistir em símbolos, assim como letras ou símbolos. E a cifra substituição polialfabética é uma técnica que propicia que diferentes símbolos cifrados possam representar o mesmo símbolo do texto claro (JESUS, 2013). O valor normal das letras do texto inicial é mudado sem que a posição seja mudada. É um texto cifrado que obedece a um código e a
uma lógica predeterminada para decifrar a mensagem. A arte de escrita
secreta, é quando as letras originais do texto original, tratadas individualmente ou em grupos de comprimento constante, são trocadas por letras, figuras, símbolos ou uma combinação destes de acordo com um sistema definido e uma chave (SANTOS, 2015). Dentre esses métodos existem alguns exemplos importantes como a Cifra de César e Cifra de Hill.
Na Cifra de César é invertia cada letra na mensagem por outra que estivessem três casas à frente no alfabeto. Também era considerado mono alfabético porque usa somente um alfabeto cifrante e ficou conhecida assim, pois surgiu durante conflitos nas Guerras da Gália de Júlio César (SANTOS, 2015). Esse processo se resume na Imagem 1 abaixo:
IMAGEM 01 – CIFRA DE CÉSAR, UM TIPO DE CRIPTOGRAFIA POR SUBSTITUIÇÃO
Cifra de Hill
A Cifra de Hill é outro método de substituição. Seu sistema se utiliza de transformações matriciais e de um sistema poligráfico, no qual é um sistema de criptografia, em que o texto comum é dividido em conjuntos de n letras (JESUS, 2013). Cada um dos quais é trocado por um conjunto de n letras cifradas. O método utiliza como suporte o conteúdo de matrizes quadradas invertíveis as quais são utilizadas para codificar e decodificar mensagens (SANTOS, 2015). Uma desvantagem desse método é o fácil acesso de quebrar o código por meios estatísticos (NASCIMENTO, 2020).
Método da Transposição
Acontece somente um embaralhamento das letras, dispostas em uma ordem predeterminada para cifrar e decifrar. Esse método faz com que cada letra mantenha sua identidade, mas muda sua colocação (JESUS, 2013). Na transposição só mudada a posição das letras iniciais, sem haver qualquer alteração no seu valor normal ou convencional. Em outras palavras, o texto cifrado é obtido pela da permutação do texto original (SANTOS 2015). Esse método era bastante usado pelos gregos de Esparta em 475 A.C. E uma cifra de transposição, cuja segurança é baixíssima e hoje é apenas utilizado com interesse histórico por ser o primeiro dispositivo mecânico de criptografia como é demonstrado na figura abaixo
IMAGEM 2- MODELO DE UMA CIFRA DE TRANSPOSIÇÃO USADO PELOSGREGOS EM ESPARTA EM 475 a.C. E 
Fonte: SANTOS, 2015 .
Todavia não tenha sido feita com essa finalidade, a Matemática é fundamental para a Criptografia, cuja estrutura é baseada principalmente em algoritmos matemáticos e computacionais. A teoria dos números que possui como objeto de estudo as propriedades dos números, juntamente com a geometria, é uma das áreas mais antigas da matemática. Desde sua origem até cerca de 1960 era considerada uma área da matemática sem utilidade prática, e atualmente sabe-se que é a base matemática nas aplicações à Criptografia. Portanto, para que se tenha real compreensão dos métodos criptográficos, são apresentados nesse capítulo conceitos básicos matemáticos extremamente importantes para o entendimento dos métodos de codificação e decodificação (NOGUEIRA, 2017).
Como podemos observar, a criptografia exerce uma importante função na Era da Informação que vivemos (RODRIGUES et al, 2019). E como a criptografia possibilita interligar os conteúdos matemáticos a temas do mundo real, e ajuda a desenvolver habilidades e competências da resolução de problemas, a criar medidas e resoluções, a ter autonomia durante o processo de aprendizagem. A necessidade de aplicações nos livros de matemática e tendo a criptografia como um tema relacionado ao dia a dia foram as motivações para pensar em como implementar metodologia que envolva os conteúdos matemáticos no Ensino Médio com o tema criptografia (SANTOS,2015).
Entendem que o tema criptografia pode contribuir para o enriquecimento das aulas de Matemática, por permitir ao professor atividades e jogos de codificação e decodificação, envolvendo os conteúdos que são trabalhados no ensino básico A criptografia como estratégia para o ensino de Matemática possibilita atribuir significado ao conceito estudado, motivando a aprendizagem e reforçando ainda a importância de usar assuntos ligados à realidade do aluno para estimular seu empenho nas aulas. (RODRIGUES et al,2019). Também concordamos com JESUS (2013, p.74) ao dizer que, “[...] no ensino de matrizes, a criptografia apresenta-se com muita aplicabilidade coerente, interessante e atual da matemática, o que propicia aos estudantes uma maior motivação para o aprendizado desses conceitos.
3. METODOLOGIA
Foi feita uma pesquisa descritiva relacionando o uso de matrizes para criptografar e descriptografar mensagens a fim de dar mais segurança e privacidade nas comunicações. Procuramos fazer uma busca por referências que ilustram a temática e possam oferecer bases sobre o assunto a fim de elucidar o tema proposto. É fato que o saber aumenta a curiosidade, criando assim um ciclo vicioso em busca da verdade. Por isso foi fundamental fazer uma pesquisa minuciosa e detalhada para abordar corretamente o tema e trazer mais conhecimento à nossa equipe, ao tutor e aos colegas de curso na apresentação prática.
A pesquisa descritiva exige do investigador uma série de informações sobre o que deseja pesquisar. Esse tipo de estudo pretende descrever os fatos e fenômenos de determinada realidade (TRIVIÑOS, 1987, p.100).
Para Triviños (1987, p. 112), os estudos descritivos podem ser criticados porque pode existir uma descrição exata dos fenômenos e dos fatos. Estes fogem da possibilidade de verificação através da observação.
	 
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Esse trabalho possibilitou conhecer de forma mais aprofundada a utilização de matrizes para criptografia de mensagem. Como já foi falado a muitos anos atrás a criptografia era conhecida como um método de se comunicar com mensagem de forma secreta, usava-se em especial em campos de batalha, com o intuito de não revelar segredos às forças inimigas, visando informar de um modo que somente o emissor e o receptor possam entender. Hoje no dia-a-dia a criptografia habita em um ambiente diferente do passado, está centralizado nos meios de comunicação e informações. 
A criptografia possibilita interligar os conteúdos matemáticos a temas do mundo real, e ajuda a desenvolver habilidades e competências da resolução de problemas, a criar medidas e resoluções, a ter autonomia durante o processo de aprendizagem. Logo a matemática que é fundamental à criptografia, utilizando algoritmos matemáticos e computacionais, propriedades e geometria, que são as bases matemáticas aplicada na criptografia, servindo de estratégia de ensino facilitando o aprendizado dos alunos em conteúdos matemáticos e reforçando o desenvolvimento do mesmo.
REFERÊNCIAS
BEZERRA, D. J. ; MALAGUTTI, P. L. ; Vania Cristina da Silva Rodrigues . Aprendendo Criptologia de forma divertida. In: V Bienal de Matemática, 2010, João Pessoa. V Bienal de Matemática, 2010.
JESUS, André Luís Neris de J58c Criptografia na educação básica: utilização da criptografia como elemento motivador para o ensino aprendizagem dematrizes/ André Luís Neris de Jesus. Juazeiro, 2013. Disponível em: https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://portais.univasf.edu.br/profmat/dissertacoes/andre_luis_neris_de_jesus_turma_2011.pdf&ved=2ahUKEwiVoqG7wLD3AhU1sJUCHR9nB-EQFnoECAYQAQ&usg=AOvVaw0NSDLUMa7rd9FX8eLfBKti, acesso em: 07 de março de 2022.
NASCIMENTO, Jhonatas da Silva, CRIPTOGRAFIA E MATRIZES: INTERAÇÃO E APRENDIZAGEM NO PROCESSO DE CODIFICAÇÃO DE MENSAGENS, Licenciatura em Matemática da Universidade do Estado da Bahia-UNEB 2020. Disponível em: https://www.editorarealize.com.br/artigo/visualizar/68255, acesso em: 08 de março de 2022;
NOGUEIRA, Ana Flávia Cesário Machado Alckmin. Proposta de atividades usando Criptografia nas aulas de matemática. 2017. 84 f. Trabalho de conclusão de curso (Licenciatura em Matemática) - Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2017. Disponível em: http://www.athena.biblioteca.unesp.br/exlibris/bd/capelo/2018-08-16/000905848.pdf, acesso em: 08 de março de 2022;
RODRIGUES, Lalesca Paula de Oliveira;SÁ, Lauro Chagas MATRIZES E CRIPTOGRAFIA: CONTRIBUIÇÕES DE UMA ATIVIDADE SOBRE O WHATSAPP NO ENSINO MÉDIO,REnCiMa, v. 10, n.6, p. 255-273, 2019.Disponível em: https://www.researchgate.net/profile/Lauroa/publication/337913213_Matrizes_e_Criptografia_contribuicoes_de_uma_atividade_sobre_o_Whatsapp_no_Ensino_Medio/links/5e385479299bf1cdb90adc45/Matrizes-e-Criptografia-contribuicoes-de-uma-atividade-sobre-o-Whatsapp-no-Ensino-Medio.pdf?origin=publication_detail, acesso em: 07 de março de 2022.
SANTOS, D. S. dos. Uso da criptografia como motivação para o ensino básico de
matemática. 2015. 63 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Programa de MestradoProfissional em Matemática em Rede Nacional, Universidade Federal de Sergipe, SãoCristóvão, 2015. Disponível em: https://ri.ufs.br/jspui/handle/riufs/6484, acesso em: 06 de março de 2022.
TRIVIÑOS, A. N. S. Introdução à pesquisa em ciências sociais: a pesquisa qualitativa em educação. São Paulo: Atlas, 1987.
1 Nome dos acadêmicos
2 Nome do Professor tutor externo
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI - Curso (Código da Turma) – Prática do Módulo I - dd/mm/aa