Questão resolvida - Encontre o limite da função tendendo a 1 Lim(x^6-1)_(x^10-1) Cálculo I - UNINGÁ

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• Encontre o limite da função tendendo a 1:
 
lim
x-1
x - 1
x - 1
6
10
 
Resolução:
 
Substituindo o limite;
 
= = = indeterminação!lim
x-1
x - 1
x - 1
6
10
1 - 1
1 - 1
( )6
( )10
1 - 1
1 - 1
0
0
→
 
Veja que a indeterminação foi do tipo , isso indica que 1 é raiz tanto do númerador quanto 
0
0
do denominador, como se trata de função polinomial é possível encontrar uma forma de 
fatoração que possibilite simplificar as expressões e retirar a indeterminação, assim, vamos 
separademente fatorar as expressões do numerador e denominador;
 
Numerador
x - 1 usando a fatoração genérica para a diferença de 2 termos :6 →
 
x - y = x - y x y + x y + x y + x y ... - x y + x y n n ( )( n-1 0 n-2 1 n-3 2 n-4 3 1 n-2 0 n-1
 
x - 1 = x - 1 x ⋅ 1 + x 1 + x 1 + x 1 = x - y x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + 1 ⋅ 16 ( ) 5 0 4( ) 3( )2 2( )3 ( ) 2
 
x - 1 = x - 1 x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 16 ( ) 5 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 5
 
x - 1 = x - 1 x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + 1 ⋅ 16 ( ) 5 4 3 2
 
x - 1 = x - 1 x + x + x + x + x + 16 ( ) 5 4 3 2
Denominador
 
x - 1 usando a fatoração genérica para a diferença de 2 termos :10 →
 
x - y = x - y x y + x y + x y + x y ... - x y + x y n n ( )( n-1 0 n-2 1 n-3 2 n-4 3 1 n-2 0 n-1
 
 
 
x - 1 = x - 1 x ⋅ 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x 1 10 ( ) 9 0 8( )1 7( )2 6( )3 5( )4 4( )5 3( )6 2( )7 1( )8 0( )9
 
x - 1 = x - 1 x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + 1 ⋅ 110 ( ) 9 8 7 6 5 4 3 2
 
x - 1 = x - 1 x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + x ⋅ 1 + 1 ⋅ 110 ( ) 9 8 7 6 5 4 3 2
 
x - 1 = x - 1 x + x + x + x + x + x + x + x + x + 110 ( ) 9 8 7 6 5 4 3 2
Substituindo no limite, temos;
 
=lim
x-1
x - 1
x - 1
6
10
lim
x-1
x - 1 x + x + x + x + x + 1
x - 1 x + x + x + x + x + x + x + x + x + 1
( ) 5 4 3 2
( ) 9 8 7 6 5 4 3 2
 
Simplificando o termo comum do númerador e denominador;
 
lim
x-1
x + x + x + x + x + 1
x + x + x + x + x + x + x + x + x + 1
5 4 3 2
9 8 7 6 5 4 3 2
Substituindo o limite;
 
=lim
x-1
x +x +x +x +x+ 1
x +x +x +x +x +x +x +x +x+ 1
5 4 3 2
9 8 7 6 5 4 3 2
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
( )5 ( )4 ( )3 ( )2 ( )
( )9 ( )8 ( )7 ( )6 ( )5 ( )4 ( )3 ( )2 ( )
 
= =
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
6
10
 
=lim
x-1
x - 1
x - 1
6
10
3
5
 
 
(Resposta )