Aula Sistemas livres sem amortecimento

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2. TEORIA DE SISTEMAS COM 1 GDL
2.1. Sistemas Livres Não-Amortecidos
➢ Não há forças externas agindo no sistema (sistema só
vibrará devido às condições iniciais de deslocamento e
velocidade)
➢ Não há amortecimento (C = 0)
Sistema Massa-Mola de 1 GDL:
x(t)
Determinação do equação do movimento:
1) Utilizando a 2a Lei de Newton
2) Utilizando o Método da Conservação da 
Energia
2
Obtenção do Modelo Matemático a partir da 2a Lei de 
Newton:
1. Selecionar uma coordenada adequada:
(Linear para descrever um movimento de translação ou
Angular para descrever um movimento de oscilação.)
2. Definir a posição de equilíbrio estático do sistema e usá-la 
como origem da coordenada escolhida.
3. Desenhar o Diagrama de Corpo Livre (DCL) da massa rígida
para uma posição de deslocamento e velocidade positivas.
Identificar todas as forças que atuam sobre a massa.
4. Aplicar a 2a Lei de Newton:
3
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
Obtenção do Modelo Matemático a partir 
da 2a Lei de Newton:
Situação genérica de 
deslocamento 
positivo
x(t)
m
+
Fk
2a Lei de Newton:  = maF
)()(
)(
tkxtxm
Ftxm k
 
 
−=
−=


0)()( =+ tkxtxm 
• Equação diferencial do movimento
• Equação governante do movimento
• Equação do movimento
• Modelo matemático do sistema 
4
Obtenção do Modelo Matemático a partir do Princípio da 
Conservação da Energia:
✓ Aplicável a sistemas conservativos (sem dissipação de
energia)
Procedimento:
1. Determinar a energia cinética do sistema
2. Determinar a energia potencial (elástica ou gravitacional)
do sistema
3. Aplicar o princípio da conservação da energia:
0=
=+=
dt
dEt
cteEpEcEt
5
0=
=+=
dt
dEt
cteEpEcEt
22
2
1
 ; 
2
1
xmEckxEp ==
( ) ( )
( ) 0
022
2
1
 ; 
2
1 22
=+
=+=+=
xmkxx
xxmxkx
dt
dEt
xmkxEt


 0
0
=+

kxxm
x


Eq. do Movimento 
do Sist. Massa-Mola
 0
 0
2 =+
=+
xx
x
m
k
x
n


(Eq. do MHS)
m
k
n = rad/s
A freqüência de oscilação do sistema massa-mola é a sua própria freqüência 
natural
Sistema 
Massa-Mola
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Obtenção do modelo matemático para o sistema massa-mola com 
movimento na direção vertical:
Sistema com 
mola não 
distendida
Sistema na 
posição de 
equilíbrio 
estático
Sistema em posição 
arbitrária durante o 
movimento vibratório
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Equação diferencial do movimento no referencial y:
=−

=
 
 
 
ymkymg
maF

2a Lei de Newton
mgkyym =+
xyxyxy  ==+= 
dt
d )(
dt
d )(
Equação diferencial do movimento no referencial x (medido a partir 
da posição de equilíbrio estático):
mgkkxxmmgxkxm =++=++  )(
Mas, na posição de equilíbrio estático (figura ao 
lado) concluí-se que k=mg, logo:
0 =+ kxxm 
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A freqüência natural é a freqüência na qual o sistema livre irá oscilar. 
Depende somente das propriedades do sistema
Expressão da Freqüência de Oscilação do Sistema Livre Sem Amortecimento –
Freqüência Natural
0 =+ kxxm  m 
0 =+ x
m
k
x
• Equação diferencial do Movimento do 
SLSA
• Equação diferencial do MHS
rad/s 2
m
k
m
k
n ==
Freqüência Natural
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Molas Equivalentes
Na análise de sistemas vibratórios é conveniente substituir elementos 
elásticos por molas equivalentes.
Molas Tipo Vigas:
1) Viga engastada com massa concentrada em sua extremidade:
EI
L 
3
3
EI
mgL
=
Na condição de equilíbrio estático:
 
3
 
3L
EI
kmgk ==
2) Viga bi-engastada com carga localizada no centro:
3) Viga bi-apoiada :
EI
L
 192
3L
EI
k =
 
)(
3
2ab
EIL
k =
a b
L
 para ,
48
3
ba
L
EI
k ==
10
11
Molas Associadas em Paralelo:
Molas Associadas em Série:
 21 += kkmg
=+= )( 21 eqkkkmg
= eqkmg
21 kkkeq +=
Generalizando para n molas em paralelo:
=
n
i
ieq kk
eqk
mg
=
1
1
k
mg
=
21 +=
2
2
k
mg
=
+= 
21 k
mg
k
mg
k
mg
eq 21
111
kkkeq
+=
Generalizando para n molas em série:
=
n
i ieq
kk
11
12
Massas Equivalentes
(Quando Considera-se a Massa da Mola)
meq=m+mef
Se mm  m, despreza-se mm e rad/s 
m
keq
n =
Se mm não for desprezível em relação a m, 
então
 rad/s
eq
n
eq
k
m
 =
Massa equivalente do 
sistema Massa principal
Massa efetiva da mola:
Porção do valor da massa
da mola
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Para molas helicoidais: 
1
3
eq mm m m= +
Para molas tipo viga: 
Viga bi-apoiada com carga 
central
Viga engastada
17
35
eq mm m m= +
0,23 eq mm m m= +
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Resposta da Equação do Movimento do Sistema livre Sem Amortecimento 
(Expressão da Movimento Vibratório) 
 ( ) ( ) 0
k
x t x t
m
+ = ( ) ( ) 0mx t kx t+ =
2 ( ) ( ) 0nx t x t+ =
 
Equação do 
Movimento
Supor solução do tipo:
(Rever método dos coeficientes a determinar – um método de solução 
de equações diferenciais)
taetx =)( 
a e  constantes a serem determinadas
Resolução da equação diferencial (determinar a expressão de x(t) ):
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Derivando a solução proposta duas vezes:
teatx =)(  teatx = 2)( 
e substituindo na equação do movimento, chega-se a 
equação característica:
0 22 =+ n
que fornece duas raízes: nj= 2,1 
Portanto, chega-se a duas soluções particulares:
tjt neaeatx

== 111
1)( e
tjt neaeatx
−
== 222
2)( 
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Logo, a solução total é dada por:
tjtj nn eaeatxtxtx
−
+=+= 2121 )()()( 
Utilizando as relações de Euler :
−=
+=
−

sencos
sencos
je
je
j
j
)sen(cos)sen(cos)( 21 tjtatjtatx nnnn −++=
tjaataatx nn −++= sen)(cos)()( 2121
Finalmente, a solução da equação diferencial do movimento, que representa a 
expressão do movimento de vibração (oscilação) é dada por:
tAtAtx nn += sencos)( 21
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tAtAtx nn += sencos)( 21
00 )0( )0( xxexx  ==
- Solução
- Expressão do movimento
- Expressão da vibração
- Expressão da resposta
Como esta solução é dada pela soma de duas funções harmônicas de mesma
freqüência, então pode ser escrita por:
)sen( )( += tAtx n
Os pares de constantes (A1 e A2) ou (A e ) dependem das condições iniciais de
deslocamento e/ou velocidade:
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01 xA =
n
x
A

= 02 

t
x
txtx n
n
n 

+= sencos)( 00

ou )sen( )( += tAtx n
2
02
0
2
2
2
1 








+=+=
n
x
xAAA

 arctg
0
0







 
=
x
x n

Para determinar as expressões de A1 e A2, aplicam-se as condições de contorno
(condições iniciais) na expressão do movimento de resposta vibratória. Desta forma,
obtém-se:
Logo, as expressões do movimento são dadas por
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Exemplo 1: Um bloco de 50 kg move-se entre guias verticais como ilustrado. O bloco
é puxado 40 mm abaixo de sua posição de equilíbrio e liberado. Sendo a rigidez da
mola igual a 10 kN/m, determine a freqüência natural do sistema , o período da
vibração, velocidade máxima do bloco e a máxima aceleração do bloco.
(* Resolução em sala de aula)
Respostas:
2
max
max
m/s 8
m/s 566,0
s 444,0
rad/s 14,14 
=
=
=
=
x
x
T
n


20
Um bloco de 50 kg move-se entre guias verticais como
ilustrado. O bloco é puxado 40 mm abaixo de sua
posição de equilíbrio e liberado. Sendo a rigidez da
mola igual a 10 kN/m, determine a frequência natural
do sistema , o período da vibração, velocidade máxima
do bloco e a máxima aceleração do bloco.
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01- Um bloco de 50 kg move-se entre guias verticais como
ilustrado. O bloco é puxado 40 mm abaixo de sua posição de
equilíbrio e liberado. Sendo a rigidez da mola igual a 10 kN/m,
determine a frequência natural do sistema , o período da
vibração, velocidade máxima do bloco e a máxima aceleração do
bloco.
02-
03-
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01- 02-
03-
04-
23
01- 02-
03-
04-
05-
24
01- 02-
03-
04-
05-
25
06-
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Um bloco de 50 kg move-se entre guias verticais como ilustrado. O bloco é puxado 40
mm abaixo de sua posição de equilíbrio e liberado. Sendo a rigidez da mola igual a 10
kN/m, determine a frequência natural do sistema , o período da vibração, velocidade
máxima do bloco e a máxima aceleração do bloco.
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Exercício 2: Determine a freqüência natural do sistema mostrado na Figura
2. Considerea haste elástica de massa desprezível em relação à massa m.
Exercício 3: Uma massa rígida M é suportada por pernas de placas (Figura
3). Seu período natural é 0,4 s. Quando uma massa adicional m de 30 kg é
colocada sobre a mesa o período passa para 0,5 s. Determine a constante
de rigidez de cada placa e o valor da massa rígida.
Exercício 1: Determine a rigidez equivalente, a equação do movimento, a
freqüência natural e a resposta do sistema de 1 GDL mostrado na Figura 1. O
sistema vibra devido a uma condição inicial de deslocamento de x(0)=x0.
Figura 1 Figura 2
EXERCÍCIOS
Figura 3
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Sistemas Livre Sem Amortecimento de 1 Grau de 
Liberdade com Movimentos Angulares 
2a Lei de Newton para sistemas torcionais:
 = )( tJM oo 
Somatório dos momentos (ou torques) em torno do eixo de rotação
é igual ao momento de inércia de massa do corpo sob oscilação (em
torno do eixo que passa por ‘o’- o centro de rotação’) vezes a
aceleração angular do corpo.
o
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)()( tktJ to −=
 0 =+ to kJ

rad/s 
o
t
n
J
k
=
 Equação do Movimento
Freqüência Natural
 = )( tJM oo 
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Exercícios:
Dados a, L, m e k, calcular a freqüência natural dos
sistemas abaixo. A haste de comprimento L é
considerada rígida, mas de massa desprezível.
(a) (b) (c)
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Mola Equivalente de Molas Acopladas à Alavanca:
2
ii
n
1i
eq /L)(akk 
=
=
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Exercícios:
Uma massa m é fixada na extremidade de uma haste rígida de massa desprezível
que é pivotada a uma distância a da massa m, conforme Figura 1. Qual a
freqüência natural de vibração do sistema para pequenas amplitudes de vibração?