Cálculo 2 Aplicações

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Mateus G. M. Severo, Matheus Samuell C. M. Araujo e Pedro Henrique 
F. Manzoni 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicações de Cálculo II na área de Engenharia Mecatrônica 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho Avaliativo submetido à 
Disciplina de Cálculo II do curso de 
Engenharia Mecatrônica do Instituto 
Federal de Santa Catarina – Criciúma. 
Professor: Prof. Dr. Bazilicio Andrade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Criciúma 
2022 
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LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1: Representação ............................................................... 4 
Figura 2: Bloco ............................................................................. 6 
Figura 3: Bloco Cortado ............................................................... 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 Acerca ............................................................................................. 4 
1.1 Equação da Onda .................................................................... 4 
1.2 Prisma retangular com densidade variável ............................. 5 
1.3 Concentração em Misturas ..................................................... 9 
REFERÊNCIAS ................................................................................. 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 Acerca 
 
No respectivo trabalho, será mostrado algumas aplicações da disciplina 
de Cálculo II sob o cotidiano, em especialmente na física, porém não 
isentando outras áreas. Foram abordadas três aplicações: derivadas parciais 
na equação da onda, integral de várias ordens para saber a densidade 
variável de um prisma e por último, equações diferenciais para saber a 
concentração de um elemento químico ou substância dentro de uma mistura. 
 
1.1 Equação da Onda 
 
Em Física, a equação de onda unidimensional é dada pela seguinte função: 
 
𝜕2𝜔
𝜕𝑡2
= 𝑐2
𝜕2𝜔
𝜕𝑥2
 
 
Onde ω é a altura da onda, x é a variável distância, t é a variável tempo 
e c é a velocidade com a qual as ondas se propagam. Neste exemplo (Figura 
1), x é a distância ao longo da superfície do mar, mas em outras aplicações x 
pode ser a distância ao longo de uma onda vibrando, a distância no ar (ondas 
sonoras) ou a distância no espaço (ondas luminosas). O número c varia de 
acordo com o meio e o tipo da onda. Thomas (2009, p.319). 
 
Figura 1: Representação 
+ 
 
 
 
 
Mostre que função abaixo satisfaz a equação da onda, sendo, portanto, 
uma solução. 
 
Thomas (2009) 
 
 
𝑤 = 5 ∗ cos(3𝑥 + 3𝑐𝑡) + 𝑒𝑥+𝑐𝑡 
 
Sendo assim, temos que mostrar que a função dada satisfaz: 
 
𝜕2𝜔
𝜕𝑡2
= 𝑐2
𝜕2𝜔
𝜕𝑥2
 (𝟏) 
 
Agora derivando a função w em relação a x, temos: 
 
𝜕𝜔
𝜕𝑥
= −15 ∗ sen(3𝑥 + 3𝑐𝑡) + 𝑒𝑥+𝑐𝑡 
 
𝜕2𝜔
𝜕𝑥2
= −45 ∗ cos(3𝑥 + 3𝑐𝑡) + 𝑒𝑥+𝑐𝑡 (𝟐) 
 
Derivando w em relação a t, temos: 
 
𝜕𝜔
𝜕𝑡
= −15𝑐 ∗ sen(3𝑥 + 3𝑐𝑡) + 𝑐 ∗ 𝑒𝑥+𝑐𝑡 
 
𝜕2𝜔
𝜕𝑥2
= −45𝑐2 ∗ cos(3𝑥 + 3𝑐𝑡) + 𝑐2 ∗ 𝑒𝑥+𝑐𝑡 (𝟑) 
 
Sendo assim substituindo 2 e 3 em 1, temos: 
 
−45𝑐2 ∗ cos(3𝑥 + 3𝑐𝑡) + 𝑐2 ∗ 𝑒𝑥+𝑐𝑡 = 𝑐2(−45 ∗ cos(3𝑥 + 3𝑐𝑡) + 𝑒𝑥+𝑐𝑡) 
 
𝑐2(−45 ∗ cos(3𝑥 + 3𝑐𝑡) + 𝑒𝑥+𝑐𝑡) = 𝑐2(−45 ∗ cos(3𝑥 + 3𝑐𝑡) + 𝑒𝑥+𝑐𝑡) 
 
Note que a equação da onda foi satisfeita, portanto a função dada é 
solução da equação da onda. 
 
1.2 Prisma retangular com densidade variável 
 
 Suponha que você tenha um bloco de metal na forma de um prisma 
retangular com dimensões 3×2×5. Entretanto, suponha que sua densidade não 
seja uniforme. Para ser capaz de descrever sua densidade com uma função de 
três variáveis, vamos começar imaginando esse bloco no espaço cartesiano 
tridimensional. 
 Considerando que a densidade em cada ponto é dada pela função: 
 
ρ(x,y,z)= x²y(cos(πz)+2) 
 
 
6 
 
Pergunta norteadora: Qual a massa do bloco? 
 
Figura 2: Bloco 
 
 
Resolução: Esse pequeno volume será fragmentado como o produto 
dos três comprimentos. Para realizar o cálculo de sua massa, cortaremos o 
bloco nas três direções utilizando os valores que são constantes de x, de y e 
de z. 
 
Figura 3: Bloco Cortado 
 
 
Como a função é contínua, quando os pedaços são pequenos o 
suficiente, a densidade de cada pedaço se torna constante. Portanto a massa 
desses pequenos objetos pode ser escrita como: 
 
ρ(x,y,z) dV 
 
 Sendo ρ(x,y,z) a densidade, e dV é o volume do pedaço do qual as 
particularidades são manipuladas pela integral. Sendo cada pedaço um 
prisma retangular de comprimentos de lados dx, dy e dz, as pequenas 
variações lineares nas direções de x, y e z. Portanto: dV = dx dy dz. 
 Juntando tudo isso, a massa de um dos pequenos pedaços do objeto 
pode ser descrita como: 
 
ρ(x,y,z) dV = x2y(cos(πz)+2) dx dy dz 
 
Para somar as pequenas massas do objeto, monta-se três integrais 
incorporadas, cada uma integrando na direção de um eixo de coordenadas 
diferente. 
 
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1.3 Concentração em Misturas 
 
Um tanque contém 100 galões (cerca de 455 litros) de água e 50 onças 
(cerca de 1,42 kg) de sal. Água contendo uma concentração de sal de ¼ (1 + 
½ sen t) oz/gal entra no tanque a uma taxa de 2 galões por minuto e a mistura 
no tanque sai a mesma taxa. Denotando por x a massa de sal (em onças) na 
vasilha, e o tempo (em minutos) por t. A razão (instantânea) da variação de x 
com relação a t, 𝑑𝑥 𝑑𝑡 , é igual a razão da variação da quantidade de sal que 
entra na vasilha com relação ao tempo, menos a razão da variação da 
quantidade de sal que sai. 
 
Essa é uma equação diferencial ordinária que inclui uma variável 
diferenciada x e uma variável de diferenciação t. 
Pelo método do fator integrante, u(t) é possível encontrar uma 
quantidade de sal para qualquer instante t, sendo assim o fator integrante: 
 
Então: 
 
 
 
Substituindo então para conseguir isolar o x: 
 
 
 
10 
 
Utilizando a condição inicial, x0 = 50, para se obter a constante c: 
 
 
 
Fazendo assim a relação: 
 
 
Observando a equação é possível denotar que ela reflete as 
características do ponto de vista físico, que são descritos pelo modelo em que 
t(0) faz com que a massa de sal x seja igual a 50 oz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
 
Khan Academy. Integrais Triplas. Khan Academy, 2021. Disponível em: 
pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-
multivariable-functions/triple-integrals-topic/a/triple-integrals . Acesso 
em: 14 Junho 2022. 
CARVALHO, Elvis Gonçalves. Derivadas Parciais e Integral de Linha: 
uma breve revisão e aplicações, 2017. Universidade Estadual do 
Sudoeste Da Bahia – UES. 
 
 
MACHADO, Ivana Maria Fernandes. MATEMÁTICA APLICADA: o uso das 
equações diferenciais ordinárias em modelos matemáticos de 
sistemas físicos e bioquímicos, 2016. 58. Matemática aplicada a 
Química - Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia, Goiás, 
2016.