LABORATÓRIO-DE-FÍSICA-E-MATEMÁTICA

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LABORATÓRIO DE FÍSICA E MATEMÁTICA 
 
 
 
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Faculdade de Minas 
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Sumário 
 
1 Matemática ................................................................................................ 4 
1.1 Referencial teórico .............................................................................. 4 
1.2 Laboratório de Matemática - O lugar ................................................... 7 
1.3 Laboratório de Matemática – O professor ......................................... 10 
1.4 Laboratório de Matemática – Os Materiais ........................................ 13 
1.5 Laboratório de Matemática – Uma atividade ..................................... 16 
2 Física ....................................................................................................... 17 
2.1 Introdução ......................................................................................... 17 
2.2 O Laboratório de Física I ................................................................... 18 
2.3 Dicas para a confecção dos relatórios .............................................. 19 
Seção I: Conceitos Gerais ............................................................................. 20 
Capítulo 1: Medidas de grandezas físicas ................................................. 20 
1.1 Medidas diretas e indiretas ............................................................ 20 
1.2 Precisão dos instrumentos ............................................................. 21 
1.3 Erros de medida ............................................................................. 21 
1.4 Incerteza em medidas diretas ........................................................ 23 
1.5 Incerteza em medidas indiretas: propagação de erros ..................... 26 
1.6 Algarismos significativos e arredondamento .................................... 28 
1.7 Comparação de grandezas físicas com incertezas .......................... 29 
Capítulo 2: Tabela de dados e gráficos ...................................................... 30 
2.1 Tabelas ............................................................................................. 31 
2.2 Gráficos ............................................................................................ 32 
2.3 Linearização e escalas logarítmicas ................................................. 34 
Seção II: Apostila de Práticas ........................................................................ 40 
Instrumentos de medida ............................................................................. 40 
Equipamentos experimentais por área ....................................................... 42 
 
 
 
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REFERÊNCIAS ............................................................................................. 44 
 
 
 
FACULESTE 
 
A história do Instituto Faculeste, inicia com a realização do sonho de um 
grupo de empresários, em atender a crescente demanda de alunos para cursos de 
Graduação e Pós-Graduação. Com isso foi criado a Faculeste, como entidade 
oferecendo serviços educacionais em nível superior. 
A Faculeste tem por objetivo formar diplomados nas diferentes áreas de 
conhecimento, aptos para a inserção em setores profissionais e para a participação 
no desenvolvimento da sociedade brasileira, e colaborar na sua formação contínua. 
Além de promover a divulgação de conhecimentos culturais, científicos e técnicos 
que constituem patrimônio da humanidade e comunicar o saber através do ensino, 
de publicação ou outras normas de comunicação. 
A nossa missão é oferecer qualidade em conhecimento e cultura de forma 
confiável e eficiente para que o aluno tenha oportunidade de construir uma base 
profissional e ética. Dessa forma, conquistando o espaço de uma das instituições 
modelo no país na oferta de cursos, primando sempre pela inovação tecnológica, 
excelência no atendimento e valor do serviço oferecido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 Matemática 
 
1.1 Referencial teórico 
 
Ao longo da história, com o advento da ciência Moderna e com o crescimento do 
chamado ―método científico‖ para a pesquisa, tornou-se uma tendência cada vez 
mais forte na educação a introdução de Laboratórios, como mecanismo de 
produção de conhecimento. Assim os educadores investiram na aprendizagem 
através deles. Esse método consiste em observações, levantamento de hipóteses, 
experiências para verificação dessas hipóteses e comprovação ou refutação da lei. 
 
―Acreditava-se que todos esses passos tornavam mais significativa a aprendizagem, 
possibilitando ao aluno uma maior capacidade de compreensão a fim de que ele 
próprio começasse a questionar e investigar o mundo‖. (AGUIAR, 1999, p. 17). 
 
Partindo da necessidade de relacionar o cotidiano do aluno com a sua vida escolar, 
com ênfase na aprendizagem científica, foram criados nas escolas uns espaços 
para a realização dessas experiências. Esse espaço chamou-se Laboratório e 
tornou-se réplica dos laboratórios científicos. 
 
No decorrer dos anos, as escolas foram equipadas com laboratórios de Física, 
Química, Biologia e, por último, foram equipadas com laboratórios de Informática, 
enquanto que para o restante das disciplinas como Português, Matemática, 
Geografia, etc. foram mantidas as salas ―normais‖ equipadas apenas com carteiras, 
quadro, giz, mesa do professor e, dificilmente, um retroprojetor, o que é inconcebível 
nos dias de hoje. Essas disciplinas dispõem de poucos materiais didáticos, 
 
 
 
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geralmente guardados em armários e gavetas, longe da sala de aula. A matemática 
ensinada nos dias de hoje é, exatamente, como se ensinou para nossos pais ou 
avós, na base do ―guspe e giz‖, com raras exceções. 
 
Abreu (1997, p. 48) nos relata que ―o problema de ensinar da mesma forma como 
lhe foi ensinado não é motivo de preocupação. Permanecer nesta prática é que é 
alarmante‖. 
 
Só nos últimos anos é que se tem ouvido falar que algumas escolas, por iniciativa 
própria ou por pioneirismo de alguns professores, possuem laboratórios de 
matemática ou salas de matemática. 
 
A apresentação da teoria matemática já estruturada, seguida da apresentação de 
algumas aplicações, não é flexível e não se adapta ao modo de aprender de muitos 
alunos. O ensino da Matemática deste modo privilegia a memorização, o que a 
tornará incompreensível e sem interesse para muitos. Os seus conteúdos serão 
rapidamente esquecidos após cada teste de avaliação, após o final do ano letivo. 
Assim, continuaremos a alimentar a ideia já formada pelos alunos de que a 
Matemática é muito difícil e não serve para nada. Ou melhor, que serve para lhes 
dificultar a vida! 
 
Para Mendes (2002, p. 5) ―A Matemática deverá contemplar a observação, a 
experimentação, a investigação e a descoberta, que ajudarão os alunos a fazerem 
reflexões mais abstractas. O Laboratório é o meio ideal para explorar conceitos 
matemáticos e para os descobrir‖. 
 
Afirma-se que conquanto a idéia de um laboratório de matemática não seja nova, 
ele não tem sido usado em larga escala, tampouco se tem prestado suficiente 
atenção à invenção de dispositivos hábeis e úteis. Esse esplendido auxiliar 
pedagógico tem sido negligenciado. Kline (apud: AGUIAR, 1999, p. 195). 
 
 
 
 
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O que professores e educadores dessa disciplina precisam ter bem claro é que o 
Laboratório não pode se constituir numa simples montagem de uma sala para que 
possa guardar alguns materiais didáticos, mas sim que seja uma proposta 
metodológica com princípios e objetivos educacionais em relação ao ensino de 
matemática. 
 
Segundo Abreu (1997, p. 50) o Laboratório de Matemática é o espaço onde o aluno 
vai criar novas soluções para os problemas apresentados, trabalhar com atividades 
lúdicas e refletir sobre idéias matemáticas.Esse é o ponto de partida para um ou mais espaços específicos para o ensino de 
Matemática. Chama-se laboratório, apenas porque se tornou usual essa 
designação. Deve-se levar em conta que o componente experimental da 
matemática é diferente do de outras ciências, e esse espaço não deve ser reduzido 
apenas às atividades de laboratórios. Para Aguiar (1999, p. 20) esse local, dentro da 
escola, tem como função estabelecer a relação existente entre a teoria e a prática. 
 
Tal afirmação vem de encontro com as palavras da professora participante Liliane 
Regina Pereira onde diz que ―os laboratórios precisam ser manipulados para que os 
alunos e os professores tenham meios, ainda mais ricos para demonstrarem, na 
prática, suas teorias‖. 
 
Com a existência do Laboratório de Matemática pretende-se dar à escola um 
espaço com recursos adequados ao ensino-aprendizagem da mesma: 
 
 Realizando aulas de acordo com as novas tendências educacionais; 
 Possibilitando atividades individuais e em grupos; 
 Promovendo a realização de atividades de investigação e trabalhos com 
projetos; 
 Facilitando o intercâmbio entre os vários níveis de ensino; 
 Promovendo a realização de atividades lúdicas; 
 
 
 
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 Renovando a formação pedagógica dos professores; 
 Implantando reuniões informais entre professores; 
 Criando e confeccionando novos equipamentos e materiais didáticos; 
 Possibilitando ao aluno a construção do conhecimento. 
 
O Laboratório de Matemática deve ser dinâmico, não necessitando de materiais 
sofisticados. Ser construído pelos alunos e gradativamente, levando em conta a 
realidade de cada escola e os seus projetos para o ensino de Matemática. 
 
1.2 Laboratório de Matemática - O lugar 
 
Há uma definição afirmativa de que o laboratório é um lugar adequado para que 
ocorram determinadas experiências, importantes para a formação do aluno, que não 
acontecem facilmente no cotidiano de um indivíduo. (AGUIAR, 1999, p. 39). 
 
Numa pesquisa etimológica da palavra encontra-se laboratório como: 
 
a) Dependência do prédio escolar que, por suas instalações e equipamentos, 
destina-se a estudos de natureza experimental ou à aplicação de conhecimentos 
científicos. 
b) Sala ambiente, com instalações e equipamentos especializados, onde se faz 
experiências científicas e estudos experimentais, quer no campo das ciências físicas 
e naturais, quer no campo das letras. 
c) Local onde se faz a aplicação de conhecimentos científicos ou lingüísticos, com 
finalidade prática. (DUARTE, 1986, p.109). 
 
Do mesmo modo, no Dictionary of Education de V.Carter Good verifica-se que: 
Laboratório é uma sala ou salas convenientemente equipadas e usadas pelos 
alunos para estudo de alguns ramos da Ciência ou aplicações de princípios 
científicos. (GOOD apud AGUIAR. 1999, p. 18). 
 
 
 
 
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Essa última definição vem ao encontro daquilo que se poderia pensar em relação ao 
lugar determinado para o laboratório, ou seja, uma sala, onde o professor possa 
encontrar ali todos os materiais e recursos necessários de modo a criar um 
ambiente favorável à construção do conhecimento. 
 
Ele tem como principal objetivo ser um elo entre a teoria e a prática. É nesse 
momento que o aluno pode ver onde e como são aplicados os conceitos que ele 
adquiriu em sala de aula; é ensinar de uma maneira que o aluno seja levado a usar 
as mãos, ou melhor ainda, a sujar as mãos. Pois segundo Oliveira (1983, p. 6), a 
Matemática se aprende fazendo. 
 
Alguns educadores defendem a idéia de que esse ambiente deva ser a própria sala 
de aula, o pátio, a biblioteca ou até mesmo fora da escola, como o campo de 
futebol, um monumento, etc. Imagina-se que esses lugares não são uma extensão 
do laboratório, mas sim uma fonte para coleta de dados para a posterior realização 
de experiências, planejadas e estruturadas para acontecerem na sala do laboratório. 
Mas para a realização das experiências são necessários alguns materiais e esses 
não estarão ao alcance dos alunos nesses determinados lugares. 
 
Para Romero (2002, p. 03) existem alguns tipos de laboratórios no ensino de 
matemática: 
 
 O Laboratório com material concreto: consiste na elaboração dos conteúdos 
da classe por meio de manipulações de materiais tais como: metros, 
esquadro, sólidos geométricos e outros. 
 O Laboratório livre: consiste na apresentação de conteúdos anteriores de 
maneira livre por parte dos alunos e para cada caso busca-se relacionar as 
idéias com conhecimentos novos. 
 O Laboratório experimental: consiste em que cada aluno, a partir de seus 
conhecimentos prévios e com ajuda de novos materiais, busca obter 
resultados de qualquer tipo sem seguir um relatório. 
 
 
 
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 O Laboratório com Computador: consiste em utilizar algum tipo de software 
especial para que os alunos experimentem, descubram e explorem alguns 
conteúdos matemáticos. 
 
Outra idéia de laboratório, que nos últimos anos tem se propagado, é a 
transformação das salas de aula em salas-ambientes. Nesse espaço o que muda de 
sala são os alunos e não mais os professores. Elas, agora, são divididas em 
disciplinas e cada professor ganha a ―sua‖ sala, podendo nela guardar os seus 
materiais que serão utilizados pelos alunos. Por um modo de ver, se antes ter-se-ia 
apenas um laboratório de Matemática, com a utilização dessa nova metodologia, 
dependendo da quantidade de alunos da escola, pode-se ter três ou quatro 
laboratórios de Matemática e também três ou quatro laboratórios de Física e assim 
por diante. 
 
Esse lugar pode ser descrito como um laboratório, pois tudo o que acontece na sala 
do laboratório pode acontecer na sala-ambiente. Essa proposta torna-se, ao que 
parece, inviável perante os custos que pode acarretar a montagem de várias salas-
ambientes. 
 
Outro fator que é desfavorável é que alguns professores teriam uma sala mais bem 
equipada e outros professores, menos comprometidos com a aprendizagem, teriam 
salas menos equipadas, empobrecendo dessa maneira o ―seu‖ laboratório. Já com 
uma sala exclusiva para o laboratório isso não ocorre, pois todos os materiais estão 
ali reunidos e podem ser utilizados por todos os professores da disciplina. Outro 
fator que contribui negativamente para as salas-ambientes é o momento da troca de 
uma aula para outra. Imagine-se em uma escola média, com 1200 alunos e a cada 
cinqüenta minutos esses 1200 alunos estão no corredor à procura da sua sala. Em 
visita a uma escola que adota esse critério foi possível notar esse transtorno: o 
aluno demora a chegar na sala, perdendo com isso vários minutos da aula. 
 
 
 
 
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Não se trata aqui de ser contra as salas-ambientes. Parece ser um ótimo artifício 
para levar o aluno à aprendizagem. Apenas, deve ser mais bem estruturada e 
equacionada com relação à sistemática e aos custos. A mesma mereceria um 
estudo mais aprofundado por parte dos educadores, o que no momento não faz 
parte do presente trabalho. 
 
Portanto, o laboratório deve ser um lugar próprio, uma sala com todos os materiais 
necessários que podem ser utilizados por todos os alunos e por todos os 
professores da disciplina. Cabe ao professor saber escolher qual o ambiente é mais 
adequado àquilo que pretende realizar. Não se quer com isso estabelecer um 
padrão único para todas as escolas. Cada uma pode adotar um esquema, segundo 
as suas condições, mantendo a idéia básica de transformar o laboratório na 
continuação da sala de aula. Deve ficar claro que: 
 
O importante no uso do laboratório não é criar grandes 
obras, nem apelar para as salas-ambientes como um 
recurso para resolver todos o problemas, mas é, de acordo 
com as possibilidades de cada escola, favorecer as 
condições de trabalho para o professor, para que o mesmo 
possa ter uma estruturaque facilite a construção do 
conhecimento. (AGUIAR, 1999, p.146). 
 
1.3 Laboratório de Matemática – O professor 
 
No tópico anterior defendeu-se um espaço próprio para o Laboratório de 
Matemática. Agora se discutirá quem é que deverá ministrar essas aulas nesse 
espaço. 
 
No começo de cada ano letivo é uma verdadeira ―briga‖ na hora da distribuição das 
aulas. Quase sempre são muitos professores e poucas aulas. Aqueles que já fazem 
parte do Quadro Próprio do Magistério (QPM) estão mais tranquilos pois têm, por 
direito, seus lugares garantidos Mas os outros professores que serão contratados 
 
 
 
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temporariamente passam as férias inteiras preocupados se irá ou não sobrar aula. 
Isso, muita gente pode dizer com conhecimento de causa. 
 
Passada esta parte, a maioria dos alunos quer saber: Quem pegou a aula de 
Matemática? Quem pegou a aula de Laboratório de Matemática? 
 
Algumas escolas do Estado do Paraná adotam essa sistemática. Existem na grade 
curricular aulas de Matemática (teoria) e aulas de Laboratório de Matemática 
(prática), isso para atender a Lei de Diretrizes e Bases que obriga as escolas a 
contemplarem sua grade curricular com setenta e cinco por cento (75%) das aulas 
com disciplinas que atendam ao chamado núcleo comum (Biologia, Química, 
Português, etc) e os outros vinte e cinco por cento (25%) são reservados para as 
disciplinas que compõem a parte diversificada (Filosofia, Matemática Financeira, 
Informática, Inglês, Laboratório de Matemática, etc.). Essa nova disciplina deve ter 
tudo o que as outras têm, ou seja, avaliação, notas, livro de registro de aulas, etc. 
 
Na sua totalidade, essas aulas teóricas têm três vezes mais aulas que a parte 
prática, ou seja, por força de lei a grade curricular privilegia a aula na sala e sobra 
pouco espaço para a realização de ―experiências‖. Em cinqüenta minutos de aula, 
por mais que o professor se esforce ele não consegue realizar uma ―experiência‖ 
nesse curto espaço de tempo, ficando assim a continuação desse trabalho para a 
próxima aula, ou seja, uma semana depois. Há com isso uma ruptura na 
aprendizagem. Quando os alunos voltam novamente para o laboratório já terão 
esquecido quase tudo o que foi feito na aula anterior. Perde-se com isso um dos 
objetivos primeiros do laboratório de Matemática que é a integração entre a teoria e 
a prática. 
 
Não se pode negar que o laboratório surgiu para 
complementar a teoria ou dar sentido à mesma e que a 
teoria não pode estar distante da prática, precisa haver uma 
união entre as duas. (AGUIAR, 1999, p. 55) 
 
 
 
 
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Com isso pressupõe-se que haja uma união maior também entre os professores que 
ministram estas aulas, o que dificilmente acontece. Se estamos em uma escola com 
quinhentos alunos, existirão vários professores da teoria e apenas um, ou no 
máximo, dois professores para a parte prática, criando com isso a figura do 
professor laboratorista. 
 
Sendo assim, dá-se a entender que são matérias completamente diferentes, ao 
passo que uma deve ser o complemento da outra. Há uma total falta de 
comunicação entre as partes, pois segundo Aguiar, (1999, p. 77) a falta de 
comunicação entre os professores, também pelo fato das duas disciplinas serem 
ministradas por professores diferentes, faz com que o professor de Matemática não 
tenha condições de saber todas as discussões que acontecem no Laboratório. 
 
Se o professor da teoria não tem conhecimento do que acontece no laboratório, 
como é possível perceber se está havendo crescimento dos seus alunos? Como é 
possível ele tentar sanar falhas de aprendizagem que certamente acontecem nas 
aulas do laboratório? 
 
Por isso é preciso defender a idéia de que o professor da teoria seja o mesmo da 
prática, gerando com isso uma identidade maior do aluno com a aula, e desse com 
o professor, tirando a figura do professor laboratorista que, na maioria das vezes, 
torna-se apenas um guardador de materiais. Mesmo indo ao laboratório algumas 
vezes, não significa que ele está tendo uma disciplina diferente: é apenas um 
complemento da aula que ele estava tendo na sala. 
 
Outra idéia que se defende é que não há necessidade de um horário específico na 
grade curricular para as aulas de Laboratório de Matemática. Não cabe ao horário 
determinar quando o professor deva levar seus alunos para o laboratório, mas sim 
ao professor. Ele é quem sabe o momento certo para tal. A aula de Laboratório de 
Matemática pode ser suprimida da grade curricular e incorporada às aulas de 
 
 
 
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Matemática (teoria) deixando o professor livre para decidir quando e como levar os 
alunos para o laboratório. 
 
Se não houver mesmo essa possibilidade e deva existir realmente a disciplina de 
Laboratório de Matemática, que o professor deixe bem claro para a direção da 
escola e para a coordenação pedagógica que é ele quem irá decidir o momento 
para se levar os alunos ao laboratório. Isso também deve ser passado para os 
alunos já nos primeiros dias de aulas, mostrando a eles que embora tenham no 
horário de aula duas disciplinas diferentes, elas serão dadas e avaliadas como uma 
só. Por isso, mais uma vez, há a necessidade do professor da teoria ser o mesmo 
professor da prática. 
 
1.4 Laboratório de Matemática – Os Materiais 
 
Muitos pensam que as atividades práticas de Matemática, exigem investimentos 
caríssimos, inacessíveis à grande maioria das nossas escolas. Seria verdade, se 
pensarmos em Laboratórios de Matemática montados com materiais e 
equipamentos requintados. 
 
No entanto, é possível realizar experimentos de grande utilidade didática sem 
empregar equipamentos de alto custo. Com materiais simples é possível 
aprendizagem significativa. É até conveniente trabalhar com materiais pertencentes 
ao cotidiano do aluno. Em uma pesquisa feita por Gonçalves (2003, p. 131) com 
professores que não usam o laboratório, o custo na aquisição dos materiais ficou 
em quinto lugar numa escala de seis e a falta de materiais foi enumerada em sexto 
lugar como as principais dificuldades na utilização do laboratório de Matemática. 
Isso deixa claro que não é por causa dos materiais que alguns professores não 
usam o laboratório. 
 
O Laboratório de Matemática deve ser dinâmico, não necessitando de materiais 
sofisticados, deve ser construído pelos alunos e gradativamente, levando em conta 
 
 
 
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a realidade de cada escola e os seus projetos para o ensino de Matemática. A cada 
nova atividade proposta pelo professor, os materiais confeccionados pelos alunos 
vão se somando aos que já existem e com isso vai se formando o acervo 
laboratorial. Este fato foi relatado pela professora.... onde nos retorna com as 
seguintes palavras: ‗É necessário um espaço amplo, com mesas, armários 
suficientes para os equipamentos e materiais, deve ser construído gradativamente e 
ser revisto periodicamente por toda a comunidade escolar, aos professores de 
matemática, cabe a iniciativa do desenvolvimento do projeto‖. 
 
Como relata Ciscato & Beltram (1991, p. 46), um bom laboratório não se monta da 
noite para o dia e sim, gradativamente, até que se torne devidamente bem equipado 
onde aluno e professor possam trabalhar e desenvolver seus projetos. 
 
Não é objetivo desta disciplina fornecer um modelo, mas sim sugestões, por isso 
colocamos a seguir uma lista de materiais que se julga necessário para um começo 
de laboratório de Matemática. 
 
Equipamentos recomendados para a instalação de um Laboratório de Matemática 
 
 Equipamento tecnológico: 
- Calculadora de preferência científica para toda a turma 
- Equipamento multimídia 
- Retroprojetor; 
 - Televisão; 
 - Aparelho de DVD 
 
 Material didático para geometria 
- Sólidos de diversos materiais incluindo os quepossibilitam a introdução de líquidos 
para estudo de cortes; 
- Referenciais tridimensionais; 
- Cone com cortes para o estudo das cônicas; 
 
 
 
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- Formas geométricas de encaixar que permitem a construção de sólidos; 
- Esferas de encaixe e barras de plástico de diversos tamanhos para construções 
que permitem investigações no plano e no espaço; 
- Circulo trigonométrico para se trabalhar a trigonometria; 
- Compassos, réguas, transferidores, réguas de frações; 
- Material para efetuar medições (metros, trenas, etc.); 
- Dominós com jogos de frações, operações, etc. 
 
 Outros materiais didáticos: 
- Materiais para o estudo das probabilidades nomeadamente dados de diversos 
tipos (cubos, tetraedros, hexaedros, etc..); 
- Bússola; 
- Paquímetro; 
- Jogos didáticos diversos; 
- Livros, revistas, vídeos e slides. 
 
 Mobiliário: 
- Quadro branco ou verde; 
- Mesa (8) com 6 cadeiras cada para um turno (suficiente para 50 alunos); de 
preferência na forma circular ou hexagonal; 
- Armários grandes com partes fechadas e outras abertas; 
- Mesa para colocação do retroprojetor; 
- Balanças; 
- Tela branca para visualização do retroprojetor. 
 
 Algumas notas e justificações 
As calculadoras científicas justificam-se pelo fato de nem todos os alunos terem 
calculadora, ser vantajoso trabalhar, por vezes, com toda a turma com calculadoras 
iguais e disponibilizar calculadoras para os professores poderem requisitar durante 
um período de tempo. Pode-se pensar em ter um computador no Laboratório, mas 
não se julga imprescindível, uma vez que este equipamento tecnológico está 
 
 
 
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disponível no laboratório de Informática. Essa listagem de materiais deve ser 
periodicamente (todos os anos) atualizada. 
 
 Livros, revistas, vídeos e slides. 
O Laboratório de Matemática deve ter a seu dispor na biblioteca da escola de um 
conjunto significativo de livros, revistas e textos que possam ser consultados e/ou 
utilizados pelos alunos e professores. Caberá às escolas e aos professores indicar 
quais são as necessidades. 
 
1.5 Laboratório de Matemática – Uma atividade 
 
Todo o desenvolvimento de um conteúdo de matemática pelo método do 
laboratório, depende do planejamento de trabalho do professor. Romero (2002, p. 3) 
nos dá algumas dicas a serem seguidas: 
 
- É preciso ter claro o assunto a desenvolver; 
- Estabelecer claramente os objetivos que se quer alcançar; 
- Estabelecer o tipo de laboratório que melhor se adapta a suas metas; 
- Buscar uma idéia piloto para o desenvolvimento da atividade, isto é, conhecer 
muito bem que tipo de atividade o levará a obter seus objetivos com maior 
eficiência; 
 - Ter uma idéia do tempo, dos materiais e do custo que a atividade exigirá e ajustar 
esta atividade a seus pressupostos; 
- Elaborar um projeto completo, com o cuidado de que a mesma leve os alunos a 
metas claras; 
- Todos os alunos levem um ritmo parecido em cada passo, a fim de evitar a 
indisciplina; 
- Pedir ao aluno um relatório da atividade; 
- Estabelecer uma ordem que obrigue a participação de todos os estudantes na 
atividade, seja individual ou em grupo. 
 
 
 
 
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Logo depois da realização das atividades, o professor deve responder a algumas 
perguntas: os alunos se interessaram na atividade? Compreenderam a finalidade e 
os procedimentos a seguir? Reuniram dados e obtiveram conclusões? Estimulou-se 
o pensamento criativo? etc. 
 
O professor deve estar preparado para os resultados de um laboratório, nem 
sempre são os esperados, alguns alunos não alcançam os objetivos esperados. 
Mas às vezes, tais resultados, ultrapassam as expectativas. 
 
2 Física 
 
2.1 Introdução 
 
Estudos, realizados pelos Conselhos de Engenharia, mostram que o Brasil perde 
US$ 15 bilhões por ano com falhas de projetos, somente contabilizando o setor 
público, atribuídas à má formação básica dos profissionais. As oportunidades de 
crescimento futuro do país dependem criticamente da disponibilidade de 
engenheiros qualificados para inovar e resolver problemas de interesse estratégico. 
Da próxima geração de engenheiros não se espera que sejam apenas usuários 
treinados para aplicar soluções prontas, mas criadores de soluções nos novos 
cenários econômicos e tecnológicos. Cabe à USP, a maior universidade do país, a 
responsabilidade de formá-los com as mais altas qualificações, os quais, no futuro, 
assumirão a liderança nos setores produtivos de base tecnológica no Brasil. 
 
As Ciências Exatas, abrangendo Física, Matemática e Química, constituem o 
fundamento dos processos, técnicas e linguagem da Engenharia. Assuntos, como, 
por exemplo, materiais inteligentes, modelos computacionais ou sensoriamento, 
fazem com que a fronteira entre Ciências e Engenharias seja cada vez mais difusa. 
O profissional que não possui uma base de conhecimento sólida nessas disciplinas, 
diminui drasticamente suas chances de compreender os problemas de sua área de 
atuação e de se comunicar com outros especialistas. Consequentemente, sua 
 
 
 
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capacidade de resolver desafios tecnológicos e inovar fica limitada. Nesse aspecto, 
o IFSC busca fazer uma contribuição decisiva logo no início desse processo de 
formação. 
 
2.2 O Laboratório de Física I 
 
Os Laboratórios de Física têm uma missão diferente das disciplinas teóricas. Em 
primeiro lugar, oferecem a oportunidade de revisar e consolidar conceitos 
fundamentais de Física, fazendo a transposição a situações práticas concretas. Em 
segundo lugar, procuram desenvolver a capacidade de planejar e executar 
medições, processar os dados quantitativamente e apresentar os resultados de 
acordo com os padrões da comunidade técnica e científica. No entanto, sua 
missão mais importante consiste em desenvolver a capacidade de análise 
crítica desses resultados, para discutir o seu significado, sua validade e 
extrair conclusões logicamente fundamentadas. Esse quesito requer a maior 
atenção do estudante, pois terá o maior peso na avaliação. 
 
A apostila tem a finalidade de apresentar os objetivos e métodos dos experimentos 
propostos, que deverão ser compreendidos antes de realizar a aula prática. A Seção 
I, de Conceitos Gerais, apresenta conceitos de medidas, incertezas e 
processamento de dados que serão aplicados nas práticas das disciplinas de 
Laboratório de Física Geral I e II. Fique atento: as apostilas de práticas deste 
semestre indicam quais capítulos serão necessários estudar antes de fazer a 
prática. As apostilas das práticas estão localizadas na Seção II. A introdução teórica 
é apenas um guia para revisar sumariamente os conceitos físicos, imprescindíveis 
para entender a prática. Para uma discussão mais aprofundada, na seção de 
Bibliografia são indicados livros de referência. As seções de descrição da montagem 
experimental e dos procedimentos auxiliam na compreensão do experimento antes 
e durante a aula prática. As questões propostas têm a finalidade de chamar a 
atenção sobre aspectos fundamentais da prática, tanto da teoria como da análise 
dos resultados e, por isso, o estudante sempre deve tentar responde-las. As caixas 
 
 
 
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de texto tituladas A Física e a Engenharia apresentam exemplos de diferentes 
aplicações práticas e sua conexão com os conceitos físicos discutidos nos 
experimentos realizados no laboratório, com aplicações em diferentes áreas da 
Engenharia. 
 
Finalmente, o fator mais importante, para garantir o aproveitamento da aula prática, 
é a interação com o professor, os técnicos e os colegas. 
 
2.3 Dicas para a confecção dos relatórios 
 
Apresentaremos, a seguir, algumas sugestões de como o relatório, de um dado 
experimento, deverá ser elaborado. Lembre-se de que sua elaboraçãodeverá ser 
pensada para que qualquer pessoa, com conhecimentos básicos de Física, possa 
entender seu conteúdo sem ter de recorrer a outras fontes de informação. 
 
a) O relatório deve ser escrito em folha de papel almaço ou de acordo com as 
instruções do docente; 
b) Indique, inicialmente, o(s) nome(s) do(s) aluno(s) que estão elaborando o 
relatório, a data de sua realização e o título do experimento de acordo com a 
apostila; 
c) OBJETIVO(S): Descreva, de maneira clara e sucinta, o(s) objetivo(s) que 
deverão ser alcançados durante a realização do referido experimento; 
d) MATERIAIS E MÉTODOS: Descreva quais materiais e aparelhos foram 
utilizados durante a realização do experimento e como os dados experimentais 
foram obtidos. Essas informações devem permitir a qualquer outra pessoa repetir 
suas medidas sem que seja necessária sua participação ou a consulta à 
apostila. 
e) RESULTADOS E DISCUSSÃO: Apresente seus resultados de forma 
ordenada por meio de tabelas, gráficos etc. Descreva os itens apresentados na 
apostila e, em seguida, os resultados. Quando necessário, coloque equações no 
relatório e os dados utilizados nelas. DISCUTA seus resultados em função de 
 
 
 
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outros, obtidos no mesmo experimento, ou de valores disponíveis em tabela ou de 
valores esperados. 
f) CONCLUSÕES: Aqui deve ser apresentada uma conclusão geral do 
relatório: se os resultados obtidos estão de uma maneira geral, próximos ao 
esperado ou, se não, quais foram as causas desse desacordo. Faça uma análise do 
conhecimento adquirido pelo grupo durante a realização do experimento. 
 
A forma de organizar o relatório não é rígida. Pode-se dividi-lo em tantas partes 
quantas forem necessárias. Se o mesmo incluir várias experiências diferentes, é 
preferível apresentá-las separadamente para facilitar a leitura. 
 
Seção I: Conceitos Gerais 
 
Capítulo 1: Medidas de grandezas físicas 
 
Em Ciências Exatas, o resultado da medida de uma grandeza física consiste 
do valor numérico associado à sua incerteza, expressos no sistema de 
unidades apropriado. Esses valores devem refletir com a maior fidelidade 
possível o processo de medida completo, incluindo os instrumentos, a 
montagem experimental e o método experimental. Neste capítulo, são 
apresentados os conceitos fundamentais do processo de medida aplicados 
em todo tipo de experimento ou ensaios de laboratório e os critérios utilizados 
para a obtenção dos resultados. 
 
1.1 Medidas diretas e indiretas 
 
Nas medidas diretas, o valor numérico atribuído à grandeza física é lido 
diretamente da escala do instrumento. Podemos citar, como exemplos, o 
comprimento medido com uma régua, o tempo medido com um cronômetro 
ou a corrente elétrica medida com um amperímetro. 
 
 
 
 
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Nas medidas indiretas, a grandeza resulta de um cálculo realizado com 
valores de grandezas medidas diretamente. Por exemplo, o volume de um 
objeto pode ser determinado indiretamente, a partir das medidas diretas de 
suas dimensões com régua ou paquímetro. A maioria das grandezas físicas 
é medida indiretamente. Em alguns casos, a grandeza pode ser medida de 
ambas as formas. Por exemplo, a velocidade de um objeto é medida 
indiretamente através da medida direta da distância percorrida e o tempo 
empregado. No entanto, é possível também construir e calibrar um 
velocímetro, de forma que se obtenha diretamente o valor da velocidade em 
uma determinada escala. 
 
1.2 Precisão dos instrumentos 
 
Ao utilizar instrumentos de medida direta, temos que saber identificar a 
precisão D dos valores fornecidos. Em instrumentos com escalas de 
comparação ou ponteiros de agulha, a máxima precisão D pode ser 
identificada como a mínima divisão da escala que o observador é capaz de 
apreciar. Como exemplo, podemos utilizar uma trena, em que D = 1 mm. 
Alguns operadores, entretanto, têm apreciação maior e são capazes de fazer 
leituras no meio de duas divisões resultando em D = 0,5 mm. Quando for 
utilizado um instrumento com mostrador numérico, mecânico ou eletrônico, D 
é a última casa decimal mostrada. Contudo, note que a precisão D da escala 
não é garantida para toda medida; depende das condições de uso do 
instrumento. Assim, se usada uma trena para medir comprimentos e ela não 
estiver esticada e alinhada com o objeto, seria incorreto assumir que o valor 
medido tem uma precisão de 0,5 mm. 
 
1.3 Erros de medida 
 
Uma grandeza física, a ser determinada pelo processo de medida, possui 
um valor que poderíamos chamar de valor verdadeiro. Em alguns casos, 
 
 
 
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esse valor já é conhecido antes de fazer o experimento como, por exemplo, 
quando se mede um padrão para aferir o funcionamento de um 
equipamento. Porém, na maioria dos casos práticos o valor verdadeiro da 
grandeza é desconhecido. O resultado do experimento fornece o valor 
medido. Quanto mais próximo o valor medido está do valor verdadeiro, maior 
é a exatidão da medida. Como todo experimento possui uma incerteza 
intrínseca, chamada comumente de “erro”, nunca saberemos dizer se o valor 
que foi medido é exatamente o verdadeiro. Para saber avaliar de que ordem 
é o erro, devemos notar que existem três fontes fundamentais de erro. 
 
1.3.1 Erros grosseiros 
 
São cometidos por imperícia do operador, tais como erros de leitura ou de 
cálculos, desconhecimento do método experimental ou do uso dos 
instrumentos. Essa fonte de erros não será discutida, pois é um assunto 
evidentemente constrangedor. Fica como responsabilidade do operador do 
experimento conhecer o método de medida e saber como operar os 
instrumentos corretamente. 
 
1.3.2 Erros sistemáticos 
 
São cometidos de forma idêntica durante o experimento, tipicamente por uma 
limitação do método de medida ou uma falha do instrumento. Um exemplo típico é a 
medida de valores de comprimentos sem perceber que a régua utilizada não 
começa a partir do zero. Esses erros atuam sempre no mesmo sentido sobre o valor 
numérico, causando resultados por excesso ou defeito, com relação ao valor 
verdadeiro. A repetição do experimento nas mesmas condições não elimina esses 
erros. Portanto, o operador deve revisar cuidadosamente o método de medida e 
conferir a calibração dos instrumentos, para determinar se há possibilidade de estar 
cometendo erros sistemáticos. 
 
 
 
 
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1.3.3 Erros aleatórios ou estatísticos 
 
Esses são os erros mais importantes de analisar. São causados pelas 
mudanças aleatórias, não controladas, nas condições do processo de 
medida, incluindo o operador, os instrumentos, o ambiente do experimento e 
o próprio sistema físico. Por exemplo, a dificuldade visual do usuário para 
apreciar a escala ou a coincidência de um ponteiro do instrumento, causa 
flutuações na leitura, tanto para cima, como para baixo do valor verdadeiro. 
Esses erros são inevitáveis, mas pela sua natureza aleatória é possível 
definir estratégias experimentais para minimizá-los e para estimar o quanto 
influenciam na confiabilidade do resultado numérico. 
 
1.4 Incerteza em medidas diretas 
 
A existência de erros aleatórios pode fazer com que o resultado numérico xi, obtido 
da medida de uma grandeza física X, não seja reprodutível em ocasião da repetição 
do experimento. Dessa maneira, uma série de N medidas pode mostrar uma 
dispersão de valores. Quando a dispersão é aleatória, aparecem valores acima e 
abaixo do valor verdadeiro com a mesma probabilidade. Assim, ao calcular a média 
aritmética dos xi, dada pela equação (1), os erros aleatórios tendem a se cancelar 
mutuamente. 
 ( 1 ) 
Para um número 𝑁, suficientemente grande de medidas, podemos esperar que 𝑥 se 
aproxime do valor verdadeiro e o resultado do experimento seja cada vez mais 
exato. 
 
Qual será, então, a incerteza provável associadaà dispersão dos resultados do 
experimento? Existem duas formas mais comuns de avaliar o grau de dispersão: o 
desvio médio e o desvio padrão. O desvio médio ∆ é simplesmente a média 
 
 
 
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aritmética dos desvios de cada dado experimental com relação ao valor médio, em 
módulo, conforme mostrado a seguir: 
 
 
 
 ( 2 ) 
O desvio padrão 𝜎 tem um significado semelhante, utilizando a função quadrado, 
que também é sempre positiva, em lugar do módulo dos desvios. 
 ( 3 ) 
A raiz quadrada garante que 𝜎 tenha as mesmas unidades da 
grandeza 𝑋. Tanto ∆ como 𝜎 indicam a ordem de grandeza da dispersão dos 
dados ao redor do valor de 𝑥 . Assim, o resultado do processo de medida 
pode ser informado fornecendo o intervalo (𝑥 — 𝜎, 𝑥 + 𝜎). Um tratamento 
estatístico rigoroso mostra que se o experimento for repetido, existe uma 
probabilidade de 68% de que o valor medido se encontre dentro desse 
intervalo. 
 
Assim, o resultado do experimento com sua incerteza, deve ser 
representado da seguinte forma: 
 ( 4 ) 
ou, de forma menos rigorosa: 
 ( 5 ) 
É importante, portanto, entender que o resultado do experimento não é, 
simplesmente, um número 𝑥 , o valor mais provável, mas um intervalo de confiança 
 
 
 
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que dá uma ideia da magnitude dos erros aleatórios afetando o experimento. Os 
experimentos de maior precisão são aqueles cujo desvio padrão é menor. 
Observe que um experimento preciso (𝜎 pequeno, erros aleatórios pequenos) 
não, necessariamente, é um experimento exato (𝑥 próximo do valor verdadeiro); a 
presença de erros sistemáticos pode afastar todos os valores 𝑥i do valor verdadeiro. 
Note que nas equações (2) e (3), os desvios dependem inversamente do número de 
medidas 𝑁 e, portanto, tendem a se reduzir quando 𝑁 aumenta. Esse 
comportamento parece indicar que podemos aumentar a precisão do experimento 
sem limites, simplesmente repetindo as medidas, o que é falso. Temos de lembrar 
que a precisão da medida está limitada pela precisão dos próprios instrumentos. 
Então, quando o valor calculado para 𝜎, ou para ∆, é menor que a precisão D do 
instrumento, a incerteza será dada pelo próprio valor D: 
 ( 6 ) 
 
1.4.1 Dados sem dispersão 
 
Em algumas medidas diretas, pode ocorrer que todos os valores 𝑥i medidos sejam 
idênticos, ou difiram, no máximo, no valor da mínima divisão da escala do 
instrumento D. Nesse caso, a dispersão é nula e não há necessidade de calcular 
uma média; o resultado do experimento é único (𝑥i). O exemplo típico é a medida de 
comprimentos de objetos rígidos, de faces bem definidas, com uma trena (D = 1 
mm) ou um paquímetro (D = 0,05 mm); a repetição da medida fornece valores 
equivalentes. Isso significa que os erros aleatórios são pequenos, menores que a 
precisão D do instrumento. Nesse caso, a incerteza do experimento pode ser 
atribuída à D e o resultado da medida é: 
 ( 7 ) 
 
 
 
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1.5 Incerteza em medidas indiretas: propagação de erros 
 
Quando uma grandeza 𝑧, determinada indiretamente, é uma função de várias 
grandezas medidas, com suas respectivas incertezas, de maneira direta (𝑥 ± ∆𝑥, 𝑦± 
∆𝑦, ...), sua incerteza ∆𝑧 será determinada a partir das incertezas das grandezas 
medidas. Por exemplo, o volume 𝑉 de um cubo de aresta 𝑎, cuja medida direta 
forneceu 𝑎 = (10 ± 1)𝑐𝑚, terá como valor mais provável 𝑣 = (10 𝑐𝑚)3 = 1000 𝑐𝑚3. 
Entretanto, como 𝑎 tem dispersão, teremos variações prováveis no valor de 𝑉 entre 
𝑉– = (9 𝑐𝑚)
3 = 729 𝑐𝑚3 e 𝑉+ = (11 𝑐𝑚)
3 = 1331 𝑐𝑚3. Arredondando para uma faixa 
simétrica, resulta em 𝑉 = (1000 ± 300)𝑐𝑚3, ou seja, a incerteza de 𝑎 ―se propagou‖ 
para 𝑉. 
Existe uma forma sistemática de calcular a propagação das incertezas para 
qualquer operação matemática elementar ou função. Supondo que a grandeza 
física, medida indiretamente, está determinada por uma função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦, … ), das 
várias grandezas medidas diretamente com suas respectivas incertezas (𝑥 ± ∆𝑥, 𝑦± 
∆𝑦, ...), a incerteza ∆𝑧 propagada pode ser calculada utilizando ferramentas do 
cálculo diferencial, conforme mostrado a seguir: 
 ( 8 ) 
 
 
 
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Aplicando a equação (8) para funções simples, obtêm-se os resultados de 𝑧 ± ∆𝑧 
para várias funções elementares que aparecerão neste curso, mostrados na tabela 
abaixo as Funções mais complexas podem ser decompostas com ajuda dessas 
fórmulas básicas e da equação (8). 
 
 
 
 
Voltando para o exemplo do volume do cubo, se consideramos a fórmula de 
propagação para a potência cúbica, com 𝑥 = 10 𝑐𝑚 e ∆𝑥 = 1 𝑐𝑚, conferimos que ∆𝑉 
= 3 (10 𝑐𝑚)2(1 𝑐𝑚) = 300 𝑐𝑚3 é exatamente a estimativa realizada para a incerteza 
de 𝑉. 
 
Nos cálculos de propagação de erros, constantes físicas bem conhecidas, como 𝑔, 
por exemplo, ou números irracionais, como 𝜋 ou 𝑒, são considerados sem erro. 
Nesse caso, o número de algarismos significativos utilizados deve ser suficiente 
para que o efeito do truncamento seja desprezível diante das incertezas 
experimentais. 
 
 
 
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1.6 Algarismos significativos e arredondamento 
 
Quando, por meio de um cálculo, obtemos valores de 𝑥 , 𝜎 ou ∆, são originados 
números com vários dígitos. Tendo em conta que são resultados experimentais, 
medidos com instrumentos de precisão D e afetados por erros aleatórios, é lógico 
pensar que muitas das casas decimais obtidas são irrelevantes. Qual é, portanto, o 
critério para decidir quais são os dígitos significativos? 
 
O parâmetro chave é a própria incerteza, seja , 𝜎, ∆ ou D. Vimos que a incerteza é o 
tamanho de um intervalo probabilístico. Portanto, a extensão desse intervalo fica 
essencialmente definida quando especificamos a primeira casa significativa. 
Consequentemente, como o resultado 𝑥 do experimento já está afetado pelo erro 
nessa casa, seu valor pode ser truncado e arredondado nessa mesma ordem de 
grandeza. 
 
Consideremos o resultado de uma medida de comprimento como 𝑥 = 5,34481349 𝑚 
com desvio padrão 𝜎 = 0,03253496 𝑚, tal como fornecido pela calculadora. A faixa 
de dispersão indicada por esse valor de 𝜎 pode ser aproximada truncando o 
resultado considerando o primeiro algarismo significativo: 𝜎 = 0,03 𝑚. A inclusão da 
próxima casa representaria um aumento de 2 𝑚𝑚 no tamanho do intervalo (que é 
de 30 𝑚𝑚, ou seja, uma ordem de grandeza maior). Esses 2 𝑚𝑚 adicionais não 
melhoram nossa compreensão de quanto estavam dispersos os dados (dezenas de 
centímetros). Considerando agora o valor de 𝑥 , vemos que a segunda casa decimal, 
das dezenas de cm, já está afetada pelo erro. As casas restantes são, portanto, 
irrelevantes; são, no máximo, da ordem de alguns cm sendo, que a dispersão dos 
valores medidos é da ordem de 30 𝑚𝑚. Portanto, é razoável especificar o resultado 
como 
 
 
 
 
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É importante notar que quando a casa a ser truncada for maior ou igual a 5, na 
incerteza ou no valor médio, é conveniente adotar o critério de arredondamento para 
cima. 
 
Consideremos, agora, o resultado de uma medida de comprimento como 𝑥 = 
5,34481349 𝑚 com desvio padrão dado por 𝜎 = 0,00363496 𝑚, tal como fornecido 
pela calculadora. Assim como feito anteriormente, truncamos o desvio na primeira 
casa diferente de zero. No entanto, como a casa decimal seguinte é maior que 5, é 
conveniente adotar o critério de arredondamento para cima, resultando em 𝜎 = 
0,004 𝑚. Nesse caso, a medida pode ser representada apropriadamente da 
seguinte forma: 
 
 
Note que o mesmo critério foi utilizado no truncamento do valor médio. 
 
1.7 Comparação de grandezas físicas com incertezas 
 
Suponhamos que se deseje comparar dois resultados com incerteza, 𝑥1 ± 𝜎1 e 𝑥2 ± 
𝜎2,relativos a diferentes medidas da mesma grandeza física. Em quais condições 
podemos afirmar que ambos são equivalentes ou diferentes entre si? A simples 
comparação dos valores mais prováveis 𝑥1 e 𝑥2 não é suficiente para decidir, pois 
cada um desses resultados experimentais tem uma faixa de incerteza. A forma 
correta de proceder é comparar a diferença entre os valores mais prováveis com 
relação aos erros. Assim, consideramos que os resultados 𝑥1 e 𝑥2 são equivalentes 
entre si quando 
 ( 9 ) 
Essa relação indica que a separação entre os valores é, no máximo, duas vezes a 
combinação das incertezas. Por outro lado, os resultados serão considerados como 
não-equivalentes quando 
 
 
 
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 ( 10 ) 
A figura abaixo ilustra as condições de equivalência e não-equivalência, 
representando, graficamente sobre um eixo, os valores das grandezas com seu 
intervalo de incerteza. Quando o valor da diferença |𝑥1 — 𝑥2| fica entre as condições 
expressas em (9) e (10), o resultado desses experimentos não é suficientemente 
conclusivo para afirmar se há equivalência ou não entre as medidas. Nessa 
situação, o procedimento correto é repetir cuidadosamente os experimentos 
tentando excluir a presença de erros sistemáticos ou grosseiros. 
 
 
 
Capítulo 2: Tabela de dados e gráficos 
 
 
 
 
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Em Ciências Exatas os resultados de testes, análises ou experimentos fornecem 
conjuntos de resultados numéricos que precisam ser organizados para facilitar sua 
interpretação, processamento e divulgação. Existem critérios gerais para organizar 
essa informação. Neste capítulo são apresentados os conceitos fundamentais de 
apresentação e processamento de dados experimentais na forma de tabelas e 
gráficos. 
 
2.1 Tabelas 
 
Muitos experimentos fornecem resultados numéricos vinculando duas grandezas 
físicas ou dois parâmetros de relevância para a operação de um dispositivo. O 
conjunto de pares de dados numéricos (x, y), representando essas grandezas 
medidas, pode ser apresentado diretamente numa tabela de duas colunas. Cada 
grandeza tabelada deve ser identificada no cabeçalho de sua respectiva coluna 
junto com suas unidades. Se a incerteza dos valores for a mesma para todos os 
elementos, seu valor pode aparecer também no cabeçalho. Caso contrário, cada 
entrada da tabela deve ter sua incerteza indicada. 
 
A tabela abaixo é um exemplo de como organizar essa informação. Ela deve ter um 
número de identificação, que deve ser utilizado no texto para referenciá-la. Também 
deve ter uma legenda acima, explicando brevemente o conteúdo. Quando for 
necessário, usa-se notação exponencial científica para simplificar os números. Por 
exemplo, na segunda coluna da tabela abaixo, o fator exponencial 10-4 , comum a 
todas as entradas, é colocado no cabeçalho junto às unidades para simplificar a 
leitura. 
 
 
 
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Dicas para criar boas tabelas 
 
 Identifique a tabela com um número (ex.: Tabela 1), que será usado para 
citá-la no texto, e coloque no topo uma breve legenda explicativa do 
conteúdo. 
 Indique, no topo de cada coluna, a grandeza física e suas unidades. 
 Use notação científica para reduzir a quantidade de dígitos. Se a potência 
de 10 é a mesma para todos os valores, coloque-a no topo da tabela 
junto às unidades. 
 Indique a incerteza dos dados. Se for a mesma para todos, indique no 
topo da coluna 
 
2.2 Gráficos 
 
A representação dos dados através de gráficos tem a vantagem de permitir 
visualizar a relação entre as grandezas analisadas. Como exemplo, a figura 
abaixo mostra o gráfico dos dados listados na tabela acima do tópico 2.1. A 
simples inspeção do gráfico permite identificar rapidamente que a relação entre 
as grandezas representadas é linear. 
 
 
 
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Existem regras gerais para a elaboração dos gráficos, que são aceitas pela 
comunidade técnica e científica: 
 
a) O gráfico sempre deve estar numerado e ter uma legenda explicativa, de 
maneira que o leitor compreenda essencialmente o que se representa sem ter de 
ler o texto do relatório. 
b) Os eixos do gráfico devem conter legendas que indiquem claramente a 
grandeza, as unidades e, se houver, o fator exponencial dos dados 
representados. 
c) As escalas de cada eixo devem ser escolhidas para visualizar 
claramente o comportamento extremo dos dados. Dependendo da situação, não 
é obrigatório que a escala abranja a origem (0; 0) das coordenadas dos eixos 
(veja figura acima). 
d) A numeração das escalas deve ser equilibrada, correspondendo a 
números redondos. Nunca se colocam os valores dos dados experimentais sobre 
os eixos; para isso existe a tabela. 
e) O tamanho dos símbolos deve ser suficientemente claro para identificar o 
dado experimental. Quando a incerteza 𝜎 (ou ∆) do dado é maior que 
f) o tamanho do símbolo sobre o gráfico, é conveniente traçar as barras de 
incerteza de comprimento ±𝜎 (ou ±∆). Na figura acima, são mostradas as barras 
de incerteza na variação dos comprimentos. A incerteza na temperatura é menor 
que o tamanho do círculo e, portanto, não se encontra representada no gráfico. 
g) A grandeza representada no eixo horizontal usualmente é escolhida 
como aquela que é melhor controlada durante o experimento; o aparelho 
experimental permite variá-la independentemente e tem menor incerteza relativa 
que a outra grandeza. 
 
 
 
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h) Se o gráfico evidencia uma relação linear entre as grandezas físicas 
representadas, é possível traçar a reta que mais perfeitamente represente essa 
relação. Ela deve ser a melhor aproximação aos dados experimentais em média 
e pode ser traçada graficamente de acordo com o critério do observador. 
Alternativamente, existem métodos quantitativos para determinar univocamente 
os coeficientes angular e linear. 
 
Dicas para criar bons gráficos 
 
 A variável independente deve ser representada, sempre que possível, no 
eixo horizontal. 
 Linearize os dados quando for possível, operando sobre as colunas ou 
usando escalas logarítmicas. 
 Escolha as escalas de forma a aproveitar a maior área possível do gráfico 
com os dados. Porém, você deve encontrar um compromisso para que isso não 
resulte em escalas esdrúxulas (por exemplo com divisões fracionárias). 
 Identifique as grandezas sobre os eixos e suas unidades. 
 Numere as escalas com poucos números redondos. Use notação científica 
para reduzir os dígitos. 
 Desenhe claramente os dados experimentais e, caso haja mais de um 
conjunto, use símbolos (círculos, quadrados, cruzes etc.) ou cores diferentes. 
 Quando a incerteza dos dados for maior que o tamanho do símbolo, 
coloque bandas de erro. 
 Identifique o gráfico com um número (ex.: Figura 1), que será usado para 
citá-lo no texto. Coloque uma breve legenda no gráfico. 
 
2.3 Linearização e escalas logarítmicas 
 
O exemplo mostrado na figura acima, no tópico 2.2, corresponde a um gráfico 
com ambos os eixos em escalas lineares. Em cada eixo, as divisões mantêm 
sempre a mesma relação de escala. Existem outras escalas possíveis, cuja 
relação não se mantém fixa, que podem ser convenientes para evidenciar certos 
comportamentos dos dados representados. Como a reta é o único traço que 
pode ser facilmente visualizado sem ambiguidades sobre um gráfico, as 
transformações de escala mais úteis são aquelas que tendem a linearizar o 
gráfico dos dados experimentais. A seguir, são discutidos dois exemplos de 
linearização. 
 
2.3.1 Linearização dos dados 
 
Quando existe uma presunção sobre a relação matemática entre as duas 
 
 
 
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grandezas y e x, representadas em um gráfico, é possível transformar os próprios 
dados para revelar se essa relação proposta é correta. Consideremos o caso dos 
dados de y e x listados na tabela abaixo. Esses dados estão representadosna 
figura abaixo parte a, em um gráfico com escala linear. A relação entre y e x é 
claramente não linear, mas é impossível determinar se é quadrática, cúbica etc., 
julgando apenas pela forma do gráfico. 
 
 
 
Supondo que se deseje testar se a relação é de tipo cúbica, ou seja, 𝑦 = 𝑎𝑥3, 
pode-se criar uma nova coluna na tabela acima, conforme feito, com os valores 
de uma variável auxiliar 𝑋 = 𝑥3 e representar graficamente a relação entre y e 𝑋. 
 
 
 
 
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A figura acima parte b mostra esse gráfico, no qual é possível verificar claramente 
que a relação entre essas quantidades é linear, com uma reta passando pela 
origem, ou seja, 𝑦 = 𝑎𝑋. Desta forma, fica demonstrado que 𝑦 = 𝑎𝑥3 e o valor do 
coeficiente angular 𝑎 pode ser calculado diretamente da inclinação da reta na figura 
acima parte b. 
 
2.3.2 Escalas logarítmicas 
 
Um método alternativo de linearização consiste em manter os dados y e x originais 
da tabela e transformar as escalas do gráfico de maneira logarítmica. Esse gráfico, 
com eixos ―distorcidos‖ logaritmicamente, pode ser feito de duas formas: usando 
papéis especiais, cujas escalas já estão transformadas em logaritmo, ou no 
computador, usando programas que aplicam essa transformação. 
 
A figura abaixo mostra novamente um gráfico do conjunto de dados da tabela 
acima, no tópico 2.3.1, na escala linear convencional (figura abaixo parte a) e em 
escala logarítmica ou “log- log” (figura abaixo parte b), ou seja, os dois eixos em 
escala logarítmica. Os números e divisões mostrados sobre os eixos logarítmicos 
correspondem às mesmas unidades que na figura abaixo parte a. Essa convenção 
facilita a identificação dos dados na hora de construir ou ler o gráfico. No entanto, 
quando forem extraídos valores numéricos do gráfico, deve-se lembrar que as 
coordenadas representam os valores logarítmicos das grandezas. Por exemplo, o 
valor identificado como ―10‖ nos eixos logarítmicos da figura abaixo parte b 
corresponde ao valor numérico log (10). 
 
Observe que no eixo vertical da figura abaixo parte b, a distância medida no papel 
entre os valores log (1) e log (10) é a mesma que entre log (10) e log (100), ou entre 
log (100) e log (1000). Esse comportamento resulta diretamente das propriedades 
dos logaritmos. A distância, por exemplo, entre log (100) e log (1000) é: 
 (1) 
 
 
 
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37 
 
 
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que é o mesmo valor que resulta para as outras diferenças. Essa distância é 
chamada de ciclo ou década e corresponde a um incremento em um fator 10 na 
grandeza representada. O gráfico da figura abaixo parte b expande 3 ciclos no eixo 
vertical e um ciclo no horizontal. 
 
Observe, ainda, que, diferentemente do que ocorre na escala linear, a escala 
logarítmica é progressivamente comprimida para valores mais altos dentro de uma 
mesma década. 
 
2.3.2.1 Linearização da função potência 
 
 
 
 
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Uma aplicação muito importante das escalas logarítmicas é na linearização de 
dados. Suponhamos o caso de uma relação de potência entre duas grandezas: 
𝑦 = 𝑎𝑥n (2) 
sendo a e n constantes. Aplicando logaritmo a ambos os lados da igualdade, 
temos: 
log(𝑦) = log(𝑎) + 𝑛 log(𝑥) (3) 
Portanto, um gráfico das grandezas (x, y), em escalas logarítmicas, resultará em 
uma reta de inclinação n. O valor de n é obtido tomando as coordenadas, de dois 
pontos (𝑥1; 𝑦1) e (𝑥2; 𝑦2) quaisquer, pertencentes à reta traçada. A partir dessas 
coordenadas, calcula-se a inclinação da forma usual, lembrando que as 
coordenadas extraídas correspondem aos logaritmos dos valores lidos: 
 (4) 
Dessa forma, é possível calcular o expoente n sem a necessidade de operar sobre 
os dados. Essa é a principal vantagem com relação à linearização descrita na seção 
2.3.1. Além disso, se n não é conhecido, essa é a única forma de determina-lo sem 
ter que ―chutar‖ valores prováveis. 
 
2.3.2.2 Linearização da função exponencial 
 
Outro exemplo de linearização importante é o caso de uma relação exponencial: 
𝑦 = 𝑎𝑏cx (5) 
sendo a, b e c constantes. Aplicando logaritmo em ambos os lados dessa equação, 
encontramos: 
log(𝑦) = log(𝑎) + 𝑐 log(𝑏) 𝑥 (6) 
A equação (6) mostra que existe uma relação linear entre log(𝑦) e 𝑥. Portanto, um 
gráfico mono-log, com o eixo vertical em escala logarítmica e o eixo horizontal em 
 
 
 
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escala linear, mostrará uma reta. A inclinação da reta é o coeficiente 𝐵 = 𝑐 log(𝑏), 
que pode ser calculado como: 
 (7) 
 
Para o caso especial de uma função exponencial com 𝑏 = 10, a inclinação 𝐵 resulta 
simplesmente no parâmetro 𝑐 do expoente. 
 
A tabela abaixo mostra os valores de amplitude de oscilação de um sistema 
amortecido em função do tempo. Sabe-se que a resposta do sistema é dada pela 
função exponencial decrescente no tempo: 
(𝑡) = 𝑎𝑒–ct (8) 
 
Nesse problema, os valores de amplitude (y) variam numa faixa maior que um fator 
10 e menor que 100 (de 0,036 a 1,000). Então, a escolha mais conveniente para o 
eixo logarítmico é de duas décadas. A figura abaixo mostra o gráfico resultante. 
Observe que a escala logarítmica não permite liberdade na escolha das divisões; 
cada década deve expandir exatamente um fator de 10 na grandeza física. Por isso, 
o eixo começa em 0,01 e as próximas décadas são 0,1 e 1. O comportamento 
linear, observado para os dados experimentais, confirma que a dependência de y 
com t é exponencial e decrescente. Traçando uma reta sobre os dados 
experimentais, pode-se calcular os valores dos parâmetros. 
 
 
 
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Seção II: Apostila de Práticas 
 
A Física é uma ciência experimental, portanto, o ensino dessa matéria também deve 
utilizar experimentos. Assim, montar um laboratório de Física pode ser uma boa 
pedida para as aulas irem além do que é ensinado nos livros e abordarem também 
o aspecto experimental dessa ciência. No entanto, nem sempre essa é uma tarefa 
fácil, pois as atividades experimentais dependem de um bom planejamento do 
professor. Sendo assim, trazemos algumas sugestões de materiais para a 
montagem de um laboratório de Física que podem ajudar o professor a escolher os 
instrumentos mais adequados para abordar experimentalmente os diversos 
conceitos físicos. 
 
Instrumentos de medida 
 
As medidas são importantíssimas nas experiências de Física, por isso são 
necessários instrumentos precisos para realizá-las com qualidade, caso contrário, o 
experimento pode não ser válido. Veja a lista a seguir com os principais 
instrumentos de medida que são necessários em um laboratório de Física e quais 
as suas finalidades: 
 
 
 
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Balanças: de preferência as digitais e com boa precisão para realizar medidas de 
massa das amostras ou dos corpos envolvidos no experimento. Várias grandezas 
da Física dependem da massa dos corpos, como a força, quantidade de movimento, 
densidade, entre outras. Por isso, a balança é tão importante. 
 
Cronômetros: para fazer medidas de tempo. São necessários no ensino de 
Cinemática, por exemplo, para calcular a velocidade e a aceleração dos corpos, 
pois é preciso conhecer o tempo em que ocorre o movimento. 
 
Réguas e trenas: para medir distâncias ou comprimentos; 
 
Paquímetros: para obter medidas precisas de espessura; 
 
Provetas: com diferentes capacidades para fazer medidas de volume. São 
necessárias no estudo da densidade, empuxo, teorema de Arquimedes, entre vários 
outros conteúdos. 
 
Dinamômetros: para medir a força. São importantíssimos em atividades 
experimentais de Dinâmica. 
 
Barômetros: para medir a pressão atmosférica; 
 
Termômetros: de álcool, mercúrio ou digitais. Utilizados para medir a temperatura, 
esses materiais são utilizados principalmente no estudo da Termologia, nos 
conteúdos de dilatação,conversão entre escalas, transformações gasosas etc. 
 
Multímetro: Realiza todas as medidas elétricas, como capacitância, resistência 
elétrica, corrente elétrica, diferença de potencial etc. É essencial no terceiro ano do 
Ensino Médio quando se estuda a Eletrodinâmica e todas essas grandezas citadas. 
 
 
 
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A quantidade de aparelhos a serem adquiridos dependerá da quantidade de alunos 
presentes por sala. Não é recomendado que um aparelho seja usado por grupos de 
mais de três alunos, porém, dependendo da quantidade de materiais disponíveis, o 
ideal é que os alunos troquem os materiais entre si para que todos possam usar. 
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Equipamentos experimentais por área 
 
Além dos instrumentos de medida citados, também são necessários outros 
materiais básicos, que podem ser divididos por área do conhecimento. Veja 
algumas sugestões: 
 
Mecânica 
 Roldanas, bases, hastes e suportes: utilizados para montagem dos 
experimentos; 
 Molas: utilizadas no estudo das oscilações; 
 Trilhos de ar: Materiais que tornam o atrito desprezível que podem ser 
utilizados em experimentos de Cinemática e Dinâmica para o estudo do 
movimento dos corpos. 
 
Termologia 
 Mergulhões e béqueres, utilizados para aquecer água; 
 Tubos de diferentes tipos de materiais para o estudo da dilatação; 
 Calorímetros para o estudo de calor específico e capacidade térmica; 
 Modelos de máquinas térmicas. 
 
Óptica 
 Laser e lâmpadas, utilizados como fontes de luz; 
 Espelhos planos e esféricos para o estudo da reflexão da luz; 
 Lentes; 
 Prisma de acrílico para estudar a decomposição da luz; 
 Fendas simples, fendas duplas e polarímetros. 
 
 
 
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Electromagnetismo 
 Gerador de Van der Graff para trabalhar os principais conceitos da 
Eletrostática; 
 Fontes de tensão; 
 Condutores para fazer conexões elétricas; 
 Resistores, capacitores, diodos; 
 Bússolas e imãs magnetizados de formas diferentes, que podem ser 
utilizados para estudar o comportamento das linhas de campo magnético; 
 Motores e geradores para o ensino da indução eletromagnética; 
 Bobinas para demonstrar o comportamento magnético dos condutores ao 
serem percorridos por uma corrente elétrica. 
 
Ondulatória 
 Gerador de frequências; 
 Osciloscópio; 
 Molas flexíveis para o estudo de ondas longitudinais e transversais; 
 
Física Moderna 
 Espectrômetro completo e diferentes fontes de luz; 
 Contador Geiger e fontes radioativas para estudar a emissão de partículas 
por uma fonte radioativa; 
 
Os materiais aqui citados podem ser encontrados principalmente em lojas virtuais 
especializadas, uma vez que não existem muitas empresas que investem na área. 
Mesmo implementando um laboratório de Física na escola, o professor não pode 
deixar de lado as atividades experimentais de baixo custo, já que essas também 
têm o seu valor pedagógico e muitas vezes podem suprir a falta de recursos 
financeiros da escola 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
 
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espaço para a formação continuada do professor – Dissertação de Mestrado. Santa 
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de Mestrado. São Paulo: USP CHAGAS, Elza Marisa P. de Figueiredo (2002). 
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Matemática – Dissertação de Mestrado. Jacarezinho - PR: FAFIJA 
 
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MENDES, Paula Cristina (2002). Projeto de Criação de um Laboratório de 
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