Determinação da Constante Elástica de uma Mola

Prévia do material em texto

Aula 8 e 9 - Experimento: Determinac¸a˜o da
constante ela´stica de uma mola
Prof. Nilton
1 Resumo
Neste experimento vamos deteminar o valor nume´rico da constante ela´stica de um mola.
Usaremos dois me´todos: esta´tico e dinaˆmico. O esta´tico baseia-se na relac¸a˜o entre a forc¸a
aplicada e a elongac¸a˜o da mola (F = −k∆x). O dinaˆmico baseia-se na medic¸a˜o do per´ıodo
de oscilac¸a˜o de um sistema massa-mola (T = 2pi
√
m/k). Usaremos as te´cnicas experi-
mentais de ca´lculo de me´dias e incertezas, propagac¸a˜o de incertezas, ana´lise dimensional,
ana´lise gra´fica e o me´todo dos mı´nimos quadrados, para a ana´lise dos dados.
2 Introduc¸a˜o
A propriedade mais conhecida de uma mola e´ que ela muda seu comprimento quando
submetida a uma forc¸a de trac¸a˜o ou compressa˜o. A relac¸a˜o entre quanto deforma (∆x) e
a forc¸a aplicada (F ) e´ uma constante da mola (cuidado: existe um limite ela´stico, a partir
do qual a mola de deforma permanentemente), conhecida por constante ela´stica (k). A
relac¸a˜o entre estas grandezas e´ estabelecida pela Lei de Hooke:
F = −k∆x (1)
Uma segunda propriedade interessante, decorrente da equac¸a˜o 1, e´ que o sistema
massa-mola pode oscilar quando retirado da condic¸a˜o de equil´ıbrio (∆x = 0). O per´ıodo
de oscilac¸a˜o (T ) depende da massa (m) da carga sustentada e da constante da mola (k),
de acordo com a relac¸a˜o
T = 2pi
√
m
k
(2)
Assim, temos dois me´todos experimentais para a determinac¸a˜o da constante ela´stica
de uma mola. Como em qualquer me´todo experimental, temos que ter conscieˆncia e con-
trole das condic¸o˜es de execuc¸a˜o do experimento, principalmente se queremos reproduzir
resultados teo´ricos va´lidos em condic¸o˜es ideais (eqs. 1 e 2). Tambe´m, a obtenc¸a˜o de dados
experimentais deve ser acompanhada por uma boa ana´lise nume´rica e estat´ıstica, para
que possamos extrair do experimento, informac¸o˜es coerentes e confia´veis sobre o sistema
em estudo.
3 Estudo esta´tico da mola
A primeira parte do experimento sera´ o estudo esta´tico da mola, usando a equac¸a˜o 1. A
metodologia para obtenc¸a˜o do dados experimentais poderia ser bem simples: adiciona-se
massa ao sistema, e observa-se o deslocamento de um ponto-refereˆncia. Isso nos levaria a
um gra´fico (m x ∆x), cujo coeficiente angular seria proporcional e´ constante ela´stica (k)
procurada.
1
Mas, como bons experimentadores, vamos aprimorar tal metodologia. Precisamos
inicialmente nos preocupar em tornar ideais as condic¸o˜es experimentais e na˜o ultrapassar
os limites ela´sticos da mola.
Um sistema massa-mola ideal e´ composto por uma carga ideal (massa puntual ou com
densidade infinita) e uma mola ideal (sem massa e sem dissipac¸a˜o de energia durante a
elongac¸a˜o), imersos em va´cuo, para na˜o haver o Empuxo do fluido ar! Mola sem massa na˜o
e´ poss´ıvel, mas podemos escolher uma carga (mc) muito maior do que a massa da mola
(mm), de forma que a massa total (mT ) do sistema seja praticamente a massa da carga
suspensa (mT = mc +mm ≈ mc). Com isso, o Empuxo do ar seria desprez´ıvel em relac¸a˜o
ao peso da carga suspensa, ale´m de minimizar o problema da mola com massa. Pore´m,
isso poderia gerar o problema da deformac¸a˜o da mola (ultrapassar o limite ela´stico).
Assim, temos que escolher adequadamente os valores para a menor e maior carga
aplicada ao sistema. Para definir a menor carga, podemos impor que mc deve ser pelo
menos 10 vezes maior do que mm
1. Medindo-se a massa da mola, podemos facilmente
definir a menor carga aplicada ao sistema! A determinac¸a˜o da maior carga na˜o e´ ta˜o
trivial. So´ saberemos que ultrapassamos o limite ela´stico da mola, se a deformarmos
definitivamente! Mas, se a deformarmos, perderemos a mola!! Uma sa´ıda seria realizar
um pre´-experimento para estudar o limite entre o regime ela´stico e pla´stico da mola, para
depois determinar sua constante ela´stica! Um estudo detalhado sobre isso na˜o e´ via´vel no
nosso contexto. Enta˜o vamos usar o bom senso, a malandragem e um pouco de sorte!!
Uma maneira fa´cil de verificar se a mola foi deformada e´ realizar as medic¸o˜es (m
x ∆x) acrescentando-se carga ate´ um valor ma´ximo, e depois medir, retirando-as! Se
o comportamento nas duas direc¸o˜es for equivalente, podemos garantir que na˜o houve
deformac¸a˜o! Mas aqui temos que fazer duas considerac¸o˜es:
1. obter a mesma deformac¸a˜o acrescentando ou retirando massa implica em estimar a
incerteza experimental associada a medic¸a˜o de ∆x (na˜o e´ apenas a metade da menor
escala, mas deve incluir eventuais perturbac¸o˜es devido a` mola). Se as diferenc¸as
estiverem dentro da incerteza, podemos assumir que na˜o houve variac¸a˜o;
2. a intenc¸a˜o de acrescentar carga na˜o e´ para romper o limite ela´stico, mas sim para
obtermos va´rios pontos experimentais (m x ∆x) para gerar um bom gra´fico (es-
peramos que seja um reta) que permitira´ determinar a constante ela´stica da mola.
Quanto mais pontos, adequadamente distribu´ıdos no gra´fico, melhor. Assim, deve-
mos acrescentar e retirar massas constantemente, sempre observando se na˜o houve
deformac¸a˜o. Quando observarmos que houve deformac¸a˜o, devemos excluir tal ponto
e descartar a mola!!! Mas antes que isso ocorra (esperamos que na˜o acontec¸a) de-
veremos ter condic¸o˜es de obter cerca de 7 (sete) pontos experimentais va´lidos, ade-
quadamente distribu´ıdos! Para avaliar se a carga ma´xima usada e´ ideal, podemos
compara´-la com a massa da mola (uma relac¸a˜o de 1% e´ esperada). Com isso, po-
demos determinar a carga ma´xima a ser usada, e finalmente realizar as medic¸o˜es.
Agora, conhecendo-se as cargas mı´nima e ma´xima, podemos iniciar a coleta de dados
experimentais!
1a relac¸a˜o mc/mm influenciara´ a qualidade dos dados experimentais, em especial para os menores
valores de mc
2
3.1 Obtenc¸a˜o dos dados experimentais
Para a obtenc¸a˜o dos dados experimentais, precisamos marcar a posic¸a˜o de equil´ıbrio do
sistema, a partir da qual sera˜o medidos os deslocamentos ∆x 2. Isso deve ser feito sem
o suporte das cargas, ou seja, apenas a mola suspensa. A massa do suporte deve ser
acrescentada a` todas as cargas, para evitar um erro sistema´tico.
Agora podemos comec¸ar a completar a tabela de dados:
Tabela 1: Resultados (esta´tico)
massa [g] ∆x ∆x ∆x ∆x me´dia incerteza
↓ ↑ ↓ ↑ [cm] [cm]
zero zero
m1
...
mn
Obs: anotaremos os valores absolutos de ∆x.
3.2 Ana´lise gra´fica
A partir da tabela 1 podemos fazer o gra´fico mg x ∆x (espera-se uma reta em papel mili-
metrado) e calcular os coeficientes da reta que melhor se ajusta aos dados experimentais,
usando o me´todo dos mı´nimos quadrados (a, b e r2):
y = ax+ b
m.g = k∆x+ Fe (3)
onde Fe e´ o coeficiente linear da reta ajustada (b), cujo valor nume´rico deveria ser ZERO!
O ca´lculo do coeficiente de correlac¸a˜o (r2) indica a qualidade do ajuste linear (espera-
se um valor maior do que 0,90) e a constante ela´stica da mola (k) e´ numericamente igual
a` constante a, do ajuste.
3.3 Ana´lise de Fe
O coeficiente linear da equac¸a˜o 3 e´ teoricamente igual a ZERO! Assim, esta informac¸a˜o
pode ser usada para ajudar na validac¸a˜o dos resultados experimentais. Caso Fe na˜o seja
ZERO (lembre-se que e´ um ZERO experimental!!), temos um sintoma de que cometemos
algum erro na medic¸a˜o, no gra´fico, ou na˜o conseguimos garantir a condic¸a˜o de sistema
ideal.
Existe uma consequeˆncia importante no caso de Fe na˜o ser ZERO: na˜o podemos
calcular o valor de k diretamente a partir da relac¸a˜o mg/∆x pois, de acordo com a
equac¸a˜o 3 isso levaria a um erro sistema´tico:
2Rigorosamente, devemos escrever F = −k∆x, uma vez que F e´ uma forc¸a restauradora. No entanto,
por estarmos interessados apenas no valor da constante k, usaremos apenas os valores absolutos, ou seja,
|F | = k|∆x|
3
k =
m.g − Fe
∆x
=
m.g
∆x︸︷︷︸
k′
− Fe
∆x︸︷︷︸
erro
(4)
3.4 Propagac¸a˜o de incertezas
Conhecendo-se o valor de Fe a partir do gra´fico mg x ∆x (ver eq. 3) podemos calcular a
constante ela´stica (k) a partir da eq. 4, considerando as incertezas associadasa`s grandezas
m, g, Fe e ∆x. Com isso obteremos um valor (k ± σk) para cada ponto da tabela, que
permitira´ calcular um valor me´dio final, a partir do me´todo esta´tico.
4 Estudo dinaˆmico
O estudo da dinaˆmica de um sistema massa-mola e´ baseado na eq. 2, que pode ser
reescrita como:
T =
2pi√
k
√
m (5)
Fazendo as seguintes mudanc¸as de varia´veis
y = T
a = 2pi√
k
x = m
b = 1/2
obtemos:
y = axb (6)
A equac¸a˜o 5 vista de acordo com a forma da eq. 6 nos permite concluir que a constante
ela´stica da mola pode ser determinada a partir do coeficiente angular de um gra´fico (T x
m) em papel dilog.
Mas, antes, precisamos determinar as condic¸o˜es experimentais para a realizac¸a˜o das
medic¸o˜es do per´ıodo de oscilac¸a˜o e das cargas.
4.1 Escolha das cargas aplicadas
O valor mı´nimo da carga aplicada pode ser o mesmo usado no me´todo esta´tico. No
entanto, o valor ma´ximo deve ser reduzido (em relac¸a˜o ao me´todo esta´tico) porque a
carga devera´ oscilar em torno do valor de equil´ıbrio, atingindo amplitudes que podem
deformar a mola. Assim, a carga ma´xima a ser usada no me´todo dinaˆmico devera´ ser da
ordem de metade da usada no me´todo esta´tico.
4
4.2 Medic¸a˜o do per´ıodo de oscilac¸a˜o
A medic¸a˜o do per´ıodo de oscilac¸a˜o de um sistema massa-mola envolve os mesmos proble-
mas experimentais encontrados no estudo do peˆndulo simples (tempo de retardo, variac¸o˜es
estata´sticas, pequenas oscilac¸o˜es, ...). Assim, o per´ıodo (T ) deve ser medido a partir de
k medic¸o˜es do tempo de n oscilac¸o˜es. Um valor razoa´vel para o nu´mero k e´ 5 (cinco). O
nu´mero n pode depender do amortecimento do sistema, que dependera´ da carga aplicada.
Assim n podera´ variar entre 5 (cinco) e 10 (dez) (lembre-se que quanto maior n, menor a
incerteza associada e´ medic¸a˜o).
4.3 Obtenc¸a˜o de dados experimentais
Considerando a discussa˜o das sec¸o˜es anteriores, em especial da restric¸a˜o a pequenas os-
cilac¸o˜es, podemos adquirir os dados experimentais e coloca´-los numa tabela.
Tabela 2: Resultados (dinaˆmico)
massa [g] T1 . . . Tk T [s] σT
mmin
...
mmax
4.4 Verificac¸a˜o de erros sistema´ticos
Vamos supor que tenha existido algum erro sistema´tico (Te) de forma a influenciar a
medic¸a˜o dos per´ıodos. Uma possibilidade seria reescrever a eq. 2 como:
T = 2pi
√
m
k
+ Te (7)
Para estimarmos o valor nume´rico de Te podemos montar um gra´fico (milimetrado) T
x
√
m e observar o valor do coeficiente linear (T (m→ 0)). Caso Te na˜o seja ZERO, na˜o
podemos calcular a constante k como
(
2pi
√
m
T
)2
, mas sim como:
k =
(
2pi
√
m
T − Te
)2
(8)
A equac¸a˜o 8 possibilita calcular a constante k a partir de cada ponto experimental
(m,T ), conhecendo-se o erro sistema´tico (Te) e as incertezas associadas a cada grandeza.
O conjunto dos va´rios valores (k ± σk) da´ origem ao valor nume´rico da constante, de
acordo com o me´todo dinaˆmico.
4.5 Ana´lise gra´fica
O gra´fico T x m em papel dilog devera´ produzir uma reta com coeficiente angular nu-
mericamente igual a 0, 500 (expoente da varia´vel m). Tal informac¸a˜o pode ser usada
para validar os resultados experimentais: se o coeficiente angular diferir muito do valor
esperado (> 10%), enta˜o os dados experimentais na˜o sa˜o adequados!
5
Se os dados sa˜o va´lidos, enta˜o podemos determinar graficamente o coeficiente linear
(T (m = 1)), cujo valor e´ numericamente igual a 2pi/
√
k. Da´ı, podemos extrair o valor da
constante ela´stica da mola (k).
O problema e´ que na˜o usaremos massas ta˜o pequenas quanto 1, 0g, tampouco ta˜o
grandes quanto 1, 0kg!! Isso implica que o gra´fico dilog na˜o tera´ o valor 1, 0 no eixo
horizontal, o que nos obrigara´ a fazer alguns ca´lculos extras para determinar a constante
k. Mas podemos resolver esse problema de va´rias maneiras:
1. me´todo matema´tico direto: sabendo-se que a relac¸a˜o entre T e m e´ do tipo func¸a˜o
poteˆncia (y = axb), e tendo determinado graficamente o coeficiente b, basta pegar
um ponto da reta me´dia e calcular a constante a. Da´ı, extra´ımos a constante k,
conforme explicado anteriormente;
2. me´todo gra´fico direto: percebendo que per´ıodos da ordem de 1, 0s pertencem ao
eixo vertical do gra´fico, podemos inverter os eixos e graficar (m x T ). Com isso, a
relac¸a˜o entre as varia´veis torna-se m = k/(4pi2) T 2. Isso significa que a reta tera´
coeficiente angular igual a 2 e coeficiente linear (m(T = 1)) igual a k/(4pi2). Da´ı,
extra´ımos o valor da constante k!
3. me´todo dos mı´nimos quadrados (MMQ): a partir da tabela (m,T ) podemos gerar
uma outra (logm, log T ). Da´ı, aplicando-se o MMQ podemos calcular os paraˆmetros
da reta (a e b em y = ax + b) que melhor se ajusta aos dados experimentais, ale´m
do coeficiente de correlac¸a˜o (r2). Recordando o processo de linearizac¸a˜o de uma
func¸a˜o poteˆncia, via gra´fico dilog, podemos associar a com log 2pi/
√
k. A constante
b deve ser numericamente pro´xima de 0.500, expoente de m na equac¸a˜o 2.
5 Ana´lise dimensional
A ana´lise dimensional permite determinar a unidade da constante ela´stica da mola (k).
Tanto o me´todo esta´tico quanto o dinaˆmico devem levar e´ mesma unidade. Para verificar
isso, basta partirmos das equac¸o˜es 1 ou 2 e proceder a ana´lise dimensional. O resultado
devera´ ser:
[k] = N/m
6 Comparac¸a˜o entre me´todos
A primeira maneira simples de comparar os resultados dos dois me´todos e´ analisar os
intervalos preditos por cada um, para o valor verdadeiro da constante ela´stica da mola.
Outra maneira e´ calcular a diferenc¸a relativa percentual, dada por:
|kest − kdin|
kmed
∗ 100
onde kest e kdin sa˜o os valores obtidos nos me´todos esta´tico e dinaˆmico e kmed e´ o valor
me´dio.
6