N2 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS

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Suponha uma distribuição contínua de massa ocupando uma região   do plano  , suponha, também,
que a medida da densidade de área dessa distribuição no ponto   seja   medida em  ,
onde   é contínua em  . O momento de inércia em torno do eixo  , denotado por  , dessa distribuição
de massa será determinado por  . Assinale a alternativa que corresponde 
ao momento de inércia   da região limitada pelas curvas  ,   e   no primeiro 
quadrante e com densidade  :
Uma função   é denominada racional quando for obtida pela divisão de dois polinômios, isto 
é,  . Para integrar esse tipo de função quando o grau da função   for maior que o grau 
da função  , é possível fazer uso da seguinte 
formulação  , em que   são constantes 
e   são as raízes do polinômio  . A partir dessas informações, calcule a 
integral   e assinale a alternativa correta.
As equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem podem ser expressas por meio da
seguinte forma:  , onde   e   são funções contínuas. Para 
resolvermos equações desse tipo, precisamos escrever uma equação auxiliar, a qual é uma equação 
de segundo grau.
 
Com relação à solução de equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem, analise 
as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
I. (   ) A equação auxiliar pode apresentar duas raízes reais distintas.
II. (   ) A equação auxiliar sempre apresenta raízes reais.
III. (  ) A equação auxiliar da EDO homogênea de segunda ordem   é expressa 
por  .
IV. (  ) A equação auxiliar de raízes complexas   e   apresenta como solução a 
função  .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Podemos calcular integrais duplas para regiões de formas mais gerais. Essas regiões podem ser 
classificadas em regiões do tipo I e do tipo II. Uma região do tipo I fornece como parâmetros para a 
variável   funções de  , isto é,  . Já regiões do tipo II 
fornecem como parâmetros para a variável   funções de  , isto 
é,  . Assinale a alternativa que corresponde ao valor da 
integral  , onde   é a região limitada pelas curvas   e  :
s derivadas parciais com relação a   e a   fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente 
a uma função de duas variáveis   quando fixadas as direções que correspondem a cada um 
desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da função   com relação a 
qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja
fornecida por um vetor unitário.
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa 
por  . Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da 
função   no ponto   na direção do vetor  .
Um circuito elétrico simples composto por um resistor  , um indutor   e uma força eletromotriz   
(proporcionada por uma pilha ou gerador) pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte 
equação diferencial:  . Sabendo que essa equação é do tipo linear de primeira ordem, 
considere um resistor de  , uma indutância de   e uma voltagem constante de  .
 
Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada.
Em uma função racional  , o polinômio   pode ser decomposto por fatores lineares e 
quadráticos. Todo fator quadrático irredutível   terá uma fração parcial da forma   
Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta a solução da integral  .
Considere o Teorema de Fubini:
 
“Se   for contínua no retângulo  , 
então  . De modo mais 
geral, esse resultado vale se supusermos que   seja limitada em  ,   tenha descontinuidades apenas 
em um número finito de curvas suaves e que a integral iterada exista”.
 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. v. 2, p. 890.
 
Considere a integral dupla  , onde  . Com relação ao Teorema
de Fubini, assinale a alternativa correta:
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e 
volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função  , onde   é uma 
constante dada, considere um gás com o volume de   sob uma pressão de  . O volume 
está aumentando a uma taxa de   e a pressão está decrescendo a uma taxa de   por 
segundo.
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações 
anteriores. (Use  ).
 
Leia o trecho a seguir:
“[...] a tentativa de resolvermos o problema de determinar áreas nos levou à definição de integral 
definida”.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. v. 2, p. 884.
 
Assim, aplicando um procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido, chegaremos à 
definição de integral dupla.
 
Utilizando a ideia da integral dupla, assinale a alternativa que representa o volume do sólido que está 
acima da região   e abaixo do paraboloide  :