S1 CALC VARIAVEIS

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09/01/2024, 10:31 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/9
Avaliando
Aprendizado
 
Teste seu conhecimento acumulado
Disc.: CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS   
Aluno(a): JHONNY PACINI 202312036621
Acertos: 0,4 de 2,0 03/01/2024
Acerto: 0,0  / 0,2
A integração dupla é usada em problemas de otimização, como o cálculo de áreas e volumes mínimos e máximos.
Seja   determine o volume do sólido   limitado pelo plano   e pelo paraboloide  .
  .
  .
   .
   .
  .
Respondido em 03/01/2024 12:14:07
Explicação:
O volume o que �ca embaixo dessa função até o plano   vai ser:
Onde  é aquela região da função onde  :
Isso é uma circunferência, de centro na origem e raio   .
Como temos uma circunferência, vamos mudar para coordenadas polares.
O intervalo de integração, para um círculo de raio   será:
Integrando:
 
a > 0 S z = 0 z = a − x2 − y2
πa2
3
3πa2
2
πa2
2
a2
2
πa
2
xy
V = ∬
D
zdxdy = ∬
D
(a − x2 − y2) dxdy =
D z = 0
z = a − x2 − y2
0 = a − x2 − y2
x2 + y2 = a
√a
x = r cos θ
y = r sen θ
J = r
√a
D = {(r, θ) ∣ 0 ≤ r ≤ √a; 0 ≤ θ ≤ 2π}
 Questão / 1
a
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javascript:voltar();
javascript:voltar();
09/01/2024, 10:31 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 2/9
 
Acerto: 0,0  / 0,2
As integrais são poderosas ferramentas da matemática, e são usadas em uma variedade de campos, desde a física e
a engenharia até a economia e a biologia. Determine a massa do sólido contido no primeiro octante limitada pelos
planos coordenados e pelo plano   , sabendo que a densidade do sólido é    .
 
1.
 
Respondido em 03/01/2024 12:14:13
Explicação:
Desenhando os limites de integração:
Onde
Para entender isso, vamos olhar o plano , que é limitado pelos eixos coordenados e pela reta   .Para um
ponto (x,y)  determinado, a variável z, varia:
V = ∫ 2π0 ∫
√a
0 [a − (r cos θ)
2 − (r sen θ)2] rdrdθ = ∫ 2π0 ∫
√a
0 [ar − r
3] drdθ
V = ∫
2π
0
−
∣
∣
∣
r=√a
r=0
dθ = ∫
2π
0
[( − )] dθ = ∫
2π
0
( − ) dθ
V = ∫
2π
0
dθ =
∣
∣
∣
2π
0
= (2π − 0) =
ar2
2
r4
4
a√a
2
2
√a
4
4
a2
2
a2
4
a2
4
a2θ
4
a2
4
a2π
2
x + y + z = 2 ρ(x, y, z) = 2x
.1
3
.4
3
.2
3
.5
3
0 ≤ x ≤ 2
xy y = 2 −  x 
 Questão / 2
a
09/01/2024, 10:31 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 3/9
A massa é dada por:
Logo,
Acerto: 0,0  / 0,2
Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, pois permite trabalhar com um campo
vetorial, quando se depende de várias variáveis. Considere o campo vetorial    de�nido por
. O trabalho de ao longo da espiral descrita pelo caminho
 é:
 
 
Respondido em 03/01/2024 12:14:16
Explicação:
Acerto: 0,0  / 0,2
Determine o volume do sólido que �ca abaixo da paraboloide     e acima do disco 
.
0 ≤ z ≤ 2 − x − y
m = ∭
W
ρ(x, y, z)dV = ∭
W
2xdV = ∫ 20 ∫
2−x
0 ∫
2−x−y
0 2xdzdydx = ∫
2
0 ∫
2−x
0 2xz
∣
∣
2−x−y
0
dydx =
= ∫
2
0
∫
2−x
0
2x(2 − x − y)dydx = ∫
2
0
∫
2−x
0
(4x − 2x2 − 2xy) dydx = ∫
2
0
(4x − 2x2 − 2x( ))
∣
∣∣
∣
2−x
0
dx
= ∫
2
0
(4x − 2x2 − 2x( )) dx = ∫
2
0
(x3 − 4x2 + 4x) dx = ( − − 2x2)
∣
∣
∣
2
0
=
y2
2
(2 − x)2
2
x4
4
4x3
3
4
3
m = 4
3
f : R3 ↦ R3
f(x, y, z) = (yzexyz,xzexyz,xyexyz) f
g(t) = (5cos(t), 5sen(t), t2), tϵ[0, ]π
4
e
25π2
32
e − 1
25π2
32
e − 4
25π2
32
e − 3
25π2
32
e − 2
25π2
32
z  = 9 − x2 − y2
x2 + y2 =  4
38π
54π
14π
 Questão / 3
a
 Questão / 4
a
09/01/2024, 10:31 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 4/9
 
 
Respondido em 03/01/2024 12:14:25
Explicação:
A resposta correta é: 
Acerto: 0,2  / 0,2
Determine o valor de 
60
 40
70
30
50
Respondido em 03/01/2024 12:14:29
Explicação:
A resposta correta é: 40
Acerto: 0,0  / 0,2
Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, pois permite trabalhar com um campo
escalar, quando se depende de várias variáveis. Em um avião a hélice desloca-se em linha reta a uma velocidade
constante igual a 1. A hélice do avião tem raio r e roda a velocidade constante, efetuando w voltas por unidade
de tempo. O comprimento da trajetória descrita por um extremo da hélice quando o avião se desloca L unidades
de comprimento é:
 
 
Respondido em 03/01/2024 12:14:37
Explicação:
28π
18π
28π
1
∫
3
1
∫
−1
2
∫
0
 (x + 2y − 3z)dxdydz
∫
C
1 = L√1 + 4r2w2.
∫
C
1 = L√1 + 4π2w2.
∫
C
1 = L√1 + 4π2r2.
∫
C
1 = L√1 + 4π2r2w2.
∫
C
1 = L√4π2r2w2.
 Questão / 5
a
 Questão / 6
a
09/01/2024, 10:31 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 5/9
Acerto: 0,0  / 0,2
As integrais duplas também são usadas para calcular o centro de massa de objetos sólidos com formas
complicadas. O centro de massa é um ponto que representa o equilíbrio de um objeto em relação a um sistema
de coordenadas. Calcule as coordenadas  e  do centro de massa de um conjunto B, sendo um quadrado
delimitado por  e , se a densidade da região é dada por .
  .
  .
  .
   .
   .
x y
0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1 δ(x, y) = y
( , )1
3
2
3
( , )3
2
2
3
( , )1
2
1
3
( , )2
3
1
2
( , )1
2
2
3
 Questão / 7
a
09/01/2024, 10:31 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 6/9
Respondido em 03/01/2024 12:14:43
Explicação:
Para calcular o centro de massa da região, é necessário encontrar as coordenadas  e  do ponto   que
representam o equilíbrio do objeto em relação ao sistema de coordenadas. As coordenadas são dadas por:
Onde o elemento de massa é dado por:
No nosso caso,  é dado no enunciado como um quadrado, tal que: 
Calculando a coordenada  :
e
Calculando a coordenada   :
E
Logo, .
Acerto: 0,0  / 0,2
A integração é usada em problemas de otimização, como o cálculo de centros de massa e momentos de inércia.
Determine o centro de massa do cubo   , cuja densidade no ponto  é 
.
 
x y (xC, yC)
xC =
yC =
∬
B
xdm
∬
B
dm
∬
B
ydm
∬
B
dm
dm = δ(x, y)dxdy
0 ≤ x ≤ 1$e$0 ≤ y ≤ 1
x
∬
B
xdm = ∫ 10 [∫
1
0 xydx] dy = ∫
1
0 y [ ]
∣
∣
1
0
dy = ∫ 10 dy = [ ]
∣
∣
∣
1
0
=
x2
2
y
2
y2
4
1
4
∬
B
dm = ∫
1
0
[∫
1
0
ydx] dy = ∫
1
0
y[x]
∣
∣
∣
1
0
dy = ∫
1
0
ydy = [ ]
∣
∣
∣
∣
1
0
=
xC = = =
y2
2
1
2
∬
B
xdm
∬
B
dm
1/4
1/2
1
2
y
∬
B
ydm = ∫ 10 [∫
1
0 y
2dx] dy = ∫ 10 y
2[x]∣∣
1
0
dy = ∫ 10 y
2dy = [ ]∣∣
∣
1
0
=
y3
3
1
3
∬
B
dm = ∫
1
0
[∫
1
0
ydx] dy = ∫
1
0
y[x]
∣
∣
∣
1
0
dy = ∫
1
0
ydy = [ ]
∣
∣∣
∣
1
0
=
yC = = =
y2
2
1
2
∬
B
ydm
∬
B
dm
1/3
1/2
2
3
( , )1
2
2
3
0 ≤ x ≤ 1,  0 ≤ y ≤ 1,  0 ≤ z ≤ 1 (x, y, z)
ρ(x, y, z) = x
( , , ) .2
3
2
3
1
2
( , , ) .1
2
1
2
1
2
( , , ) .2
3
2
3
2
3
 Questão / 8
a
09/01/2024, 10:31 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 7/9
 
Respondido em 03/01/2024 12:14:47
Explicação:
As coordenadas do centro de massa de um sólido são dadas por:
Onde   são os momentos e   é a massa total do sólido. 
Calculando a massa  , para um cubo 
Calculando os momentos:
Voltando para o cálculo do centro de massa:
Logo,
Acerto: 0,2  / 0,2
Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, pois permite trabalhar com um campo
vetorial, quando se depende de várias variáveis. Considere o campo vetorial
. A integral de linha  onde C é a curva descrita pelo caminho
 é:
( , , ) .2
3
1
2
1
2
( , , ) .1
2
2
3
1
2
x̄ = ; ȳ = ; z̄ =
Myz
m
Mxz
m
Mxy
m
M m
m 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1
m = ∭
W
ρ(x, y, z)dV = ∭
W
xdV = ∫
1
0
∫
1
0
∫
1
0
xdxdydz = ∫
1
0
∫
1
0
∣
∣
∣
1
0
dydz = ∫
1
0
∫
1
0
dydz =
m = ∫
1
0
y
∣
∣
∣
1
0
dz = ∫
1
0
dz = z
∣∣
∣
1
0
=
x2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Myz = ∭
W
xρ(x, y, z)dV = ∭
W
x2dV = ∫
1
0
∫
1
0
∫
1
0
xdxdydz = ∫
1
0
∫
1
0
∣
∣
∣
1
0
dydz = ∫
1
0
∫
1
0
dydz =
Mxy = ∭
W
zρ(x, y, z)dV = ∭
W
xzdV = ∫
1
0
∫
1
0
∫
1
0
xzdxdzdy = ∫
1
0
∫
1
0
z
∣
∣
∣
1
0
dzdy = ∫
1
0
∫
1
0
zdzdy =
= ∫
1
0
∣
∣
∣
10
dy = ∫
1
0
dy =
Mxz = ∭
W
yρ(x, y, z)dV = ∭
W
xydV = ∫
1
0
∫
1
0
∫
1
0
xydxdzdy = ∫
1
0
∫
1
0
y
∣
∣
∣
1
0
dydz = ∫
1
0
∫
1
0
ydydz =
= ∫
1
0
∣
∣
∣
1
0
dz = ∫
1
0
dz =
x3
3
1
3
1
3
x2
2
1
2
1
2
z2
2
1
4
1
4
x2
2
1
2
1
2
y2
2
1
4
1
4
x̄ = = =
Myz
m
1/3
1/2
2
3
ȳ = = =
z̄ = = =
Mxz
m
1/4
1/2
1
2
Mxy
m
1/4
1/2
1
2
(x̄, ȳ , z̄) = ( , , )2
3
1
2
1
2
F(x, y, z) = (− , , z2)2x
(x2−y2)2
2y
(x2−y2)2
∫
C
F
g(t) = (et, sen(t), t), 0 ≤ t ≤ π
2
 Questão / 9
a
09/01/2024, 10:31 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 8/9
 
Respondido em 03/01/2024 12:14:56
Explicação:
∫
C
F = e−π − + 1π
3
24
∫
C
F = −e−π − + 1
π3
24
∫
C
F = −e−π − − 1
π3
24
∫
C
F = eπ − − 1π
3
24
∫
C
F = e−π − − 1π
3
24
09/01/2024, 10:31 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 9/9
Acerto: 0,0  / 0,2
Determine o valor de 
 4
1
8
 6
3
Respondido em 03/01/2024 12:14:58
Explicação:
A resposta correta é: 6
1
∫
0
2
∫
0
(2yx + 3yx2) dxdy
 Questão / 10
a