Introdução às Equações Diferenciais

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Faculdade Esta´cio do Recife
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Prof. Se´rgio Barreto
C O N C E I T O S B A´ S I C O S D E E Q U A C¸ O˜ E S D I F E R E N C I A I S
1 Introduc¸a˜o
Considere a func¸a˜o f : R → R definida por f(x) = ex2 . Como foi visto no curso de Ca´lculo
Diferencial e Integral I, a derivada de f e´ dada por
f ′(x) = ex
2 · 2x⇐⇒ df
dx
= 2x · f(x)⇐⇒ dy
dx
= 2xy
O nosso objeto de estudo na˜o e´ encontrar as derivadas de func¸o˜es de uma ou mais varia´veis reais.
O que queremos e´ dada uma equac¸a˜o da forma
dy
dx
= 2xy, chamada de equac¸a˜o diferencial, encontrar
uma func¸a˜o y = f(x) que a satisfac¸a.
Em matema´tica, uma equac¸a˜o diferencial e´ uma equac¸a˜o cuja inco´gnita e´ uma func¸a˜o que aparece
na equac¸a˜o sob a forma das respectivas derivadas. Dada uma varia´vel x, func¸a˜o de uma varia´vel y,
a equac¸a˜o diferencial envolve, x, y, derivadas de y e eventualmente tambe´m derivadas de x.
Equac¸o˜es diferenciais teˆm propriedades intrinsecamente interessantes como:
• soluc¸a˜o pode existir ou na˜o;
• caso exista, a soluc¸a˜o e´ u´nica ou na˜o.
As equac¸o˜es diferenciais sa˜o usadas para construir modelos matema´ticos de fenoˆmenos f´ısicos tais
como na dinaˆmica de fluidos e em mecaˆnica celeste. Deste modo, o estudo de equac¸o˜es diferenciais
e´ um campo extenso na matema´tica pura e na matema´tica aplicada.
As equac¸o˜es diferenciais teˆm inu´meras aplicac¸o˜es pra´ticas em medicina, engenharia, qu´ımica,
biologia e outras diversas a´reas do conhecimento. As soluc¸o˜es destas equac¸o˜es sa˜o usadas, por
exemplo, para projetar pontes, automo´veis, avio˜es e circuitos ele´tricos.
1
Equac¸o˜es diferenciais sa˜o extremamente importantes para as cieˆncias, pois nos informam como
a variac¸a˜o de uma grandeza afeta outras grandezas relacionadas. A lei mais importante de F´ısica
Cla´ssica, a segunda lei de Newton ~F = m~a e´ na verdade uma equac¸a˜o diferencial de segunda ordem
−→
F (~r, t) = m
d2~r
dt2
Equac¸o˜es diferenciais fazem parte de nosso dia a dia, mesmo que na˜o nos demos conta disto. No
entanto, as equac¸o˜es diferenciais sa˜o mais dif´ıceis de resolver do que as equac¸o˜es alge´bricas comuns.
A` excec¸a˜o das equac¸o˜es separa´veis, a resoluc¸a˜o de cada tipo diferente de equac¸a˜o sem que se conhec¸a
a te´cnica e´ uma obra home´rica. Por isso, cada avanc¸o no campo das equac¸o˜es diferenciais em geral
e´ creditado a um matema´tico diferente.
2 Equac¸a˜o Diferencial
Definic¸a˜o 2.1. Uma equac¸a˜o que envolve em seus termos uma func¸a˜o, chamada de func¸a˜o inco´gnita,
e suas derivadas ou diferenciais e´ chamada de equac¸a˜o diferencial.
Sa˜o exemplos de equac¸o˜es diferenciais,
(y − x) dx+ 4xdy = 0 (1)
d2y
dx2
− 2dy
dx
+ 6y = 0 (2)
∂z
∂y
− ∂z
∂x
= x2 − 2xy (3)
∂2u
∂x2
=
∂2u
∂t2
− 2∂x
∂t
(4)
Se a func¸a˜o inco´gnita for uma func¸a˜o de uma varia´vel real, enta˜o a equac¸a˜o diferencial e´ chamada
de equac¸a˜o diferencial ordina´ria (E.D.O.).
Se a func¸a˜o inco´gnita for uma func¸a˜o de duas ou mais varia´veis reais, enta˜o a equac¸a˜o diferencial
e´ chamada de equac¸a˜o diferencial parcial (E.D.P.).
No nosso curso de Ca´lculo Diferencial e Integral III estudaremos as equac¸o˜es diferenciais or-
dina´rias. Alguns dos conceitos ba´sicos valem tanto para equac¸o˜es diferenciais ordina´rias quanto para
as equac¸o˜es diferenciais parciais.
2
Voltemos as equac¸o˜es apresentadas logo acima. Na equac¸a˜o (1) aparecem apenas a derivada de
primeira ordem da func¸a˜o y = f(x). Na equac¸a˜o (2) aparecem as derivadas de primeira e segunda
ordens da func¸a˜o y = f(x).
Podemos, enta˜o, fazer uma classificac¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais segundo a ordem da derivada
que nela comparece.
3 Ordem e Grau de uma Equac¸a˜o Diferencial
Definic¸a˜o 3.1. A ordem de uma equac¸a˜o diferencial e´ a ordem da maior derivada que nela comparece.
As equac¸o˜es (1) e (3) sa˜o equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem e as equac¸o˜es (2) e (4) sa˜o
equac¸o˜es diferenciais de segunda ordem.
A equac¸a˜o diferencial 4
d3y
dx3
+ Sen(x)
d2y
dx2
+ 5xy = 0 e´ uma equac¸a˜o diferencial de terceira ordem.
Uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria geral de n-e´sima ordem e´ representada na forma
F
(
x, y,
dy
dx
, . . . ,
dny
dxn
)
= 0
A equac¸a˜o diferencial
(
d2y
dx2
)3
+ 3y
(
dy
dx
)7
y3
(
dy
dx
)2
= 5x e´ uma equac¸a˜o de segunda ordem.
Pore´m, a derivada de maior ordem se acha elevada a terceira poteˆncia. Isso nos leva a seguinte
definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 3.2. O grau de uma equac¸a˜o diferencial e´ o maior expoente da derivada de maior ordem
que comparece na equac¸a˜o.
Portanto, a equac¸a˜o diferencial
(
d2y
dx2
)3
+ 3y
(
dy
dx
)7
y3
(
dy
dx
)2
= 5x e´ de segunda ordem e como
a segunda derivada esta´ elevada a terceira poteˆncia enta˜o temos uma equac¸a˜o de terceiro grau.
Como dissemos no comec¸o, nosso objetivo e´ resolver equac¸o˜es diferenciais. Portanto, dada a
equac¸a˜o diferencial F
(
x, y,
dy
dx
, . . . ,
dny
dxn
)
= 0 queremos uma func¸a˜o f que e´ deriva´vel pelo menos
ate´ a ordem n e que satisfaz a equac¸a˜o diferencial.
3
4 Soluc¸a˜o de uma Equac¸a˜o Diferencial
Definic¸a˜o 4.1. Toda func¸a˜o f : I ⊂ R → R com derivadas cont´ınuas ate´ ordem n que subs-
titu´ıdas na equac¸a˜o diferencial, reduz a equac¸a˜o a uma identidade, e´ chamada de soluc¸a˜o da equac¸a˜o
diferencial no intervalo I.
Por exemplo, y(x) = 2e−x + xe−x e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
d2y
dx2
+ 2
dy
dx
+ y = 0.
De fato, note que na equac¸a˜o diferencial comparecem a func¸a˜o y e as derivadas de primeira e
segunda ordens. Encontrando essas derivadas temos:
dy
dx
= 2e−x(−1) + 1e−x + xe−x(−1) = −2e−x + e−x − xe−x = −e−x − xe−x
e
d2y
dx2
= −e−x(−1)− (1e−x + xe−x(−1)) = e−x − e−x + xe−x = xe−x
Substituindo as derivadas de primeira e segunda ordens na equac¸a˜o diferencial temos
d2y
dx2
+ 2
dy
dx
+ y = xe−x + 2
(−e−x − xe−x) + (2e−x + xe−x) =
= xe−x − 2e−x − 2xe−x + 2e−x + xe−x = 2xe−x − 2e−x − 2xe−x + 2e−x = 0 .
Vejamos outro exemplo, verifique se y(x) = p · Sen (2x) + q · Cos (2x), com x ∈ R e p, q ∈ R
chamados de constantes arbitra´rias, e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
d2y
dx2
+ 4y = 0.
De fato, note que na equac¸a˜o diferencial comparece a derivada de segunda ordem da func¸a˜o e´ a
pro´pria func¸a˜o. Encontrado a derivada de segunda ordem da func¸a˜o temos:
dy
dx
= p · Cos (2x) · 2 + q · (−Sen (2x)) · 2 = 2p · Cos (2x)− 2q · Sen (2x)
e
d2y
dx2
= 2p · (−Sen (2x)) · 2− 2q · Cos (2x) · 2 = −4p · Sen (2x)− 4q · Cos (2x)
Substituindo a derivada de segunda ordem e a func¸a˜o na equac¸a˜o diferencial temos
d2y
dx2
+ 4y = −4p · Sen (2x)− 4q · Cos (2x) + 4 (p · Sen (2x) + q · Cos (2x)) =
= −4p · Sen (2x)− 4q · Cos (2x) + 4p · Sen (2x) + 4q · Cos (2x) = 0
4
No primeiro exemplo a func¸a˜o y(x) = 2e−x+xe−x e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
d2y
dx2
+2
dy
dx
+y =
0 e e´ chamada de soluc¸a˜o particular.
No segundo exemplo a func¸a˜o y(x) = p · Sen (2x) + q ·Cos (2x), e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
d2y
dx2
+ 4y = 0 e e´ chamada de soluc¸a˜o geral. quando atribu´ımos valores reais para p e q temos uma
soluc¸a˜o particular.
Definic¸a˜o 4.2. Uma soluc¸a˜o particular de uma equac¸a˜o diferencial e´ qualquer soluc¸a˜o da mesma.
Definic¸a˜o 4.3. A soluc¸a˜o geral de uma equac¸a˜o diferencial e´ o conjunto de todas as suas soluc¸o˜es.
A soluc¸a˜o geral de uma equac¸a˜o diferencial nem sempre pode ser expressa na forma y = f(x), isto
e´, a varia´vel y isolada no primeiro membro e a expressa˜o contendo a varia´vel x no segundo membro.
Quando isso e´ poss´ıvel dizemos que a soluc¸a˜o e´uma soluc¸a˜o expl´ıcita. Caso contra´rio, ela e´ uma
soluc¸a˜o impl´ıcita. Quando obtemos uma soluc¸a˜o impl´ıcita nem sempre e´ poss´ıvel escreveˆ-la na forma
expl´ıcita.
5 Problemas de Valor Inicial e de Valores no Contorno
Inicialmente vamos considerar os exemplos,
1. Resolva a equac¸a˜o diferencial
d2y
dx2
+ 2
dy
dx
= ex dados y(pi) = 1 e
dy
dx
(pi) = 2.
2. Resolva a equac¸a˜o diferencial
d2y
dx2
+ 2
dy
dx
= ex dados y(0) = 1 e y(1) = 1.
Note que no primeiro exemplo os dados para resolver a equac¸a˜o diferencial se referem a um mesmo
valor da varia´vel independente x. No segundo exemplo os dados para resolver a equac¸a˜o diferencial
se referem a valores distintos da varia´vel independente x.
Um problema de valor inicial consiste em uma equac¸a˜o diferencial, juntamente com condic¸o˜es
subsidia´rias relativas a` func¸a˜o inco´gnita e suas derivadas. Essas condic¸o˜es sa˜o dadas para um mesmo
valor da varia´vel independente. As condic¸o˜es subsidia´rias sa˜o condic¸o˜es iniciais.
Um problema de valores no contorno consiste em uma equac¸a˜o diferencial, juntamente com
condic¸o˜es subsidia´rias relativas a mais de um valor da varia´vel independente. As condic¸o˜es sub-
sidia´rias sa˜o as condic¸o˜es de contorno.
5
6 Exerc´ıcios
1. Mostre que y = ln(x) e´ uma soluc¸a˜o de x
d2y
dx2
+
dy
dx
= 0 em I = (0,∞) mas na˜o e´ soluc¸a˜o em
I = (−∞,∞).
2. Mostre que y =
1
x2 − 1 e´ soluc¸a˜o de
dy
dx
+2 ·x ·y2 = 0 em I = (−1, 1), mas na˜o o e´ em qualquer
outro intervalo mais amplo contendo I.
3. Determine uma soluc¸a˜o do problema de valor inicial
dy
dx
+ y = 0; y(3) = 2, sabendo que a
soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o e´ y(x) = k · e−x, com k constante arbitra´ria.
4. Determine uma soluc¸a˜o do problema de valor inicial
d2y
dx2
+ 4 · y = 0; y(0) = 0, dy
dx
(0) = 1,
sabendo que y(x) = k1 · Sen(2x) + k2 · Cos(2x) e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial.
5. Determine uma soluc¸a˜o do problema de valores de contorno
d2y
dx2
+4y = 0; y
(
pi
4
)
= 0, y
(pi
6
)
=
1, sabendo que a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´ y(x) = k1 · Sen(2x) + k2 · Cos(2x).
6. Determine uma soluc¸a˜o do problema de valores de contorno
d2y
dx2
+4y = 0; y(0) = 1, y
(
pi
2
)
= 2,
sabendo que a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´ y(x) = k1 · Sen(2x) + k2 · Cos(2x).
7. Determine k1 e k2 de modo que y(x) = k1 · Sen(2x) + k2 · Cos(2x) + 1 satisfac¸a as condic¸o˜es
y
(
pi
8
)
= 0 e
dy
dx
(
pi
8
)
=
√
2.
8. Determine k1 e k2 de modo que y(x) = k1 · e2x + k2 · ex + 2Sen(x) satisfac¸a as condic¸o˜es y(0) e
dy
dx
(0) sa˜o iguais a 1.
6