Calculo Numérico. Américo Cunha 2015.1 UERJ

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Ca´lculo Nume´rico IV
Lista 2 — 2015.1
Exerc´ıcio 1
1. Utilizando uma calculadora cient´ıfica, determine atrave´s do me´todo da bissec¸a˜o a(s) soluc¸a˜o(o˜es)
da equac¸a˜o ex − 3x = 0 no intervalo [a, b] = [1, 2]. Use como teste de parada estimativas para
os erros absoluto e relativo, calculadas apo´s cada iterac¸a˜o. Considere no algoritmo o nu´mero
ma´ximo de iterac¸o˜es como sendo N = 20 e a toleraˆncia � = 10−5.
2. Repita o primeiro exerc´ıcio, utilizando o me´todo de Newton-Rapson, com N = 10 e � = 10−7.
Use como chute inicial x0 = 2.
Exerc´ıcio 2
Neste exerc´ıcio estamos interessados em determinar a menor raiz positiva das equac¸o˜es:
a) x/2− tanx = 0
b) 2 cosx = ex/2
c) x5 − 6 = 0
1. Utilizando uma calculadora cient´ıfica, calcule essas ra´ızes atrave´s do me´todo da bissec¸a˜o. Use
como teste de parada estimativas para os erros absoluto e relativo, calculadas apo´s cada iterac¸a˜o.
Considere no algoritmo o nu´mero ma´ximo de iterac¸o˜es como sendo N = 20 e a toleraˆncia
� = 10−5.
2. Utilize agora o me´todo de Newton-Rapson, com N = 10 e � = 10−4. Pense em bons valores
para os chutes iniciais.
Exerc´ıcio 3
Explicite pelo menos uma func¸a˜o f : [a, b] ⊆ R → R onde o me´todo da bissec¸a˜o na˜o pode ser usado
para determinar uma ra´ız de f(x) = 0 em [a, b].
Exerc´ıcio 4
Seja f(x) = x3 − x − 1. Essa func¸a˜o e´ cont´ınua em toda reta real. Ale´m disso, f(1) = −1 < 0
e f(4) = 59 > 0. Logo, o teorema de Bolzano garante a existeˆncia de uma raiz no intervalo [1, 4].
Quantas iterac¸o˜es sa˜o necessa´rias para que o me´todo da bissec¸a˜o encontre uma aproximac¸a˜o para a
soluc¸a˜o de x3 − x− 1 = 0 no intervalo [1, 4], utilizando como precisa˜o � = 10−3.
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Exerc´ıcio 5
Com o aux´ılio de uma calculadora, aplique o me´todo de Newton-Rapson, usando x0 = 1, 9 como
chute inicial, para encontrar uma soluc¸a˜o para equac¸a˜o
x3 − 2x2 − 3x+ 10 = 0.
Exerc´ıcio 6
Explicite pelo menos uma func¸a˜o f : [a, b] ⊆ R → R que tenha ao menos uma raiz em [a, b], onde
o me´todo de Newton-Rapson na˜o converge.
Exerc´ıcio 7 (Me´todo da secante)
Considere a func¸a˜o
f(x) = x− x lnx.
1. Utilizando uma calculadora cient´ıfica, determine um zero de f atrave´s do me´todo de Newton-
Rapson. Considere no algoritmo o nu´mero ma´ximo de iterac¸o˜es N = 10, a toleraˆncia � = 10−5
e o chute inicial x0 = 2.
2. Repita o exerc´ıcio anterior, substituindo a derivada de f em xk, denotada por f
′(xk), pelo
seguinte quociente:
f(xk)− f(xk−1)
xk − xk−1 .
Dessa forma, a iterac¸a˜o passa a ser definida por
xk+1 = xk − f(xk) xk − xk−1
f(xk)− f(xk−1)
que pode ser reescrita da seguinte forma
xk+1 =
xk−1 f(xk)− xk f(xk−1)
f(xk)− f(xk−1) .
Essa recorreˆncia, que depende de dois valores anteriores, e´ conhecida como me´todo da secante.
Considere para o exerc´ıcio x0 = 2, x1 = 3, N = 10 e � = 10
−5.
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