Avaliação II - Cálculo Numérico (MAT28)

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Avaliação II - Cálculo Numérico (MAT28) 
1Ao estudar matemática financeira, o professor de Luiz comentou que para determinar o prazo em um 
financiamento no sistema Price é necessário utilizar um método numérico. O professor de Luiz passou o 
seguinte problema: suponha que um financiamento no sistema Price no valor de R$ 20.000,00 está aplicado a 
uma taxa de 2% ao mês e o valor de cada parcela seja de R$ 609,05, determine o prazo desse financiamento. 
Luiz, lembrando o que seu professor falou em sala, resolveu usar o Método da Bissecção para encontrar o 
prazo. Luiz fez as seguintes anotações: 
A 
52,5 e 53,75. 
B 
53,75 e 54,375. 
C 
55 e 52,5. 
D 
53,75 e 54,0625. 
2A interpolação é um método que permite definir uma nova função a partir de um conjunto discreto de dados 
pontuais previamente conhecidos e que represente a função inicial. Com relação à interpolação inversa de uma 
função f, podemos afirmar que: 
A 
Só podemos aplicar via interpolação linear. 
B 
É utilizada quando estamos interessados no valor de x cujo f(x) conhecemos. 
C 
Pode ser aplicada qualquer que seja a função f. 
D 
É a operação inversa à interpolação. 
3Funções polinomiais são um caso particular de funções, em geral são bem-comportadas e apresentam várias 
propriedades interessantes. Uma dessas propriedades é que todo polinômio possui pelo menos uma raiz, 
podendo ela ser real ou complexa e se o polinômio tem grau n então ele tem no máximo n raízes. E ainda, se 
todos os coeficientes do polinômio forem reais e ele tiver uma raiz complexa então o conjugado dessa raiz 
também é uma raiz do polinômio. Com base no exposto, considere o polinômio p(x) = x³ + 2x² + x + 2 Determine 
o valor de a sabendo que x = - 2 e x = a - i são raízes do polinômio. 
A 
a = 0 
B 
a = - 1 
C 
a = - 2 
D 
a = 2 
4Estudamos cinco métodos iterativos para obter as aproximações das raízes de uma função real qualquer. No 
entanto, dentre os cincos métodos, cada um apresenta suas vantagens e limitações. Neste caso, é de interesse 
do pensador escolher qual destes métodos é o mais conveniente, ou seja, vantajoso para aplicar na sua situação 
problema para a tomada de decisão. Sobre esses métodos, associe os itens, utilizando o código a seguir: 
I- Método da bisseção. 
II- II- Método das cordas. 
III- Método de Newton. 
IV- Método das secantes. 
V- Método da iteração linear. 
 
( ) Para trabalhar com este método, a grande dificuldade está centrada na descoberta da função de iteração 
apropriada, e sua vantagem é que a convergência é rápida. 
( ) Este método não exige as derivadas da função. Para chegarmos a uma aproximação confiável da raiz são 
necessárias várias iterações. É utilizado para refinar o intervalo que contém a raiz. 
( ) Este método exige que o pesquisador conheça a derivada da função e a sua forma analítica; no entanto, 
quando modificado, ele mantém constante o valor da primeira derivada durante todo o processo interativo. 
( ) Método utilizado quando o pesquisador tem a certeza de que o sinal da segunda derivada da função é 
constante, com a necessidade da realização de uma análise gráfica e possui uma convergência lenta. 
( ) A ordem de convergência está situada entre a convergência linear da iteração linear e a convergência 
quadrática do método de Newton. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
A 
IV - V - II - I - III. 
B 
V - I - III - II - IV. 
C 
V - II - I - III - IV. 
D 
IV - V - I - II - III. 
 
5Para resolver um sistema linear através do método iterativo, podemos usar o método da iteração linear. No 
entanto, no caso de equações não lineares, nem sempre é possível aplicar o método. Para podermos aplicar o 
método, precisamos que ele satisfaça três condições, sendo que uma delas é que as derivadas parciais das 
funções F e G satisfaçam os itens: 
A 
Somente o item II é satisfeito. 
B 
Os itens I e II são satisfeitos. 
C 
Os itens I e II não são satisfeitos. 
D 
Somente o item I é satisfeito. 
 
6Os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel são métodos que encontram uma solução aproximada da solução de um 
sistema linear. Quando não temos mais um sistema linear, e sim um sistema não linear, devemos fazer uso de 
outros métodos para encontrar uma solução aproximada para o sistema, sendo dois deles o método da 
interação linear e o método de Newton. O método da interação linear, em geral, é mais fácil de ser 
implementado, porém requer mais condições do sistema que o método de Newton. Com base no exposto, 
assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução (com um arredondamento de 3 casas decimais) do 
sistema não linear depois de duas iterações (k = 2) e o ponto inicial (0,5; 0,1) usando o método de Newton:
 
A 
x = 0,492 e y = 0,121 
B 
x = 0,5 e y = 0,1 
C 
x = 0,505 e y = 0,125 
D 
x = 0,495 e y = 0,124 
 
7Uma equação não linear é uma equação que contenha termos da forma x², x³, termos com raiz entre outros. 
Um sistema de equações é dito não linear se pelo menos uma das equações não é linear. Para resolver um 
sistema não linear, usamos processos interativos. Considere o sistema linear: f(x,y)=0 g(x,y)=0 onde, f ou g são 
funções não lineares. Com relação aos processos interativos usados para encontrar a solução dos sistemas não 
lineares, analise as sentenças a seguir: 
I- Para aplicar o método da Interação Linear, precisamos encontrar as funções F e G (chamadas de funções 
de interação) que satisfazem F(x,y) = x e G(x,y) = y de tal forma que sejam contínuas e suas derivadas 
parciais também são contínuas. 
II- II- Para aplicar o método de Newton, temos que considerar que f e g sejam contínuas, mas não é 
necessário que suas derivadas primeiras e segundas sejam também contínuas. 
III- Para o método de Interação Linear, podemos considerar qualquer ponto inicial (x0, y0), não é preciso 
estar próximo da solução. IV- Para o método de Newton, temos que considerar o ponto inicial (x0, y0) 
próximo da solução. Assinale a alternativa CORRETA: 
A 
I e III. 
B 
I e IV. 
C 
II e IV. 
D 
II e III. 
 
8De uma forma geral, uma função contínua é uma função que não apresenta interrupção, ou seja, não apresenta 
pontos de descontinuidade. Uma função contínua f possui raiz em um intervalo [a, b] se, ao calcularmos f(a) e 
f(b), tivermos: 
A 
f' (a) ou f' (b) nulos. 
B 
f(a) = f(b). 
C 
f(a) e f(b) com sinais trocados. 
D 
f(a) e f(b) com mesmo sinal. 
 
9Determinar raízes de polinômios por vezes não é simples se pensarmos em polinômios de grau maior que 3, 
para polinômio de grau 1 basta isolar a variável independente, polinômios de grau dois usamos Bhaskara. São 
métodos interativos que na maioria das vezes usamos para determinar raízes de polinômios de grau maior e 
igual a 3, mas para entendê-los precisamos compreender as características dos polinômios. Sobre o exposto, 
analise as sentenças a seguir: I- Todo polinômio de grau maior que 1 tem pelo menos uma raiz real. II- Se o 
polinômio tem grau impar, então ele tem pelo menos uma raiz real. III- Se um polinômio de grau n tem n - 1 
raízes, então uma das raízes tem multiplicidade 2. IV- Se um polinômio de grau n tem todas n raízes distintas, 
então ele pode ser reescrito da seguinte forma: 
A 
IV. 
B 
III. 
C 
I. 
D 
II. 
 
10As expressões algébricas que se formam a partir da união de duas ou mais variáveis e constantes, 
relacionadas através de operações de multiplicação, subtração ou adição, recebem o nome de polinômios. Dado 
o polinômio P (x) = 0,5x² - 4x -1, determine o seu valor para x igual a 0,5. 
A 
O valor do polinômio é 2,125. 
B 
O valor do polinômio é -2,875. 
C 
O valor do polinômio é 2,375. 
D 
O valor do polinômio é -1,875.