2 prova 2 calculo numerico

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1.
	Interpolação linear é uma ramificação da matemática que se caracteriza por uma função linear (polinômio de primeiro grau), a qual representa em resultados aproximados uma função f(x). Considerando a tabela a seguir e utilizando a interpolação linear, qual o valor estimado de f(0,25)?
	
	 a)
	f(0,25) = 0,5
	 b)
	f(0,25) = 2,75
	 c)
	f(0,25) = 0,75
	  d)
	f(0,25) = 2,5
Anexos:
CN - Regressao Linear2
CN - Regressao Linear2
	2.
	O método de Newton ou também chamada de Newton-Rapson é usado para determinar os zeros de uma função. Considerando uma função f do quinto grau, sabemos que essa função tem no máximo 5 raízes, se uma delas está no intervalo fechado [0, 1], encontre essa raiz a partir de x = 0,8 usando o método de Newton com uma precisão de 0,01. Lembre-se de usar apenas 3 casas decimais e considere a função:
	
	 a)
	0,525.
	 b)
	0,502.
	 c)
	0,04.
	  d)
	0,5.
	3.
	Funções polinomiais são um caso particular de funções, em geral são bem-comportadas e apresentam várias propriedades interessantes. Uma dessas propriedades é que todo polinômio possui pelo menos uma raiz, podendo ela ser real ou complexa e se o polinômio tem grau n então ele tem no máximo n raízes. E ainda, se todos os coeficientes do polinômio forem reais e ele tiver uma raiz complexa, então o conjugado dessa raiz também é uma raiz do polinômio. Com base no exposto, considere o polinômio
p(x) = x³ - 3x² + x + 5
Determine o valor de a sabendo que x = - 1 e x = a - i são raízes do polinômio.
	 a)
	a = - 1
	 b)
	a = - 2
	 c)
	a = 2
	 d)
	a = 0
	4.
	Muitas situações-problema, como consumo de água, produção de uma empresa, entre outras, são resolvidas por meio de funções. Neste processo, com o auxílio da representação gráfica, busca-se um entendimento dos fenômenos dos mais variados. Dependendo de algumas características da função, tem-se métodos distintos de resolução. Um dos métodos de resolução que definem o consumo de água num determinado tempo ou quantas horas a mais os funcionários terão que trabalhar para suprir um funcionário ausente pode ser solucionado pelo método de interpolação linear. Sobre a interpolação polinomial linear, analise as sentenças a seguir:
I- Pode ser utilizada desde que f seja uma função monótona, crescente ou decrescente.
II- Depende da restrição do intervalo, a fim de obtermos um polinômio de grau 1.
III- É eficiente quando, para o mesmo conjunto de valores de x, queremos interpolar duas funções distintas.
IV- É utilizado quando estamos interessados no valor de f em apenas um ponto x.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As sentenças I e IV estão corretas.
	 b)
	As sentenças II e IV estão corretas.
	 c)
	As sentenças II e III estão corretas.
	 d)
	As sentenças I e III estão corretas.
	5.
	A interpolação é um método que permite definir uma nova função a partir de um conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos e que represente a função inicial. Sobre a interpolação polinomial de uma função f, podemos afirmar que:
I- Ela é útil quando conhecemos explicitamente f.
II- Quanto maior for a quantidade de pontos em que conhecemos f, melhor será a aproximação obtida por meio do polinômio.
III- Sua vantagem se deve principalmente ao fato de os polinômios serem funções bem comportadas.
IV- O polinômio, uma vez determinado, é único.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As sentenças I, III e IV estão corretas.
	 b)
	As sentenças II, III e IV estão corretas.
	 c)
	As sentenças I, II e III estão corretas.
	 d)
	As sentenças I, II e IV estão corretas.
	6.
	Uma equação não linear é uma equação que contenha termos da forma x², x³, termos com raiz entre outros. Um sistema de equações é dito não linear se pelo menos uma das equações não é linear. Para resolver um sistema não linear, usamos processos interativos. Considere o sistema linear:
f(x,y)=0
g(x,y)=0
onde, f ou g são funções não lineares. Com relação aos processos interativos usados para encontrar a solução dos sistemas não lineares, analise as sentenças a seguir:
I- Para aplicar o método da Interação Linear, precisamos encontrar as funções F e G (chamadas de funções de interação) que satisfazem F(x,y) = x e G(x,y) = y de tal forma que sejam contínuas e suas derivadas parciais também são contínuas.
II- Para aplicar o método de Newton, temos que considerar que f e g sejam contínuas, mas não é necessário que suas derivadas primeiras e segundas sejam também contínuas.
III- Para o método de Interação Linear, podemos considerar qualquer ponto inicial (x0, y0), não é preciso estar próximo da solução.
IV- Para o método de Newton, temos que considerar o ponto inicial (x0, y0) próximo da solução.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	I e IV.
	 b)
	I e III.
	 c)
	II e III.
	 d)
	II e IV.
	7.
	Estudamos cinco métodos iterativos para obter as aproximações das raízes de uma função real qualquer. No entanto, dentre os cincos métodos, cada um apresenta suas vantagens e limitações. Neste caso, é de interesse do pensador escolher qual destes métodos é o mais conveniente, ou seja, vantajoso para aplicar na sua situação problema para a tomada de decisão. Sobre esses métodos, associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Método da bisseção.
II- Método das cordas.
III- Método de Newton.
IV- Método das secantes.
V- Método da iteração linear.
(    ) Para trabalhar com este método, a grande dificuldade está centrada na descoberta da função de iteração apropriada, e sua vantagem é que a convergência é rápida.
(    ) Este método não exige as derivadas da função. Para chegarmos a uma aproximação confiável da raiz são necessárias várias iterações. É utilizado para refinar o intervalo que contém a raiz.
(    ) Este método exige que o pesquisador conheça a derivada da função e a sua forma analítica; no entanto, quando modificado, ele mantém constante o valor da primeira derivada durante todo o processo interativo.
(    ) Método utilizado quando o pesquisador tem a certeza de que o sinal da segunda derivada da função é constante, com a necessidade da realização de uma análise gráfica e possui uma convergência lenta.
(    ) A ordem de convergência está situada entre a convergência linear da iteração linear e a convergência quadrática do método de Newton.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	V - II - I - III - IV.
	 b)
	IV - V - I - II - III.
	 c)
	IV - V - II - I - III.
	 d)
	V - I - III - II - IV.
	8.
	O método de Lagrange é um dos métodos de interpolação linear que estudamos. Neste sentido, e com base na tabela a seguir, determine para a função f(x) = ln x o valor de:
	
	 a)
	0,5x² - 1,5x + 1
	 b)
	- x² + 2x - 5
	 c)
	0,5x² - 2,5x + 3
	 d)
	- x² + 4x - 3
Anexos:
CN - Interpolacao de Lagrange2
	9.
	Para destacar a importância de trabalhar com sistemas de equações não lineares, vamos levantar a situação em que existe a necessidade de realizar a análise do comportamento de um regime permanente do circuito não linear, quando os valores de tensão através dos resistores podem ser obtidos através da resolução de um sistema de equações não lineares, e o problema se reduz a encontrar uma raiz para o sistema de equações. Uma segunda situação permite mencionar que, no sistema aéreo, os controladores de voo trabalham com radares e, quando dois destes radares estão localizados em posições conhecidas, eles podem determinar a distância de suas localizações até uma aeronave que está se aproximando dentro do espaço aéreo. Neste caso, também temos um sistema de equações não lineares, e a solução está em calcular o valor das raízes das equações. Assim, efetue os seguintes cálculos:
Dado o sistema de equações não lineares:
	
	 a)
	No sistema, as variáveis x e y assumem o mesmo valor.
	 b)
	O Método de Newton é apropriado para calcular o erro relativo das variáveis com referência às raízes de ambas as funções.
	 c)
	As derivadas parciais das duas funções que compõem o sistema apresentam ponto de descontinuidade.
	 d)
	As duas funções que compõem o sistema apresentamponto de descontinuidade.
	10.
	Interpolação linear é uma ramificação da matemática que se caracteriza por uma função linear (polinômio de primeiro grau), a qual representa em resultados aproximados uma função f(x). Considerando a tabela a seguir e utilizando a interpolação linear, qual o valor estimado de f(1,25)?
	
	 a)
	f(1,25) = 5,75
	 b)
	f(1,25) = 6,25
	 c)
	f(1,25) = 6,5
	 d)
	f(1,25) = 5,5
Anexos:
CN - Regressao Linear2