CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL - Prova N2

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Pergunta 1 
 
Um dos métodos mais simples para resolução de equações é o método da bisseção, 
uma vez que exige apenas que a função seja contínua em um intervalo , assuma 
valores com sinais opostos nos extremos do intervalo e contenha uma única raiz 
nesse mesmo intervalo. Assim, ao utilizarmos o método da bisseção para a 
função e sabendo que a raiz , é possível mostrar 
que é igual a: 
 
Assinale a alternativa correta: 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, após a verificação de todas as hipóteses 
necessárias, podemos aplicar o método da bisseção para calcular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• -1,175. 
• -1,00625. 
• -1,0625. 
• -0,95. 
• -1,034375. 
 
Pergunta 2 
 
 
 
Barroso (1987) Usando a regra dos trapézios composta sobre os pontos necessários, 
calcule e marque a alternativa que representa o valor do 
trabalho realizado por um gás sendo aquecido segundo a tabela 
abaixo, em que é a pressão exercida pela gás e é o seu respectivo volume. 
 
 
 
 
n 
(-) 
 
 (+) 
 
 
 
0 -1,4 -0,5 -0,95 0,21336618 
-
1,0600657 1,25516512 
1 -1,4 -0,95 -1,175 -0,4039139 0,225 
2 -1,175 -0,95 -1,0625 -0,0891207 0,1125 
3 -1,0625 -0,95 -1,00625 0,06381519 0,05625 
 
 
0,5 110 
1,0 100 
1,5 90 
2,0 82 
2,5 74 
3,0 63 
3,5 54 
4,0 38 
4,5 32 
5,0 22 
 
Referência: BARROSO, L. C. et al. Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São 
Paulo: Harbra, 1987, p. 274. 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios 
composta com 6 pontos distintos, temos 
 
 
 
 
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor 
 
 
0 1,5 90 
1 2 82 
2 2,5 74 
3 3 63 
4 3,5 54 
5 4 38 
 
 
• 186 J 
• 208,5 J 
• 216,5 J 
• 168,5 J 
• 191 J 
 
 
 
Pergunta 3 
 
Considere a função e uma tolerância . Ao utilizar o 
método da bisseção, qual o número mínimo de iterações necessárias para encontrar 
uma raiz pertencente ao intervalo [2,7;3,3]? 
 
Assinale a alternativa correta: 
 
Sua resposta está correta. Essa alternativa está incorreta, pois apresenta um valor 
diferente de 15 iterações. Perceba que, ao utilizarmos a fórmula 
 
encontramos, 
 
 isto é, n=15, uma vez que o número de iterações sempre será um número inteiro. Para 
auxiliar nos cálculos, o aluno também pode construir a tabela a seguir: 
 
a b tolerância n 
2,7 3,3 0,00001 14,8726749 
 
 
• 17. 
• 14. 
• 16. 
• 15. 
• 13. 
 
Pergunta 4 
 
Uma das aplicações da interpolação de funções é aproximar funções que envolvem 
operações difíceis (ou impossíveis) como diferenciação e integração por funções mais 
simples. Por exemplo, na interpolação polinomial, utilizamos polinômios para 
aproximar tais funções. 
 
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. A fórmula de Lagrange é muito útil na determinação de um polinômio interpolador de 
grau máximo igual a n, sendo fornecidos n+1 pontos distintos. 
Pois: 
II. Além das funções polinomiais, podemos utilizar outros tipos de funções para realizar 
a interpolação numérica, como, por exemplo, funções trigonométricas e exponenciais. 
Sua resposta está correta. Pois as asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II 
não justifica a I. Certamente, a fórmula de Lagrange é muito útil na obtenção do polinômio 
interpolador de grau máximo igual a n, dados n+1 pontos distintos. Além disso, é verdade 
que podemos utilizar outros tipos de funções para realizar a interpolação numérica, entre 
as quais podemos citar as exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, conforme 
proposição II. 
 
• As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
• A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
• A asserção I é uma proposição verdadeira, e a asserção II é uma proposição falsa. 
• As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta 
da I. 
 
• As asserções I e II são proposições falsas. 
 
Pergunta 5 
 
Um dos métodos mais robustos para resolução de equações é o método de Newton, 
uma vez que ele exige um grande conhecimento das derivadas da função. Assim, 
utilizando o método de Newton para a função , e sabendo que a 
raiz . Assinale a alternativa que indica qual o valor de . 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a 
função 
 podemos verificar, por meio da tabela seguir, que. 
 
 
0 -1,4 -1,0600657 2,97089946 
1 -1,0431836 -0,0362392 2,72802289 0,35681642 
2 -1,0298995 -8,952E-05 2,7144945 0,01328407 
3 -1,0298665 -5,6E-10 2,71446054 3,2978E-05 
 
 
• -1,0375845. 
• -1,0298665. 
• -1,0431836. 
• -1,0298995. 
• -1,0323456. 
Pergunta 6 
 
Leia o excerto a seguir: 
“Interpolação polinomial é um caso particular do problema geral de interpolação no 
qual a família de funções é constituída de polinômios”. Nesses casos, a função que 
será utilizada para aproximar uma função conhecida é um polinômio de 
grau , chamado de polinômio interpolador. 
INTERPOLAÇÃO polinomial. Reamat, [2020]. Disponível em: 
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-sci/i1-inter 
polacao_polinomial.html . Acesso em: 21 dez. 2019. 
 
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. Dados três pontos distintos, nem sempre é possível determinar um polinômio 
interpolador que passe por eles. 
Pois: 
II. Para os casos de três pontos distintos, não há um resultado geral que garanta a 
existência e a unicidade do polinômio interpolador. 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois as asserções I e II são falsas, uma vez 
que, dados três pontos distintos, sempre é possível determinar o polinômio interpolador 
que passe por eles, além disso, o mesmo é único, conforme resultado visto na presente 
unidade. 
 
• A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
• A asserção I é uma proposição verdadeira, e a asserção II é uma proposição falsa. 
• As asserções I e II são proposições falsas. 
• As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta 
da I. 
 
• As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
 
Pergunta 7 
 
Frequentemente, precisamos encontrar raízes de funções/equações associadas a 
problemas da Engenharia/Ciência. Um problema clássico é a determinação das órbitas 
dos satélites. A equação de Kepler, usada para determinar órbitas de satélites, é dada 
por: 
 
Suponha que sejam conhecidos e . Usando o método da iteração 
linear, calcule o número mínimo de iterações necessárias para determinar a raiz da 
equação dada, com uma tolerância . Para isso, isole a raiz num 
intervalo de comprimento 1, ou seja, ( e naturais) e 
. Assinale a alternativa correta. 
FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e 
calculando a função 
e, 
 
encontramos 6 iterações, no mínimo, para a tolerância, 
 
conforme a tabela a seguir: 
 
0 0 
1 0,6 0,6 
2 0,76939274 0,169392742 
3 0,80870975 0,039317004 
4 0,81701908 0,008309337 
5 0,81873268 0,001713599 
6 0,8190842 0,000351514 
 
 
• 5. 
• 7. 
• 3. 
• 4. 
• 6. 
 
 
Pergunta 8 
 
A partir da aplicação do método gráfico para isolamento das raízes de uma função f(x) 
dada, podemos, em muitos casos, de forma prática e rápida, conhecer a quantidade e 
os sinais de tais raízes. Em vista disso, por meio do método gráfico, podemos dizer 
que a função possui: 
 
Assinale a alternativa correta: 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, ao aplicarmos o método gráfico para as 
funções 
e 
 
é possível perceber que se tratam de duas interseções para x positivo e uma interseção 
para x negativo, ou seja, nesse caso, temos três raízes reais. 
• Três raízes reais, sendo umanegativa e duas positivas. 
• Três raízes reais, sendo duas negativas e uma positiva. 
• Apenas duas raízes reais, sendo uma negativa e uma positiva. 
• Apenas uma raiz real. 
• Apenas duas raízes reais, ambas negativas. 
 
Pergunta 9 
 
Considere a equação de Lambert dada por , em que t é um número real 
positivo. É possível mostrar que essa equação possui uma única solução , 
que pertence ao intervalo [0,t]. Por intermédio do método da bisseção e usando essa 
estimativa como intervalo inicial, quantas iterações são necessárias para obter o valor 
numérico de quando t=100 com uma tolerância ? 
 
Assinale a alternativa correta: 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, ao utilizarmos a fórmula, 
 
encontramos, 
 
 isto é, n=26, uma vez que o número de iterações sempre será um número inteiro. Para 
auxiliar nos cálculos, o aluno também pode construir a tabela a seguir: 
a b tolerância n 
0 100 0,000001 25,57542476 
 
 
• 84. 
• 26. 
• 100. 
• 10. 
• 22. 
 
 
 
 
Pergunta 10 
 
De forma geral, o processo de solução de um problema físico por meio da aplicação 
de métodos numéricos envolve duas fases: modelagem e resolução. Suponha que a 
modelagem de um problema físico resultou na equação . Em 
seguida, passamos para a fase de resolução e desejamos encontrar os valores da 
variável que tornam a equação verdadeira. Nesse processo, a partir da utilização do 
método gráfico, afirmamos que a equação encontrada possui: 
 
Assinale a alternativa correta: 
 
Sua resposta está correta. Pois, ao aplicarmos o método gráfico, notamos que são duas 
raízes reais positivas. Perceba que, para as funções 
 
e 
 
e fazendo o x variar, chegamos ao resultado informado. 
 
• Uma raiz real positiva e uma raiz real negativa. 
• Uma única raiz positiva. 
• Duas raízes reais positivas. 
• Duas raízes reais negativas. 
• Uma única raiz negativa.