Trabalho de Aplicacoes de EDO

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Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC
Centro de Educação Superior do Alto Vale do Itajaí - CEAVI
Departamento de Engenharia Sanitária
Modelagem Matemática; Determinação da concentração de misturas, e Drenagem de tanques.
Acadêmicos: Emanuel Fusinato
José Guilherme Espíndola
Ibirama, 06 de novembro de 2013.
Introdução
A modelagem matemática é a área que estuda a simulação de sistemas a fim de prever o seu comportamento, sendo empregada principalmente nas áreas da física, química, biologia e engenharias. 
O principal método de modelagem é realizado via equações diferenciais ordinárias. Sendo que tal técnica é utilizada para modelar fenômenos desde o século XVII. 
Neste trabalho utilizaremos a modelagem matemática e os métodos de equações diferenciais ordinárias para solucionar problemas como; determinação da concentração de misturas, e drenagem de tanques.
Modelagem matemática de concentração de misturas
	A modelagem matemática para problemas de concentração de misturas muitas vezes dá origem a uma equação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal contida na mistura. Esta quantidade depende da diferença das taxas de entrada e saída de solução do tanque. O valor destas taxas é dado pela multiplicação do fluxo pela concentração, para a entrada e saída. 
Podemos ter três diferentes casos para diferença de concentração: taxa de entrada igual a taxa de saída, taxa de entrada menor que a taxa de saída e taxa de entrada maior que a taxa de saída. Sendo que nos últimos dois casos a concentração de sal dentro do tanque é decrescente e crescente, respectivamente.
Ainda podemos ter diferentes casos para diferença no fluxo de entrada e saída. Para isso utilizamos a fórmula da taxa de saída: 
Sendo que a concentração de saída depende da concentração da solução do tanque, que é calculada por: 
A massa do soluto é a nossa incógnita A(t).
O volume do solvente é: 
= Volume inicial
= Fluxo de entrada
 Fluxo de saída
O exemplo escolhido foi um caso de fluxo de entrada igual ao fluxo de saída. Um grande tanque de mistura contêm 300 litros de salmoura (isto é, água na qual foi dissolvida uma determinada quantidade de kilogramas de sal). Uma outra salmoura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de três litros por minuto; a concentração de sal nessa segunda salmoura é de 2 kilogramas por litro. Quando a solução no tanque estiver bem misturada, ela será bombeada para fora a mesma taxa em que a segunda salmoura entrar. Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em kilogramas) no tanque no instante t, a taxa segundo a qual A(t) varia será uma taxa líquida:
A taxa de entrada de sal no tanque é produto da concentração de sal no fluxo de entrada de fluído. Percebe-se que é medido por kilogramas por minuto:
Taxa de entrada de sal
Concentração de sal no fluxo de entrada
Taxa de entrada de salmoura
Uma vez que a solução está sendo bombeada para fora e para dentro do tanque a mesma taxa, o número de litros de salmoura no tanque no instante t é constante e igual a 300 litros. Assim sendo, a concentração de sal no tanque e no fluxo de saída é de A(t)/300kg/L, e a taxa de saída de sal é:
Taxa de saída de sal
Concentração de sal no fluxo de saída
Taxa de saída de salmoura
Logo a variação líquida torna-se:
Temos uma EDO linear de primeira ordem que pode ser resolvida utilizando o método de EDOs separáveis:
Podemos observar como esta equação se comporta a longo prazo aplicando um limite:
 = 600
De acordo com o resultado podemos perceber que a concentração salina do tanque tende ao valor da concentração de entrada.
Dos dados do tanque acima, vamos colocar agora a seguinte questão: se 50 kg de sal fossem dissolvidas nos 300 L iniciais?
A solução particular é :
Graficamente:
	No gráfico abaixo temos a solução particular acima, e os ponto A(50,0) e a reta y=600. O gráfico comporta-se como o esperado para todo o tempo positivo. 
Modelagem matemática de drenagem de tanques
Escoamento em Hidrodinâmica
Se a área da secção no nível A(h) for conhecida, e a área seccional “a”, na base por onde a água esta sendo drenada também conhecida, este problema torna-se relativamente simples para encontrar a altura do nível da água “h” em função do tempo t. 
A chave para resolução do problema é uma relação de equilíbrio de energia elementar, que dá a velocidade do efluente. 
O volume infinitesimal de uma superficie de água que é drenado para fora do recipiente, no tempo t , é dado por:
 V = A(h)h			(Equação 1)
onde A(h) é a área da superfície e h a componente do incremento diferencial em função do tempo .
Considera-se este volume escoado com uma perda em relação a energia potencial (Ep = mgh), onde g é a constante da força de gravidade. 
Esta perda de energia potencial é equilibrada pela energia cinética deste volume de elementos que passam através do dreno. 
Se denotamos a velocidade do efluente por v. Quando a energia cinética é:
Ec = mv2				(Equação 2)
e relacionarmos esta com a energia potencial que escrevemos como:
mv2 = mgh				(Equação 3)
podemos seguir com nosso estudo, lembrando que em queda livre um corpo possui sua velocidade definida por: 
v = 
Se o volume total de água, V(h), contida no recipiente está escoando pelo dreno, com velocidade “v”, através de um buraco com secção de área “a”, quando o equilíbrio for atingido, podemos escrever a partir da “(Equação 3)”:
Drenando um Tanque
Suponha que um tanque cheio com água seja drenado por meio de um buraco sob a influência da gravidade. 
Gostaríamos de encontrar a altura “h” de água remanescente no tanque no instante t. 
Considere o tanque ao lado: 
Se a área do buraco for Ah (em m2) e a velocidade de saída da água do tanque for v = (em m/s), o volume de saída de água do tanque por segundo é V = Ah (em m3/s). Assim, se V denotar o volume de água no tanque no instante t,
 	(Equação 4)
onde o sinal de subtração indica que V está decrescendo. Observe aqui que estamos ignorando a possibilidade de atrito do buraco que possa causar uma redução na taxa de fluxo.
Assim, a (Equação 4) é uma EDO Linear de Primeira Ordem, com as variáveis dh e dt, que podemos resolver pelo método de EDOs Separáveis; onde:
V(t) = Ab.h(t)
Ah = .r2 (Área do buraco)
Ab = .R2 (Área da base).
Dedução do modelo:
Como V(t) = Ab.h(t), a taxa com que o volume do tanque irá variar será:
 = Ab.
Então a (Equação 4) fica:
Ab. = 
Como Ah = .r2 e Ab = .R2, temos:
.R2. = .r2..
Separamos as variáveis dh, dt e integramos dos dois lados:
.R2. = .r2..
Obtemos:
.R2. h1/2. 2 = .r2.. t + c
e chegamos na equação da altura da água no tanque em função do tempo:
h(t) = 		(Equação 5)
Quando as condições iniciais, t = 0, e h = ho , são utilizadas, encontra-se:
que ao substituirmos na (Equação 5), obtêm-se a equação particular da solução, escrita na forma:
h(t) =		(Equação 6)
Através da (Equação 6), isolando a variável t, podemos encontrar o tempo em que o tanque esvazia:
t(h) = 		(Equação 7)
Como V(t) = Ab.h(t) e h(t) = , através da (Equação 6) obtemos:
Substituindo e fazendo as operações matemáticas, chegamos na equação do volume em função do tempo:
V(t) = 
Para analisar a variação da altura a longo prazo, calculamos o limite da (Equação 6), obtendo:
 = + 
Podemos concluir, que esta equação não é apropriada para se calcular o volume ou a altura a longo prazo, pois não faz sentido a altura/volume tender ao infinito, sendo que o tanque, ao passar do tempo, tende a ficar vazio e não encherá de novo.
Exemplo:
Determinar o tempo necessário para esvaziar um tanque cilíndrico de raio 2m e altura 5m, cheio de água, admitindo-se que a água escoe através de um orifício, situado na base do tanque, de raio 30cm, com uma velocidade v=m/s, sendo h a altura da água no tanque e g = 10m/s2 a aceleração gravitacional.Podemos calcular o tempo para esvaziar o tanque através da (Equação 7)
t(h) = 
Como queremos calcular o tempo que o tanque irá esvaziar, ou seja, quando h=0, a equação fica:
t(0) = 
Substituindo os dados da questão, temos:
t(0) = = 44,44 s
Graficamente:
Gráfico (hxt)
 - Drenagem de um tanque. Demonstração da altura 
h
 da água no tanque após um certo tempo
 t
, sendo a altura em metros e o tempo em segundos.[ h (m) x t (s) ] 
Através do gráfico [ h (m) x t (s) ], podemos observar, que no tempo zero o tanque está cheio de água, sendo assim a altura inicial (h=5 m) e após um tempo t=44,44s o tanque esvazia completamente (h=0 m).
Conclusão
Neste trabalho, utilizamos equações diferenciais ordinárias para modelar problemas físicos, no caso deste trabalho, a drenagem de tanques e concentração de misturas. Em tais estudos a abordagem das equações utilizadas é bastante simples, visto que a modelagem de tais sistemas envolve somente equações diferenciais de 1ª ordem. 
Por meio de método de fator integrante ou separáveis podemos resolver os casos de concentração de misturas, obtendo as soluções particulares e gerais. Analisando-as podemos concluir que em um sistema onde os fluxos de entrada e saída são iguais obtivemos um gráfico coerente com o que pode ser visualizado em um eventual experimento, já para situações onde há uma diferença entre os fluxos de entrada ou saída, o grafico obtido apresenta uma área valida e outra que deve ser despresada. Outro ponto a ser analisado é que a concentração do tanque tende a se estabilizar com a concentração de entrada.
Através do método de EDOs separáveis, modelamos a equação diferencial do volume de um tanque sendo drenado, em relação ao tempo t, obtendo assim as equações do volume, altura, após um tempo t e a equação do tempo para que o tanque irá ter determinada altura de água. Aplicando o limite de t tendendo ao infinito, obtivemos a resposta do volume/altura a longo prazo, sendo este, +. O resultado não é apropriado, pois, como podemos observar no gráfico (hxt), após um tempo t=44,44s o tanque é esvaziado completamente e não volta a encher.
Referências Bibliográficas
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/paulabenevides/equacoes-diferenciais/equacoes-diferencias/ED_PaulaBenevides.pdf (Acessado em 02/11/2013)
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96626/Aloisio%20Jos%C3%A9.PDF?sequence=1 (Acessado em 04/11/2013)
Exemplo de concentração de misturas, adaptado de: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
NOTAS DE AULA, Prof.a Paula Francis Benevides.
Software utilizado para plotagem dos gráficos: GeoGebra.