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História da Matemática
Aula 07: As estruturas da história da matemática: a evolução
do conceito de número real
Apresentação
Nessa aula, você vai compreender como o Renascimento significou o movimento de renovação intelectual e artística na
Europa Ocidental e sua importância do ensino com interesses humanísticos. Além disso, identificará a retomada das
pesquisas em Matemática com ênfase para: o início do simbolismo algébrico (1557– 1631), o desenvolvimento da
Álgebra Clássica (1580–1631), o desenvolvimento da Moderna Teoria dos Números (1635), a criação da Probabilidade
(1654), a criação dos Logaritmos (1614-1615), e a criação do Cálculo Diferencial e Integral (1629-1687).
Objetivos
Analisar alguns aspectos históricos sobre a evolução do conceito de número real;
Verificar incomensurabilidade entre o lado e a diagonal de um quadrado, descoberta pelos pitagóricos;
Verificar o método de arquimedes para determinação da área de um círculo.
 Georg Cantor (1845-1918).
 A história da matemática da
modernidade
Em um novo contexto, a partir do século XIX, a História da
Matemática passa a assumir um caráter verdadeiramente
didático. Um exemplo disso é o trabalho em quatro volumes
Vorlesunger über Geschichte der Mathematik, publicado em
1880 e 1908 por Mortz Benedict Cantor. A obra de Cantor
trata especificamente da evolução do pensamento
matemático puro.
Apesar do surgimento de outras formas de se trabalhar a
História da Matemática , a visão cronológica não foi
abandonada. Exemplos de tal perspectiva no século XX são
a Introdução à História da Matemática (1969), de Howard
Eves e A História da Matemática (1974), de Carl Benjamin
Boyer. Essas obras tornaram-se referência obrigatória em
nosso tempo, em se tratando de História da Matemática.
1
A questão da incomensurabilidade entre o lado e a diagonal de
um quadrado
É atribuída ao matemático grego Hipasus Metapontum (470 – 400 a.C.), nascido na cidade grega de Metaponto, sul da Itália, a
descoberta de grandezas incomensuráveis (não-racionais). Teria sido Hipasus Metapontum, o principal responsável por
profundas mudanças no pensamento filosófico da escola pitagórica, em meados do século V a.C., de que tudo no universo
podia ser reduzido somente a números comensuráveis (racionais) ou suas razões, pois o mesmo produziu um elemento não–
inteiro que negava os ensinamentos adquiridos nos cultos secretos onde era discípulo do mestre Pitágoras de Samos (570 –
495 a.C.). Não se sabe ao certo como Hipasus Metapontum observou os irracionais pela primeira vez, mas, é bastante provável
que os primeiros incomensuráveis conhecidos por ele, venham de demonstrações precisas sobre o valor da diagonal de um
quadrado de lado unitário.
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Não se pode expressar a medida da diagonal por meio de
um número racional, tomando um lado do quadrado como
unidade de medida. Esse fato mostra que a diagonal do
quadrado é incomensurável com o lado. Essa noção de
incomensurabilidade foi a descoberta mais importante da
Escola Pitagórica e foi um dos fatos que perturbou os
geômetras gregos, pois eles entendiam, conforme que uma
relação entre grandezas geométricas deveria corresponder
a uma relação entre números.
As circunstâncias que rodearam a primeira percepção da incomensurabilidade são incertas. Supõe-se que a percepção veio
em conexão com a aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo isósceles. A única referência à descoberta dessa
questão está no trabalho de Aristóteles que refere uma prova da incomensurabilidade da diagonal de um quadrado com o seu
lado, indicando que se baseava na distinção entre pares e ímpares.
 
 Método de arquimedes para
determinação da área de um
círculo
Para os geômetras gregos, a noção de número irracional π
não era clara, embora, em problemas práticos, utilizassem
aproximações racionais dos valores irracionais. Exemplo
disso é o método utilizado por Arquimedes para
determinação do número, cuja aproximação foi obtida com
duas sequências de racionais, uma de termos superiores e
outra de termos inferiores, distando pouco do número
irracional. O método utilizado por Arquimedes permitiu
calcular a área de um círculo.
Ele aproximou a área do círculo ao inscrever e circunscrever
um hexágono.
Arquimedes iniciou o processo, dobrando o número de
lados dos polígonos e repetiu-o até obter um polígono de 96
lados. Com o cálculo da área do polígono interior e exterior
obteve, respectivamente, um limite inferior e um limite
superior para a área do círculo. Com esse método, ele
obteve para o valor de π, aproximações equivalentes a
3,14084 < π < 3,142858, o que mostra a proximidade dos
valores que hoje conhecemos.
 Hexágono inscrito e circunscrito.
Usando esse método, Arquimedes construiu duas sequências de números racionais, uma com valores inferiores e outra com
valores superiores, tendo como limite o número irracional. Esse método utilizado por Arquimedes é, na realidade, a origem do
cálculo diferencial, embora, somente depois de, aproximadamente, dois mil anos, Newton formulou seus fundamentos.
Comentário
Apesar da descoberta da incomensurabilidade da diagonal do quadrado em relação ao lado e da descoberta de Arquimedes, os
números irracionais não foram claramente definidos.
A evolução histórica do conceito de número
01
A necessidade de contar e de fazer cálculos matemáticos esteve sempre acompanhada de uma evolução social e, se
assim podemos dizer, econômica das sociedades humanas. A partir do momento em que os nossos ancestrais, além
de cuidar da agricultura, partiram para fazer trocas e mais adiante, comercializar seus produtos, os primeiros números
surgiram, naturalmente, como consequência deste processo. Surgia, então, o que chamamos hoje números
naturais , originados não apenas por um exercício intelectual dos homens, mas extremamente associados às
suas necessidades diárias.
02 Uma linha finita pode ser estendida continuamente numa reta.
03
Com a evolução das relações sociais, a humanidade passou a ter não só a necessidade de contar, mas também a de
medir. O sistema de produção baseava-se na agricultura, e assim era preciso medir comprimentos e áreas de terrenos,
além de determinar o tempo para o plantio, para a colheita dentre outras necessidades cotidianas. Entendemos aqui
medir, como o ato de comparar duas grandezas, uma sendo referência para a determinação da outra. Ressaltamos
que a questão da medida está intimamente ligada ao modo contínuo de construção da noção de número por meio de
uma (a é maior que b ou a é menor que b).
04
Acontece, porém, que a relação entre a grandeza a ser medida e o padrão estabelecido pode resultar em um número
inteiro ou não. Para expressarmos esta nova medida, o campo numérico dos números naturais já não é mais
suficiente. Faz-se necessária a utilização de subdivisões e para tal, apresentam-se os números fracionários. E foi
através deste caminho que eles se defrontaram com os números irracionais.
05
Coloquemos então a definição utilizada por Dedekind: chamemos número real ao elemento de separação das duas
classes de um corte qualquer no conjunto dos números racionais. Se existir um número racional separando estas
duas classes, o número real coincide com esse racional; se não existe tal número, este será chamado irracional.
1
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Contribuições para o ensino de
números
O surgimento e a evolução da noção de número natural não
estiveram somente ligados à contagem de elementos
individuais, na famosa associação entre o número de
ovelhas em um rebanho e a quantidade de pedrinhas em
um saco. Na verdade, o uso do número natural sempre
esteve vinculado também a atividades envolvendo medidas
de grandezas contínuas, e de uma forma mais simples à
noção de ordenação, que supõe a comparação entre
grandezas diferentes.  
Cada vez que introduzimos um novo conceito, precisamos
defini-lo em termos de conceitos,cujos significados já são
por nós conhecidos, sendo quase impossível estar
retornando sempre a definição de todos os conceitos
anteriores. A construção do conjunto dos números reais
ocupa um papel de destaque na História da Matemática que
inicia na matemática grega e vai até o século XIX.
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O conjunto dos números inteiros {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} são construídos a partir de situações como: qual é o resultado da
operação 2 - 5? Ou resolver equações do tipo x + 5 = 2.
Ao introduzirmos a ideia do negativo (ou simétrico) de um número, podemos resolver questões relacionadas a débitos e
com esta extensão, obtemos um conjunto no qual a subtração de números é sempre um número do conjunto. A extensão
das operações dos números naturais para o conjunto dos números inteiros é feita de modo que todas as propriedades da
adição e multiplicação continuam valendo.
Números Inteiros 
No Ensino Fundamental, o conjunto dos números racionais foi construído gradativamente. Partindo dos números
naturais, construímos os números inteiros e em seguida os números racionais. Os números naturais {1,2,3,4,.....} estão
associados a problemas de contagem e sabe-se que muito tempo passou até chegarmos à notação decimal que hoje
usamos. A introdução dessa notação permite o desenvolvimento de métodos práticos (algoritmos) para efetuar
operações com números naturais e resolver problemas que vão além da simples contagem.
Números Racionais 
2
Dica
A passagem do conjunto dos números inteiros para os números racionais se faz de maneira análoga. A motivação se dá por
operações de divisão do tipo 2 ÷ 3, ou por equações do tipo 2X = 3 que não possui solução em números inteiros.
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Atividade
Usando as noções de trigonometria e a informação de que sen (1/7)° = 0,0025, os matemáticos indianos, demonstraram que a
distância entre a Terra e o Sol vale, aproximadamente, digite a resposta vezes a distância entre a Terra e a Lua.
Notas
Formas de se trabalhar a História da Matemática 1
Por tópico, por civilização, por biografias, etc.
Números racionais 2
Os números racionais são aqueles que podem ser representados por uma fração, ou seja, são os números da forma a / b, com
a e b números inteiros e b ≠ 0.
Números naturais 3
O número natural nasceu da necessidade de se compararem umas grandezas às outras. Muitos séculos se passaram, até
chegarmos à Grécia antiga e à escola pitagórica. É neste momento que os números deixam apenas de servir às contagens e
passam a assumir um caráter abstrato, por vezes místico e esotérico, em que as leis matemáticas traduziam a harmonia
universal, construindo os alicerces da moderna teoria dos números.
Referências
BOYER, Carl Benjamin. História da matemática. 2. ed. São Paulo: E. Blücher, 2005.
HUETE, Sábchez; BRAVO, Fernández. O ensino da matemática: fundamentos teóricos e bases psicopedagógicas. Porto Alegre:
Artmed, 2006.
SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Ermes Medeiros da; Silva, Elio Medeiros da. Matemática Básica para Cursos Superiores.
São Paulo, Atlas, 2002.
Próxima aula
As estruturas da História da Matemática: A evolução do conceito de Geometria.
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