Lista de Exercícios de Álgebra Linear - Matrizes

Prévia do material em texto

1 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 1 - RESOLUÇÃO 
Curso: Engenharia de Produção Disciplina: Álgebra Linear 
Professor: João Furtado Turma: EP2NA Data: 12/08/2015 
Aluno: Gerson C. Santos 
 Nos problemas de 1 a 3, calcular os valores de “m” e “n” para que as matrizes “A” e “B” sejam iguais: 
1) 
75
15 75 38 15 8 75
15
12 3
8 1
6 3
1
5 8 75
12 3
2 3 2 7
3
3
6
1
n nn
n
n
n
n
A B
n

       
         
  
   
  

   
  
 
2) 
2
2
2 2 2
2
2
2 41 1340 4 40 41
6 36 3 4 13
40 41 81 81 9
1
41 1340 4
6
3 4 9
36 3
9 3
m n m
n
m m
n m
m n
A B
      
     
    
      
 
     
    
  


 


 ` 
3) 
 2 2
2 2
1
2 2
2
7 8 7 8
10 25 10 25 0
4 4 10 25
( 1, 10, 25) 4 ( 10) 4(1)(25) 100 100 0
7 8 7 8
4 4
0 0
10 0
5
2
5
10 02
5
10 5
2
2
x x x x
x x
a b c b
A B
ac
r
b
r x
a
x x
r
   
             
                   

           
    

   
      
   
  
 
 Dadas as matrizes abaixo: 
2 3 8 5 7 9 0 9 8
4 1 6 0 4 1 1 4 6
A B C
      
           
 
4) Calcular A+B: 
2 3 8 5 7 9 2 5 3 ( 7) 8 ( 9) 7 4 1
4 1 6 0 4 1 4 0 1 4 6 1 4 3 5
               
                       
 
5) Calcular B+C: 
5 7 9 0 9 8 5 0 7 9 9 8 5 2 1
0 4 1 1 4 6 0 1 4 4 1 6 1 8 7
              
                  
 
6) Calcular A+C: 
2 3 8 0 9 8 2 0 3 9 8 8 2 12 16
4 1 6 1 4 6 4 1 1 4 6 6 5 3 0
         
                      
 
 
 
 
 
 
2 
 
7) Calcular A-B: 
2 3 8 5 7 9 2 5 3 ( 7) 8 ( 9) 3 10 17
4 1 6 0 4 1 4 0 1 4 6 1 4 5 7
              
                        
 
8) Calcular A-C: 
2 3 8 0 9 8 2 0 3 9 8 8 2 6 0
4 1 6 1 4 6 4 1 1 4 6 6 3 5 12
          
                        
 
9) Calcular B-C: 
5 7 9 0 9 8 5 0 7 9 9 8 5 16 17
0 4 1 1 4 6 0 1 4 4 1 6 1 0 5
               
                    
 
10) Calcular X=4A-3B+5C: 
2 3 8 5 7 9 0 9 8 8 12 32 15 21 27 0 45 40
4 3 5
4 1 6 0 4 1 1 4 6 16 4 24 0 12 3 5 20 30
8 15 0 12 ( 21) 45 32 ( 27) 40 7 78 99
16 0 5 4 12 20 24 3 30 21 4 3
X X
              
                                
           
               
 
11) Calcular X=2B-3A-6C: 
5 7 9 2 3 8 0 9 8 10 14 18 6 9 24 0 54 48
2 3 6
0 4 1 4 1 6 1 4 6 0 8 2 12 3 18 6 24 36
10 6 0 14 9 54 18 24 48 4 77 90
0 12 6 8 ( 3) 24 2 ( 18) 36 18 13 16
X X
              
                                
            
                  
 
12) Calcular X=4C+2A-6B: 
0 9 8 2 3 8 5 7 9 0 36 32 4 6 16 30 42 54
4 2 6
1 4 6 4 1 6 0 4 1 4 16 24 8 2 12 0 24 6
0 4 30 36 6 ( 42) 32 16 ( 54) 26 84 102
4 8 0 16 ( 2) 24 24 ( 12) 6 12 10 6
X X
              
                                
           
                
 
 Nos problemas de 13 a 15, efetuar a multiplicação das matrizes “A” e “X”. 
13) 
(2,1)(2,2) (2,1)
2 62 6
5
2 6
5 4 5 44
x x y
A
x
A X X
xy y y
     
 
   
   
            
 
14) 
1 1 2 3
(3,1) 2
1
(3,3 1) (3,1) 2 2 3
3 1 2 33
1 2 3 2 3
2 5 7 2 5 7
3 9 8 3 9
1 2 3
2 5 7
3 9 8 8
x x x x
AX x x x x
x x x x
x
A X x
x
      
           
   
     
   
     
     
            
 
 
 
 
 
3 
 
15) 
1
2
(4,1)
3
4
1 2 3 4
2 3 4
(4,1)
1 2 3 4
1
1
2
(4,4) (4,1)
2 3 4
3
4
3 4 2 8
0 1 3 6
2 4 5 7
9 9 8 6
3 4 2 8
3
3 4 2 8
0 1 3 6
2 4 5 7
9 9 8
6
2 4 5 7
9
6
9 8 6
x
x
A
x
x
AX
x
x
x x x x
x x x
A
X
x
x
X
x x x x
x x x x
   
  
 
   
  
   
   
  

   
  
    
    
  

   

 


   





 
 Dadas as matrizes: 
1 2 1 7 3 8
3 1 1 3 5 7 2 4 3 1 1 3
7 4 6 2 8 3 3 5 4 1 9 0
5 9 5 3 2 3
A B C D
    
              
           
   
   
 
16) Calcular AB: 
(4,2) (2,4)
(4,4)
1 2
3 1 1 3 5 7
7 4 6 2 8 3
5 9
1 1 ( 2) 6 1 3 ( 2) 2 1 ( 5) ( 2) ( 8) 1 ( 7) ( 2) 3
3 1 1 6 3 3 1 2 3 ( 5) 1 ( 8) 3 ( 7) 1 3
7 1 ( 4) 6 7 3 ( 4) 2 7 ( 5) ( 4) ( 8) 7 ( 7) ( 4) 3
5 1 9 6
A B
AB
 
     
    
 
 
                  
              
                  
  
11 1 11 13
9 11 23 18
17 13 3 61
5 3 9 2 5 ( 5) 9 ( 8) 5 ( 7) 9 3 59 33 97 8
     
    
   
     
   
                
 
17) Calcular (AB)D: 
(4,2) (2,4) (4,4)
(4,4) (4,4)
1 2 11 1 11 13
3 1 1 3 5 7 9 11 23 18
7 4 6 2 8 3 17 13 3 61
5 9 59 33 97 8
11 1 11 13 1 7 3 8
9 11 23 18 3 1 1 3
17 13 3 61 4 1 9 0
59 33 97 8 5 3 2 3
A B AB
AB D
      
                   
   
    
     
       
  
    
  
    
[ 11 1 ( 1) ( 3) 11 4 ( 13) 5] [ 11 [ 11 3 ( 1) ( 1) 11 9 ( 13) 2 ] [ 11 ( 8) ( 1) ( 3) 11 0 ( 13) ( 3)]
[9 1 11 ( 3) ( 23) 4 ( 18) 5] [9 7 11 ( 1) ( 23) 1 ( 18)
(4,4)( )AB D
                                                 
                    






[9 3 11 ( 1) ( 23) [9 ( 8) 11 ( 3) ( 23) 0 ( 18) ( 3)]
[ 17 1 13 ( 3) ( 3) 4 ( 61) 5] [ 17 7 13 ( 1) ( 3) 1 ( 61) 3] [ 17 3 13 ( 1) ( 3) 9 ( 61) 2] [ 17 ( 8) 13 ( 3) ( 3) 0 ( 61) ( 3)]
[59 1 33 (
                       
                                             
   3) ( 97) 4 ( 8) 5] [59 7 33 ( 1) ( 97 ) 1 ( 8) 3] [59 3 33 ( 1) ( 97 ) 9 ( 8) 2] [59
(4,4)
29 104 41 130
206 25 227 51
( )
373 318 213 280
468 259 745 547
AB D
                                        
 
 
 
  
    
 
   
 
   
 
 
 
 
 
4 
 
18) Calcular A(BD): 
[1 1 3 ( 3) ( 5) 4 ( 7) 5] [1 7 3 ( 1) ( 5) 1 ( 7) 3] [1 [1 ( 8) 3 ( 3) ( 5) 0 ( 7) ( 3)]
[6 1 2 ( 3) ( 8) 4 3
(2,4) (4,4)
(2,4)
1 7 3 8
1 3 5 7 3 1 1 3
6 2 8 3 4 1 9 0
5 3 2 3
B D
BD                                              
       
 
         
    
 
 
5] [6 7 2 ( 1) ( 8) 1 3 3] [6 3 2 ( 1) ( 8) 9 3 2] [6 ( 8) 2 ( 3) ( 8) 0 3 ( 3)]
(4,2) (2,4)
(4,4)
1 2
3 1 63 22 59 4
7 4 17 41 50 63
5 9
[1 [1 [1 ( 59)
(BD)
A BD
A
                             
 
 
 
      
     
 
 
             ( 2) ( 50)] [1 4 ( 2) ( 63)]
[3 ( 63) 1 ( 17)] [3 ( 22) 1 41] [3 ( 59) 1 ( 50)] [3 4 1 ( 63)]
[7 ( 63) ( 4) ( 17)] [7 ( 22) ( 4) 41] [7 ( 59) ( 4) ( 50)] [7 4 ( 4) ( 63)]
[5 ( 63) 9 ( 17)] [5 ( 22) 9 41] [5 ( 59)
       
                 
                     
          
(4,4)
9 ( 50)] [5 4 9 ( 63)]
29 104 41 130
206 25 227 51
(BD)
373 318 213 280
468 259 745 547
A
 
 
 
 
 
       
  
    
 
   
 
   
 
19) Calcular BA: 
(2,4) (4,2)
(2,2)
(2,2)
1 2
1 3 5 7 3 1
6 2 8 3 7 4
5 9
[1 1 3 3 ( 5) 7 ( 7) 5] [1 ( 2) 3 1 ( 5)
[6 1 2 3 ( 8) 7 3 5] [6 ( 2) 2 1 ( 8) ( 4) 3 9]
60 42
29 49
B A
BA
BA
 
     
     
 
 
                    
                   
  
   
 
20) Calcular (BA)C: 
(2,4) (4,2) (2,2)
(2,2) (2,2) (2,2)
(
1 2
1 3 5 7 3 1 60 42
6 2 8 3 7 4 29 49
5 9
60 42 2 4 ( 60) 2 ( 42) ( 3) ( 60) 4 ( 42) 5
(BA)C
29 49 3 5 ( 29) 2 49 ( 3) ( 29) 4 49 5
(BA)C
B A BA
BA C
 
                  
 
 
                 
                    
2,2)
6 450
205 129
 
   
 
 
 
 
 
 
5 
 
21) Calcular B(AC): 
(4,2) (2,2) (4,2)
(2,4) (4,
1 2 1 4 ( 2) 5 8 6
3 1 2 4 3 2 1 ( 3) 3 3 17
7 4 3 5 7 2 ( 4) ( 3) 7 4 ( 4) 5 26 8
5 9 5 2 9 ( 3) 5 4 9 5 17 65
1 3 5 7
6 2 8 3
A C AC
B AC
               
                                   
     
            
  
  
[1 8 3 [1 ( 6) 3 17 ( 5) 8 ( 7) 65]
[6 8 2 3 ( 8) 26 3 ( 17)] [6 ( 6) 2 17 ( 8) 8 3 65]2) (2,2)
(2,2)
8 6
3 17
( )
26 8
17 65
6 450
( )
205 129
B AC
B AC
                     
                 
 
 
   
  
 
 
 
   
 
 Nos problemas 22 a 24, verificar se a matriz B é inversa da matriz A. 
22) 
(3,3) (3,3)
(3,3)
[( 0, 5) ( 12) ( 1, 5) 2 1 ( 2)] [( 0, 5) ( 4) ( 1, 5) 0 1 ( 2)] [( 0, 5)
[( 0, 5) ( 12) ( 2, 5) 2 0, 5 ( 2)]
0,5 1,5 1 12 4 14
0,5 2,5 0,5 2 0 2
0,5 2 1 2 2 4
A
B
B
A
                             
        
      
     
   
         
[( 0, 5) ( 4) ( 2, 5) 0 0, 5 ( 2)] [( 0, 5) 14 ( 2, 5) ( 2) 0, 5 4)]
[( 0, 5) ( 12) ( 2) 2 1 ( 2)] [( 0, 5) ( 4) ( 2) 0 1 ( 2)] [( 0, 5) 14 ( 2) ( 2) 1 4]
1 0 0
1
0 1 0
(3,3)
0 0 1
AB I B A
                
                         

  
 
 
  
 
 
 
  
 
23) 
(3,3) (3,3
(3,
)
3)
[( 2) ( 1, 5) ( 4) 2 ( 6) ( 1)] [( 2) 2 ( 4) ( 2, 5) ( 6) 1] [( 2) ( 1, 5) ( 4) 1, 5 ( 6)
[( 4) ( 1, 5) ( 6) 2 ( 6) ( 1
2 4 6 1,5 2 1,5
4 6 6 2 2,5 1,5
4 4 2 1 1 0,5
A B
AB
                             
         
       
      
   
          
)] [( 4) 2 ( 6) ( 2, 5) ( 6) 1] [( 4) 1, 5) ( 6) 1, 5 ( 6) ( 0, 5)]
[( 4) ( 1, 5) ( 4) 2 ( 2) ( 1)] [( 4) 2 ( 4) ( 2, 5) ( 2) [( 4) ( 1, 5) ( 4) 1, 5 ( 2) ( 0, 5)]
1 0 0
1
0 1 0
(3,3)
0 0 1
AB I B A
                  
                             

  
 
 
  
 
 
 
  
 
24) 
(3,3) (3
(3,3)
,3)
[( 4) ( 1) ( 2) 1, 5 0 ( 5, 5)] [( 4) 1 ( 2) ( 2) 0 6, 5] [( 4) ( 0, 5) ( 2) 1 0 ( 3, 5)]
[2 ( 1) ( 6) 1, 5 ( 2) ( 5, 5)] [2 1 ( 6)
4 2 0 1 1 0,5
2 6 2 1,5 2 1
10 8 4 5,5 6,5 3,5
A B
AB
                         
            
      
     
   
         
( 2) ( 2) 6, 5] [2 ( 0, 5) ( 6) 1 ( 2) ( 3, 5)]
[10 ( 1) ( 8) 1, 5 ( 4) ( 5, 5)] [10 1 ( 8) [10 ( 0, 5) ( 8) 1 ( 4) ( 3, 5)
1 0 0
1
0 1 0
(3,3)
0 0 1
AB I B A
            
                           

  
 
 
  
 
 
 
  