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UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ALGA I
ENGENHARIAS: PRODUÇÃO, CIVIL, QUÍMICA, ELÉTRICA E FLORESTAL
LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 1
1. Determine os valores de m e n para que as matrizes A e B sejam iguais.
a) 
A = e B = b) A = e B = .
2. Dadas as matrizes:
, e .
a) Calcular A + B
b) Calcular A - C
3. Dadas as matrizes:
, , e .
a) 
b) Calcular AB
c) Calcular (AB)D
d) Calcular A(BD)
e) Calcular BA
f) Calcular (BA)C
g) Calcular B(AC)
4. Dadas as matrizes:
, e , prove que:
a) (B + C)A = BA + CA
b) 
A(B + C) (B + C)A
Por quê?
5. 
Sejam e , prove que e que .
6. 
Sejam , e . Prove que se , não necessariamente implica que .
7. 
Sejam , e . 
Mostre que e .
8. 
Se . Prove que .
9. Dadas as matrizes:
, e 
Calcular:
a) 
b) det A
c) det B
d) det C
e) det (A + B)
f) det (BC)
g) Verificar se det (A + B) = det A + det B
h) Verificar se det (BC) = det B . det C
10. Determine a matriz inversa das seguintes matrizes:
a) 
b) 
c) 
11. Dadas as matrizes: e 
 
Determine: X + A = B
12. Dadas as matrizes: e
Determine: X = 3A – 2B.
13. 
Seja A a matriz . Em cada parte encontre p(A).
a) p(x) = x – 2
b) p(x) = 2x2 – x + 1
c) p(x) = x3 – 2x + 4
14. 
 Prove que a matriz A-1 = é inversa de A =.
15. 
 Determine a matriz inversa da A =.
16. Resolver as equações:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
 
j) 
 
k) 
17. Calcule o determinante das seguintes matrizes:
 e .
18. Expresse o Sistema de equações lineares, na forma de equação matricial.
 
19. Expresse a equação matricial como um sistema de equações lineares.
a) 
20. Resolver os seguintes sistemas lineares
a) 
b) c) d) 
e) f) g) 
h) i) j) 
k) l) m) 
n) 
21. 
Determine de modo que o sistema abaixo seja de Cramer e, a seguir, resolvê-lo:
a)
22. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz:
 Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
 (
Moderno
Mediterrâneo
Colonial
)
a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas do tipo moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de material serão empregadas?
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 u.c.p. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
c) Qual o custo total do material empregado?
23. Dado o seguinte sistema linear:
Qual o método de resolução mais fácil? (Justifique)
24. Resolva o seguinte sistema linear:
a) b) 
25. Para quais valores da constante k o sistema
Não tem solução? Tem infinitas soluções? Explique seu raciocínio. Justifique, o motivo pelo qual o sistema acima jamais terá uma única solução.
26. 
Para que valores de o sistema de equações
tem soluções não – triviais
27. Resolver os seguintes sistemas de equações lineares:
a) Para =16, , =11
b) Para =25, , =
c) Para =3, , =
Resposta dos exercícios
1. a) n = e m = 
b) m = 5
2. a) A + B = b) A – C = 
3. a) AB = 
b) (AB)D = 
c) A(BD) = 
d) BA = e) (BA)C = f) B (AC) = 
4. a) (B + C)A = e BA + CA = então (B + C)A = BA + CA
É invalida a propriedade distributiva nas operações com matrizes.
b) A(B + C) = e (B + C)A = então A(B + C) (B + C)A
É invalida a propriedade comutativa nas operações com matrizes.
5. a) b) 
6. AB = AC = 
7. AC = A e CA = C 
8. 
9. a) det A = 22			e) det (BC) = 0
b) det B = -9				f) det A + det B = 13 (det (A + B) det A + det B)
c) det C = 0				g) det B . det C = 0 (det (BC) = det B . det C)
d) det (A + B) = 240
10. a) A-1 = e b) B-1 = 
11. X + A = B 
12. X = 3A – 2B 
13. a) p(A) = 
b) p(A) = 
c) p(A) = 3.A
15. A-1 = 
16. a) x = 2		b) x = 3			c) x = 5 	
d) x = 1 	 e) x= 1, x= -1 e x= 		f) x = -1
g) x = -10 		 h) x = 4		 i) x= 6, x= 3 e x= 2
17. det A = -7 e det B = -16
18. . = 
19. 
20. a) S = {(x, y, z, t)tq x + 2y – z + 3t = 1}
b) S = tq z 
c) S = {}
d) S = {3, -2, 4}
e) S = {5, -2, 3}
f) S = tq z 
g) S = {1, -1, 2, -2}
h) S = {0, 0, 0}
i) S = tq y 
j) S = tq Z e t 
k) S = {}
l) S = tq t 
m) {3; -2, 4}
n) x = 2 e y = 3
21. S 
22. a) [146 526 260 158 388]
b) 
c) [11736]
24. a) S {0,0,0,0} Solução trivial
b) S 
25. Não tem solução K 6
O sistema nunca terá uma única solução
Infinitas soluções K = 6
26. 
27. a) x = 3; y = -4; z = 2
b) x = 2; y = -7; z = 4
c) x = -3; y = 2; z = 1
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