Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
ESTATÍSTICA Juliane Silveira Freire da Silva Distribuições contínuas de probabilidade Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados: � Comparar as principais distribuições contínuas de probabilidade. � Identificar as características das distribuições contínuas. � Usar a tabela da distribuição normal para encontrar probabilidade desejada. Introdução Neste capítulo, você identificará quando uma variável em estudo segue um modelo de distribuição contínua de probabilidade, conhecerá as principais distribuições contínuas de probabilidade e aprenderá a utilizar a mais importante de todas as distribuições em estatística: a distribuição normal. Distribuições contínuas de probabilidade Existem distribuições discretas e contínuas de probabilidade. No primeiro caso, temos variáveis aleatórias discretas, ou seja, valores resultantes de contagens. Então, no caso das distribuições discretas de probabilidade, podemos calcular probabilidade do valor da variável que se quer investigar. Temos funções matemáticas que fornecem essas probabilidades. Porém, nas distribuições contínuas de probabilidade, estamos lidando com variáveis aleatórias contínuas, ou seja, que resultam de uma medição. Nesses casos, não temos valores únicos em uma escala, mas, sim, em intervalos, pois, na variável aleatória contínua, podemos ter qualquer valor na reta dos reais. Dessa forma, a função densidade de probabilidade (FDP), que terá uma função matemática associada, necessitará uma integral para a resolução do cálculo de probabilidade. Nesse caso, estamos calculando intervalos abaixo de uma curva, como mostrado na Figura 1. Figura 1. Curva de distribuição contínua. Fonte: Freund (2006, p. 215). Conforme podemos observar na Figura 1, para obtermos a probabilidade, no caso da distribuição contínua, não podemos obtê-la em um ponto único, mas apenas em intervalos, como em um intervalo entre os pontos e quaisquer abaixo de uma curva. Concluímos, então, que, na distribuição contínua de probabilidade, não existe probabilidade no ponto. Matematicamente, a resolução dessas probabilidades se dá com a integração da função da distribuição em estudo. Isso nem sempre é simples, pois nem todas as integrações de funções de probabilidade são de fácil resolução. Para isso, funções comumente utilizadas contêm tabelas para auxiliar no cálculo de probabilidade. Esse é o caso da distribuição normal, a mais importante distribuição de probabilidade em estatística. É do pressuposto de normalidade dos dados que muitas inferências são possíveis. Mas, independentemente de estarmos estudando distribuições discretas ou distribuições contínuas de probabilidade, alguns axiomas continuam va- lendo, como: 0 ≤ f(x) ≤ 1 e a área total abaixo da curva sempre somarão 1 na distribuição acumulada. Características das distribuições contínuas Veremos, aqui, as características de algumas distribuições de probabilidade contínuas além da distribuição normal. Mais adiante, trataremos da distri- buição de Gauss (normal), à qual, por ser a mais importante, daremos um maior destaque. Distribuições contínuas de probabilidade98 Para o caso da distribuição de probabilidade exponencial, segundo Doane e Seward (2014), no modelo exponencial, o foco está no tempo de espera até o evento subsequente: uma variável contínua. A função densidade de probabi- lidade exponencial aproxima-se de zero à medida que o valor de x aumenta. Isso é útil para calcular tempo de vida de alguns componentes. f(x) = λe –λx se x ≥ 0 0 se x < 0 onde: λ é a taxa média pelo tempo ou espaço; x é o valor da variável aleatória que se quer obter a probabilidade. Representamos a distribuição exponencial por x~Exp(λ), ou seja, a variável x aproxima-se de uma distribuição exponencial de parâmetro λ, conforme gráfico da Figura 2. Figura 2. Distribuição exponencial. Fonte: Adaptada de Portal Action (2017, documento on-line). 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 4.0 5.0 6.02.5 3.5 4.5 5.5 x λ = 1/2 λ = 1 λ = 3/2 Fu nç ão d en sid ad e de p ro ba bi lid ad e 99Distribuições contínuas de probabilidade Temos, também, a distribuição de probabilidade de Laplace, também cha- mada de exponencial dupla, pois, algumas vezes, é como se tivéssemos uma exponencial positiva junto a uma exponencial negativa. Pode ser utilizada para dados de modelagem em biologia e finanças. Tem por função a distribuição de probabilidade: f(x) = 12σ e , –∞ < x < ∞, –∞ < μ < ∞, –∞ < σ < ∞ |x – µ| σ( ) onde: 𝜎 é o desvio-padrão; μ é a média; x é o valor da variável aleatória que se quer obter a probabilidade. Representamos a distribuição Laplace por x~Laplace(μ, 𝜎), ou seja, a variável x aproxima-se de uma distribuição Laplace de parâmetros μ e 𝜎. A forma da distribuição de Laplace é semelhante à normal, porém com um pico bem mais fino e acentuado, como na Figura 3. Figura 3. Distribuição Laplace comparada à distribuição normal. Fonte: Suporte ao Minitab (c2017a, documento on-line). Outra distribuição de probabilidade contínua de grande utilização é a distribuição logística, utilizada mais largamente para dados demográficos e de vendas, quando se investiga o crescimento. A função é definida por: Distribuições contínuas de probabilidade100 f(x) = , –∞ < x < ∞, –∞ < μ < ∞, –∞ < σ < ∞ e (x – µ) σ– ( )(x – µ)σ–σ 1 + e 2 𝜎 é o desvio-padrão; μ é a média; x é o valor da variável aleatória que se quer obter a probabilidade. Representamos a distribuição logística por x~Logist(μ, 𝜎), ou seja, a variável x aproxima-se de uma distribuição logística de parâmetros μ e 𝜎. A forma da distribuição logística é semelhante à normal, porém com caudas mais longas, como na Figura 4. Figura 4. Distribuição logística. Fonte: Suporte ao Minitab (c2017b, documento on-line). Grá�co de distribuição logística; Loc = 1 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 D en sid ad e –50 50 75–25 250 x Escala 1 5 10 Ainda temos a distribuição de pareto, utilizada para modelar fenômenos sociais, físicos e econômicos. O princípio de pareto diz que aproximadamente 80% dos efeitos provêm de 20% das causas. Além dessas distribuições citadas, ainda há outras tantas, como a distri- buição beta, de Cauchy, de Maxwell, etc. 101Distribuições contínuas de probabilidade Distribuição normal Como já mencionado, esta é a distribuição de probabilidade contínua mais importante e utilizada dentro da estatística. Muito da inferência estatística parte do pressuposto da normalidade dos dados, além, é claro, de grande parte das variáveis encontradas seguir esse modelo de distribuição. Essa distribuição tem como parâmetros a média que é uma medida de posição e o desvio-padrão que é a medida de variabilidade. Então, o formato dessa distribuição depende da variabilidade — quanto mais achatada for a distribuição, maior será a variabilidade dos dados e, ao contrário, quanto mais estreita for a distribuição, menor será a variabilidade. Já a média situa no eixo em que os dados se concentram. É com base na teoria da distribuição de probabilidade normal que podemos estruturar testes de hipótese, estabelecer intervalos de confiança e calcular tamanhos de amostra. A função matemática que descreve a distribuição de probabilidade normal é dada por: f(x) = , –∞ < x < ∞, –∞ < μ < ∞, –∞ < σ < ∞ (x – µ)2 2σ2–1 √2�σ e Representamos a distribuição normal por x~N(μ, 𝜎), ou seja, a variável x aproxima-se de uma distribuição normal de parâmetros μ (média) e 𝜎 (desvio-padrão). O formato da distribuição normal é parecido com um sino. Por esse motivo, alguns a chamam de distribuição em forma de sino, ou distribuição de Gauss (Figura 5). Veja, a seguir, as propriedades da distribuição normal. � A distribuição normal é simétrica em torno da média (μ). � A média, a moda e a mediana são iguais e localizam-se no pico mais alto da distribuição.� Quanto maior for o desvio-padrão, mais achatado será o gráfico da distribuição normal. � A área total abaixo da curva soma 1 (1 corresponde a 100%). � Os parâmetros são a média (μ) e o desvio-padrão (𝜎). � Não existe probabilidade menor do que zero, nem maior do que 1. Distribuições contínuas de probabilidade102 Figura 5. Distribuição normal. Fonte: Doane e Seward (2014, p. 254). 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00 f(x ) 60 70 80 9065 75 85 FDP normal Velocidade (milhas por hora) Como se pode perceber, a resolução de uma integral para a FDP da normal é bastante elaborada. Por esse motivo, fazemos uso de uma tabela para nos auxiliar no cálculo de probabilidade. Como a média e o desvio-padrão variam de variável para variável e só temos uma tabela, estabeleceu-se, para fins de cálculo da tabela, que a média seria igual a zero, e o desvio-padrão igual a 1. Claramente, na vida real, as médias das variáveis não são iguais a 1, e o desvio-padrão também não é igual a 0. Precisamos, então, antes de usarmos a tabela, padronizar a nossa variável com a seguinte fórmula: Z = x – µ σ Padronizamos a variável x com sua média e seu desvio-padrão específicos e transformamos na variável z com média 1 e desvio-padrão 0, para podemos fazer uso da tabela da normal padrão. Existe apenas uma tabela, porém existem apresentações distintas dela. Em uma delas, é apresentada a área total abaixo da curva, sendo acumulada de – ∞ até + ∞. A outra forma de apresentação é apenas com metade da curva normal de 0 até + ∞. Veja o Quadro 1, a seguir. 103Distribuições contínuas de probabilidade Quadro 1. Distribuição normal Vamos utilizar um exemplo para aprendermos como encontrar as pro- babilidades nessa tabela. Suponha uma financeira que empresta, em média, R$ 2.000,00 para seus clientes com um desvio-padrão de R$ 900,00. Calcu- laremos a probabilidade de a financeira emprestar menos de R$ 2.200,00 a um cliente. P(X < 2200) = P z < = P(z < 0,22)2200 – 2000900( ) Observem que, até aqui, apenas fizemos a padronização da variável com média de 2.000 e desvio-padrão de 900 em uma variável z com média 1 e Distribuições contínuas de probabilidade104 desvio-padrão 0. Depois da padronização, precisamos observar a tabela para encontrarmos a probabilidade. Procuramos, na tabela, o cruzamento da linha com o 0,2 até a coluna do 0,02, que é a nossa segunda casa decimal. Nesse cruzamento, encontramos o valor de 0,08706. Estamos trabalhando em uma tabela que tem apenas metade da distribuição. Nesse caso, precisamos adicionar a outra metade que não está na tabela a esse valor de probabilidade encontrado. A área de cálculo é mostrada na Figura 6. Figura 6. Área de cálculo da tabela apresentada. Fonte: Freund (2006, p. 492). 0 z P(X < 2200) = 0,08706 + 0,5 = 0,58706 = 58,71% Agora queremos calcular a probabilidade de a financeira emprestar mais de R$ 2.100,00. Primeiramente, vamos calcular a probabilidade de emprestar menos de R$ 2.100,00. ( )P(X < 2100) = P z < = P(z < 0,11)2100 – 2000900 Olhamos na linha do 0,1 até a coluna do 0,01 da tabela e encontramos o valor de 0,04380. Para encontrar (P > 0,11) temos que fazer a subtração, pois a tabela forneceu o valor de P(z < 0,11). Assim: P(X > 2100) = 0,5 – 0,04380 = 0,45620 Se quisermos calcular a probabilidade de a financeira emprestar entre R$ 2.100,00 e R$ 2.200,00, este seria o cálculo: 105Distribuições contínuas de probabilidade P(2100 < X < 2200) = P z < = 0,222200 – 2000 900( ) ( )P z < = 0,112100 – 2000900 Olhamos, na tabela, os valores referentes a essas duas padronizações e encontramos, respectivamente, 0,08706 e 0,04380. P(2.000 < X < 2.200) = 0,08706 – 0,0438 = 0,04326 = 4,33% Vale ressaltar que, com a tabela normal com a área total abaixo da curva, a utilização é diferente para encontrarmos a probabilidade. Ainda como exemplo de distribuições contínuas de probabilidade, temos a distribuição t-student (Figura 7). Ela tem uma curva muito semelhante à nor- mal, também tem parâmetros de média e desvio-padrão, porém é influenciada pelo tamanho da amostra. Quando n tende a infinito, a distribuição normal e a distribuição t são equivalentes. A distribuição t-student é utilizada nos casos em que temos amostras de tamanho inferior a 30 ou não conhecemos o desvio-padrão populacional, quando a população tem distribuição aproxi- madamente normal. Figura 7. Distribuição t com 2 graus de liberdade. Fonte: Suporte ao Minitab (c2017c, documento on-line). Grá�co de distribuição T; gl–2 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 –5,0 5,0 7,5–2,5 2,50,0 x D en sid ad e Distribuições contínuas de probabilidade106 DOANE, D. P.; SEWARD, L. E. Estatística aplicada à administração e economia. 4. ed. Porto Alegre: AMGH, 2014. FREUND, J. E. Estatística aplicada: economia, administração e contabilidade. 11. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006. PORTAL ACTION. Distribuição exponencial. 2017. Disponível em: <http://www.porta- laction.com.br/probabilidades/612-distribuicao-exponencial>. Acesso em: 3 jan. 2018. SUPORTE AO MINITAB. Distribuição de Laplace. c2017a. Disponível em: <https://sup- port.minitab.com/pt-br/minitab/18/help-and-how-to/probability-distributions-and- random-data/supporting-topics/distributions/laplace-distribution/>. Acesso em: 3 jan. 2019. SUPORTE AO MINITAB. Distribuição logística. c2017b. Disponível em: <https://support.mi- nitab.com/pt-br/minitab/18/help-and-how-to/probability-distributions-and-random- data/supporting-topics/distributions/logistic-distribution/>. Acesso em: 3 jan. 2019. SUPORTE AO MINITAB. Selecione a distribuição e os parâmetros. c2017c. Disponível em: <https://support.minitab.com/pt-br/minitab/18/help-and-how-to/graphs/how-to/pro- bability-distribution-plot/create-the-graph/select-the-distribution-and-parameters/#t>. Acesso em: 3 jan. 2019. 107Distribuições contínuas de probabilidade
Compartilhar