PESQUISA OPERACIONAL - 2022

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Pesquisa Operacional 
 
A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para a resolução de 
problemas reais. Tendo como foco a tomada de decisões, aplica conceitos e métodos de 
outras áreas científicas para concepção, planejamento ou operação de sistemas para 
atingir seus objetivos. 
Através de desenvolvimentos de base quantitativa, a Pesquisa Operacional visa 
também introduzir elementos de objetividade e racionalidade nos processos de tomada 
de decisão, sem descuidar no entanto dos elementos subjetivos e de enquadramento 
organizacional que caracterizam os problemas. 
A Pesquisa Operacional surgiu durante a Segunda Guerra Mundial, quando os 
Aliados se viram confrontados com problemas (de natureza logística, tática e de 
estratégia militar) de grande dimensão e complexidade. Para apoiar os comandos 
operacionais na resolução desses problemas, foram então criados grupos 
multidisciplinares de matemáticos, físicos e engenheiros e cientistas sociais. Esses 
cientistas não fizeram mais do que aplicar o método científico, que tão bem conheciam, 
aos problemas que lhes foram sendo colocados. Desenvolveram então a idéia de criar 
modelos matemáticos, apoiados em dados e fatos, que lhes permitissem perceber os 
problemas em estudo e simular e avaliar o resultado hipotético de estratégias ou 
decisões alternativas. 
O sucesso e credibilidade ganhos durante a guerra foram tão grandes que, 
terminado o conflito, esses grupos de cientistas e a sua nova metodologia de abordagem 
dos problemas se transferiram para as empresas que, com o "boom" econômico que se 
seguiu, se viram também confrontadas com problemas de decisão de grande 
complexidade. 
Seguiram-se então grandes desenvolvimentos técnicos e metodológicos que 
hoje, com o apoio de meios computacionais de crescente capacidade e disseminação, 
nos permitem trabalhar enormes volumes de dados sobre as atividades das empresas e, 
através de adequados modelos de base quantitativa, simular e avaliar linhas de ação 
alternativas e encontrar as soluções que melhor servem aos objetivos dos indivíduos ou 
organizações. 
Face ao seu caráter multidisciplinar, a Pesquisa Operacional é uma disciplina 
científica de características horizontais com suas contribuições estendendo-se por 
praticamente todos os domínios da atividade humana, da Engenharia à Medicina, 
passando pela Economia e a Gestão Empresarial. 
 
 
 
Lista de Programação Linear 
 
A Programação Linear é uma ferramenta da Pesquisa Operacional aplicada a 
solução de problemas que objetivam a otimização de um sistema em estudo. 
Os problemas de Programação Linear referem-se à distribuição eficiente de 
recursos limitados entre atividades competitivas, com a finalidade de atender a um 
determinado objetivo, por exemplo, maximização de lucros ou minimização de custos. 
Em se tratando de Programação Linear, esse objetivo será expresso por uma função 
linear, à qual dá-se o nome de função objetivo. 
Nos problemas de Programação Linear é necessário também dizer quais as 
atividades que consomem recursos, e em que proporção é feita esse consumo. Essas 
http://ic.inatel.br/ic/framework/index.php?option=com_content&task=view&id=1&Itemid=2
 
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informações serão fornecidas por equações ou inequações lineares, uma para cada 
recurso. Ao conjunto dessas equações e/ou inequações dá-se o nome de restrições do 
modelo (ou restrições tecnológicas). 
Uma vez obtido o modelo linear (ou modelo do problema), que é constituído 
pela função objetiva e pelas restrições, a programação linear se encarrega de achar a sua 
solução ótima, que pode ser tanto a maximização de um lucro como a minimização de 
custos. 
 
 
Modelagem 
 
 
Objetivo : Maximizo ou Minimizo → Função Objetiva 
 
 
Varáveis X1 = Quantidade a ser..... 
De 
Decisão X2 = Quantidade a ser..... 
 
 
Restrições 
 
➔ Matéria prima 
➔ Mão de obra 
➔ Tempo 
➔ Capital 
➔ Demanda 
➔ Espaço 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1) Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: 
soldados e trens. Um soldado tem um lucro unitário de R$3,00 e 
cada trem tem lucro unitário de R$2,00. A fabricação destes 
brinquedos requer dois tipos de mão de obra: carpintaria e 
acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para acabamento 
e 1 de carpintaria. Um trem necessita de 1 hora para acabamento 
e 1 hora de carpintaria. Cada semana, Giapetto pode obter 
qualquer quantidade de matéria prima, mas tem a disposição até 
100 horas de acabamento e 80 horas de carpintaria. A demanda 
por trens é ilimitada, mas a venda de soldados é de no máximo 
40 por semana. Giapetto quer maximizar seu lucro semanal 
 
 
2) Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro 
unitário do produto P1 é de 1000 unidades monetárias (u.m) 
e o lucro unitário de P2 é de 1800 unidades monetárias 
(u.m). A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma 
unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de 
P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 
1200 horas. A demanda esperada par cada produto é de 40 
unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2. Qual 
é o plano de produção para que a empresa maximize seu 
lucro nesses itens? 
 
 
3) Um carpinteiro dispõe de 90, 80 e 50 metros de compensado, pinho e 
cedro. O produto A requer 2, 1 e 1 metros de compensado, pinho e 
cedro respectivamente. O produto B requer 1, 2 e 1 metros 
respectivamente. O produto A é medido por 120 u.m e o produto B 
por 100 u.m. Quantas unidades de cada produto deve ser produzidas 
para obter rendimento máximo ? 
 
 
4) Uma empresa fabrica 2 modelos de cinto de Couro. O modelo A é de melhor 
qualidade que o modelo B.Cada cinto A requer o dobro de tempo de fabricação 
em relação ao modelo B e se todos os cintos fosse o de modelo B a empresa 
poderia produzir 1000 cintos por dia. A disponibilidade de couro permite 
produzir apenas 800 cintos por dia de ambos modelos. Ambos os modelos 
empregam fivelas diferentes, sendo que as disponibilidades em fivelas são 
respectivamente 400 por dia para o modelo A e 700 por dia para o modelo B. Os 
 
 4 
lucros unitários obtidos na venda dos cintos A e B são 0,40 u.m, 0,30 u.m 
respectivamente. Aplicando o processo grafo-analítico determine o programa de 
produção de cintos que torne o lucro total máximo. 
 
 
5) Um dos métodos utilizados pela companhia Catatau para separar cobre, chumbo 
e zinco dos minérios é o processo de separação por flutuação. O processo 
consiste de três etapas : 
- oleação 
 - mistura 
- separação 
Os tempos de aplicação dessas etapas para a produção de uma unidade são 2,2 e 
1 hora (para o cobre), 2,3 e 1 (para o chumbo) e 1,1 e 3 horas (para o zinco). A 
I e III etapas do processo podem ser utilizadas no máximo 10 horas por dia 
enquanto a fase II pode estar em operação no máximo 11 horas por dia. A 
companhia Catatau tem um lucro de 45 u.m por unidade de cobre, 30 u.m por 
uma unidade de chumbo e 35 u.m por unidade de zinco. A demanda para esses 
metais é ilimitada. Quantas unidades de cada metal devem ser produzidas 
diariamente para se ter o lucro máximo ? 
 
 
L X1 X2 X3 X4 F1 F2 F3 Rest Razão 
 
 
 
 
 
 
6) Aplicando o processo simplex, resolver o seguinte problema : 
 Uma fábrica de brinquedos produz dois modelos diferentes de 
barcos de alumínio. A diretoria tem a sua disposição a seguinte 
tabela, concernente aos dois tipos de fabricação: 
 
 Tempo 
gasto 
em 
minutos 
 
Seqüência de 
Produção 
Produto X Produto Y Tempo disponível 
(Min) 
Moldagem 10 5 80 
Polimento e Pintura 6 6 66 
Embutimento e 
Montagem 
5 6 90 
Lucro Líquido por 
Unidade 
12 10 - 
 
 
 
 
 5 
7) A Cara-de-Pau é uma pequena indústria de móveis situada no vilarejo de 
Bom Repouso-MG. A empresa produz três tipos diferentes de mesa: A, B e C. Cada 
mesa requer um determinado tempo para corte daspeças componentes, para a 
montagem e para a pintura. A Cara-de-Pau tem demanda garantida para todas as 
mesas que produz. Além disso o modelo C pode ser vendido sem pintura. Utilize os 
dados a seguir para formular um modelo de programação linear que ajudará a 
empresa a determinar o mix de produção que maximizará o lucro para a próxima 
semana. 
 
Modelo Corte (horas) Montagem (horas) Pintura (horas) Lucro unitário 
 A 3 4 5 25 
 B 1 2 5 20 
 C 4 5 4 50 
 C S/ Pintura 4 5 0 30 
 
Capacidade 
(semanal) 150 200 300 
 
 
 
8) A esportes Radicais produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de 
montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para 
a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. 
Cada produto requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto na linha 2 o 
pára-quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado está 
disposto a comprar toda a produção da empresa e que o lucro pela venda de cada 
pára-queda é de R$60,00 e para cada asa-delta é de R$40,00, encontre a 
programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais. 
 
 
 
9) Uma empresa produz 2 tipos de pneus. O pneu do tipo A é 
do tipo pneuaço e não tem câmara. A receita proveniente de 
um pneu desse tipo é $ 50,00. O pneu tipo B não contém aço, 
usa câmara e provê uma receita de $ 30,00. A quantidade de 
borracha fornecida à Empresa é suficiente para fabricar 
diariamente apenas 1000 pneus. O aço disponível diariamente 
é suficiente para 500 pneus. Pode-se dispor diariamente de 700 
câmaras para o pneu do tipo B. A disponibilidade diária de 
mão de obra para a fabricação de pneus é de 1500 
Homens/hora. Além disso, usa-se 3 Homens/hora para a 
fabricação de um pneu tipo A e 2 Homens/hora para o pneu do 
tipo B. Resolva o problema acima de modo a encontrar a 
produção diária que maximiza a receita. 
 
 
 
 6 
 
 
 Apenas modele os problemas abaixo: 
10) A Tabajara S/A gerencia recursos de terceiros através da escolha de carteiras de 
investimento para diversos clientes, baseados em bonds de diversas empresas. Um de seus 
clientes exige que: 
 
• Não mais de 25% do total aplicado deve ser investido em um único investimento. 
• Um valor superior a 50% do total aplicado deve ser investido em títulos de maturidade 
maiores que dez anos. 
• O total aplicado em títulos de alto risco deve ser, no máximo, de 50% do total investido. 
 
A tabela a seguir mostra os dados dos títulos selecionados. Determine qual percentual do total 
deve ser aplicado em cada tipo de título. (Adaptado: LACHTERMACHER; 2002) 
 
 Retorno Anual Anos para vencimento Risco 
Título 1 8,7% 15 1 – Muito Baixo 
Título 2 9,5% 12 3 – Regular 
Título 3 12% 8 4 – Alto 
Título 4 9% 7 2 – Baixo 
Título 5 13% 11 4 – Alto 
Título 6 20% 5 5 – Muito Alto 
 
11) Uma companhia produz três tipos de fertilizantes, a partir da mistura de ingredientes a base de nitrato, 
fosfato e potássio e de um componente inerte, conforme mostra o Quadro 1, que apresenta, também, os 
preços de venda dos fertilizantes. Dados sobre disponibilidade e custos dos ingredientes são 
apresentados no Quadro 2. O custo de mistura, empacotamento e promoção de vendas é estimado em 
$300,00 por tonelada para quaisquer produtos. A companhia possui contrato de longo prazo para 
fornecimento mensal de 6500 t de fertilizante A. Determine a programação da produção para o próximo 
mês, com o objetivo de maximizar o lucro. 
 
 Quadro 1: 
Fertilizante Nitrato (%) Fosfato (%) Potássio (%) C. Inerte (%) Preço (R$/ton.) 
A 5 10 5 80 800 
B 5 10 10 75 960 
C 10 10 10 70 1.100 
 Quadro 2: 
Ingrediente Disponibilidade (ton/mês) Custo (R$/ton.) 
Nitrato 1.200 3.000 
Fosfato 2.000 1.000 
Potássio 1.400 1.800 
C. Inerte 15.000 200 
 
 
 
12) Uma refinaria produz três tipos de gasolina (verde, azul e comum). Cada tipo requer gasolina 
pura, octana e aditivo que são disponíveis nas quantidades de 9.600.000, 4.800.000 e 2.200.000 
litros por semana, respectivamente. As especificações de cada tipo são: 
• Um litro de gasolina verde requer 0,22 litro de gasolina pura, 0,50 litro de octana e 0,28 litro 
de aditivo. 
• Um litro de gasolina azul requer 0,52 litro de gasolina pura, 0,34 litro de octana e 0,14 litro de 
aditivo. 
 
 7 
• Um litro de gasolina comum requer 0,74 litro de gasolina pura, 0,20 litro de octana e 0,06 
litro de aditivo. 
Como regra de produção baseada em demanda de mercado, o planejamento da refinaria estipulou que a 
quantidade de gasolina comum deve ser no mínimo igual a 16 vezes a quantidade de gasolina verde e que a 
quantidade de gasolina azul seja no máximo igual a 600.000 litros por semana. A empresa sabe que cada 
litro de gasolina verde, azul e comum dá uma margem de contribuição para o lucro de $ 0,30; $ 0,25 e $ 
0,20 respectivamente. Determine a programação de produção que maximiza a margem total de contribuição 
para o lucro. 
13) Uma fábrica de cimento produz dois tipos de cimento CP 320 e AF 250 que diferem entre si na 
proporção dos componentes utilizados de acordo com a tabela abaixo: 
 Componentes CP 320 AF 250 $/tonelada 
Clínquer 85% 50% 
Escória de alto forno 7% 45% 22,10 
Gesso 3% 3% 34,20 
Aditivo 5% 2% 1,90 
 
A própria fábrica produz o clínquer necessário à fabricação do cimento. A produção de clínquer é 
limitada a um máximo de 1.100.000 toneladas por ano (capacidade do forno) e a venda deste 
componente a outros fabricantes de cimento é limitada a um máximo de 200.000 toneladas por ano. 
A escória de alto-forno, o gesso e o aditivo são comprados de fornecedores externos pelos preços 
exibidos na tabela acima e em quantidades que não devem ultrapassar 180.000, 50.000 e 50.000 
toneladas por ano, respectivamente. A contribuição marginal do cimento CP 320 é de $ 41,00 a 
tonelada, do cimento AF 250 é $ 37,80 a tonelada e do clínquer é $ 34,40 a tonelada. (A contribuição 
marginal é calculada como a receita líquida menos os custos fixos e variáveis, exceto escória, gesso 
e aditivo) A produção de cimento também é limitada a 1.100.000 toneladas por ano (capacidade do 
moinho). Encontre a produção anual que maximiza a contribuição marginal para o lucro. 
 
 
Risco e incerteza 
. Conceitos: 
 Um dos fatores que podem complicar uma tomada de decisão é a incerteza. A 
maior parte das importantes decisões administrativas é tomada com base em previsões, 
o que coloca o fator incerteza no processo de decisão. Risco é considerado o grau 
estimado de incerteza com respeito aos resultados desejados. Assim, quanto maior os 
resultados possíveis para a decisão tomada hoje, maior o grau de risco desta decisão. O 
mais difícil numa análise de risco é justamente a estimativa das probabilidades. Em 
algumas situações, não é possível estimá-las a partir de análise estatísticas de dados 
históricos. Nestes casos usamos o conceito de probabilidade subjetiva. Probabilidade 
subjetiva, é a probabilidade estimada para a ocorrência de um determinado evento 
baseada na sensibilidade e experiência do administrador. 
 
 2. Critérios para Decisões sob condições de Incerteza: 
 Em alguns casos, a atribuição de probabilidades subjetivas é uma tarefa mais que 
difícil, pois o administrador vê-se diante de um problema de escolha de alternativas que 
 
 8 
poderá dar bons resultados se ocorrer um evento favorável, mas que poderá caso 
contrário resultar em fracasso. Nestes casos, podemos usar alguns critériosque nos 
auxiliem nesta tomada de decisão: Critério Maximax ou Minimin, Critério Maxmin 
ou Minimax, Critério de Hurwicz, Critério do Valor Esperado e Critério de Savage. 
 
Exemplo: Uma empresa quer saber qual dos produtos A, B, C e D deve lançar. As 
expectativas de lucro unitário dependem de 3 eventos que podem ocorrer no futuro e 
constam da tabela abaixo: 
 Eventos (cenários) 
Produtos (alternativas) 1 2 3 
A 15 18 20 
B 10 15 12 
C 18 15 10 
D 16 19 17 
Lembre-se que não podemos escolher o evento (cenário), apenas a alternativa (produto). 
 
2.1. Critério Maximax (ou Minimin): Visão otimista da situação 
 Consiste em escolher a melhor dentre as melhores situações. Por este critério, 
num problema de maximização de lucros, iremos optar pela alternativa que fornece o 
maior entre os maiores lucros possíveis para cada alternativa. 
a) Anote o lucro máximo que poderá ser obtido por alternativa (produto). 
b) Opte pela alternativa (produto) que trará o maior lucro máximo 
(Maximax). 
 
No exemplo: 
 
Produtos (alternativas) 
Eventos (cenários) 
Lucro máximo 1 2 3 
A 15 18 20 20* 
B 10 15 12 15 
C 18 15 10 18 
D 16 19 17 19 
*Pelo critério otimista, devemos escolher a alternativa (produto) A. 
 
Se o problema for de minimização de custos, escolhemos o menor dentre os menores 
custos possíveis. 
a) Anote o custo mínimo que poderá ser obtido por alternativa (produto). 
b) Opte pela alternativa (produto) que trará o menor custo mínimo 
(Minimin). 
 2.2. Critério Maxmin (ou Minimax): Visão pessimista da situação 
 Consiste em escolhermos a melhor dentre as piores situações. Por este critério, 
num problema de maximização de lucros, iremos optar pela alternativa que fornece o 
maior entre os menores lucros possíveis. 
a) Anote o lucro mínimo que poderá ser obtido por alternativa (produto). 
b) Opte pela alternativa (produto) que trará o maior lucro mínimo. (Maxmin) 
 
No exemplo: 
 
Produtos (alternativas) 
Eventos (cenários) 
Lucro mínimo 1 2 3 
A 15 18 20 15 
 
 9 
B 10 15 12 10 
C 18 15 10 10 
D 16 19 17 16* 
*Pelo critério pessimista, devemos escolher a alternativa (produto) D. 
 
Se o problema for de minimização de custos, escolha o menor dentre os maiores custos 
possíveis. 
a) Anote o custo máximo que poderá ser obtido por alternativa (produto). 
b) Opte pela alternativa (produto) que trará o menor custo máximo 
(Minimax). 
 
2.3. Critério de Savage: Critério do menor arrependimento 
(REGRET or Oportunity loss) 
Determina os arrependimentos máximos que poderão ocorrer para cada evento (cenário) 
quando é feita uma escolha. Num problema de maximização de lucro, o procedimento 
consiste em: 
a) Anotar, para cada evento, o lucro máximo (em negrito na tabela abaixo) 
b) Calcular o arrependimento (lucro máximo anotado - lucro de cada 
alternativa) 
c) Anotar, para cada alternativa, o arrependimento máximo. 
d) Selecionar a opção que lhe dará o menor arrependimento 
No exemplo: 
Produtos 
(alternativas) 
Eventos (cenários) Arrependimento 
Máximo 1 2 3 
A 18-15=3 19-18=1 20-20=0 3* 
B 18-10=8 19-15=4 20-12=8 8 
C 18-18=0 19-15=4 20-10=10 10 
D 18-16=2 19-19=0 10-17=3 3* 
*Por Savage, as alternativas (produtos) A e D trarão o menor arrependimento 
futuro. 
 
Num problema de minimização de custos, o procedimento só é modificado nos passos 
(a) e (b). Os passos (c) e (d) continuam iguais: 
a) Anotar para cada evento (cenário) o custo mínimo; 
b) Calcular o índice de arrependimento (custo de cada alternativa - custo mínimo 
anotado) 
c) Anotar, para cada alternativa, o arrependimento máximo. 
d) Selecionar a opção que lhe dará o menor arrependimento 
 
2.4. Critério de Hurwicz: 
Admite que os administradores de um modo geral não são tão otimistas nem tão 
pessimistas e procura ponderar os dois critérios anteriores utilizando o coeficiente de 
otimismo. Este coeficiente reflete a posição pessoal do administrador em relação à 
ocorrência da pior e da melhor situação. 
 = probabilidade de ocorrer a melhor situação (otimismo extremo =1) 
1- = probabilidade de ocorrer a pior situação (pessimismo extremo =0) 
 
P/ cada alternativa Ai temos: 
No exemplo, para otimismo de 60% temos: 
 H(Ai) =  . [Max(Ai)] + (1-) . [Min(Ai)] 
 
 10 
Produtos 
(alternativas) 
() Lucro esperado 
máximo 
(1-) Lucro esperado 
mínimo 
Hurwicz 
A 0.6 20 0.4 15 H(A)=0.6(20)+0.4(15)=18* 
B 0.6 15 0.4 10 H(B)=0.6(15)+0.4(10)=13 
C 0.6 18 0.4 10 H(C)=0.6(18)+0.4(10)=14.8 
D 0.6 19 0.4 16 H(D)=0.6(19)+0.4(16)=17.8 
Logo, para um otimismo de 60% devemos optar pela alternativa (produto) A. 
 
Colocando o resultado dos critérios pessimista e otimista num gráfico  X H(Ai): 
Alternativa Critério Pessimista ( = 0) Critério Otimista ( = 1) 
A 15 20 
B 10 15 
C 10 18 
D 16 19 
CRITÉRIO DE HURWICZ
8
10
12
14
16
18
20
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
V
H(Ai)
A
B
C
D
 
Vemos que a alternativa D é a melhor opção para um coeficiente de otimismo 
inferior a 0.5 (50%). Para otimismo superior a 0.5 (50%), a melhor opção é a 
alternativa A. 
 
2.5. Critério do “Valor Esperado”: probabilidades associadas 
Pode ser usado quando associamos probabilidades de ocorrência aos eventos (cenários). 
Primeiramente geramos uma nova tabela contendo os valores de cada alternativa 
multiplicados pelas probabilidades associadas. A seguir somamos os valores esperados 
para cada alternativa. A alternativa escolhida será a que gerar o maior valor esperado, 
num problema de maximização, e a que gerar o menor valor esperado se o problema for 
de maximização. 
No exemplo: 
 Eventos (cenários) Valor esperado 
 1 2 3 
Probabilidades 0.25 0.25 0.5 
A 15 18 20 15(0.25)+18(0.25)+20(0.5)=18.25* 
B 10 15 12 10(0.25)+15(0.25)+12(0.5)= 12.25 
C 18 15 10 18(0.25)+15(0.25)+10(0.5)= 13.25 
D 16 19 17 16(0.25)+19(0.25)+17(0.5)= 17.25 
D 
B 
 
 
 11 
*Pelo critério do Valor Esperado, para probabilidades 0.25, 0.25 e 0.50 associadas, 
respectivamente, à ocorrência dos 3 eventos, devemos escolher a alternativa 
(produto) A. 
 
Embora os critérios possam dar resultados diferentes, neste exemplo note que: 
Critério Opção pela alternativa (produto) 
Maximax A 
Minmax D 
Savage A ou D 
Hurwicz D para v < 0.5; A para v > 0.5 
Valor Esperado (0.25,0.25,0.5) A 
 
Lista de Exercícios de Risco e Incerteza 
 
1) A Cia. ABXT-Produtos Eletrônicos Ltda. está considerando o lançamento de um 
auto-rádio e tem quatro opções de modelo: ST, LX, LS e GL, que diferem entre si no 
acabamento e características técnicas. Os lucros anuais que cada modelo pode fornecer 
são dependentes das escalas de produção, que por sua vez são funções dos contratos 
com revendedores e fornecedores de peças e componentes. Os custos não variam 
uniformemente com as produções, já que a maioria dos componentes é comprada de 
fornecedores diferentes. Por outro lado, os preços dependem da aceitação do mercado. 
Nessa etapa do processo de planejamento, a empresa acredita que o lucro de cada 
alternativa irá depender da escala de produção e venda de cada tipo e, dessa forma, 
identificou quatro eventos que podem influenciar fundamentalmente os resultados 
finais. São eles: 
· Evento 1: produção e venda de 50.000 auto-rádios por ano 
· Evento 2: produção e venda de 70.000 auto-rádios por ano 
· Evento 3: produção e venda de 90.000 auto-rádios por ano 
· Evento 4: produção e venda de 100.000 auto-rádios por ano 
É importante observar que a companhia não deseja, neste estado de análise do problema, 
realizar análises mais detalhadas de custo e mercado, como, por exemplo, entrar em 
contato com revendedores e fornecedores, para não gerar expectativas. Assim, deseja 
examinar o problema em caráter preliminar, de forma a obter elementos para discutir, 
mais tarde, com os demais interessados. Para cada um dos eventos, os lucros esperados 
de cada modelo são fornecidos na tabela abaixo. Indique a melhor opção de auto-rádioa 
ser lançado usando os critérios: otimista, pessimista, Savage, Hurwicz com =0.8 e 
Valor esperado com probabilidades 0.1, 0.2, 0.3 e 0.4 de ocorrência dos eventos 1, 2, 3 e 
4, respectivamente. 
 
Tipo 
Evento 1 Evento 2 Evento 3 Evento 4 
ST 26 24 24 23 
LX 27 28 22 20 
LS 25 27 29 31 
GL 26 26 26 26 
 
2 Uma empresa está escolhendo um veículo de comunicação para empreender sua 
propaganda. Através de um estudo, foi estimado o número de consumidores que verão a 
propaganda em função das condições climáticas. Estes dados estão na tabela a seguir. 
 
 12 
Indique a melhor opção do veículo de comunicação usando os critérios: otimista, 
pessimista, Savage, Hurwicz com =0.3 e Valor esperado com probabilidade 0.25 de 
ocorrência dos eventos. 
 
Veículo de 
Comunicação 
Tempo 
Ruim 
Moderado Bom Excelente 
TV 
200-200 =0 190=0 170=0 130=60 
Jornal 200-180=20 160=30 150=20 130=60 
Outdoors 200-110 =90 140=50 140=30 190=0 
 
 
3)A empresa de terraplenagem Tabajara S/A venceu o processo de licitação para a 
realização da obra de recuperação da Rodovia BR-381 (Rodovia Fernão Dias), no 
trecho Paulista da rodovia entre as cidades de Atibaia e Bragança Paulista, o trecho tem 
aproximadamente 17.000 metros lineares de extensão, e a Tabajara S/A precisa decidir 
o processo a ser utilizado na recuperação da Rodovia. Estão sendo considerados três 
processos diferentes: Processo A, Processo B e Processo C. Cada processo apresenta 
prazos diferentes para a realização da obra, que variam em função das condições 
climáticas. Estes prazos para o término da obra foram estimados em semanas 
necessárias, a partir de seu início. O quadro a seguir apresenta os diferentes processos e 
o número de semanas estimadas para a realização do trabalho em função das condições 
climáticas. Indique o processo que a empresa deve escolher usando os critérios: 
otimista, pessimista, Savage, Hurwicz com =0.5 e Valor esperado com as 
probabilidades de ocorrência dos eventos dadas na tabela. 
 
 Bom Tempo (0.5) Tempo Razoável (0.25) Mau Tempo (0.25) 
Processo A 6 – 6 = 0 11,5 = 2 16 = 6 
Processo B 7 – 6= 1 11 = 1,5 15 = 5 
Processo C 9 – 6 = 3 9,5 = 0 10 = 0 
 
 
4 Uma indústria de autopeças está estudando a compra de um novo equipamento de 
produção, a partir de três opções ou condições de compra A, B e C. Os custos totais de 
aquisição representam a soma do valor do equipamento e dos juros incorridos em cada 
uma das opções. Esses custos variam em função da taxa selic, uma variável exógena 
sobre a qual a empresa não tem nenhum controle e que é determinada pelo COPOM 
(Comitê de Política Monetária). Para auxiliar a tomada de decisão, o departamento de 
planejamento financeiro estabeleceu três cenários distintos: no Cenário 1 a previsão é de 
um aumento considerável da taxa, no Cenário 2 a previsão é que a taxa mantenha-se 
constante ou sofra um acréscimo ou decréscimo irrelevante e finalmente, no Cenário 3 a 
expectativa é de que a taxa sofra uma diminuição considerável. Os dados referentes aos 
custos totais estimados estão na tabela abaixo (valores em milhares de reais). Indique a 
 
 13 
melhor opção de compra para a empresa usando os critérios: otimista, pessimista, 
Savage, Hurwicz com =0.4 e Valor Esperado com as probabilidades dadas na tabela. 
 
 Opção A Opção B Opção C 
Cenário 1 (0.2) 
320 430 480 
Cenário 2 (0.6) 330 400 485 
Cenário 3 (0.2) 340 390 410 
 
 
5 As vendas de uma empresa estão crescendo e a direção desta empresa necessita tomar 
uma decisão: usar as instalações existentes para aumentar a produção (até um certo 
limite) ou construir novas instalações para incrementar a produção. A empresa trabalha 
com 3 cenários futuros distintos: demanda baixa, média ou alta. Estima-se que, se a 
empresa optar pelo uso de instalações existentes ela terá prejuízo de $100.000 com 
baixa demanda, lucro de $100.000 com média demanda e lucro de $200.000 com alta 
demanda. Se ela optar em construir novas instalações as perspectivas são: prejuízo de 
$300.000 se a demanda for baixa, lucro de $0 se a demanda for média e lucro de 
$400.000 se a demanda for alta. Construa a matriz de decisão e indique a melhor opção 
para a empresa usando os critérios: otimista, pessimista, Savage, Hurwicz com =0.6 e 
Valor Esperado com as probabilidades, 0.3 para baixa e alta demanda e 0.4 para 
demanda média. 
 
 
6. Uma organização financeira pode optar pelas seguintes alternativas: vender suas 
ações ou continuar com as ações esperando uma elevação nos preços para a venda 
posterior. Como as ações estão em baixa um comprador propôs um pagamento de 
$150.000 para a venda imediata, mais um adicional de $1.000.000 se as ações num 
prazo de um ano atingirem o aumento esperado. Se a empresa resolver não vender as 
ações o prejuízo será de $400.000 se as ações não subirem em um ano, mas se elas 
atingirem o aumento esperado ela terá um lucro de $1.500.000 vendendo-as 
posteriormente. Construa a matriz de decisão e indique a melhor opção para a empresa 
usando os critérios: otimista, pessimista, Savage, Hurwicz com =0.5 e Valor Esperado 
com as probabilidades, 0.4 das ações subirem em um ano e 0.6 das ações não subirem 
em um ano. 
 
 
 
7 (MEC-2002 modificado) A Salinas Potiguar Ltda. precisa escolher qual projeto 
deverá investir dentre os cinco projetos que está analisando. Os administradores da 
empresa fizeram estimativas, pessimistas e otimistas, dos retornos anuais, como 
apresentado a seguir. Indique a melhor opção para a empresa usando os critérios: 
otimista, pessimista e Hurwicz com =0.7. 
 
ESTIMATIVAS TAXAS ANUAIS DE RETORNO (%) 
 Projeto A Projeto B Projeto C Projeto D Projeto E 
Pessimista 
14 6 10 11 12 
Otimista 18 22 25 19 22 
 
 
 14 
 
Teoria das filas 
Modelo M/M/1 
Este tópico trata de problemas de congestionamento de sistemas, onde a característica 
principal é a presença de clientes solicitando serviço. 
 
Aplicações: 
→ Almoxarifado; 
→ Bancos; 
→ Pedágios; 
→ Supermercados; 
→ Equipes de manutenção; 
→ Estabelecimento de atendimento ao público; 
Estrutura do sistema: 
 
Chegada de clientes Fila Canal de serviço saída 
 
λ = taxa média de chegada 
 μ = taxa média de atendimento 
 
 Lei λ < μ 
 
Estes parâmetros ( λ e μ ) são taxas que obedecem uma distribuição estatística 
denominada Poisson. 
Assim, o parâmetro λ segue a distribuição de Poisson e obedece o comportamento do gráfico 
abaixo. 
 
Freqüência 
 relativa 
 
 
 
 Ritmo 
 
Já o parâmetro μ segue a distribuição exponencial negativa e obedece ao 
comportamento do seguinte gráfico: 
 
 
 
 
 
 15 
Freqüência 
 relativa 
 
 
 Ritmo 
 
Desta forma, necessitamos destes dois parâmetros estatísticos para realizarmos o 
estudo de filas, visto que λ é a taxa média de chegada dos clientes no estabelecimento e μ é a 
taxa média de atendimento. 
Por conseqüência λ < μ, pois se ocorrer o inverso temos congestionamento no sistema. 
Mas o que é sistema? É o número de clientes na fila mais clientes sendo 
atendidos. 
O modelo que iremos estudar é o M/M/1, isto é, o primeiro M significa chegada 
segundo Poisson, o segundo M significa atendimento segundo a distribuição exponencial 
negativa e o 1 é de um canal de atendimento. 
 
Exercícios 
 
1) Em um sistema de pedágios, temos 3 atendentes que trabalham a uma taxa de 600 
veículos por hora. Sabendo que os veículos chegam a uma taxa de 1500 veículos por 
hora e que o fluxo divide-se igualmente entre os 3 postos, achar para um único 
posto: 
 
a) a probabilidade do atendente estar ocioso; 
b) a probabilidadede ter fila; 
c) o número médio de clientes no sistema; 
d) o número médio de clientes na fila; 
e) tempo médio gasto de clientes no sistema; 
f) tempo médio gasto de clientes na fila; 
g) A probabilidade de não haver fila. 
h) Tempo de atendimento 
i) Probabilidade de ter no mínimo 5 clientes na fila 
j) Probabilidade de ter mais que 5 clientes na fila 
k) Probabilidade de ter no mínimo 5 clientes no sistema 
l) Probabilidade de ter mais que 5 clientes no sistema 
 
 
2) Jones, mecânico, é capaz de instalar novos escapamentos a uma taxa média de 3 por 
hora, de acordo com uma distribuição exponêncial. Os clientes que procuram esse 
serviço chegam à oficina em uma média de 2 por hora, de acordo com a distribuição 
de Poisson. Eles são atendidos em tempos de primeiro a chegar, primeiro a sair e 
provêm de uma população muito grande (quase infinita) de possíveis fregueses. A 
partir dessa descrição, podemos obter as características de operação do sistema e de 
filas da Golden Muffer: 
 
 
 16 
a) Número médio de clientes no sistema; 
b) Tempo médio que o cliente gasta no sistema; 
c) Número médio de clientes na fila; 
d) Tempo médio em que uma unidade permanece na fila; 
e) Fator de utilização do sistema (sistema ocupado em X tempo); 
f) Probabilidade de nenhuma unidade no sistema ( a unidade de serviço está ociosa); 
g) Probabilidade de haver fila; 
h) Probabilidade de haver até 3 clientes na mecânica; 
i) Tempo médio de atendimento; 
j) Probabilidade de não haver fila; 
k) Probabilidade de haver pelo menos 3 clientes aguardando atendimento; 
l) Probabilidade de haver até 3 clientes na fila. 
 
3) Suponhamos que as chegadas a uma cabine telefônica obedecem a lei de Poisson, 
com ritmo de 6 chegadas por hora. A duração média de telefonema é de 3 minutos e 
suponhamos que seja a distribuição exponencial. Pede –se: 
 
a) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e não ter que esperar: 
b) Qual o número médio de pessoas na fila; 
c) Qual o número médio de pessoas no sistema; 
d) Qual o número médio de clientes usando o telefone; 
e) Qual o tempo na fila; 
 
 
4) Um moto-boy recebe chamadas segundo uma distribuição de Poisson com média de 
6 chamadas por hora. O tempo médio das viagens é exponencial distribuído com média 
de 8 minutos. Suponha que o moto-boy leve um pedido de cada vez. 
 
Calcule: 
a) a taxa de utilização do serviço; 
b) a probabilidade do moto-boy estar ocioso; 
c) O número esperado de clientes na fila; 
d) O tempo esperado para o cliente ser atendido; 
e) Probabilidade de ter fila; 
f) O tempo de atendimento; 
g) Qual a probabilidade de haver 2 pessoas na fila; 
h) Qual a probabilidade de haver 2 pessoas no sistema; 
i) A probabilidade de haver no mínimo 4 pessoas no sistema; 
j) A probabilidade de haver no mínimo 5 pessoas aguardando atendimento. 
 
 
5) Sam está dirigindo uma clinica de vacinação antirábica. Sam pode vacinar um cão a 
cada 3 minutos. Estima-se que os câes cheguem de forma independente e aleatória 
durante o dia a uma taxa de 1 cão a cada 6 minutos, de acordo com uma distribuição 
de Poisson. Suponha também que os tempos das vacinas aplicadas por Sam 
distribuidos exponencialmente. Calcule: 
 
a) A probabilidade de que Sam esteja ocioso: 
b) A probabilidade de Sam estar ocupado: 
c) O número médio de cães sendo vacinados e esperando pela vacinação: 
 
 17 
d) O números médio de câes esperando para serem vacinados: 
e) O tempo médio em que um cão espera para ser vacinado. 
 
 
6) Devido a um recente aumento dos negócios, o secretário de uma firma de advocacia 
agora precisa digitar com um editor de textos uma média de 20 cartas por dia 
(admite-se uma distribuição de Poisson). Ele leva aproximadamente 20 minutos para 
digitar cada carta (presumindo-se uma distribuição exponencial). Supondo que o 
secretário trabalha 8 horas por dia: 
 
a) Qual é a taxa de utilização do secretário? 
b) Qual é o tempo médio de espera para que o secretário digite uma carta? 
c) Qual é o número médio de cartas aguardando digitação? 
d) Qual é a probabilidade de que o secretário tenha mais de 5 cartas para digitar? 
 
 
 
Modelo M/M/s (Chegada Poisson / atendimento exponencial / mais de um 
atendente) 
 
Λ< µ * número de atendentes 
 
8) Uma pousada situada às margens do rio Tiete aluga Jet-ski. São disponíveis 4 jets. 
Aos domingos, as pessoas chegam ao local de acordo com uma distribuição de Poisson 
com média de 10 pessoas por hora. O tempo de uso do equipamento é exponencial 
distribuído com média de 20 minutos por pessoa. 
Calcule: λ = 10c/h µ = 60/20 = 3 C/h N. At. = 4 
 
a) O tempo médio na fila; 
b) A probabilidade de haver mais que 10 pessoas na fila; 
c) A probabilidade de um jet-ski qualquer estar ocioso; 
d) A probabilidade de apenas um jet estar em uso; 
e) A probabilidade de pelo menos 1 jet ocioso; 
f) Probabilidade de ter fila; 
g) Probabilidade de haver no mínimo 5 pessoas aguardando atendimento; 
Probabilidade de haver mais que 5 pessoas aguardando atendimento; 
h) O tempo de utilização médio do Jet; 
i) O tempo de atendimento; 
j) O tempo médio do cliente no park; 
k) A probabilidade de não ter fila; 
l) A probabilidade de haver no máximo 3 jet’s parado. 
 
 
9) Um escritório tem 3 datilógrafas e cada uma pode datilografar, em média, 6 cartas 
por hora. As cartas chegam para serem datilografadas a taxa média de 15 por hora. 
λ = µ = número de atendentes = 
 
λ < µ * N. Aten M/M/S 
 
a) Qual o no médio de cartas esperando para serem datilografadas ? 
 
 18 
b) Quanto tempo, em média, uma carta demora para ficar pronta ? 
c) Qual a probabilidade de que uma carta demore mais de 20 minutos para ficar pronta ? 
d) Vamos supor que cada datilógrafa receba individualmente 5 cartas por hora, em 
média, para datilografar. Quanto o tempo em média que uma carta demora para ficar 
pronta ? λ = µ = Número de Atendentes = 
 
10) Sabendo que há disponível 3 caixas em uma agência bancária. Os clientes chegam a 
uma taxa média de 40 por hora e as caixas podem atender, em média, 30 clientes por 
hora. λ = µ = Nat = 
Calcule: 
a) O tempo de espera na fila; 
b) O número de pessoas aguardando na fila; 
c) A probabilidade de haver 1 caixa trabalhando; 
d) A probabilidade de haver 5 pessoas na fila; 
e) A probabilidade de não haver fila; 
f) A probabilidade de haver pelo menos um caixa livre; 
g) A probabilidade de haver pelo menos um caixa trabalhando: 
11) A Robert Olney´s é um conhecido salão de cabeleireiro próximo ao campus da 
Universidade de New Haven. Quatro barbeiros trabalham em tempo integral e gastam 
uma média de 15 minutos com cada cliente. Os clientes chegam durante o dia inteiro a 
uma taxa média de 12 por hora. As chegadas tendem a seguir a distribuição de Poisson, 
e os tempos de serviço são distribuidos exponencialmente. Responda as seguintes 
questões: 
 
 λ = µ = Nat. = 
 
a) Qual a probabilidade de que o salão esteja vazio?b) Qual é o número médio de clientes no salão? 
c) Qual é o tempo médio despendido no salão? 
d) Qual é o tempo médio em que um cliente espera para ser chamado à cadeira do 
barbeiro? 
e) O fator médio de utilização; 
f) O tempo médio de atendimento de cada cabeleireiro; 
g) Qual a probabilidade de ter fila; 
h) Qual a probabilidade de haver mais que 5 pessoas na fila; 
i) Qual a probabilidade de haver 2 cabeleireiros ociosos; 
j) Qual a probabilidade de haver pelo menos 2 cabeleireiros ociosos; 
k) Qual a probabilidade de haver no mínimo 6 pessoas na fila. 
 
 
12) A Charles Leitle mantém uma equipe de atendimento para consertar defeitos de 
máquinas que ocorrem em uma média de  = 6 por dia ( aproximadamente Poisson). A 
equipe pode atender a uma média de  = 16 máquinas por dia, com uma distribuição de 
tempo de conserto que se assemelha à distribuição exponencial. 
 
a) qual é a taxa de utilização desse sistema de serviço? 
b) Qual é o tempo ocioso médio de uma máquina avariada? 
c) Quantas máquinas estão aguardando serviço em um dado momento qualquer? 
d) Qual é a probabilidade de que mais de uma máquina esteja no sistema? 
 
 19 
e) A probabilidade de que mais de duas máquinas estejam avariadas e estejam por 
consertos ou serviço? 
f) E mais de três? 
g) E mais de quatro? 
 
 
 
 
Cadeias de Markov 
 
 Um Processo Estocástico é definido como uma coleção de variáveis randômicas 
(X(t)) indexadas por um parâmetro t pertencente a um conjunto T. 
 Fenômeno esse que varia em algum grau, de forma imprevisível, à medida que o 
tempo passa. 
 
➢ Variação do tráfego em um cruzamento; 
➢ Variação diária no tamanho do estoque de uma empresa; 
➢ Variação minuto a minuto do índice IBOVESPA; 
➢ Variação no estado de um sistema de potência; 
➢ Variação no número de chamadas feitas a uma central telefônica 
 
 Freqüentemente T é tomado para ser o conjunto dos inteiros não-negativos 
(porém, outros conjuntos são perfeitamente possíveis) e X(t) representa uma 
característica mensurável de interesse no tempo t. Exemplificando, X(t) pode 
representar o nível de estoque de um produto no fim da semana t. 
 Processos Estocásticos são de interesse para descrever o procedimento de um 
sistema operando sobre algum período de tempo, com isso, em termos formais, a 
variável randômica X(t) representa o estado do sistema no parâmetro (geralmente 
tempo) t. 
 Portanto, pode-se afirmar que X(t) é definido em um espaço denominado 
Espaço de Estados. 
 Para analisar o processo estocástico é preciso especificar o período de tempo T 
envolvido: quando ele será observado. 
 
➢ Se T é contínuo,T = {t: 0 ≤ t < ∞):Trata-se de um Processo Estocástico de 
Parâmetros Contínuos: Poisson. 
 
➢ Se T é discreto, T = {0,1,2,...}:Trata-se de um Processo Estocástico de 
Parâmetros Discretos: Séries Temporais em geral. 
 
Os Processos Estocásticos podem ser classificados como: 
 
 20 
 
a) Em relação ao Estado 
→Estado Discreto (cadeia): X(t) é definido sobre um conjunto enumerável ou finito. 
→Estado Contínuo (seqüência): X(t) caso contrário. 
 
b) Em relação ao Tempo (Parâmetro) 
→Tempo Discreto: t é finito ou enumerável. 
→Tempo Contínuo: t caso contrário. 
 
Exemplos: 
1. Número de usuários em uma fila de banco em um determinado instante: Estado 
Discreto e Tempo Contínuo. 
2. Índice pluviométrico diário: Estado Contínuo e Tempo Discreto. 
3. Número de dias chuvosos: Estado Discreto e Tempo Discreto. 
 
 A probabilidade condicional de qualquer evento futuro, dado qualquer evento 
passado e o estado presente X(tk) = xk, é independente do evento passado e depende 
somente do estado presente. 
 Em termos mais resumidos: um Processo Estocástico é dito ser um Processo 
Markoviano se o estado futuro depende apenas do estado presente e não dos estados 
passados. 
 Este tipo de Processo Estocástico é também denominado de memoryless process 
(processo sem memória), uma vez que o passado é "esquecido" (desprezado). 
 As probabilidades condicionais P X(t k+1 ) = x k+1 X(t k ) = xk são denominadas 
Probabilidades de Transição e representam, portanto, a probabilidade do estado X(t k+1 
) ser x (k+ 1) no instante t(k+1) dado que o estado X(t k ) é x k no instante t(k). 
 
Exemplo: 
O estado no ano de 1993 do uso da terra em uma cidade de 50 quilômetros 
quadrados de área é: 
 
 Tabela 1 - Estado do uso da terra em 1993. 
 I uso residencial 30% 
 II uso comercial 20% 
 III uso industrial 50% 
 
 Os valores da tabela 1 podem ser dispostos em um vetor x, denominado Vetor 
deEstados: 
 x = I II III (2) 
 
 As probabilidades de cada Estado (probabilidade não-condicional) podem 
também ser dispostos em um vetor , denominado Vetor de Probabilidade de Estado 
(para distingui-las das probabilidades de transição): 
  = 0.30 0.20 0.50 (3) 
 
 21 
 I II III 
 Assumindo que as probabilidades de transição para intervalos de 5 anos são 
dadas pela seguinte tabela: 
 
 Tabela 2 - Probabilidades de Transição 
 Para I para II para III 
 de I 0.8 0.1 0.1 
 de II 0.1 0.7 0.2 
 de III 0 0.1 0.9 
 
As probabilidades condicionais na tabela 2, em termos informais, podem ser 
entendidas como: 
➢ de I para I  a probabilidade do estado ser I após 5 anos, dado que o 
estado atual (presente) é I é 0.8, ou PX(t + 5) = IX(t) = I= 0.8 . Para t =1993, 
fica PX(1998) = I X(1993) = I= 0.8 . 
➢ de I para II  a probabilidade do estado ser II após 5 anos, dado que o 
estado atual (presente) é I é 0.1, ou PXt+5 = IIXt = I= 0.1. Para t =1993, fica 
PX(1998) = IIX(1993) = I= 0.1. 
➢ de I para III  a probabilidade do estado ser III após 5 anos, dado que o 
estado atual (presente) é I é 0.1, ou PX(t + 5) = IIIX(t) = I= 0.1. Para t =1993, 
fica PX(1998) = IIIX(1993) = I= 0.1. 
➢ de II para I  a probabilidade do estado ser I após 5 anos, dado que o 
estado atual (presente) é II é 0.1, ou PX(t + 5) = IX(t) = II= 0.1. Para t =1993, 
fica PX(1998) = IX(1993) = II= 0.1. 
➢ de II para II  a probabilidade do estado ser II após 5 anos, dado que o 
estado atual (presente) é II é 0.7, ou PX(t + 5) = IIX(t) = II= 0.7 . Para t =1993, 
fica PX(1998) = IIX(1993) = II= 0.7 . 
➢ o raciocínio é análogo para as demais. 
 
Os valores da tabela 2 podem ser então dispostos em uma matriz P, denominada 
Matriz de Transição: 
 
 
 P = 0.8 0.1 0.1 
 0.1 0.7 0.2 
 0.0 0.1 0.9 
 
 Assim, a partir de P e o vetor de probabilidade de estado  para 1993, 
denominado () , pode-se calcular o vetor de probabilidade de estado  para 1998, 
denominado () : 
 
() = () = P = (30 20 50) . 0.8 0.1 0.1 = (26 22 52) 
 0.1 0.7 0.2 
 0.0 0.1 0.9 
 
 22 
 
 Significado do resultado obtido (26 22 52). 
 
 O estado do uso da terra para residência, após 5 anos, passa de 30% para 26%. Já 
para uso comercial passa de 20% para 22% e por fim o uso industrial passa de 50% para 
52%. 
 
 
 
PROBABILIDADE DE ESTADO NO LIMITE 
 
 De uma forma geral, as probabilidades dos estados que compõem uma cadeia de 
Markov tendem a um valor limite, desde que admitamos constantes as probabilidades de 
transição de um estado a outro. 
 Vejamos como se calcula diretamente os valores-limites das probabilidades de 
estado, utilizando o exemplo anterior. 
 
 (PR PC PI) . 0.8 0.1 0.1 = (PR PC PI) 
 0.1 0.7 0.20.0 0.1 0.9 
 
 Onde PR é a probabilidade limite de ocorrer a distribuição de terras para uso 
residencial, assim como PC é a probabilidade limite de ocorrer a distribuição de terras 
para uso comercial e PI é a probabilidade limite de ocorrer a distribuição de terras para 
uso industrial. 
 
Multiplicando as matrizes, nascerá o seguinte sistemas de equação: 
 
0,8PR + 0,1PC = PR sabendo que PR + PC + PI = 1 
0,1PR + 0,7PC + 0,1PI = PC 
0,1PR + 0,2PC + 0,9PI = PI 
 
 Resolvendo o sistema chegamos em PR = 12,5%, PI 62,5% e PC = 25%. 
 
 Isto significa interpretar que o limite de uso da terra para residência é de 12,5%, 
para o comércio é de 25% e para a industria é de 62,5%. Caso os estados de transição 
não sofram alterações. 
 
 
 
Exercícios 
 
 
 1) Na cidade de Pindorama, existem dois jornais locais que disputam o mesmo 
mercado. O jornal Diário de Pindorama tem atualmente 60% do mercado enquanto a 
Gazeta de Pindorama detém 40% do mercado. A matriz de transição segue abaixo: 
 
 
 23 
 Para 
O Diário A Gazeta 
Do Diário 0,9 0,1 
Da Gazeta 0,0875 0,9125 
 
a) monte a matriz estado; 
b) Interprete a matriz de transição; 
c) Realize o cálculo para o estado no momento t + 1; 
d) Realize o cálculo para o estado no momento t + 2; 
e) Realize o cálculo para o estado no momento t + 3; 
f) Veja qual é o valor no estado limite para os jornais. 
 
 
 2) Há três diferentes marcas (A, B e C) disputando o mesmo mercado, onde a 
seguinte matriz estado (0,45 0,23 0,32) representa as probabilidades de estado (neste 
caso, as fatias do mercado consumidor). Essa matriz representa as probabilidades de 
estado em um dado momento t. A matriz de transição está abaixo. 
 
 
 Para 
Marca A Marca B Marca C 
Da marca A 0,75 0,15 0,10 
Da marca B 0,08 0,90 0,02 
Da marca C 0,25 0,15 0,60 
 
a) Interprete a matriz de transição; 
b) Interprete a matriz de estado; 
c) qual o estado no tempo t + 1 para cada marca; 
d) qual a probabilidade limite para cada marca. 
 
 
 3) Na cidade de Saramandaia, operam três usinas que produzem aguardente com 
as seguintes fatias de mercado: 
 
Caninha Trinta e três → 50% do mercado 
Aguardente Velho Tropeiro → 30% do mercado 
Caninha Cachorrinho → 20% do mercado 
 
 Chamaremos essas marcas respectivamente de T, V e C. 
 É conhecida a seguinte matriz de transição no momento t das três usinas: 
 
 Marcas de aguardente 
para 
T V C 
De T 0,7 0,15 0,15 
 
 24 
De V 0,04 0,8 0,16 
De C 0,07 0,08 0,85 
 
 
a) monte a matriz estado (ou fatia de mercado); 
b) interprete a matriz de transição; 
c) o momento t +1; 
d) os valores limites para as três marcas. 
 
 
 4) Do exercício 1, tomemos a seguinte matriz de transição: 
 
 Para 
O Diário A Gazeta 
Do Diário 0,9 0,1 
Da Gazeta 0 1 
 
a) interprete a matriz de transição no instante t; 
b)Verifique o que ocorrerá realizando os cálculos das probabilidades de estado de 
equilíbrio. 
 
 
 
Transportes 
INTRODUÇÃO: 
 
 O Problema de transporte é de forma geral o problema de determinar o carregamento de 
uma rede de transporte que liga várias fontes a vários destinos de forma que o custo total do 
transporte seja mínimo. Na área de Administração é encontrado em empresas que têm 
unidades produtoras em algumas cidades e depósitos em outras. Uma variação desta situação 
é o caso em que o produto não vai direto da fonte ao destino, mas passa por outras fontes e 
outros destinos antes de chegar ao destino final. É o modelo de transportes com transbordo. 
 Outra variação é o problema de designação de tarefas no qual se tem certo número de 
serviços que devem ser executados por algumas máquinas, senda que cada conjunto tarefa-
máquina tem seu custo particular de execução. Com algumas pequenas alterações podemos 
também modelar problemas no qual o objetivo é determinar o fluxo máximo de transporte de 
modo a atender as demandas dos destinos, a extensão mínima de uma rede que liga vários 
pontos ou ainda o percurso mínimo que liga uma fonte a um destino. 
 
HISTÓRICO: 
 
Em 1975, os professores Leonid Kantarovich (URSS) e Tjalling C. Koopmans (USA) 
receberam o prêmio Nobel de Ciências Econômicas por suas contribuições para a teoria da 
alocação ótima de recursos. Estes professores investigaram uma grande variedade de problemas 
de otimização. É interessante notar que ambos estão associados a vários dos primeiros trabalhos 
descrevendo problemas de fluxo em redes. Em 1939, Kantarovich discutiu uma classe de 
 
 25 
modelos de otimização com exemplos específicos. A idéia de cada exemplo era a busca da mais 
alta produção possível com uma utilização ótima dos recursos existentes. Um destes exemplos 
envolveu a distribuição de transporte de carga entre diferentes rotas de uma rede de modo a 
satisfazer as necessidades e restrições de capacidade nas rotas enquanto otimizava o gasto de 
combustível. A discussão deu-se na URSS e não foi conhecida pelo ocidente antes de 1950. 
 Enquanto isso, nos EUA, Frank L. Hitchcock apresentou a formulação padrão do 
problema de transporte. Trabalhando independente, Koopmans formulou o mesmo problema. 
Devido a isso, o problema de transporte é freqüentemente chamado de Problema de transporte 
de Hitchcock-Koopmans. Em 1956, Alex Orben propôs uma generalização do modelo de 
transporte no qual pontos de trans-carregamento eram alocados. A formulação é conhecida hoje 
como um problema de transporte com trasbordo. Aproximadamente na mesma época, o 
problema de fluxo máximo e o problema de custo mínimo em redes foram formulados e 
investigados pelo famoso time do Lester Ford e Delbert Fulkefson. De 1950 a 1962, muita 
atividade foi direcionada para o desenvolvimento de algoritmos para modelos de fluxo em redes 
lineares. Os algoritmos desenvolvidos podem ser classificados em dois tipos: (1) especialização 
do método simplex primal1 e (2) métodos primal-dual. 
 
APLICAÇÕES: 
Os modelos de redes são freqüentemente aplicados em: 
• Sistemas de produção-distribuição 
• Sistemas militares logísticos 
• Sistemas de tráfego urbano 
• Sistemas de transporte ferroviário 
• Sistemas de comunicação 
• Sistemas de rede canalizados 
• Sistemas de rotas e itinerários 
• Redes de Eletricidade 
 
 
 
 CD1 CD2 Oferta 
Fabrica 1 150 188 550 
Fabrica 2 225 176 650 
Demanda 400 800 1200/1200 
 
 
Sistema Balanciado Oferta = demanda 
 
Sistema desbalanceado: Oferta > demanda 
 Oferta < demanda 
 
Exercícios 
 
1) Uma vinícola do Sul de Santa Catarina possui três fábricas e três armazéns nos quais 
os vinhos são envelhecidos. Como as fábricas e os armazéns estão localizados em 
 
1 O Método Simplex foi desenvolvido por George B. Dantizg em 1947 
 
 26 
diferentes locais do estado, a empresa deseja saber quantos tonéis de vinho deve 
enviar de cada fábrica para cada armazém de forma a minimizar o seu custo de 
transporte. As capacidades das fábricas e dos armazéns (em número de tonéis), bem 
como os custos de transporte por tonel, estão explicitados na tabela a seguir. 
Resolva este problema como um modelo de transportes. 
 
 
Armazéns Capacidade da 
Fábricas A1 A2 A3 
Fábricas 
F1 20 16 24 300 
F2 10 10 08 500 
F3 12 18 10 200 
Capacidade dos Armazéns 200 400 300 900/1000 
 
2) Uma determinada empresa fornece motores para um grande número de equipes de 
Fórmula 1. A empresa detém uma série de contratos de entregas futuras 
programadas para o próximo ano. As entregas deverão ocorrer trimestralmente, de 
acordo com as necessidades das equipes. A tabela abaixo resume, por trimestre, as 
entregas programadas, a capacidade máxima de produção e o custo unitário de 
produção. As entregas são feitas no final do trimestre e os motores podem ser 
armazenados por quantos trimestres forem necessários ao custo de 0,015 milhão de 
reais por trimestre. A diretoria deseja minimizaros custos totais de produção. 
Quantos e quando os motores pedidos devem ser produzidos? 
Trimestre Pedidos contratados Capacidade de produção 
Custo unitário de produção 
(em R$ milhões) 
1º 10 25 1,08 
2º 15 35 1,11 
3º 20 30 1,10 
4º 25 10 1,13 
 
3) A Miss Daisy Ltda. É um laboratório de manipulação que presta serviços de entrega 
para idosos. A empresa possui duas filiais e fornece o serviço a seis bairros 
diferentes. Tendo em vista que atualmente a demanda é superior à capacidade de 
entrega da companhia, a mesma gostaria de saber a quais clientes atender, a partir de 
cada filial, de maneira a minimizar o seu custo de entrega. As capacidades das 
filiais, as demandas dos bairros e os custos unitários de entrega estão na tabela 
abaixo: 
 Ipanema 
Copacaban
a 
Centro Barra Leblon Tijuca 
Capacidad
e 
Filial 
Centro 
7,00 9,00 1,00 12,00 7,00 4,00 2500 
Filial 
Barra 
4,00 5,00 12,00 1,00 3,00 8,00 2000 
Demanda 1400 1560 400 150 870 620 
 
4) A Maria-Benz produz automóveis de passeio para o mercado local e para exportação 
para diversos países. O primeiro estágio do processo de produção é fazer a 
 
 27 
fabricação dos monoblocos, que, em seguida, são disponibilizados para a linha de 
produção para que outras peças sejam montadas. A Maria-Benz deseja programar a 
produção dos monoblocos para os próximos três meses. As demandas estimadas, a 
capacidade de produção e o custo unitário de produção para cada um dos meses em 
questão estão na tabela abaixo. Devido à existência de variações na capacidade de 
produção e no custo de fabricação entre os meses, a empresa pode produzir alguns 
monoblocos um mês antes do que estão programados. A desvantagem é que tais 
monoblocos têm que ser armazenados até o mês em que serão consumidos a um 
custo de armazenamento unitário de R$ 200,00/mês. Por isso, o gerente de produção 
quer saber quantos monoblocos deve produzir em cada mês de forma a atender a 
demanda ao menor custo possível de produção e armazenamento. Modele este 
problema como um problema de transporte. 
 
Mês Demanda Prevista Produção Máxima 
Custo Unitário de 
Produção (R$) 
1 1000 2500 3000 
2 2000 2500 3000 
3 3000 2000 3200 
 
5) Uma grande empresa industrial chegou à conclusão de que deve fabricar três novos 
produtos. Atualmente existem cinco filiais com capacidade de produção excedente. 
O custo unitário de fabricação do primeiro produto seria de R$90,00, R$82,00, 
R$92,00, R$84,00, e R$86,00, nas fábricas 1,2,3,4 e 5 respectivamente. O custo 
unitário de fabricação do segundo produto seria de R$62,00, R$58, R$ 64,00, 
R$56,00, e R$58,00, nas fábricas 1,2,3,4 e 5 respectivamente. O custo unitário de 
fabricação do terceiro produto seria de R$76,00, R$70,00, R$80,00, nas fábricas 1,2, 
e 3 respectivamente, sendo que as fábricas 4 e 5 não estão equipadas para produzir 
este produto. As previsões de vendas indicam que deveriam ser produzidas por dia 
5000, 3000 e 4000 unidades dos produtos 1, 2 e 3 respectivamente. As fábricas 1, 2, 
3, 4, e 5 têm capacidade de produzir 2000, 3000, 2000, 3000 e 5000 unidades 
diárias, respectivamente, independentemente do produto ou combinação de produtos 
envolvidos. A gerência deseja saber como alocar os novos produtos às fábricas de 
modo a minimizar o custo total de fabricação. Formule esse problema como um 
problema de transporte. 
 
6) A PowerCo tem três usinas elétricas para suprir as necessidades de quatro cidades: 
Feira de Santana, Milagres, Itabuna, e Maiquinique, sendo suas potências instaladas, 
respectivamente, de: 35 milhões KW/hora; 50 milhões KW/hora e 40 milhões 
KW/hora. A demanda de energia atinge o pico nas cidades no mesmo momento 
(19:00h) é o seguinte (em KW/hora): Feira de Santana, 45 milhões; Milagres, 20 
milhões, Itabuna, 30 milhões, e Maiquinique, 30 milhões. O custo de enviar um 
milhão de KW/hora de eletricidade de cada usina para cada uma das cidades está 
disponível na tabela abaixo: 
 
 
 28 
 
 Feira de Santana Milagres Itabuna Maiquinique 
Usina 1 8 6 10 9 
Usina 2 9 12 13 7 
Usina 3 14 9 16 5 
 
7) Suponha que Inglaterra, França e Espanha produzam todo o trigo, cevada e aveia do 
mundo. A demanda mundial de trigo requer 50 milhões de hectares de terra sejam 
dedicados à produção de trigo. Similarmente, 24 milhões de hectares de terra são 
requeridos para cevada e 30 milhões hectares de terra para aveia. As quantidades 
totais de terra disponível para esses propósitos na Inglaterra, na França e na Espanha 
são 28 milhões de hectares, 44 milhões de hectares e 32 milhões de hectares, 
respectivamente. O número de horas de trabalho necessárias na Inglaterra, na França 
e na Espanha para produzir um hectare de trigo é 45 horas, 32h 30 min e 40 horas 
respectivamente. O número de horas de trabalho na necessárias na Inglaterra, na 
França e na Espanha para produzir um hectare de aveia é 30 horas, 25 horas e 40 
horas, respectivamente. O número de horas de trabalho necessárias na Inglaterra, na 
França e na Espanha para produzir um hectare de cevada é 37h 30 min, 30 horas e 
30 horas, respectivamente. O custo de mão-de-obra por hora para a produção de 
trigo é R$ 3,00, R$ 2,40 e R$ 3,30 na Inglaterra, na França e na Espanha, 
respectivamente. O custo de mão-de-obra por hora para produzir cevada é de R$ 
2,70, R$ 3,00 e R$ 2,80 na Inglaterra, na França e na Espanha, respectivamente. O 
custo da mão-de-obra por hora para produzir aveia é de R$ 2,30, R$ 2,50 e R$ 2,10 
na Inglaterra, na França e na Espanha, respectivamente. Solucione o problema 
alocando as áreas necessárias em cada país de modo a atender a demanda por 
alimento em nível mundial, e minimizando o custo total de mão-de-obra. 
 
8) A Williams Auto Top Carriers possui atualmente instalações em Atlanta e em Tulsa 
para fornecer bagageiros de automóveis para centros de distribuição em Los 
Angeles e em Nova York. Considerando a expansão da demanda, a Williams 
decidiu abrir uma terceira fábrica e reduziu as opções a duas cidades – Nova Orleans 
e Houston. A tabela abaixo apresenta os custos pertinentes de produção e de 
distribuição, bem como a capacidade das fábricas e a demanda da distribuição. 
Diante deste problema decida qual das novas localizações, em combinação com as 
instalações existentes e centros de distribuição, proporciona o menor custo para a 
empresa. 
De Fábricas 
Para Centros de Distribuição Produção 
Normal 
Custo unitário 
de Produção Los Angeles Nova York 
Fábricas Existentes 
Atlanta 8 5 600 6 
Tulsa 4 7 900 5 
Localizações 
Propostas 
 
Nova Orleans 5 6 500 4 
Houston 4 6 500 3 
Demanda Prevista 800 1.200 2.000 
 
 29 
 
 
9) Com a proximidade do Natal, uma fábrica de bicicletas, que relançou 
recentemente o "patinete", recebeu encomendas que, no total, são 
superiores à sua capacidade de produção. A fábrica tem unidades 
produtivas em 3 regiões com capacidades mensais de produção, 
respectivamente iguais a 2000, 3500 e 2500 unidades. Os custos 
unitários de produção variam entre as fábricas devido à adaptação feita 
nas instalações para a produção do "novo" brinquedo. Os custos 
unitários de produção são $50,00; $53,00 e $51,00, respectivamente. As 
encomendas são provenientes de 5 lojas nas quantidades 2000; 2300; 
1700; 2500 e 1500 patinetes respectivamente. Os custos unitários de 
transporte são dados na tabela abaixo. Apresente o melhor plano de 
produção-distribuição para a empresa e o custo total de produção-
distribuição, considerando que o transporte deve ser feito direto da fonte 
para o destino. 
 
 Loja 1 Loja 2 Loja 3 Loja 4 Loja 5 
Fábrica 1 11 10 12 8 11 
Fábrica 2 8 10 11 12 13 
Fábrica 3 14 12 10 10 9 
 
10) Uma cervejaria possui 4 unidades produtoras situadas em diferentes pontos do país. 
Devido aos diferentes maquinários utilizados, a produtividade da cervejaria varia 
entre diferentes unidades produtoras. Além disto, alguns impostos também são 
diferentes em cada região,o que faz com que o custo unitário de produção seja 
diferente entre as unidades produtoras. Com a chegada do verão, a cervejaria recebe 
pedidos superiores à sua capacidade de produção. Os pedidos para a próxima 
semana foram agrupados por região. A capacidade semanal de produção de cerveja 
em garrafas de cada unidade produtora, o custo unitário de produção, a demanda 
semanal de cada região, bem como os custos unitários de transporte estão nas 
tabelas abaixo. O transporte deverá ser feito direto das fontes para os destinos. 
Determine o esquema de transporte e o custo total mínimo da operação de 
produção/distribuição. Informe quais as regiões que ficarão sem ter sua demanda 
totalmente atendida e quanto faltará nestas regiões. 
 
Unidade 
Produtora 
Capacidade de 
produção semanal 
(mil garrafas) 
Custo unitário 
de produção 
 Região Pedidos (mil 
garrafas) 
Custos un. de transporte 
1 2 3 4 
 1 7.5 0.15 0.10 0.16 0.18 
 2 5.0 0.15 0.15 0.15 0.18 
1 4.0 0.20 3 3.0 0.18 0.20 0.14 0.12 
2 6.5 0.22 4 2.0 0.17 0.16 0.13 0.18 
3 5.0 0.25 5 5.5 0.16 0.18 0.14 0.14 
4 4.5 0.20 6 2.0 0.14 0.14 0.15 0.12 
 
 
 
 
 30 
ALOCAÇÃO DE TAREFAS 
 
1. Um escritório de advocacia fechou 5 novos contratos esta semana: 2 criminais, 1 Cívil 
e 2 trabalhistas. O escritório conta com 3 estagiários: 2 em tempo integral (João e 
Maria) e 1 em tempo parcial (José). Para distribuir os processos aos estagiários, os 
advogados optaram por usar como critério a nota média dos estagiários nas disciplinas 
correlatas. Estas notas estão na tabela abaixo. O número de processos que cada 
estagiário deverá acompanhar deve ser proporcional à carga horária de cada um. 
Determine quais processos cada estagiário deverá acompanhar. 
 
 Criminal Cívil Trabalhista 
João 8 7 10 
Maria 10 6 8 
José 9 8 6 
 
2. Uma escola de informática irá oferecer cursos intensivos no verão. A 
escola pretende oferecer 2 cursos de HTML, 3 cursos de Delphi e 1 de 
JAVA. A escola conta com 3 professores interessados em ministrar estes 
cursos: João, Maria e José. Para distribuir os cursos aos professores, a 
escola pediu aos professores que ordenassem os cursos em ordem de 
interesse (1 para o curso de maior preferência e assim por diante). 
Encontre a melhor forma de distribuir dois cursos para cada professor. 
 
 HTML Delphi JAVA 
João 1 3 2 
Maria 2 1 3 
José 2 3 1 
 
3. O Departamento de Pesquisa Operacional da Universidade São 
Francisco conta com apenas 2 professores. A partir de 2005 esta 
disciplina está sendo oferecida nos 4 Cursos de Administração desta 
Universidade. A Universidade solicitou a cada professor que colocasse 
os Cursos em ordem de preferência. Assim, o Curso que mais interessa 
ao professor recebeu 1 e o que menos o interessa recebeu 4. Cada 
professor pode lecionar em até 2 turmas. 
 
 Bragança Paulista Campinas Itatiba São Paulo 
Vânia Gayer 1 2 3 4 
Douglas Ribeiro 2 4 3 1 
Nº de turmas 2 1 2 2 
 
a) Determine onde e quantas vezes por semana, cada um dos 
professores deverá trabalhar em 2005. 
b) Supondo que nenhum professor poderá lecionar em mais que 2 
turmas de Pesquisa Operacional, quantos professores será 
necessário contratar para o Departamento de P.O. desta 
Universidade? Para quais Cursos e quantas vezes por semana? 
 
4. Um sistema de computação ligado em rede usa um modelo de processamento 
distribuído em suas máquinas. Há um software instalado que controla qual tarefa será 
processada em qual máquina para que o tempo total de execução das tarefas seja o 
 
 31 
menor possível. Suponha que 4 tarefas precisam ser executadas e há 5 máquinas 
disponíveis para realizarem estas tarefas. São 2 máquinas do tipo X9, 2 máquinas Y9 e 
1 máquina Z10. Os tempos de execução são dados na tabela abaixo. Determine qual 
máquina deverá realizar cada tarefa. Caso uma das máquinas Y9 venha a quebrar, 
haverá prejuízo em relação ao tempo de execução das tarefas? 
 
 X9 Y9 Z10 
Tarefa 1 1 2 3 
Tarefa 2 2 1 3 
Tarefa 3 1 3 2 
Tarefa 4 2 3 1 
 
5. Uma distribuidora mantém representantes de vendas em 4 capitais. 
Devido ao aumento no volume de negócios estuda a designação de 
mais 2 representantes para São Paulo, mais 2 para o Rio de Janeiro, 
mais 1 para Curitiba e mais 1 para Belo Horizonte. Foram selecionados 
6 representantes e em função de experiências passadas da distribuidora 
e do currículo dos selecionados, estimou-se o volume de vendas para 
cada um dos possíveis representantes em cada uma das capitais. 
Encontre a melhor designação destes representantes de forma a 
maximizar o volume total estimado das vendas para a distribuidora. 
Quais representantes deverão ir para cada uma das capitais? 
 
Capitais Representantes 
A B C D E F 
São Paulo 44 80 52 60 70 65 
Rio de Janeiro 60 56 40 72 66 48 
Curitiba 36 60 48 48 52 44 
Belo Horizonte 52 76 36 40 42 62 
 
6. Uma liga de futebol precisa designar os árbitros que irão atuar nos jogos 
das semifinais de seu campeonato. Foi convencionado que os árbitros 
não podem atuar nos jogos do time de sua nacionalidade. A tabela 
abaixo mostra o custo de designação de cada profissional para cada 
jogo. As células marcadas com X representam os jogos nos quais este 
profissional não pode atuar. Quem serão os profissionais escalados para 
atuar em cada jogo? 
 
 Daniel João Marcelo Diego Pablo 
Jogo 1 
1000 1500 2200 X 1000 
Jogo 2 1200 2500 2200 3000 1000 
Jogo 3 2000 X 2200 X 1000 
Jogo 4 X 1300 1500 800 X