GRA1594 Calculo aplicado Varias variaveis (Apostila 1)

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introdução
Introdução
Os primeiros conceitos do cálculo diferencial e do cálculo integral surgiram há séculos, a
princípio, sem ligação com os conceitos que temos atualmente. Depois de um período,
matemáticos puderam provar, por meio de resultados válidos até hoje, que os conceitos
do cálculo diferencial e do cálculo integral são o inverso um do outro.
CÁLCULO APLICADO - VÁRIASCÁLCULO APLICADO - VÁRIAS
VARIÁVEISVARIÁVEIS
REVISÃO DE DERIVADAS EREVISÃO DE DERIVADAS E
INTEGRAISINTEGRAIS
Autor: Me. Talita Druziani Marchiori
Revisor : Ra imundo A lmeida
IN IC IAR
O cálculo diferencial surgiu com problemas relacionados a retas tangentes. Já o cálculo
integral originou-se em problemas de quadratura, que é uma operação que determina a
área de um quadrado equivalente a uma dada �gura geométrica. Porém, hoje, sabemos
que as aplicabilidades dessas teorias estendem-se a áreas variadas do conhecimento,
como física, química, engenharias, biologia, economia, dentre outras. Apesar de você,
estudante, já ter estudado esses conceitos, vamos revisar, nesta unidade, as principais
de�nições e propriedades presentes no cálculo diferencial e integral. Além disso,
estudaremos o conceito de integração por frações parciais.
Salientamos que, como se trata da revisão de uma matéria extensa, não conseguiremos
abordar todos os conceitos presentes. Com isso, enriqueceria o seu estudo buscar
exemplos e exercícios em outras bibliogra�as para completar a sua revisão e aprofundar o
seu conhecimento. Esperamos que o seu aprendizado seja produtivo.
Neste tópico, relembraremos as principais de�nições e propriedades das derivadas de
funções reais de uma variável real. No que segue, representaremos por f(x) uma função
real de uma variável real, de�nida sobre um subconjunto X dos números reais.
Considere uma função f(x) como uma função qualquer e sua derivada f ′ (x) é a nova função
que, em um determinado ponto x, o valor da derivada é de�nido por
f ′ (x) = limh→ 0
f(x + h) − f(x)
h
Uma Breve RevisãoUma Breve Revisão
Sobre as Derivadas deSobre as Derivadas de
Funções Reais de umaFunções Reais de uma
Variável RealVariável Real
Fonte: luckybusiness / 123RF.
se o limite existir.
Assim, se o limite existe para x = a, a função f diz-se diferenciável em a. Consideramos a
função f derivável em um intervalo aberto, se esta for diferenciável para todos os números
do intervalo.
Exemplo 1.1: determine f ′ (x) se f(x) = x ² .
Solução: pela de�nição que acabamos de enunciar,
f ′ (x) = limh→ 0
f(x + h) − f(x)
h
= limh→ 0
(x + h)2 − x2
h
.
Como:
(x + h)2 − x2
h
= 2x + h, h ≠ 0,
segue que:
f ′ (x) = limh→ 0
f(x + h) − f(x)
h
= limh→ 0
(x + h)2 − x2
h
= 2x
Portanto, f ′ (x) = 2x.
Usando a notação tradicional y = f(x) para indicar que a variável independente é x, e y é a
variável dependente, então y ′
dy
dx e 
df
dx são consideradas notações alternativas quando
consideramos a derivada de f em relação a x.
O processo de determinar a derivada de uma função por meio do cálculo de um limite, na
maioria das vezes, é um processo demorado. Porém, há regras de derivação que auxiliam
em uma solução mais simples para o cálculo. Quando utilizamos tais soluções,
conseguimos determinar a derivada de uma função sem necessitar recorrer à sua
de�nição. A seguir, enunciamos algumas dessas regras.
REGRA DA POTÊNCIA: considerando que n é um número real qualquer, então:
xn
′
= nxn− 1.[ ]
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE: considerando que c é uma constante e f é
uma função derivável, podemos dizer que:
[cf(x)] ′ = cf ′ (x).
REGRA DA SOMA: considerando que f e g são funções deriváveis, então:
f(x) + g(x)] ′ = f ′ (x) + g ′ (x).
REGRA DO PRODUTO: considerando que f e g são funções diferenciáveis com g(x) ≠ 0,
então:
[f(x)g(x)] ′ = f ′ (x)g(x) + f(x)g ′ (x).
REGRA DO QUOCIENTE: considerando que f e g forem deriváveis, então:
[
f(x)
g(x)
], =
f ′ (x)g(x) − f(x)g ′ (x)
g(x)2
.
REGRA DA CADEIA: se g for derivável em x, e f for derivável em g(x), então, a função
composta h = f ∘ g, de�nida por h(x) = f(g(x)), será derivável em x, e h ′ será dada pelo
produto:
h ′ (x) = f ′ (g(x))g ′ (x).
Em muitas situações, deparamo-nos com problemas de funções exponenciais, logarítmicas
e trigonométricas, por isso, resumimos as fórmulas de derivação para estas funções:
d
dx sen x = cos x;
d
dx (cosec x) = − cosec x cotg x;
d
dx cos x = − sen x;
d
dx (cotg x) = − cosec
2 x;
d
dx tg x = sec
2x;
d
dx (e
x) = ex;
d
dx sec x = sec x tg x;
d
dx (ln x) =
1
x .
Exemplos 1. 2: derive:
a) h(x) = 5
1
x2
.
b) f(x) = ex x.
c) F(x) =
2x+ 3
x2 + 1
.
d) h(x) = sen(x2 + 1).
Solução: a) Pelas regras da constante e da potência:
h ′ (x) = 5(
1
t2
) ′ = −
10
t3
.
b) Pela regra do produto, temos:
f ′ (x) = (ex) ′ x + ex(x) ′ = ex x + ex.
c) Pela regra do quociente:
F ′ (x) =
(2x + 3) ′x2 + 1 − 2x + 3(x2 + 1) ′
(x2 + 1)2
=
−2x2 − 6x + 2
(x2 + 1)2
.
d) Pela regra da cadeia, considerando f(x) = sen x e g(x) = x2 + 1, temos que:
h ′ (x) = f ′ (g(x))g ′ (x) = 2x cos (x2 + 1).
Como f’ também é uma função chamada derivada primeira de f, podemos derivá-la. Se a
derivada de f’ existir, esta será chamada derivada segunda de f e será denotada por f’’.
Seguindo esse raciocínio, a derivada enésima da função f, onde n é um número inteiro
positivo maior do que 1, é a derivada primeira da derivada (n-1) ésima de f. Denotamos a
derivada enésima de f por fn. Por exemplo, temos que f ″ (x) = 96x2 + 30x − 2, se
f(x) = 8x4 + 5x3 − x2 + 7, pois f ′ (x) = 32x3 + 15x2 − 2x.
praticar
Vamos Praticar
Sabemos que o cálculo diferencial possui aplicabilidade em diversas áreas do conhecimento.
Logo, dominar seus conceitos e propriedades é relevante em nossa formação acadêmica. Com
base na teoria que acabamos de revisar neste tópico, assinale a alternativa correta.
a) Com a de�nição de derivada de uma função, concluímos que f ′ (x) = 3x − 1, se 
f(x) = x3 − x.
b) Se g(x) = 3x2 + 1 3, temos que g(x) = 3 3x2 + 1 2
c) A derivada de t(x) = 0, 5 é dada pela função t(x) = 0, 5.
d) Temos que g(4) = − 1, uma vez que g(x) = h(x) 1 /x, onde h(4) = 32 e h(4) = 4.
e) Se f(x) = 2x3 + ex e g(x) = x2 − 4x + 1, [
f ( x )
g ( x ) ]
′ = 
2x4 − 32x3 + 6x2 + ex x2 + 2x+ 5
2x3 + ex 2
.
( ) ( )
( )
( )
Os problemas de otimização consistem em determinar a melhor maneira de fazer algo, ou
seja, requerem minimizar ou maximizar uma situação. Como é de nosso conhecimento, as
derivadas nos ajudam localizar os valores de máximo e mínimo de funções. Logo, os
problemas de otimização são uma das aplicações mais importantes do cálculo diferencial.
Antes de resolver um problema de otimização, vamos enunciar os principais resultados e
de�nições já estudados por nós, que envolvem a derivada primeira e segunda e fornecem-
nos técnicas para determinar os valores extremos de uma função.
Teorema 1.1: se f tiver um máximo ou mínimo local em c e se f ′ (c) existir, então, f ′ (c) = 0.
Problemas deProblemas de
OtimizaçãoOtimização
O Teorema 1.1 apresenta que devemos procurar por valores máximos e mínimos de f nos
números c, em que f ′ (c) = 0 ou onde f ′ (c) não existe. Chamamos os valores c tais que
f ′ (c) = 0 ou f ′ (c) não existe de número crítico de f.
Quando uma função f é contínua, considerando um intervalo fechado [a, b], temos um
método para determinar seus valores extremos (valor de máximo e valor de mínimo) em
[a, b]. Primeiramente, encontramos os valores de f nos números críticos de f em (a, b).
Depois, encontramos os valores de f nas extremidades a e b. Então, o maior valor é o valor
de máximo e o menor valor é o valor de mínimo.
Exemplo 1.3: o valor máximo de f(x) = x3 + x2 − x + 1 em −2, 1/2 é f(−1) = 2.
Solução: observe que f é contínua no intervalo −2, 1/2 e f(x) = 3x2 + 2x − 1. Como f ′ (x)
existe para todos os números reais, os únicos números críticos de f serão os valores x para
os quais f(x) = 0. Mas
f(x) = 0 ⇔ 3x2 + 2x − 1 = 0,
em que concluímos que os números críticos de f são x =e x = − 1. Ainda
f(−2) = − 1, f(−1) = 2, f( ) = 
22
27
, f 1/2 = 
7
8
.
Portanto, o valor máximo f em −2, 1/2 é f(−1) = 2.
O próximo resultado diz se f tem ou não um máximo ou mínimo local em um número
crítico. Chamamos-o de Teste da Primeira Derivada.
Teorema 1.2: considere que c seja um número crítico de uma função contínua f. Dessa
forma, podemos a�rmar que:
a)  caso o sinal de f ′ mude de positivo para negativo em c, dizemos que f tem um máximo
local em c.
b)  caso o sinal de f ′ mude de negativo para positivo em c, dizemos que f tem um mínimo
local em c.
c)  se f ′ não mudar de sinal em c, então, f não tem máximo ou mínimo locais em c.
Exemplo 1.4: encontre os valores máximos e mínimos da função f(x) = x3 − 6x2 + 9x + 1.
Solução: note que f(x) = 3x2 − 12x + 9 e f(x) = 0 ⇔ x = 3, x = 1. Ademais, se x⟨1, f(x)⟩0; se
1 < x < 3, f ′ (x) < 0; e se x > 3, f(x) > 0. Então, pelo Teste da Primeira Derivada, f ′ = 5 é um
valor de máximo local de f, e f(3) = 1 é um valor de mínimo local de f.
[ ]
[ ]
( )
[ ]
( )
O próximo resultado é conhecido como Teste da Segunda Derivada.
Teorema 1.3: suponha que f ″ seja contínua nas proximidades dos valores de c:
a)  se f ′ (c) = 0 e f ″ (c) > 0, então, f tem um mínimo local em c.
b)  se f ′ (c) = 0 e f ″ (c) < 0, então, f tem um máximo local em c.
Exemplo 1.5: sendo f(x) = x4 +
4
3 x
3 − 4x2, utilize o Teste da Segunda Derivada para
encontrar os máximos e mínimos locais de f.
Solução: temos que f(x) = 4x3 + 4x2 − 8x e f(x) = 12x2 + 8x − 8. Então, os pontos críticos de f
(valores onde f(x) = 0) são −2, 0e1. Contudo, f(−2) > 0, f(0)⟨0, f(1)⟩0. Logo, f possui um valor
de mínimo local em f(−2) = −
32
2 , um valor de máximo local em f(0) = 0 e um mínimo local
em f(1) = −
5
3 .
Agora, veremos dos exemplos de problemas de otimização.
Exemplo 1.6: uma empresa possui seu lucro descrito pela função
L(x) = − 0, 02x2 + 300x − 200000, em que x representa o número de unidades produzidas.
Quantas unidades a empresa precisa produzir para que seu lucro seja máximo?
Solução: observe que, como a L(x) = − 0, 04x + 300, teremos a , ou seja, x = 7500 é o
número crítico de L. Contudo, L(x)⟨0, x⟩7500 e L(x) > 0, x < 7500. Portanto, pelo Teste da
Primeira Derivada, a empresa precisa produzir 7500 unidades para que seu lucro seja
máximo.
Exemplo 1.7: construa uma caixa fechada, de base quadrada e com 200 cm³ de volume. O
material utilizado para a tampa e para a base deve custar R$ 3,00 para cada centímetro
quadrado e o material utilizado para os lados custa R$ 1,50 para cada centímetro
quadrado. Com quais dimensões esta caixa possui custo total mínimo?
Solução: adotando como x o comprimento (em centímetros) de um lado da base quadrada
e C(x) o custo total do material, a área da base será x2 cm2. Adotando y como a
profundidade (em centímetros), o volume da caixa será x2y = 200 cm3, onde y = 
200
x2
.
Dessa forma, podemos escrever que a área da tampa e da base juntas é 2x2 e, para os
lados, é 4xy. Com isso, C(x) = 3 2x2 + 1, 5 (4xy) ou, equivalentemente,
C(x) = 6x2 + 
12000
x ,
( )
em que:
C(x) = 12x − 
12000
x2
 , C(x) = 12x + 
12000
x3
.
Assim, C’(x) não existe x = 0, mas como 0 não pertence ao domínio de C, os únicos
números críticos serão os valores de x, tais que C(x) = 0, ou seja, x = 10. Por outro lado,
C(10) > 0 então, pelo Teste da Derivada Segunda, x = 10 é um mínimo local de C. Com isso,
o custo total do material será mínimo, quando o lado da base quadrada for 10 cm, a
profundidade for 20 cm e a área da base for 100 cm².
praticar
Vamos Praticar
Na economia, se x unidades forem vendidas e o preço por unidade for p(x), então, a receita total
será R(x) = xp(x), sendo R chamada função receita. Representado por C(x), a função custo é o valor
gasto para a produção de x unidades. Se x unidades forem vendidas, então, o lucro total será 
L(x) = R(x) − C(x), então, L será chamada função lucro. Certa empresa possui as funções de custo e
receita dadas por R(x) = − 0, 5x2 + 2000x e C(x) = 800x + 500000, respectivamente. Analise as
alternativas abaixo e assinale a correta.
a) O lucro desta empresa será máximo para x = 1200.
b) O lucro desta empresa será máximo para x = 800.
c) O lucro desta empresa será máximo para x = 36√5.
d) O lucro desta empresa será máximo para x = 60.
e) O lucro desta empresa será máximo para x = 20√3.
Uma função F(x) é chamada antiderivada da função f(x) se F(x) = f(x), seja qualquer x
pertencente ao domínio de f. Como a derivada de uma constante é zero, a antiderivada de
uma função não é única. Por exemplo, F(x) = x2 e H(x) = x2 + 10 são antiderivadas da
função f(x) = 2x, uma vez que F(x) = H(x) = 2x = f(x).
Representamos o conjunto de todas as antiderivadas de f(x) utilizando o símbolo:
∫ f(x) dx = F(x) + C,
que é chamado integral inde�nida de f(x), em que F é uma antiderivada de f. Para qualquer
função derivável F, ∫F ′ (x) dx = F(x) + C . Da ligação entre o cálculo diferencial e o cálculo
integral por meio das antiderivadas, podemos listar propriedades para integração
inde�nida resultante de propriedades existentes para as derivadas.
REGRA DA CONSTANTE: considerando qualquer constante k, ∫ k dx = kx + C.
REGRA DA POTÊNCIA: considerando qualquer n ≠ − 1,∫ xn dx =
xn+ 1
n+ 1 + C.
REGRA DO LOGARÍTMO: considerando qualquer x ≠ 0,∫
1
x dx = ln |x| + C.
Uma Breve RevisãoUma Breve Revisão
Sobre as Integrais deSobre as Integrais de
Funções Reais de umaFunções Reais de uma
Variável RealVariável Real
REGRA DA EXPONENCIAL: considerando qualquer constante k ≠ 0 , ∫ ekx dx =
1
k e
kx + C.
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE: considerando qualquer constante f,
∫ k f(x) dx = k∫ f(x) dx.
REGRA DA SOMA/DIFERENÇA: ∫ f(x) ± g(x) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx.
Exemplo 1.8: calcule:
a) ∫
3
x dx.
b) ∫
x3 − 8x2 + 2x
x dx.
Solução: a) Pelas regras do logaritmo e da multiplicação por uma constante,
∫
3
x
 dx = 3∫
1
x
 dx = 3 ln |x| + C.
b) Usando a regra da soma, da diferença, da multiplicação por uma constante, da
constante e da potência, temos:
∫
x3 − 8x2 + 2x
x
 dx = ∫x2 dx − 8∫x dx + ∫2 dx =
x3
3
− 4x2 + 2x + C.
Muitas integrais exigem, além das regras enunciadas acima, métodos especiais para
resolvê-las. Um destes é o método da substituição. Tal método consiste em escolhermos
uma substituição u = u(x)), para simpli�car o integrando f(x) e expressar toda a integral em
termos de u e du = udx. Com isso, a integral deve estar ∫ f(x) dx = ∫ g(u) du na forma. Se
possível, calcule essa integral, determinando uma antiderivada G(u) de g(u). Para �nalizar,
substituímos u por u(x), obtendo uma antiderivada G(u(x)) para f(x), de modo que
∫ f(x) dx = G(u(x)) + C.
Por exemplo, podemos calcular a integral inde�nida ∫ (5x + 3)6 dx pelo método da
substituição. Denotando u = 5x + 3, temos du = 5dx ou dx = 1/5. Assim:
∫ (5x + 3)6 dx = ∫u6 
1
5
 du =
1
5 ∫u
6 du =
1
35
(5x + 3)7 + C.
Agora, considere f(x) uma função contínua no intervalo a ≤ x ≤ b. Julgue que este intervalo
tenha sido dividido em n partes iguais de largura Δx =
b− a
n e seja x
∗
i um número qualquer
pertencente ao intervalo de ordem i, para qualquer i=1, 2, …, n. A soma:
( )
[f(x ∗ 1)Δx + f x
∗
2 Δx + . . . . + f(x
∗
nΔx)]
é conhecida como soma de Riemann.
Dessa forma, a integral de�nida de f(x) no intervalo a ≤ x ≤ b, representada pelo símbolo
b
∫
a
f(x) dx
é dada pelo limite da soma de Riemann, sempre que n → ∞, caso o limite exista.
A integral de�nida ∫ baf(x) dx é um número. Se a > b, temos que ∫
b
af(x) dx = − ∫
a
bf(x) dx; se
a = b, temos que ∫ baf(x) dx = 0. Como, para as integrais inde�nidas, existem regras de
integração que nos auxiliam a determinar as integrais de�nidas, suponha que f e g são
funções contínuas, sendo válida a:
REGRA DA CONSTANTE: para qualquer constante k, ∫ bak dx = k(b − a).
REGRA DA SOMA/DIFERENÇA: ∫ baf(x) ± g(x) dx = ∫
b
af(x) dx + ∫
b
ag(x) dx.
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE: para qualquer constante k,
b
∫
ak f(x) dx = k 
b
∫
a
f(x) dx.
REGRA DO INTERVALO: para qualquer c ∈ [a, b], ∫ baf(x) dx = ∫
c
af(x) dx + ∫
b
c f(x) dx.
Exemplo 1.9: sendo ∫ 100 f(x) dx = 17 e ∫
8
0f(x) dx = 12, temos que ∫
10
8 f(x) dx = 5.
Solução: primeiramente, devemos escrever:
10
∫
0
f(x) dx =
8
∫
0
f(x) dx +
10
∫
8
f(x) dx.
Então:
10
∫
8
f(x) dx = 17 − 12 = 5.
( )
Para �nalizar este tópico, vamos enunciar a primeira e a segunda parte do Teorema
Fundamental do Cálculo. Este é um dos mais importantes resultados do cálculo, pois
relaciona o conceito de integral de�nida ao conceito de antiderivação, ou seja, o Teorema
Fundamental do Cálculo relaciona o cálculo diferencial e o cálculo integral.
Teorema 1.4 (Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1): se f for contínua em [a,b], então,
a função g de�nida por g(x) = ∫ xaf(t) dt (a ≤ x ≤ b) é contínua em [a,b] e derivável em (a,b) e
g(x) = f(x).
Teorema 1.5 (Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2): se f for contínua em [a,b], então:
b
∫
a
f(x) dx = F(b) − F(a)
em que F é qualquer primitiva de f, isto é, uma função tal que F = f.
Exemplo 1.10: calcule:
a)  ∫ 31e
x dx.
b) ∫ 852x + 1 dx.
saibamais
Saiba mais
Sabemos, por meio de historiadores, que o Cálculo
Integral teve origem a vários séculos com problemas
de quadratura. Com o passar dos anos, muitos
matemáticos contribuíram para o crescimento e
aperfeiçoamento desta teoria. Com esses avanços,
hoje, existem aplicabilidades do Cálculo Integral em
diversas áreas, como física, engenharias, biologia,
dentre outras. Uma das aplicações do cálculo integral
mais conhecida é o cálculo de áreas. Clique para
conhecer um pouco da história do cálculo diferencial.
ACESSAR
http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_integrais.htm
Solução: a) Note que F(x) = ex é uma antiderivada de f(x) = ex, então, pela Parte 2 do
Teorema Fundamental do Cálculo,
∫ 31e
x dx = F(3) − F(1) = e3 − e.
b) Com o raciocínio do item anterior e com o auxílio das regras de integração, temos:
∫ 852x + 1 dx = 82 − 52 + (8 − 5) = 42.
praticar
Vamos Praticar
Podemos utilizar as integrais para solucionar muitas situações problemas do nosso cotidiano e do
nosso meio pro�ssional. Com base na teoria sobre integrais inde�nidas e de�nidas revisadas
neste tópico, assinale a alternativa correta.
a) ∫ x2 − 2x dx = x3 − 2x2 + C.
b) ∫ − cos x dx = sen x + C.
c) ∫ t3 cos t4 + 2 dt =
1
4 cos t
4 + 2 + C.
d) ∫ 10 x
3 + 1 dx =
5
4 .
e) ∫ 1− 1x
2 dx = 1
( )
( ) ( )
( )
Uma função f(x) é denominada função racional, se f(x) =
R ( x )
Q ( x ) , em que R(x) e Q(x) são
polinômios. Se o grau de R é menor que o grau de R, f é chamada de função racional
própria; f(x) é denominada função racional imprópria, se o grau de R é maior ou igual que
o grau de Q.
Se uma função f(x) =
P ( x )
Q ( x ) é racional imprópria, podemos dividir os polinômios P por Q até
o resto R(x) ser obtido, em que o grau de R é menor que o grau de Q. Com isso, podemos
Integração de FunçõesIntegração de Funções
Racionais por FraçõesRacionais por Frações
ParciaisParciais
Figura 1.2 Fórmulas
Fonte: Pakpong Pongatichat / 123RF.
reescrever f(x) como a soma de um polinômio S(x) e uma função racional própria 
R ( x )
Q ( x ) , ou
seja, f(x) = S(x) +
R ( x )
Q ( x ) .
Quando não conseguimos resolver a integral de uma função racional própria, podemos
decompô-la em frações parciais, usando a seguinte estratégia: primeiramente, fatoramos o
denominador Q como produto de fatores lineares e quadráticos, em que os fatores
quadráticos não possuem raízes reais, isto é, são irredutíveis.
Na resolução dos exemplos a seguir, veremos três casos desta técnica.
Exemplo 1.12: determine:
a) ∫
x2 + 2x− 1
2x3 + 3x2 − 2x
 dx.
b) ∫
x3 − 1
x2 ( x− 2 ) 3
 dx.
c) ∫
x2 + 1
x3 + 3x
 dx.
Solução: a) Note que o grau do denominador é maior do que o grau do numerador, logo, a
função f(x) =
x2 + 2x− 1
2x3 + 3x2 − 2x
 é racional própria, e não precisamos dividir o numerador pelo
denominador. Observe que
2x3 + 3x2 − 2x = x(2x − 1)(x + 2)
ou seja, o polinômio Q(x) = a1x + b1 a2 + b2 . . . an + bn pode ser decomposto em
fatores lineares e nenhum fator é repetido. Neste caso, escrevemos:
R(x)
Q(x)
= 
A1
a1 x + b1
+
A2
a2 + b2
+ . . .
An
an + bn
Então,
x2 + 2x − 1
2x3 + 3x2 − 2x
=
x2 + 2x − 1
x(2x − 1)(x + 2)
=
A1
x
+
A2
2x − 1
+
A3
x + 2
.
Com isso, temos que:
x2 + 2x − 1 = 2A1 + A2 + 2A3 x
2 + 3A1 + 2A2 − A3 x − 2A1
em que a igualdade de polinômios é:
( )( ) ( )
( ) ( )
A1 = 1/2 , A2 = 1/5 e A3 = − 1/10.
Portanto,
∫
x2 + 2x − 1
2x3 + 3x2 − 2x
 dx =
1
2 ∫
1
x
 dx +
1
5 ∫ 
1
2x − 1
dx − 
1
10 ∫ 
1
x + 2
dx.
=
1
2 ln |x| +
1
10 ln |2x − 1| −
1
10 ln |x + 2| + C.
b)Temos que:
x2 = x . x . (x − 2). (x − 2). (x − 2)
ou seja, o polinômio Q(x) decompõe-se em fatores lineares com termos repetidos. Se o
fator aix + bi repete p vezes, teremos, correspondente a esse fator, uma soma de p frações
parciais da forma:
 
A1
ai x + bi
+
A2
ai x + bi
2
+ . . .
Ap
(ai x + bi)
p .
Então,
x3 − 1
x2(x − 2)3
=
A1
x +
A2
x2
+
B1
(x − 2) +
B2
(x − 2)2
+
B3
(x − 2)3
em que:
x3 − 1 = A1 x(x − 2)3 + A2(x − 2)3 + B1 x2(x − 2)2 + B2 x2(x − 2) + B3x2
Se x = 0, A2 = 1/8; se x = 2, B3 = 7/4. Para determinar A1, B1 e B2, substituímos os valores
já encontramos na equação acima e resolvemos o sistema de polinômios obtendo
A1 = 3/16, B1 = − 3/16 e B2 = 5/4.
Com isso,
∫
x3 − 1
x2 ( x− 2 ) 3
=
3
16 ∫
1
xdx +
1
8 ∫
1
x2
dx −
3
16 ∫
1
( x− 2 ) dx +
5
4 ∫
1
( x− 2 ) 2
dx +
7
4 ∫
1
( x− 2 ) 3
dx =
3
16 ln |x| −
1
8x −
3
16 ln |x − 2| −
c) Neste caso,
x3 + 3x = x x2 + 3
( )
( ) ( ) ( )
( )
em que o fator x2 + 3 é irredutível, pois não possui raízes reais, isto é, o polinômio Q(x) é
decomposto por fatores lineares e quadráticos, porém nenhum fator quadrático é
repetido. Todo fator quadrático irredutível ax2 + bx + c terá uma fração parcial da forma:
Ax + B
ax2 + bx + c
.
Então,
x2 + 1
x3 + 3x
==
A
x
+
Bx + C
x2 + 3
.
Procedendo como nos itens anteriores, obtemos que A =
1
3 , B =
2
3 e C = 0. Então,
∫
x2 + 1
x3 + 3x
 dx =
1
3 ∫ 
1
x dx +
2
3 ∫
x
x2 + 3
dx =
1
3 ln |x| +
1
3 ln x
2 + 3 + C.
Também podemos decompor Q(x) por fatores lineares e quadráticos irredutíveis, mas com
alguns fatores quadráticos repetidos. Nesse caso, se ax2 + bx + c for um fator quadrático
irredutível que se repete p vezes, o fator (ax2 + bx + c)p possui p frações parciais da forma
A1x + B1
ax2 + bx + c
+
A2x + B2
ax2 + bx + c 2
+ . . . +
Apx + Bp
(ax2 + bx + c)p
.
Por exemplo, para x2 + 3x + 5 3, temos:
A1x + B1
x2 + 3x + 5
+
A2x + B2
x2 + 3x + 5 2
+
A3x + B3
x2 + 3x + 5 3
.
Note que, na letra a) do exemplo 1.12, foi possível fatorar o denominador como
multiplicação de fatores lineares distintos. No item b), decompomos o denominador como
multiplicação de fatores lineares repetidos. Já no item c) do exemplo 1.12, a fatoração do
denominador continha fatores quadráticos irredutíveis, sem repetição. Acabamos de
observar, acima, outra forma de fatorar um polinômio, como multiplicação de fatores
lineares e quadráticos irredutíveis, com alguns termos quadráticos repetidos. Um
resultado da Álgebra garante que é sempre possível fatorar um polinômio de uma dessas
quatro maneiras. A forma de decompor a fatoração de cada caso em frações parciais,
exposta nos exemplos acima, vem do teorema de frações parciais.
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
praticar
Vamos Praticar
Sabemos que algumas integrais de funções racionais próprias precisam ser decompostas em
frações parciais para serem resolvidas. Observe a integral a seguir:
∫
x4 − 2x2 + 4x + 1
x3 − x2 − x + 1
 dx
Agora, assinale a alternativa correta.
a) A função f(x) =
x4 − 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1
 é uma função racional própria.
b) A função f(x) =
x4 − 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1
 é uma função racional imprópria e 
 
x4 − 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1
=
1
x− 1 +
2
( x− 1 ) 2
−
1
x+ 1 . 
c) Temos que ∫
x4 − 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2− x+ 1
 dx =
x2
2 + x + ln |x − 1| −
2
x− 1 − ln |x + 1| + C.
d) Temos que ∫
x4 − 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1
 dx =
x2
2 + ln |x − 1| −
2
x− 1 + C.
e) Temos que ∫
x4 − 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1
 dx =
x2
2 + x −
2
x− 1 + C.
indicações
Material
Complementar
FILME
Uma mente brilhante
Ano: 2001
Comentário: o �lme conta a história de um matemático que,
mesmo doente, com esquizofrenia, venceu o Nobel de Economia,
por sua Teoria dos Jogos.
TRA ILER
LIVRO
Cálculo
James Stewart
Editora: Cengage Learning
ISBN: 8522112584
Comentário: este livro aborda toda a teoria do cálculo
diferencial e integral que relembramos nesta unidade. Você
poderá conferir muitos exemplos resolvidos, o que contribuirá
com seus estudos.
conclusão
Conclusão
Nesta unidade, pudemos revisar as de�nições e propriedades do cálculo diferencial e do
cálculo integral, que já havíamos aprendido em outro momento do curso. Também
aprendemos um novo método de integração, a integração por frações parciais. Por meio
do Teorema Fundamental do Cálculo, relembramos que o cálculo diferencial e integral
estão interligados, pois um desfaz o que o outro faz. Como perceberam, não foi possível
explorar toda a teoria presente na disciplina do cálculo diferencial e integral, pois esta é
vasta.
Esperamos que tenham recordado o conteúdo e praticado os tópicos por meio dos
exemplos e exercícios, tornando essa revisão produtiva ao seu conhecimento e formação.
Sugerimos que pesquise sobre outras aplicações do cálculo diferencial e integral, que não
comentamos na unidade, pois isso motivará os seus estudos. Agradecemos toda a
dedicação e até uma próxima oportunidade!
referências
Referências
Bibliográ�cas
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2001.
LEITHOULD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra Ltda., 1994.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2006.