DISTRIBUIÇAO_BINOMIAL_01

Prévia do material em texto

�
Disciplina: Probabilidade e Estatística
Profº. Ms. Luiz Henrique Dias Corrêa
PROBABILIDADE
	O cálculo das probabilidades pertence ao campo da Matemática. Sua inclusão neste estudo, cujo objetivo é essencialmente a Estatística, encontra explicação no fato de que a maioria, dos fenômenos de que trata a Estatística, são de natureza aleatória ou probabilística. Conseqüentemente, o conhecimento dos aspectos mais fundamentais, do cálculo de probabilidades, é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística.
	A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.
EXPERIMENTO ALEATÓRIO
	É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.
	Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso. Assim, a afirmação “é provável que meu time ganhe a partida de hoje”, pode resultar:
que apesar do favoritismo, perca;
que, como pensamos, ganhe;
que empate.
Como vimos, o resultado final depende do acaso. Fenômenos como esse denominamos Fenômenos aleatórios ou Experimentos aleatórios.
DEFINIÇÃO DE EXPERIMENTO ALEATÓRIO
	Experimentos ou Fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidas várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis, isto é, não podem ser previstos ou vistos com antecedência.
Exemplo:
O lançamento de uma moeda;
a aposta em um jogo qualquer da loteria esportiva;
disputa de par ou ímpar.
ESPAÇO AMOSTRAL
	Dado o conjunto S, espaço amostral são todos os resultados possíveis de um dado experimento aleatório. Qualquer elemento do espaço amostral é chamado ponto amostral ou amostra.
Exemplo 1: No lançamento de um dado o espaço amostral é o conjunto:
	S = {1,2,3,4,5,6} o número de elementos de S é n(S) = 6.
Exemplo 2: Quando jogamos uma moeda o espaço amostral é o conjunto:
	S = {cara, coroa} o número de elementos de S é n(S) = 2.
Exemplo 3: Ao disputarmos um par ou ímpar o espaço amostral, da soma dos resultados, é o conjunto:
	S = {par, ímpar} o número de elementos S é igual a n(S) = 2.
EXERCÍCIOS
1. A aposta simples num jogo de joquempô ou jaquempô (pedra, papel e tesoura).
S = {	(PP)(P,I)(I,P)(I,I)			}	n(S) = 4
2. O sexo de um bebê no primeiro mês de gestação da mãe:
S = {	(P,I)(I,P)( PP)			}	n(S) = 3
3. O resultado de uma eleição com 3 candidatos A, B, C a um só cargo:
	S = {		(I,I)		}	n(S) =1
4. Dois lançamentos sucessivos de uma moeda:
	S = {		(PP)(P,I)(I,P)(I,I)		}	n(S) =4
EVENTOS
	Um evento é um conjunto de resultados de um experimento aleatório. Um evento é um subconjunto de um espaço amostral S.
Exemplo 1: Seja o lançamento de um dado e a verificação do número da face voltada para cima.
	S = {		0		}	n(S) = 
Sejam os eventos:
 a) O número da face voltada para cima é par;
A = {				}	n(A) = 
O número da face voltada para cima é menor que 4.
A = {				}	n(B) =
 
O número da face voltada para cima é um número par OU é um número menor que 4;
A U B = {			}	n(AUB) = 
 
O número da face voltada para cima é um número par E é um número menor que 4;
	A∩B = {			}	n(A∩B) =
O evento obtido no exemplo (c) é dito evento soma ou evento união de A com B.
O evento obtido no exemplo (d) é dito evento intercessão ou A com B.
Quando tiver “OU” soma-se as probabilidades. (união)
Quando tiver “E” multiplica-se as probabilidades. (intersecção)
Exemplo 2: Considere duas apostas sucessivas de par ou ímpar. Indicando o resultado par por (p) e o resultado ímpar por (i), forme o espaço amostral S e complete os seguintes eventos:
	S = {				}	n(S) =
qual é o evento A da ocorrência de pelo menos um resultado par?
A = {				}	n(A) = 
qual é o evento B da ocorrência de um resultado par e um resultado ímpar?
B = {				}	n(B) = 
qual é o evento C da ocorrência de nenhum resultado par?	
C = {				}	n(C)=
qual é o evento D da ocorrência de pelo menos um resultado par ou um ímpar?
D = {				}	n(D) = 
qual é o evento E da ocorrência de nenhum resultado par nem ímpar?
E = {				}	n(E) = 
O evento C, por ter apenas um ponto amostral, é dito evento elementar.
O evento D, por ser igual ao espaço amostral S, é dito evento certo.
O evento E, por ser igual ao conjunto vazio, é dito evento impossível.
CÁLCULO DE PROBABILIDADES
		Seja um experimento aleatório, jogar uma moeda e verificar a face voltada para cima. Indicando a cara por (c) e a coroa por (r), forme o conjunto do espaço amostral S.
	S = {	C,R	} n(S) = 2
Considerando que a moeda é normal, tanto pode dar cara como pode dar coroa.
	O evento obtido com cara é A = {c}				n(A) = 1
	O evento obtido com coroa é B = {r}				n(B) = 1 
Dizemos que a probabilidade de dar cara é de ½ e que a probabilidade de dar coroa é de ½.
p(A) = ½ (probabilidade de ocorrer evento A é de 50%).
p(B) = ½ (probabilidade de ocorrer evento B é de 50%).
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
	Seja um experimento aleatório de espaço amostral S e o número de elementos do espaço amostral n(S). Seja o evento A e o número de elementos desse evento n(A).
	Definimos probabilidade de ocorrer o evento A, como sendo a função que associa ao evento A, o número real p(A), tal que:
 n(A)
p(A) = --------- 	0 ≤ p(A) ≤ 1 
 n(S)
	Estamos considerando que todos os elementos de S têm a mesma possibilidade de ocorrência, isto é, que o espaço amostral S é um espaço equiprovável ou uniforme.
EXERCÍCIOS
Seja um experimento aleatório deixar cair um dado e verificar o número da face voltada para cima.
S = {		1,2,3,4,5,6		}	n(S) =6 
Qual é a probabilidade de ocorrer um número menor ou igual a 4?
A ={	1,2,3,4			}	n(A) =4
P= n(S) = 4/6= 2/3
 n(A)
Qual é a probabilidade de ocorrer um múltiplo de 3?
	B = {		3,6		}	n(B) = 2 = 2/6= 1/3
Qual é a probabilidade de ocorrer um número maior que 6?
C = {		0		}	n(C) =0
Qual é a probabilidade de ocorrer um número menor ou igual a 6?
D = {		1,2,3,4,5,6		}	n(D) = 6= 6/6= 1
Qual é a probabilidade de ocorrer um número maior ou igual a 2?
E = {				}	n(E) =
Um casal planeja ter três filhos. Supondo que em nenhum parto nascerá mais que um filho, determine o espaço amostral equiprovável S, indicando menino por (h) e menina por (m).
Árvore das possibilidades
1° H,M
2° (H,H)(H,M)(M,H)(M,M)
3° (HHH)(HHM)(HMH)(HMM)(MHH)(MHM)(MMH)(MMM)
N(S)=8
Qual a probabilidade dos três filhos serem meninas?
P=1/8
Qual a probabilidade de pelo menos dois filhos serem homens?
P=4/8=1/2
Qual a probabilidade do caçula ser menina?
 P=4/8=1/2
Qual a probabilidade de dois filhos serem meninos?
P=4/8=1/2
Qual a probabilidade dos dois primeiros filhos serem do mesmo sexo?
P=4/8=1/2
Suponha que numa caixa existem 7 bolas, sendo 2 bolas pretas, 3 bolas brancas e 2 bolas vermelhas. Determine, na retirada de uma bola da caixa:
a probabilidade de ser vermelha; P=2/7=
a probabilidade de não ser de cor preta; P=5/7=
a probabilidade de ser de cor branca. P=3/7
OB.: SEM REPOSIÇÃO DA PRIMEIRA BOLA:
2/7
4/6
3/6
No lançamento sucessivo de dois dados, cujos elementos do espaço amostral são equiprováveis, determine: N=36
	1,1 
	1,2 
	1,3 
	1,4 
	1,5 
	1,6 
	 2,1
	 2,2
	 2,3
	 2,4
	 2,5
	 2,6
	 3,1
	 3,2
	3,3 
	3,4 
	 3,5
	3,6 
	4,14,2 
	4,3 
	4,4 
	 4,5
	4,6 
	5,1 
	5,2 
	5,3 
	5,4 
	 5,5
	5,6 
	6,1 
	6,2 
	6,3 
	 6,4
	 6,5
	6,6 
a probabilidade dos pares de números serem iguais;
P=6/36=1/6
a probabilidade da soma dos números ser 3;
2/36=1/18
a probabilidade da soma dos números ser 5 ou 7:
P(5)=4/36; P(7)=6/36=1/6; P(TOATL)=10/36=5/18
D)a probabilidade do número 1º dado ser menor que o do 2º dado.
15/36
Qual a probabilidade de sair um rei, quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?	
P=4/52
Qual a probabilidade de sair o às de ouro, quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?
P=1/52
Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcular:
a probabilidade de esta peça ser defeituosa; P=4/12= 1/3;
a probabilidade desta peça não ser defeituosa. P=8/12= 2/3;
Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas; 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade das três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?
Pbranca= 3/9= 1/3;	Pverde= 4/9;	P=1/3*1/4*4/9=1/27
De um baralho de 52 cartas, retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual é a probabilidade da primeira carta ser o às de pau e da segunda carta ser o rei de pau?
P=1/52 E(MULTIPLICA) 1/51= 1/2652 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
	O conjunto dos valores de uma variável, associado às respectivas probabilidades, constitui uma distribuição de probabilidades, onde
n
∑ P(xi) = 1
i = 1
Exemplo 1: Consideremos a distribuição do número de caras obtido ao se lançar uma moeda 3 vezes.
As possibilidades são 0,1,2,3 (caras) e: 
As probabilidades respectivas são:
P(0) = 			P(1) = 	P(2) =			P(3) = 
Denominado xi os valores da variável e P(xi) as probabilidades respectivas, temos a seguinte distribuição de probabilidades, com a distribuição gráfica abaixo:
	Xi
	P(xi)
	0
	1/8
	1
	3/8
	2
	3/8
	3
	1/8
	 ∑ = 1
2.Tomemos a distribuição do número de crianças do sexo masculino em famílias de 4 filhos.
As possibilidades são: 0,1,2,3,4 (homens) e: 
 n!
Cn,x = ------------
 x! (n-x)!
N=5	N=6	N=7
X=3	X=2	X=5
C5,3= 5!/(3!(5-3)! = 5!/3!2! = 5*4*3*1/ 3!*2!=10
C6,2= 6!/(2!(6-2)! = 6!/2!4! = 6*5*3*2*1/ 2!*4!= 15
C7,5= 7!/(5!(7-5)! = 7!/5!2! = 7*6*4*3*5*1/ 5!*2!= 30
As probabilidades correspondentes são:
P(0) = 
P(1) = 
P(2) = 
P(3) = 
P(4) =
FREQÜÊNCIA RELATIVA
	Quando o conjunto universo das possibilidades de uma prova é indeterminado, não se pode fixar a probabilidade que se associa a cada valor da variável. Nesse caso, usamos a freqüência relativa (fr) como estimativa da probabilidade.
	Seja, por exemplo, uma prova que consiste em verificar o número de peças produzidas com defeito, semanalmente, por uma máquina durante 30 semanas.
 xi 0 1 2 3 4 5 6
---------- --------------------------------------------------------------
 fi 2 5 8 6 4 2 3
xi = número semanal de peças defeituosas.
fi = número de semanas.
	A freqüência relativa (fr), que constitui a estimativa da probabilidade de cada valor xi, é dada por:
 fi
fri = ----- , onde N = ∑ fi		 
 N	
			
	Xi
	fi
	fri
	0
	2
	
	1
	5
	
	2
	8
	
	3
	6
	
	4
	4
	
	5
	2
	
	6
	3
	
	
	30
	
			 
	
						
P(0) =
P(1) =
P(2) =
P(3) = 
P(4) = 
P(5) = 
P(6) = 
PARÂMETROS DA VARIÁVEL DISCRETA
MÉDIA OU ESPERANÇA MATEMÁTICA
	A média ou esperança matemática é dada pela fórmula:
		
		 n
µ = E (x) = ∑ xi. P(xi)
 i = 1
VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
	A variância e o desvio-padrão são dados pelas fórmulas:
σ² = ∑ (xi - µ)² . P(xi) 
Exemplos:
Qual a esperança matemática (média) e o desvio-padrão de um jogo que paga R$ 4,00 quando se obtém ponto ímpar ao lançar um dado e R$ 8,00, quando obtém ponto par?
R$ 4,00------IMPAR= P=0,5 M=E.X1.P1=P1.X2.P2=4.0,5+8.0,5= 6,00
			O²=E(X+u)².Px= (X1-u)²P1+(X2-u)².P2=
R$ 8,00------PAR
			(4-6)².0,5+(8-6)².0,50= RAIZ DE 4= 2
Qual é a esperança matemática (média) o desvio-padrão de um jogo no qual se pode ganhar R$ 25,00 com probabilidade 0,2; R$ 10,00 com probabilidade 0,3; R$ 4,00 com probabilidade 0,5?
25----P=0,2	u=E(x)=E.X1.P1=2.0,2+10.0,3+4,0.0,5= 10
10----P=0,3	O²=E(X+u)².Px= (25-10)².0,2+(10-10)².0,3+(4-10)².45
4-----P=0,5	O²= 45+0+18 = 7,94
Qual é o preço justo a pagar (média) e o desvio padrão, para se entrar num jogo, no qual se pode ganhar R$ 25,00 com probabilidade 0,2 e R$ 10,00 com probabilidade 0,4?
ESTIMATIVA DOS PARÂMETROS
	Quando a probabilidade dos eventos não pode ser determinada, os parâmetros µ e σ não podem ser calculados. Se um lugar de P(xi) empregamos a freqüência relativa (fri = fi/n), podemos determinar x (estimativa da média) e s (estimativa do desvio-padrão). Dessa forma, x e s são parâmetros amostrais e constituem estimativas de µ e σ respectivamente.
Como µ = x σ = s e substituindo P(xi) por fi/n, teremos:
 
OBSERVAÇÕES
	Para valores pequenos de n (n ≤ 30) devemos tomar o denominador de s² e de s como (n – 1) em lugar de n. Se tomarmos uma amostra de um elemento, por exemplo, não há possibilidade de se estimar a variância da população, pois não existe variabilidade para amostra com um elemento.
Exemplo: a tabela abaixo representa a distribuição das notas, atribuídas uma turma de 40 alunos de uma escola, em uma verificação de matemática. Calcular a média e o desvio-padrão.
	X
	fi
	 Xi
	Xi fi
	Xi - Xm
	(Xi–Xm)²
	(Xi–Xm)² fi
	0│---2
	4
	
	
	
	
	
	2│---4
	7
	
	
	
	
	
	4│---6
	16
	
	
	
	
	
	6│---8
	11
	
	
	
	
	
	8│---10
	2
	
	
	
	
	
	∑
	40
	
	
	
	
	
pg � PAGE �13�