1 - Sistemas de primeira e segunda ordem

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Sistemas de primeira ordem 
Sistemas de segunda ordem
Projeto de sistemas de controle
Prof. Antônio Maia
Universidade Federal de Minas Gerais
Departamento de Engenharia Mecânica
Pólos e zeros
Zeros: Raízes do polinômio do numerador da função de transferência.
Pólos: Raízes do polinômio do denominador da função de transferência.
Zero: s=-2
Pólo: s=-5
Pólos e zeros
› Um pólo da função de entrada gera 
a forma da resposta forçada;
› Um pólo da função de transferência 
gera a forma da resposta natural;
Pólos e zeros
› Um pólo sobre o eixo real gera uma resposta exponencial da forma e-αt. No semiplano 
esquerdo, quanto mais à esquerda estiver o pólo, mais rápido a exponencial vai para 
zero.
› Tanto o zero quanto o pólo influenciam na amplitude da resposta natural e da 
resposta forçada.
Pólos e zeros
A saída do sistema pode ser estudada a partir da análise dos zeros e dos pólos e de 
como eles se relacionam com a resposta temporal.
Resposta ao impulso para sistemas com pólos em diferentes localizações. 
O conjugado complexo não está sendo representado.
Sistemas de primeira ordem
A resposta ao degrau unitário pode ser calculada fazendo R(s)=1/s:
Expandindo em frações parciais:
A resposta ao degrau unitário para sistemas de primeira ordem
Sistemas de primeira ordem
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Para t=T o valor de c(T) é 0,632. A variável T é a constante de tempo do sistema e 
representa o instante de tempo em que a saída alcançou 63,2% do valor final.
Sistemas de primeira ordem
A determinação do valor em regime estacionário ou valor final da resposta de 
c(t) pode ser determinado utilizando o Teorema do Valor Final (TVF).
c ∞ = lim
𝑡→∞
𝑐(𝑡) = lim
𝑠→0
𝑠 𝐶(𝑠)
Lembrando que este teorema somente pode ser aplicado a sistemas com pólos
apenas no semi-plano esquerdo e até um pólo na origem. O TVF NÃO pode ser 
aplicado a sistemas com múltiplos pólos na origem, pólos no eixo imaginário ou 
pólos no semi-plano direito.
Sistemas de primeira ordem
Forma geral de um sistema de primeira ordem
C 𝑠
𝑅(𝑠)
=
𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
=
𝐾
𝑇𝑠 + 1
Ganho estático
Constante de tempo
Termo independente unitário
𝐾 =
∆𝑐 𝑡
∆𝑟(𝑡)
=
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
Sistemas de primeira ordem
Na figura abaixo é apresentada a resposta de um sistema de primeira ordem a 
um degrau de entrada. Determine o ganho e a constante de tempo desse 
sistema.
C 𝑠
𝑅(𝑠)
=
𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
=
𝐾
𝑇𝑠 + 1
𝐾 =
∆𝑐 𝑡
∆𝑟(𝑡)
=
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
Sistemas de primeira ordem
Na figura abaixo é apresentada a resposta de um sistema de primeira ordem a 
um degrau de entrada. Determine o ganho e a constante de tempo desse 
sistema.
𝐾 =
∆𝑐 𝑡
∆𝑟(𝑡)
=
2 − 0
1 − 0
= 2
𝑐(𝑇) = 0,632 ∗ ∆𝑐(t)
𝑐 𝑇 = 0,632 ∗ 2 = 1,264
C 𝑠
𝑅(𝑠)
=
2
1,5𝑠 + 1
1,264
T=1,5s
Sistemas de primeira ordem com atraso
Na figura abaixo é apresentada a resposta de um sistema a um degrau unitário 
de entrada. Determine uma função de transferência para representar este 
sistema.
Sistemas de primeira ordem com atraso
Na figura abaixo é apresentada a resposta de um sistema a um degrau unitário 
de entrada. Determine uma função de transferência para representar este 
sistema.
1,264
t=3,7s
𝑐(𝑇) = 0,632 ∗ ∆𝑐(t)
𝑐 𝑇 = 0,632 ∗ 2 = 1,264
T= 3,7 − 0,75 = 2,95
t=0,75s
𝐾 =
∆𝑐 𝑡
∆𝑟(𝑡)
𝐾 =
2 − 0
1 − 0
= 2
C 𝑠
𝑅(𝑠)
=
2
2,95𝑠 + 1
Sistemas de primeira ordem com atraso
Na figura abaixo é apresentada a resposta de um sistema a um degrau unitário 
de entrada. Determine uma função de transferência para representar este 
sistema.
1,264
t2=3,7st1=0,75s
C 𝑠
𝑅(𝑠)
=
𝐾
𝑇𝑠 + 1
∗ 𝑒−θ𝑠 =
2
2,95𝑠 + 1
∗ 𝑒−0,75𝑠𝐴𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜 = t1=0,75
θ=t1=0,75s
Sistemas de segunda ordem
Forma geral de um sistema de segunda ordem
C 𝑠
𝑅(𝑠)
=
𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
=
𝐾 𝑤𝑛2
𝑠2+ 2 ξ 𝑤𝑛 𝑠 + 𝑤𝑛2
Ganho estático
Coeficiente de amortecimento
Frequência natural não amortecida
A partir da análise do coeficiente de amortecimento (ξ) é possível determinar a 
natureza da resposta transiente.
Sistemas de segunda ordem
Para ξ=0, a saída do sistema oscila com amplitude constante. O sistema é dito 
sem amortecimento. Exemplo:
O sistema possui dois pólos imaginários com parte real nula. A frequência de 
oscilação é igual a parte imaginária do pólo.
Sem amortecimento
Sistemas de segunda ordem
Para 0<ξ<1, a saída do sistema oscila com amplitude decrescente. O sistema é 
dito subamortecido. Exemplo:
O sistema possui dois pólos complexos conjugados em -σd±j wd. A resposta
natural apresenta uma senóide amortecida com uma envoltória exponencial cuja
constante de tempo equivale ao inverso da parte real do pólo. A frequência de
oscilação amortecida é igual à parte imaginária do pólo.
Sub-amortecimento
Sistemas de segunda ordem
Para ξ=1, a saída do sistema não oscila e não apresenta sobressinal. O sistema 
é dito criticamente amortecido. Exemplo:
O sistema possui dois pólos reais e iguais em -σ. 
Criticamente amortecimento
Sistemas de segunda ordem
Para ξ>1, a saída do sistema não oscila e não apresenta sobressinal. O sistema 
é dito super amortecido. Exemplo:
O sistema possui dois pólos reais e diferentes em –σ1 e –σ2. 
Super amortecimento
Sistemas de segunda ordem
Comparativo entre as respostas ao degrau para os sistemas de segunda ordem 
estudados.
Sem 
amortecimento
Sub 
amortecido
Criticamente 
amortecido
Super 
amortecido
Sistemas de segunda ordem
Exercícios: Para os sistemas abaixo, determine os valores de ξ e wn. Em seguida, 
apresente a distribuição dos pólos no plano complexo e um esboço da forma da 
resposta ao degrau. Classifique cada resposta obtida.
Sistemas de segunda ordem subamortecidos
Resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem subamortecido
Sistemas de segunda ordem subamortecidos
Definição das especificações da resposta transitória
𝑇𝑟 =
𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝜉)
𝜔𝑛 1 − 𝜉
2
Tempo de subida (Tr): Tempo de pico (Tp):
Máximo sobressinal percentual (%OS ou MP):
Tempo de estabelecimento (Ts):
O arco-cosseno deve ser 
calculado em radianos
Sistemas de segunda ordem subamortecidos
Exercícios: Determine o valor de ξ, wn, Tp, Ts, Tr e MP para o sistema abaixo.
Sistemas de segunda ordem subamortecidos
Disposição dos pólos no plano complexo para sistemas de segunda ordem 
subamortecidos
ξ=cos(θ)
Sistemas de segunda ordem subamortecidos
Resposta ao degrau de sistemas de segunda subamortecidos quando os pólos se 
movem com a parte real constante. 
Sistemas de segunda ordem subamortecidos
Resposta ao degrau de sistemas de segunda subamortecidos quando os pólos se 
movem com a parte imaginária constante. 
Sistemas de segunda ordem subamortecidos
Resposta ao degrau de sistemas de segunda subamortecidos quando os pólos se 
movem com fração de amortecimento constante. 
ζ=cos(θ)
Sistemas de segunda ordem subamortecidos
Exercício: Determine o valor de ξ, wn, Tp, Ts, Tr e MP para o sistema abaixo.