Relatório II - Pêndulo Simples CONCLUIDO

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PÊNDULO SIMPLES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Felipe Natan Moreno Oliveira (201711554) 
Moisés Reis Barros (201711563) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ilhéus-BA 
2019 
 
 
 
Felipe Natan Moreno Oliveira (201711554) 
Moisés Reis Barros (201711563) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PÊNDULO SIMPLES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relatório apresentado como parte 
dos critérios de avaliação da disciplina 
CET833 Física experimental II. Turma 
P08. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ilhéus-BA 
2019 
 
INTRODUÇÃO 
 
Constantemente na física são utilizados vários métodos especiais que mostram 
ou demonstram fenômenos físicos, dentre eles temos o pêndulo simples que é um 
dispositivo que consiste numa massa puntiforme presa a um fio inextensível que oscila 
em torno de um ponto fixo que executa movimentos alternados em torno da posição 
central, ou seja, ele se move de forma periódica sob a ação da gravidade. Conforme 
Silveira (1995) Huygens, em 1659, foi o primeiro cientista a utilizar o pêndulo simples 
para determinar a aceleração da gravidade, fez uso de um pêndulo de 15,7 cm de 
comprimento e após análise de 4.464 oscilações estimou uma aceleração gravitacional 
9,5 m/s². 
 Desse modo, vemos que a utilização do pendulo simples nos permite calcular a 
aceleração da gravidade de modo a encontrar um valor admissível do que se considera 
real, usando de conceitos como o período e freqüência. 
 O período é definido como o tempo necessário para que um movimento 
realizado por um corpo volte a se repetir, no caso do pendulo, a equação do período tem 
como base a equação da forca elástica envolvendo o movimento harmônico simples que 
e representada por: 
 
𝐹 = −𝐾𝑥 Eq. 1 
 
Sendo que F é a força elástica, x representa a distancia e K é a constante elástica que no 
referido caso é usada da seguinte forma: 
 
𝐾 =
𝑚 𝑔
𝐿
 Eq. 2 
Onde m representa a massa do material. 
Para dedução da equação do período temos como base essas equações 3 e 4, onde a 
equação da freqüência angular é representada por: 
 
𝜔 = 2𝜋𝑓 Eq. 3 
 
De modo que f é a freqüência, ou seja, o número de ocorrências de um evento em um 
determinado intervalo de tempo. 
Tendo em vista essas formulas temos que: 
 
𝜔 = √
𝐾
𝑚
 Eq. 4 
 
Fazendo então a substituição da freqüência angular e da constante elástica, a equação 
fica: 
 
2𝜋𝑓 = √
𝑚 𝑔
𝐿
𝑚
 Eq. 5 
 
Assim, sabendo também que o período 𝑇 =
1
𝑓
 e fazendo as simplificações 
necessárias, temos que: 
 
𝑇 = 2𝜋√
𝐿
𝑔
 Eq. 6 
 
Onde L representa a distancia entre o ponto fixo e o centro de gravidade, e g a 
gravidade. 
Uma vez que não tem se o valor de L o cálculo da gravidade através dessa 
concepção pode se tornar dificultoso, pois o centro de gravidade de um pendulo não é 
facilmente determinável. No entanto, o procedimento proposto por Bessel mostra que é 
possível medir a diferença de comprimento que um pendulo sofre, sem conhecer os 
valores particulares de L usando a equação 6 
Elevando seus dois lados ao quadrado e isolando g temos que a equação acima se torna: 
 
𝑔 = 4𝜋²
𝐿
𝑇²
 Eq. 7 
 
E aplicando os princípios de Bessel a equação se torna: 
 
𝑔 = 4𝜋²
𝐿1− 𝐿2
𝑇1
2−𝑇2
2 Eq. 8 
 
Sendo que é 𝐿1− 𝐿2 pode ser representado por ∆𝐿, que é a variação do comprimento do 
fio do pêndulo. 
A partir desse momento também se e necessário o calculo das incertezas relacionadas as 
equações 7 e 8 que são representadas a seguir: 
No primeiro caso o calculo da incerteza associada a equação 7 é representada pela 
equação diferencial: 
 
𝜎𝑔
2 = (
𝜕𝑔
𝜕𝐿
)
2
𝜎𝐿
2 + (
𝜕𝑔
𝜕𝑇
)
2
𝜎𝑇
2 Eq. 9 
 
Onde: 
 
𝜕𝑔
𝜕𝐿
 Representa a derivada parcial da gravidade em relação à distância do centro de massa L. 
 
𝜕𝑔
𝜕𝑇
 Representa a derivada parcial da gravidade em relação ao período T. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Já no segundo caso envolvendo os ideais de Bessel o calculo da incerteza 
associada a equação 8 é representado pela equação diferencial: 
 
𝜎𝑔
2 = (
𝜕𝑔
𝜕𝐿1
)
2
𝜎𝐿1
2 + (
𝜕𝑔
𝜕𝐿2
)
2
𝜎𝐿2
2 + (
𝜕𝑔
𝜕𝑇1
)
2
𝜎𝑇1
2 + (
𝜕𝑔
𝜕𝑇2
)
2
𝜎𝑇2
2 Eq. 10 
Onde: 
 
𝜕𝑔
𝜕𝐿1
 Representa a derivada parcial da gravidade em relação a 𝐿1. 
 
𝜕𝑔
𝜕𝐿2
 Representa a derivada parcial da gravidade em relação a 𝐿2. 
 
𝜕𝑔
𝜕𝑇1
 Representa a derivada parcial da gravidade em relação a 𝑇1. 
 
𝜕𝑔
𝜕𝑇2
 Representa a derivada parcial da gravidade em relação a 𝑇2. 
 
Alem disso também se precisa calcular a incerteza do tempo, assim temos como 
formula: 
 
𝝈𝒏 = √𝝈𝒂
𝟐 + 𝝈𝒃
𝟐 Eq. 11 
 
Sendo que 𝜎𝑎 é o desvio padrão da amostra e o 𝜎𝑏 é a incerteza instrumental. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVOS 
 O objetivo desse experimento é estudar o pêndulo simples. Obtendo o período 
para diferentes comprimentos do pêndulo, e assim calcular a aceleração da gravidade 
usando a fórmula do período e a equação de Bessel. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATERIAIS E MÉTODOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESULTADOS E CONCLUSÕES 
 
Antes de tudo é necessário expor o erro dos equipamentos utilizados no experimento. 
Como já citado, os equipamentos foram a trena e o cronômetro, a trena tem sua menor 
medida de 0,001 m, logo, a incerteza instrumental deste será de ± 0,0005 m. Entretanto, 
a incerteza instrumental do cronômetro se dará não pelo erro do equipamento, mas pela 
velocidade de reação do usuário. Sabendo disso, e para minimizar o erro, a velocidade 
de reação do usuário foi aferida 10 vezes, desta forma a média dessas medições será o 
melhor o valor de incerteza para as aferições de tempo utilizando o cronômetro. 
 
 
Tabela 1. Contém medições do tempo de reação do usuário, para o uso do cronômetro. 
 
 A média aritmética dos resultados é igual a 0, 169 s, dividindo por 2 temos que 
a incerteza que utilizaremos para o aparelho é de 0,0845 s. 
 
 É importante ressaltar que o ângulo do pêndulo utilizado para os experimentos 
foi 10º. Tal decisão foi tomada com base em deduções que são explicadas também por 
Halliday et al. (1995), onde o mesmo diz que se o ângulo Ө for no máximo 10º, 
podemos dizer que o período não depende da amplitude e nem da massa do corpo preso 
à extremidade do fio. Dependendo apenas do comprimento do fio do pêndulo e da 
aceleração gravitacional, conforme Eq. 6. 
Para a primeira etapa do experimento foi utilizado um pêndulo com 
comprimento de (0, 500 ± 0, 0005) m. Com esta característica, o pêndulo teve seu 
período resultante nos seguintes valores: 
 
Medição Período de 10 
oscilações (s) 
1 13,81 ± 0,08 
2 13,84± 0,08 
3 13,65± 0,08 
4 13,86± 0,08 
5 13,69± 0,08 
6 13,75± 0,08 
7 13,62± 0,08 
8 13,89± 0,08 
9 13,66± 0,08 
10 13,60± 0,08 
Tabela 2.Contém os valores dos ciclos de períodos 
 
Medição Tempo de 
reação (s) 
1 0,18 
2 0,17 
3 0,16 
4 0,16 
5 0,19 
6 0,16 
7 0,19 
8 0,16 
9 0,16 
10 0,16 
 A média dos ciclos de períodos aferidos no primeiro pêndulo é de 13, 737 s, mas 
dividindo este valor por 10 obtemos 1, 3737 s, que é o valor de um período. Além disso, 
sabe-se que o desvio padrão dos períodos é de 0, 0198 s. 
 
 Conhecendo estes valores, pode-se calcular a aceleração da gravidade utilizando 
a Eq.7. Assim, temos que: 
𝑔 = 4𝜋²
𝐿
𝑇²
 
𝑔 = 4𝜋²
0,500
1,3737²
 
𝑔 = 10,4603 m/s² 
 
 É necessário agora o cálculo da incerteza do tempo, que é feito utilizando a 
Eq.11. Deste modo, tem-se que: 
 
𝜎𝑛 = √𝜎𝑎
2 + 𝜎𝑏
2 
 
𝜎𝑇 = √0,0198
2 + 0,08452 
 
𝜎𝑇 = ±0,0868 𝑚 
 
 A incerteza da gravidade nesse caso sofrerá interferência do tempo e do 
comprimento do fio. Mas com o auxílio da Eq. 9 essa questão é sanada. Desta forma, 
tem-se: 
𝜎𝑔
2 = (
𝜕𝑔
𝜕𝐿
)
2
𝜎𝐿
2 + (
𝜕𝑔
𝜕𝑇
)
2
𝜎𝑇2 
𝜎𝑔
2 = (
4𝜋²
𝑇²
)
2
𝜎𝐿
2 + (
−8𝜋²𝐿
𝑇³
)
2
𝜎𝑇
2 
𝜎𝑔
2 = (
4𝜋²
1,3737²
)
2
0,0005² + (
−8𝜋²0,500
1,3737³
)
2
0,0868² 
 
𝜎𝑔 = ± 0,6610 m/s² 
 
 A partir disso, podemos afirmar com precisão de 95% que o valor de gravidade 
está no intervalo de 𝑔 = (10,46 ± 0,66) m/s². 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na segunda parte do experimento, para o estudo da equação de Bessel, utilizou-
se primeiramente um pêndulo de (1,000 ± 0, 0005) m de comprimento. Com esses 
aspectos, o pêndulo retornou os seguintes resultados de ciclos de 10 períodos: 
 
Medição Período de 10 
oscilações (s) 
1 13,81±0,08 
2 13,84±0,08 
3 13,65±0,08 
4 13,86±0,08 
5 13,69±0,08 
6 13,75±0,08 
7 13,62±0,08 
8 13,89±0,08 
9 13,66±0,08 
10 13,60±0,08 
Tabela 3.Contém os valores dos ciclos de períodos 
 
 A média dos ciclos de períodos aferidos no segundo pêndulo é de 19, 808 s, mas 
dividindo este valor por 10 obtemos 1, 9808 s, que é o valor de um período. Além disso, 
sabe-se que o desvio padrão dos períodos é de 0, 0107 s. 
 
 Para o terceiro pêndulo foram utilizados os valores coletado do pêndulo 1, pois o 
terceiro pêndulo deveria ter 0, 500 m de comprimento que é a metade do pêndulo 2 que 
é exatamente 0,500 m. Com isso, já se tem os valores de período, comprimento de fio e 
incertezas dos mesmos para o pêndulo 3, podendo-se calcular então a aceleração da 
gravidade utilizando a equação de Bessel, de modo que: 
 
𝑔 = 4𝜋²
𝐿1− 𝐿2
𝑇1
2 − 𝑇2
2 
 
𝑔 = 4𝜋²
1,000 − 0,500
1,9808² − 1,3737²
 
 
𝑔 = 9,6926 𝑚/𝑠² 
 
 Já se tem conhecimento da incerteza do tempo para o pêndulo 3, então é 
necessário o cálculo da incerteza do período do pêndulo de 1,000 m. O cálculo é feito 
usando a Eq.11. 
𝜎𝑛 = √𝜎𝑎
2 + 𝜎𝑏
2 
 
𝜎𝑇 = √0,0107
2 + 0,08452 
 
𝜎𝑇 = ±0,0852 𝑚 
 
 
 
A incerteza da gravidade nesse caso também sofrerá interferência do tempo e do 
comprimento do fio. Mas com o auxílio da Eq. 10 essa questão é sanada. Desta forma, 
tem-se: 
 
𝜎𝑔
2 = (
𝜕𝑔
𝜕𝐿1
)
2
𝜎𝐿1
2 + (
𝜕𝑔
𝜕𝐿2
)
2
𝜎𝐿2
2 + (
𝜕𝑔
𝜕𝑇1
)
2
𝜎𝑇1
2 + (
𝜕𝑔
𝜕𝑇2
)
2
𝜎𝑇2
2 
 
 
𝜎𝑔
2 = (
4𝜋²
(𝑇1
2−𝑇2
2)²
)
2
𝜎𝐿1
2 + (
4𝜋²
(𝑇1
2−𝑇2
2)²
)
2
𝜎𝐿2
2 + (
8𝜋2(𝐿1− 𝐿2)𝑇1
(𝑇1
2−𝑇2
2)²
)
2
𝜎𝑇1
2 +
(
−8𝜋2(𝐿1− 𝐿2)𝑇2
(𝑇1
2−𝑇2
2)²
)
2
𝜎𝑇2
2 
 
 
𝜎𝑔
2 = (
4𝜋2
(1,98082−1,37372)2
)
2
(5 ∙ 10−4)2 + (
4𝜋2
(1,98082−1,37372)2
)
2
(5 ∙ 10−4)2 +
(
8𝜋2(1,000−0,500)1,9808
(1,98082−1,37372)2
)
2
0,08522 + (
−8𝜋2(1,000−0,500)1,3737
(1,98082−1,37372)2
)
2
0,08682 
 
𝜎𝑔 = 1,9898 𝑚/𝑠
2 
 
Com isso podemos afirmar com 95% de precisão que o valor da gravidade está 
no intervalo de 𝑔 = (9,69 ± 1,99) 𝑚/𝑠² . 
É notável que o intervalo de confiança relacionada a essa, está muito elevado. 
Compreende-se que provavelmente o erro relacionado ao tempo esteja também muito 
elevado, pois não depende do instrumento (cronômetro), mas sim do tempo de reação 
do utilizador. Comparando-o com o erro do comprimento pode-se ter uma noção melhor 
de sua grandeza, onde o erro instrumental do tempo chega a ser 169 vezes maior que o 
erro do comprimento. Além disso, apesar dos cuidados tomados durante o experimento, 
existem erros humanos nas medições que também interferem 
 
 
Incerteza 
instrumental do 
comprimento (m) 
Incerteza 
instrumental do 
tempo (s) 
0, 0005 0, 0845 
Tabela 4. Contém os valores das incertezas instrumentais. 
 
 A comparação de resultados obtidos no experimento e o valor de gravidade 
adotado para região provam o erro que foi aferido no experimento, como é demonstrado 
na tabela 5. 
 
 
Tipo Valores da aceleração da gravidade (m/s²) 
Experimento 1 10,46± 0,66 
Experimento 2 9,69 ± 1,99 
Adotada 9,81 ± 0,05 
Tabela 5. Contém os valores das gravidades do experimento e adotada. 
Conclusão 
 
Neste relatório usou-se varias equações para o calculo da gravidade envolvendo 
os conceitos de movimento harmônico simples, freqüência, período e elasticidade para 
deduzir as formulas utilizadas, alem de métodos do físico Friedrich Bessel. Dessa 
forma, foi se usado dois métodos para avaliar o valor próximo da gravidade do local. No 
primeiro método tendo como base um valor único de comprimento L para a corda usada 
no pendulo, o valor encontrado foi de 𝑔 = (10,46 ± 0,66𝑚/𝑠²), enquanto que no 
método deduzido por Bessel o valor foi de 𝑔 = (9,69 ± 1,99𝑚/𝑠2). Notou-se que o 
valor de incerteza, principalmente relacionado ao método de Bessel, foi muito elevado. 
Isso é devido especialmente ao grande erro instrumental do cronometro, pois esse não 
depende do equipamento, mas do usuário. É importante frisar que o erro instrumental do 
tempo foi 169 vezes maior que o erro do pêndulo. Ao comparar-se a gravidade adotada 
na região com os valores obtidos no experimento fica claro a existência de um erro no 
processo experimental. 
 
 
 
 
 
Referências 
 
 SILVEIRA, F. L. Determinando a aceleração gravitacional. Revista de 
Enseñanza de la Física, Córdoba, v.10, n.2, p.29-35, 1995. 
 
 HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. 4. ed. 
v.2. Rio de Janeiro: LTC, 1995.