PÊNDULO SIMPLES

Prévia do material em texto

Folheto de FÍSICA 
Professor Dirceu (031)99825-4449 
 
1 
 
PÊNDULO SIMPLES 
Um pêndulo simples consiste de um fio leve e inextensível de comprimento L, 
tendo na extremidade inferior, por exemplo, uma esfera de massa m; a 
extremidade superior é fixada em um ponto, tal que ele possa oscilar livremente 
(resistência do ar desprezível), com amplitudes pequenas ( máximo = 15o) (fig.1). 
Quando o pêndulo é deslocado de sua posição de equilíbrio, ele oscila sob a ação 
da força peso, apresentando um movimento periódico. As forças que atuam sobre 
a esfera de massa m são: a força peso p e a força de tração T. 
A força centrípeta, Fc, que mantém o pêndulo na trajetória de um arco circular, é a 
resultante da força de tração T que o fio exerce e da componente da força peso 
py na direção do raio, que imprime a aceleração centrípeta, ac: 
ac = V2 / R 
Podemos determinar a aceleração da gravidade local, medindo a aceleração 
tangencial e o ângulo de um pêndulo simples.  g = – a t / sen 
 
Período do pêndulo simples 
Quando o ângulo for muito pequeno ( aproximadamente 3o) sen 
aproximadamente igual a . Neste caso o pêndulo executa um movimento 
harmônico simples (MHS) e o período pode ser calculado pela expressão: 
https://www.coladaweb.com/fisica/forca-peso
Folheto de FÍSICA 
Professor Dirceu (031)99825-4449 
 
2 
 
T = 2 √𝑳/𝑮 
Exercício resolvido 
1-Determine o período de oscilação de um pêndulo simples que possui 
comprimento de 1 m, oscilando em um local onde a aceleração da gravidade 
corresponde a 16 m/s2. 
Dados: π = 3 
a) 1,5 
b) 2,0 
c) 2,5 
d) 1,0 
e) 1,2 
 
 
 
 
 
Energia no pêndulo simples 
 
Nos pontos A e B, teremos apenas energia potencial gravitacional. Quando o 
corpo sai, por exemplo, do ponto A até o ponto O, sua energia potencial começa a 
se transformar em energia cinética. Porém, quando o corpo chega ao ponto O, a 
energia que ele possui é apenas energia cinética. 
Letra A 
A partir da definição do período de oscilação de um 
pêndulo, podemos escrever: 
 
Folheto de FÍSICA 
Professor Dirceu (031)99825-4449 
 
3 
 
Em resumo, podemos dizer que nos pontos A e B a energia potencial 
gravitacional é máxima e a cinética é nula. No ponto O ocorre o contrário, ou seja, 
a energia cinética é máxima e a potencial gravitacional é nula. 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
2-(FPS-PE) Uma partícula de massa m = 0,5 kg está presa na extremidade de um 
fio inextensível de comprimento L = 1,0 m, formando um pêndulo simples descrito 
na figura abaixo. A partícula está em repouso e é solta, partindo do ponto inicial A 
na horizontal. Considere que a aceleração local da gravidade vale 10 m/s2. A força 
de tensão na corda, quando a partícula passa pelo ponto B, no ponto mais baixo 
da sua trajetória, será: 
a) 5 N 
b) 15 N A 
c) 20 N T 
d) 25 N B 
e) 50 N P 
Letra B 
Primeiramente, deve-se encontrar a velocidade da partícula no ponto mais baixo 
da trajetória. Isso será feito pela conservação da energia mecânica. 
Em A = Energia potencial gravitacional; 
Em B = Energia Cinética. 
Igualando a energia mecânica dos pontos A e B e sabendo que a altura da queda 
corresponde a L, teremos: 
 
 
No ponto B, o peso da partícula opõe-se à tração no fio, e a resultante das forças 
é centrípeta. Sendo assim, podemos escrever: 
 
 
Folheto de FÍSICA 
Professor Dirceu (031)99825-4449 
 
4 
 
 
 
MHS – SISTEMA MASSA-MOLA 
 
 Sistema massa-mola Um corpo de massa m realiza MHS quando, sobre 
uma trajetória retilínea, oscila periodicamente em torno de uma posição de 
equilíbrio O, sob ação de uma força denominada força restauradora (Fel) que 
sempre é dirigida para O. Essa força é a força elástica fornecida pela 
expressão Fel = – kx (lei de Hooke) 
 
 À medida que afastamos o bloco de massa m para a direita a partir da posição de 
equilíbrio O ( origem da abscissa x orientada para a direita), a força 
restauradora vai aumentando até atingir um valor máximo no ponto x = 
+A (abscissa máxima, a partir da qual, retornará)). 
Analogamente, se empurramos o bloco de massa m para a esquerda a partir da 
posição 0, uma força de sentido contrário e proporcional ao deslocamento X 
surgirá tentando manter o bloco na posição de equilíbrio 0, e esta força terá 
módulo máximo no ponto de abscissa x = -A, a partir de onde, retornará. 
A distância do ponto O até os extremos x= +A e x= -A é chamada de amplitude 
A desse MHS. Observe que nesses extremos +A e –A, ocorre inversão de sentido 
do movimento e a velocidade se anula. 
Observe também que na passagem pela posição de equilíbrio (ponto O), a 
velocidade é máxima em módulo. 
O período T desse MHS é fornecido pela expressão: 
Folheto de FÍSICA 
Professor Dirceu (031)99825-4449 
 
5 
 
 
T período tempo que a massa m demora para efetuar um “vai e vem” 
completo 
m massa que executa o MHS 
k constante elástica da mola 
 
 
 
 
Energia no MHS no plano horizontal 
 
 A energia potencial é a elástica Ep = k.x2/2. 
Observe na equação acima que a energia potencial é nula no ponto médio 0 da 
trajetória onde x = 0 e é máxima nos extremos onde x = +A e X = -A, onde x2 é 
máximo e vale A2 Ep=kA2/2. 
 
 A energia cinética vale Ec=m.v2/2. 
Essa energia é máxima no ponto médio 0, onde o módulo de v é máximo e nula 
nos extremos onde 
v = 0. 
 
 A energia mecânica é sempre constante no MHS e vale Em= kA2/2 ou Em=Ec + 
Ep ou 
Em = kx2/2 + m.v2/2. 
 Nos extremos onde v=0 e o módulo de x é A, temos que Em=Ec + Ep 
Em= 0 + k.A2/2 
Em = k.A2/2 = constante. 
 No ponto médio 0, onde o módulo de v é máximo e x = 0, temos que Em=Ec + 
Ep Em=mv2/2 + 0 Em= mv2max/2 = constante. 
 
Gráficos 
Folheto de FÍSICA 
Professor Dirceu (031)99825-4449 
 
6 
 
 
 
 Se a massa estiver oscilando na vertical 
 
Na primeira situação, sem a massa m, a mola está em sua situação natural. 
Na segunda situação, já com a massa m e em equilíbrio e distendida de 
x, temos 
 
 Fe= P k.x = m.g x = m.g/k e x = A. 
 
a constante elástica k, menor será a amplitude A, desde que a massa m seja a 
mesma. 
Na terceira situação, a massa m oscila em MHS de amplitude A, em torno de 
0. Neste caso, a energia mecânica é a soma das energias cinética, potencial 
elástica e potencial gravitacional 
 
mv2max/2 = constante. 
Folheto de FÍSICA 
Professor Dirceu (031)99825-4449 
 
7 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
(Aman) Uma mola ideal está suspensa verticalmente, presa a um ponto fixo no teto 
de uma sala por uma de suas extremidades. Um corpo de massa 80 g é preso à 
extremidade livre da mola e verifica-se que a mola desloca-se para uma nova 
posição de equilíbrio. O corpo é puxado verticalmente para baixo e abandonado 
de modo que o sistema massa-mola passa a executar 
um movimento harmônico simples. Desprezando as forças dissipativas, 
sabendo que a constante elástica da mola vale 0,5 N/m e considerando π = 3,14, o 
período do movimento executado pelo corpo é de: 
a) 1,256 s 
b) 2,512 s 
c) 6,369 s 
d) 7,850 s 
e) 15,700 s 
 
Letra B. 
Para resolvermos o exercício, é preciso lembrar as relações entre a frequência 
angular, período, massa e constante elástica, mostradas na fórmula a seguir: 
 
De acordo com o cálculo, o período desse movimento é igual a 2,512 s. 
 
 
 
 
 
Folheto de FÍSICA 
Professor Dirceu (031)99825-4449 
 
8 
 
2-Questão 1) Uma mola de constante elástica igual a 10 N/m é presa a uma massa 
de 100 g (0,1 kg). Quando comprimida, essa mola passa a oscilar, descrevendo um 
movimento harmônico simples. Determine a frequência de oscilação do conjunto. 
a) 5 Hz 
b) 5π Hz 
c) 5/π Hz 
d) 4π Hz 
e) 3/π Hz 
Gabarito: Letra c 
Resolução: 
Para resolver o exercício, faremos uso da fórmula de frequência para o oscilador 
massa-mola, confira: