CEL0272 - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - RESUMO - LEANDRO ROBADY

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Aula 01
Primeiras estatísticas foram realizadas para que os governantes das grandes civilizações antigas tomassem conhecimento dos bens que o Estado possuía e como estavam distribuídos pela população. 
Idade Média: estatísticas eram feitas com finalidades de cobranças de impostos e para recenseamento militar. 
Século XVI: surgiram as primeiras tábuas e tabelas que registravam fatos sociais, como batizados, casamentos e funerais.
Século XVIII: o estudo dessas informações foi adquirindo um caráter mais científico e o alemão Gottfried Achenwall, sugeriu o nome Statistik (Estatística) que designava a análise de dados sobre o Estado. A palavra adquiriu o significado de coleta e classificação de dados. 
Estatística: É a ciência que estuda método de coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados, para obtenção de conclusões válidas e tomadas de decisões.
Estatística Descritiva: Responsável pela coleta, a organização e a descrição de dados.
Estatística Inferencial: Responsável pela análise e a interpretação dos dados.
Estatística das Probabilidades: Estudo do risco e do acaso de eventos futuros e determina se é provável ou não seu acontecimento.
APLICAÇÕES DA ESTATÍSTICA
NA SAÚDE: Fornece Metodologia Adequada que possibilita decidir sobre a eficiência de um novo tratamento no combate a determinada doença.
NA POLÍTICA: Utiliza-se de pesquisas prévias de opiniões para muitas vezes corrigir estratégias de campanha.
NO CONTROLE DE QUALIDADE: Testa a reação de um grupo de consumidores sobre um novo produto e com base nas respostas decidem-se pela produção e distribuição em escala nacional.
NA MÍDIA: Calcula-se índices de audiência de um determinado canal em um determinado horário, para estabelecer o preço a ser cobrado aos anunciantes.
EM MARKETING: Testa a reação de um grupo de consumidores sobre um novo produto e com base nas respostas decidem-se pela produção e distribuição em escala nacional.
EM FINANÇAS: Observa índices de inflação, emprego e desemprego para estimar alguns aspectos econômicos do cenário nacional.
POPULAÇÃO - Conjunto ou grupo de indivíduos que possuem pelo menos uma característica em comum, denominamos de população estatística ou de universo estatístico.
AMOSTRAGEM: coleta das informações de parte da população chamada amostra, mediante métodos de seleção. 
AMOSTRA - é subconjunto finito não vazio de uma população estatística. Exemplos: Apenas estudantes universitários, Apenas os eleitores do Sul do país, Apenas peças produzidas na última semana do mês.
OBJETIVO: fazer inferências e tirar conclusões sobre populações com base nos resultados da amostra.
VARIÁVEL é o conjunto de resultados possíveis de um experimento.
VARIÁVEIS QUANTITATIVAS: quando os seus valores são expressos por números como: 
 Quantidade de filhos
 Salários de empregados
Idades dos alunos de uma universidade. 
VARIÁVEIS QUALITATIVAS: classe social: A, B, C, D.
VARIÁVEIS NOMINAIS - quando não permitem comparações. Exemplos: o nome ou o gênero de um indivíduo: João ou Maria; masculino ou feminino. 
VARIÁVEIS ORIGINAIS - quando permitem comparações. Exemplo: Atribuição de status alto, médio ou baixo para um indivíduo. 
VARIÁVEL DISCRETA - quando assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável. Exemplo: número de filhos de um casal : 0, 1, 2,...,n.
VARIÁVEL CONTÍNUA - quando puder assumir qualquer valor em um determinado intervalo. Exemplo: peso de um indivíduo com a precisão desejada: 52 Kg; 52,3 kg; 52, 317 Kg, etc. 
Aula 02
Para obtermos uma melhor visibilidade dos dados brutos extraídos de um fenômeno coletivo é a construção de um rol.
Distribuição de Frequências - É uma tabela que viabiliza a extração rápida de uma grande quantidade de informações sobre um problema aplicado.
Gráfico de Colunas - É uma boa forma de visualizar a distribuição de freqüências, apresenta as freqüências sob a forma de barras verticais levantadas sobre os dados que aparecem organizados na linha horizontal.
Diagrama ou gráfico de barras - Apresenta as freqüências simples ou relativas sob a forma de barras horizontais, separadas entre si.
Aula 03
Aula 04
Média Aritmética, Mediana e Moda - São medidas de tendência central definidas na Estatística. São medidas importantes que tentam apontar para o valor central de um conjunto de dados. 
 MÉDIA ARITMÉTICA - é a medida de posição central da Estatística que encontra o ponto médio de um conjunto de dados.
AS PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DA MÉDIA ARITMÉTICA SÃO:
O cálculo da média envolve todos os elementos do conjunto de dados.
A média é influenciada por dados com valores muito pequenos ou muito grandes.
A média aritmética é única.
MEDIANA - é uma medida de posição central da Estatística que busca dividir um conjunto de dados em dois grupos que contenham o mesmo número de elementos.
AS PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DA MEDIANA SÃO:
Para qualquer conjunto de dados haverá sempre uma única mediana.
A mediana não é influenciada para dados valores muito pequenos ou muito grandes.
MODA - é a medida de posição da Estatística que encontra o dado que aparece mais freqüentemente em uma série de valores.
AS PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DA MODA SÃO:
Pode não ser única. Exemplo: A série de dados: 2; 3; 4; 6; 4; 8; 6, possui duas modas Mo= 4 e M’o= 6. Este tipo de série é chamado de série bimodal.
Pode não existir. Exemplo: A série de dados: 2; 3; 4; 6; 8, não possui valor repetido, logo não possui moda. Este tipo de série de dados é chamado de série amodal.
Por ser o valor mais frequente da série, é caracterizada como valor mais típico do conjunto de dados.
DADOS NÃO AGRUPADOS
A Média Aritmética ou simplesmente Média é obtida pela soma de todos os valores numéricos do conjunto de dados, dividido pela quantidade de dados. Para o conjunto de n dados, X1, X2,..., Xn, a média aritmética pode ser obtida aplicando-se a fórmula: 
EXEMPLO 1: Suponha que as notas de um candidato, em seis provas de um concurso, sejam: 
8,4 9,2 7,1 6,8 8,7 7,2.
Cálculo da Média das notas:
DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALOS DE CLASSES
EXEMPLO 2: Considere uma distribuição de frequências simples: Em uma prateleira de uma loja foram encontrados 4 tipos de produtos com os seguintes preços e respectivas quantidades:
As quantidades atuam como fatores de ponderação. Logo, o preço médio dos produtos pela Média Aritmética Ponderada será: 
O preço médio de todos os produtos da prateleira é R$64,50. 
EXEMPLO 2.1: Outro exemplo de Média Aritmética Ponderada:
50 casais de um condomínio.
DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSES
Neste caso, a média aritmética é obtida utilizando-se a Média Ponderada, com as seguintes ressalvas:
Os valores utilizados para as variáveis xi correspondem aos pontos médios dos intervalos de classes. 
As frequências fi correspondem às frequências simples dos intervalos de classes.
EXEMPLO 3: Distribuição de frequências dos 40 alunos da faculdade A
Para o cálculo da estatura média dos alunos da turma aplicamos a fórmula da média ponderada:
Concluímos que a altura média dos estudantes da amostra é de 161 cm.
DADOS NÃO AGRUPADOS
Ordenar os dados de forma crescente.
 Caso o número de dados seja ímpar, a mediana será o termo de ordem central que apresenta o mesmo número de elementos à direita e a esquerda, isto é, a mediana será o valor do termo de ordem (n + 1)/2. 
Caso o número de dados seja par, a mediana será a média aritmética dos termos que ocupam as posições n/2 e (n/2) + 1. 
EXEMPLO 1 - Cálculo da Mediana
6,8 7,2 7,2 8, 4 8,7 9,2 
Como n = 6 (número par de dados) a mediana do conjunto será a média aritmética entre os termos de posição 3 e de posição 4:
 Md = 
EXEMPLO 2 - O cálculo da Mediana, Para a série de dados: 5 13 10 2 4 7 6 
qual é o valor da mediana? 
Em ordem crescente: 
2 45 6 7 10 13
A mediana é dada por Md = (n + 1) / 2 = 4 (ou 4° dado) 
Md = 6
Observe que três termos estão situados à esquerda de 6 e os outros três termos a direita de 6. A mediana dividiu a série de dados em partes iguais.
MODA - É a medida de posição da Estatística que encontra o dado que aparece mais frequentemente na distribuição. A moda é o valor que mais se repete no conjunto.
Exemplo 1: Cálculo da moda
A série de dados
8,4 9,2 7,2 6,8 8,7 7,2
Tem moda igual a 7,2 que corresponde ao dado que mais se repete.
IDENTIFICAMOS A CLASSE MODAL QUE CORRESPONDE À CLASSE COM MAIOR FREQUÊNCIA DE DADOS. ENTÃO O CÁLCULO DA MODA SERÁ DADO POR:
Onde: l = limite inferior da classe modal e L = limite superior da classe modal.
A MODA PODE NÃO SER ÚNICA: BIMODAL
A série de dados: 2; 3; 4; 6; 4; 8; 6, possui duas modas Mo= 4 e M’o= 6. 
PODE NÃO EXISTIR: AMODAL 
A série de dados: 2; 3; 4; 6; 8, não possui valor repetido, logo não possui moda.
Aula 05
Média Geométrica e Aplicações - A média geométrica é a raiz enésima dos produtos dos valores encontrados em um conjunto numérico. 
Para o conjunto X = {x1, x2,..., xn}, onde cada xi é um número real não negativo, a média geométrica (MG) será calculada aplicando-se a fórmula:
MG = 
Exemplo:
Seja o conjunto X = {3, 5, 7, 16}. Então a média geométrica dos valores de X é igual a:
Aula 06
ANÁLISE COMBINATÓRIA – REVISÃO
Aula 07
Para quantificar o número de eventos favoráveis e o número de eventos possíveis, empregamos diferentes métodos:
MÉTODO CLÁSSICO: Quando o resultado é provável. Seu emprego é comum nas situações que envolvem dados, moedas e baralhos. Nesses casos, se sabe previamente quais os resultados possíveis e desses, quantos são favoráveis.
MÉTODO EMPÍRICO: Depende da freqüência de ocorrer o evento, determinada a partir de uma série de observações práticas anteriores. Por exemplo, em uma cidade de 10.00 habitantes 4.000 são do sexo feminino, estima-se que a probabilidade de um habitante escolhido ao acaso seja do sexo feminino é igual a 4.800/10.000, ou 0,48, ou 48%. Neste caso, a probabilidade está associada à freqüência relativa (fi%).
MÉTODO SUBJETIVO: A probabilidade é estimada com base na opinião pessoal. Por exemplo, um cientista político pode estimar que a probabilidade de vitória da oposição nas próximas eleições seja de 60%.
ESPAÇO AMOSTRAL: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, “S”.
EVENTO: é um conjunto de resultados do experimento. Em termos de conjunto, é um subconjunto de Ω. Em particular, Ω e Ø (conjunto vazio) são eventos. Ω é dito o evento certo e Ø o evento impossível.  Usando as operações em conjunto, podemos formar novos eventos.
Aula 08
Requisitos Lógicos: Os conceitos básicos a partir dos quais se constrói a definição de probabilidade são conhecidos como os axiomas da probabilidade, sendo o seu conhecimento importante não apenas para o entendimento dessa definição mas também para compreender claramente as condições necessárias à sua aplicação.
A Importância do Conceito de Partição: A partição de um conjunto é uma coleção de conjuntos tal que a sua união é igual ao conjunto original, e que a interseção de quaisquer dois deles é vazia. Ao se particionar um evento, é possível se calcular a sua probabilidade somando-se a probabilidade dos eventos da partição. Para isso é necessário apenas dispor-se das probabilidades dos elementos da partição (vide Axiomas 4° e 5°). Através do particionamento de conjuntos, é possível não apenas se calcular a probabilidade de eventos a partir de outras probabilidades já conhecidas mas também deduzir diversas propriedades e implicações do próprio conceito de probabilidade.
Aula 09
Probabilidade Da União De Dois Eventos: Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral . Vamos encontrar uma expressão para a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, isto é, a probabilidade da ocorrência do evento A  B.
Aula 10
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