Lista 8

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FFI 112: Física Matemática I
Lista # 8.............15 - 04 - 13
1.- Resolva o seguinte problema de Dirichlet para o cilindro eletricamente carregado:
EDP: ∇2ur,θ = 0 r < R, 0 ≤ θ < 2π (R: raio do cilindro)
C.C.: uR,θ = fθ dada. (Distribuição de potencial sobre a superfície do cilindro)
Use o método de separação das variáveis. A solução é da forma:
ur,θ = 12 a0 +∑
n=1
+∞
 rR 
nan cosnθ + bn sinnθ
onde
an =
1
π ∫
0
2π
fθcosnθdθ bn = 1π ∫
0
2π
fθ sinnθdθ
Substitua os valores de an e bn na expressão para ur,θ , inverta a ordem da soma e
da integral e obtenha a integral de Poisson para o círculo para ur,θ.
2.- Mostre que para o núcleo de Poisson valem as relações:
P1, r,θ = 1 − r
2
1 − 2rcosθ + r2
= Re 1 + re
iθ
1 − re iθ
 = ∑
−∞
+∞
r |n|e inθ = 1 + 2∑
n=1
+∞
rn cosnθ
Faça a adaptação dessa fórmula para o caso de PR, r,ϕ − θ. [ Aqui,
P1, r,θ = P1, r, 0 − θ ]
3.- Partindo da solução do problema de Dirichlet do Ex#1 em termos da integral de
Poisson:
ur,θ = 12π ∫
0
2π
fϕ R2 − r2
R2 − 2Rrcosϕ − θ + r2
dϕ,
obtenha a solução do problema (dada no Ex#1) como série de Fourier.
4.- Usando a integral de Poisson para o círculo, determine a solução do problema de
Dirichlet para o cilindro carregado eletricamente, no caso em que o potencial da
superfície é dado por fϕ da lista abaixo:
(1) sinϕ (2) 2 − cosϕ (3) cos2ϕ (4) fϕ = +1 0 < ϕ < π
−1 π < ϕ < 2π
5.- Mostre que para o núcleo de Poisson P1, r,ϕ vale a seguinte integral indefinida:
∫ P1, r,ϕdϕ = 2 tan−1 1 + r1 − r tan
ϕ
2 
6.- Mostre que para o núcleo de Poisson vale a seguinte relação:
PR, r,ϕ − θ = R
2 − r2
R2 − 2Rrcosϕ − θ + r2
= Re w + zw − z 
onde w = R e iϕ e z = re iθ.
7.- Deduza a integral de Poisson para o semiplano, usando a mesma técnica do caso
do disco. (veja: CHURCHILL §102; SCHAUM - Cap 5)
8.- Mostre que valem as seguintes relações para o núcleo de Poisson:
(1) ∇rθ2 PR, r,θ = 0
(2) 12π ∫
0
2π
PR, r,ϕ − θdϕ = 1
1
9.- Prove que a solução do problema de Dirichlet para o disco, dada pela integral de
Poisson do Ex#3, é harmônica na região |w| < R .
10.- Determine a solução do problema de Dirichlet para o disco no caso em que o dado
de Dirichlet é da forma:
uR,ϕ = fϕ = 1 0 ≤ ϕ ≤
π
2
0 π2 ≤ ϕ ≤ 2π
2