Lista 12

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FFI 112:Física Matemática I
Lista # 12.......27 - 05 - 13
1.- Use o método dos resíduos para calcular as seguintes integrais:
(1) ∫
0
2π dϕ
1−2acosϕ+a2
R 2π
1−a2
 |a| < 1
(2) ∫
0
2π
ecosϕcosnϕ − sinϕdϕ R 2π
n! se n≥ 0; 0 se n < 0
(3) ∫
0
+∞ cosax
x2+b2
dx a, b > 0 R π2b e
−ab
(4) ∫
−∞
+∞ sinx
x2+4x−1
dx R π5 cos1 − e
−2
(5) ∫
−∞
+∞ eax
ex+1 dx 0 < Rea < 1 R
π
sinπa 
(6) ∫
−∞
+∞ xdx
x2+4x+132
R− π27 
(7) ∫
−∞
+∞ xsinx
x2−2x+10
dx R π
3e3
3cos1 + sin1
(8) ∫
0
+∞ xsinax
x2+b2
dx a, b > 0 R π2 e
−ab
(9) P ∫
0
+∞ sin2x
x2
dx R π2 
(10) In = ∫0
+∞
 sinxx ndx RI2 = π2 ; I3 =
3π
8 ; I4 =
π
3 
(11) ∫
−π
+π dϕ
5+3cosϕ R
π
2 
(12) ∫
0
2π cos2ϕ
13+12cosϕ dϕ R
13
45 π
(13) ∫
−π
+π cosnϕ
1−2acosϕ+a2
dϕ −1 < a < 1 R2π an
1−a2

(14) ∫
−∞
+∞ eax
1+ex+e2x
dx 0 < Rea < 2 R 2π 33sinπa sin
π1−a
3 
(15) ∫
0
1
dx
x1−x
Rπ
(16) ∫
0
1
dx
1+ax2 1−x2
R π
2 1+a

(17) ∫
0
+∞
xp−1
1+x dx 0 < p < 1 R
π
sinpπ  ( Schaum - Cap.7)
(18) ∫
0
+∞
sinx2dx = ∫
0
+∞
cosx2dx = 12
π
2 ( Schaum - Cap.7)
2.- Use as técnicas de integração por resíduos para calcular a soma das seguintes séries:
(1) ∑−∞
+∞ 1
n−w2
R π2
sin2πw
 w ≠ int. 
(2) ∑
n=1
+∞ 1
n2
R π26 
(3) ∑
n=1
+∞ 1
n2+w2
R 1
2w2
πwcothπw − 1
(4) ∑
n=1
+∞ 1
n2+w22
R 1
4a2
 π
2a2
sinh2πa
+ πacothπa − 2
(5) ∑
n=1
+∞ −1n 1
n2+a2
R 1
2a2
 πa
sinhπa − 1
(6) ∑
n=1
+∞ −1n 1
n2+a22
R 1
4a2
 π
2a2coshπa
sinh2πa
+ πa
sinhπa − 2
(7) ∑−∞
+∞−1n eian
n2+w2
−π < a < π R πcoshaw
wsinhπw 
3.- Na integral
I = ∫
0
2π
dθ
A + B cosθ A > |B|
faça a transformação para a integral complexa usando o caminho |z| = R. Mostre que o resultado
obtido para a integral I não depende de R.