Lista 1

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FFI 112: Física Matemática I
Lista # 1................27 - 02 - 13
1.- Determine Re[f(z)] = u(x, y) e Im[f(z)] = v(x, y) quando f(z) é dada
por:
(1) 1
z
(2) eaz com a = 1 + i (3)
√
z (4) sin(z) (5) cosh(z) (6)
sin−1(z) (7) z∗ (8) |z|
2.- Sejam U : u(x, y) = c e V : v(x, y) = c´ duas famílias de curvas do plano
R
2. Determine a condição de ortogonalidade das famílias de curvas U, V .
3.- No caso da função f(z) = z2, mostre que a imagem do reticulado {x =
xc; y = yc} é constituida por duas famílias de curvas ortogonais. Identifique
essas curvas e faça um gráfico usando MAPLE.
4.- Estude analiticamente o ”mapping ”do reticulado {x = cte, y = cte}
executado pelas seguintes funções f(z):
(1) 1
z
(2) ez (3) sin z (4) cosh z (5) z2
Use o comando ”conformal” do MAPLE para fazer o gráfico. Prove que
são ortogonais, em cada caso, as curvas obtidas.(V. Probl. #2 acima)
5.- Considere a curva Γ : z = (1 + i)t, com t ≥ 0, do plano C . Determine
analiticamente a imagem de Γ produzida pelas funções:
(1) z2 (2) 1
z
(3) ez (4) e−z
Use o MAPLE para ”animar ” os gráficos obtidos.
6.- Prove que uma volta completa em torno do ponto de ramificação das
seguintes funções provoca uma mudança de ramo:
(1)
√
z − a (2) 3√z (3) √z(z − a) (4) log(z − a) {a = 1 + i}
7.- Prove que a função d(z, z0) = |z − z0|, definida para todos os z, z0 ∈ C,
tem todas as propriedades de uma distância.
8.- Determine a função inversa z = z(w) = f=1(w) correspondente à função
w = f(z) dada por:
(1) f(z) = w = az2 + bz + c (2) f(z) = w = az+b
cz+d
(3) f(z) = w = z3
9.- Discuta a definição dos ramos da função f(z) = 3
√
z − i
1