Calculo II

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Calculo II - resumo
Funções de duas variáveis 
Def.: Suponha que D seja um conjunto de pares ordenados de números reais (x, y). Uma função real f de duas variáveis em D é uma regra que associa um único valor real, w=f(x,y) a cada par ordenado (x, y) em D [ w é uma constante qualquer]. O conjunto D é o domínio de f, e o conjunto de valores de w assumidos por f é sua imagem.
Resumindo: Funções de duas variáveis são funções que apresenta duas variáveis, incógnitas (x,y). 
Domínio: são todos os valores de x e y 
Imagem: são resultados da função com os calores de x e y
Ex.: f(xy)= x²+y², x= 2 e y =3
f(xy)=2²+3² = 13 
Domínio: 2 e 3, Imagem: 13 
Curvas de nível
Def.: As curvas de nível de uma função f de duas variáveis (x,y) são aquelas com uma equação f(x,y) = K, onde K = cte ( uma constante, um número) e que pertença à imagem de f.
Uma curva de nível f(xy)= K é o conjunto de todos os pontos do domínio de f, nos quais os valores de f é K, isto é, ela mostra onde o gráfico de f tem altura K.
Note que a curva de nível é formada pela imagem da função.
Limites 
Def.: Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D contém pontos muito próximos de (a,b). Dizemos que o limite de f(xy) quando (xy) tende a (ab) é L e escrevemos:
Para saber o limite, basta aplicar o limite, se caso der uma indeterminação (0/0 ou ∞/∞) é necessário que seja feita mudanças na função. 
Continuidade
Def.: Uma função f de duas variáveis é dita contínua em (a,b) se: 
Dizemos que uma função f é contínua no ponto p(ab) se as seguintes condições forem satisfeitas: 
1° - f é definido no ponto p(ab)
f(ab) = existe
2° - 
3° - 
Derivação parcial
Derivar f em relação a x, e em relação a y
Regra da cadeia
Ex.: Usando a regra da cadeia para achar dz/dt
z = x² + y² + xy, x = sent, y = e^t
Derivada direcional 
Teorema: Se uma função diferencial de x e y, então f tem derivada diferencial na direção de qualquer vetor u=<ab> e Duf(xy) = fx(xy)a + fy(xy)b
Vetor Gradiente 
Observação:
1 – Duf = taxa de variação
2 - |Δf| = taxa máxima 
3 - Δf = direção 
Máximos e mínimos 
Teorema: Se uma função f tem max/min local em (ab) e as derivadas parciais de 1ª ordem existem em (ab), então
fx(ab) = 0 e fy(ab) = 0
Teste da segunda derivada:
1° fx(ab) = 0 e fy(ab) = 0
2° D(ab) = fxx(ab) fyy(ab) – [fxy(ab)]²
3° 
D > 0 e fxx(ab) > 0 f(ab) min local
D > 0 e fxx(ab) < 0 f(ab) max local
D < 0 f(ab) ponto de sela 
Multiplicadores de Lagrange
l(xy£)= f(xy) - £g(xy)
lx = £gx ly = £gy l£ = g(xy)
Encontre o valor de £ para descobrir os valores de x e y e encontrar os pontos de máximo e mínimo.
Sequências 
Def.: Uma sequência {na} tem limite L e escrevemos
 = L
Se existir, logo a sequência converge, caso contrário, diverge.
Série 
Def.: Dada um série = a1 + a2 + a3 + ..., denote por Sn sua n-ésima soma parcial:
Sn = = a1 + a2 + a3 + ...
Se a sequencia {Sn} for convergente, e existir como um número real, então a série é convergente, e escrevemos: 
a1 + a2 + a3 + ... + an = s ou = s
O número s é chamado a soma da série. Se a sequencia {Sn} é divergente, então a série é divergente. 
Teorema: Se a série for convergente, então = 0
Teorema da divergência: Se não existir ou se ≠ 0, então a série é divergente.