Prova 1 IEDO (UFABC)

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Universidade federal do ABC
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Prova 1 - Introdução às equações diferenciais ordinárias - 2Q2022 - Turma A2
Instruções: Os enunciados das questões estão de acordo com o que foi visto em sala de aula.
Em todas as questões deve-se apresentar o racioćınio/método usado para chegar a resposta.
1) (1.0pt) Verifique se a função φ(x) = 4xe−3x é uma solução da EDO y′′ + 6y′ + 9y = 0. Em
caso positivo, especifique os maiores intervalos posśıveis onde a função é solução da EDO. Em
caso negativo, justifique o motivo.
2) (1.0pt) Mostre que a EDO x2yy′ = 3y3 − xy2 − 5x3 é homogênea. Depois use o método de
substituição de variáveis adequado para transformar esta EDO em uma equação separável ou
uma EDO linear. Justifique porque a EDO resultante é separável ou linear.
3) (1.0pt) Determine os pontos cŕıticos da equação autônoma y′ = (y − 1)(2y2 − 2y − 12) e
classifique-os quanto as suas estabilidades (assintoticamente estável, instável ou semiestável).
4) (2.0pt) Verifique se a EDO (9x2y2 − 4x3 + y(1 + xy))dx + ((6x3 + x2)y − y2 + x)dy = 0 é
exata. Se for, resolva-a.
5) (1.0pt) Use os métodos de substituição de variáveis adequados para transformar a EDO
y′ − 2
x2
= − 4xy + y
2 em uma EDO linear, sabendo que y1 =
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x é uma solução particular desta
EDO no intervalo I = (0,∞). Depois escreva a EDO resultante na forma padrão de uma EDO
linear de primeira ordem. (Não é necessário mostrar que y1 é uma solução da EDO)
6) (2.0pt) Resolva o PVI (x − 5)y′ + y − 5cos(−3x) = 0; y(0) = 8, apresentando um intervalo
aberto como domı́nio da solução.
7) (1.0pt) Verifique se o Teorema de existência e unicidade garante que o PVI y′ = x+2y−2x+3y+1 ;
y(3) = 2 possua solução única (localmente). Justifique sua resposta.
8) (1.0pt) Abaixo temos um circuito RC série.
A equação diferencial que descreve a carga Q(t) no capacitor é dada por RdQdt +
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CQ = V (t).
Considerando que V (t) seja um valor constante E, esta EDO possui a seguinte solução geral:
Q(t) = CE +Ke−
t
RC , onde K é uma constante arbitrária.
Considere que V (t) = E = 5V (volts), R = 100Ω (ohms), C = 10−3F (farads) e que no tempo
t = 0s a carga no capacitor seja Q(0) = 0C (coulombs). Determine:
(i) A expressão para Q(t) para t ≥ 0.
(ii) A expressão para a corrente I(t) = dQdt que passa no circuito para t ≥ 0.
(iii) O valor da corrente que passa no circuito em t = 0.5s. (A unidade de medida da corrente
elétrica é o ampère (A))
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